第四章 立体几何（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【江苏专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查平面的性质，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置判定。 第四章 立体几何 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．直线平面，直线，则l与m不可能（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 2．如图所示，点、直线、平面之间的关系用数学符号语言表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若点在直线上，在平面内，则点在平面内，用集合语言表示为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线平行于平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．平面和平面是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．内的一条直线平行于，则 B．内的一条直线垂直于的一条直线，则 C．与同时平行于同一个平面，则 D．平面与平面同时垂直于同一个平面，则 6．已知直线l，m，平面，且，给出下列四个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 其中正确的命题是（    ） A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②④ 7．如图，在四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则（    ）    A． B． C． D．以上均有可能 8．如图，正方体中，直线和所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在长方体中，，，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 10．在正方体中，为上底面的中心，则与上底面所成角的正切值是（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 11．如果，，，那么与的位置关系为 ．（填“平行”“相交”或“异面”） 12．根据图示，分别用数学符号表示以下各位置关系．    （1）点在直线上： ； （2）直线在平面上： ；点C在平面上： ； （3）点不在平面上： ；直线平行平面 ． 13．已知a，b为直线，为平面，，对于a，b的位置关系有下面五个结论：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交． 其中可能成立的有 ． 14．如图所示，在正方体中，E，F分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为 ． 15．如图所示，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点A到平面的距离为 3、 解答题（本大题共8小题，前3小题每题10分，后5小题每题12分，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．如图，在正方体中，为线段的中点. (1)证明：直线平面； (2)证明：直线平面. 17．如图所示，在三棱柱中，、、、分别是、、、的中点，求证：平面平面．    18．在三棱锥中，平面.    (1)求三棱锥的侧面积； (2)求点A到平面的距离. 19．如图，在正方体中，点分别是上的中点，连接． (1)求异面直线和所成角的大小． (2)求与平面所成角的正弦值． 20．棱长为2的正方体中，为的中点. (1)求与所成的角. (2)求与平面所成角的正切值. 21．如图所示，在直三棱柱中，，. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 22．在棱长为2的正方体中，已知E，F分别是BC，的中点. (1)求证：； (2)求点F到直线的距离. 23．如图所示，在棱长为2的正方体中，平面把正方体分成两部分.求： (1)直线与平面所成的角； (2)二面角的平面角的余弦值； (3)两部分中体积较大部分的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【江苏专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查平面的性质，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置判定。 第四章 立体几何 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．直线平面，直线，则l与m不可能（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 【答案】B 【分析】由线面平行的性质判断空间中直线与直线的关系即可. 【详解】因为直线平面α，直线， 则l与m可能平行、异面或垂直，故A、C、D选项错误； 若l与m相交，设，则， 又直线，则，即与平面有交点，与题设矛盾， 故l与m不可能相交，故B选项正确. 故选：B. 2．如图所示，点、直线、平面之间的关系用数学符号语言表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点与线属于关系，结合线面包含关系的符号表示进行判断即可. 【详解】如图可知，， 故选：B. 3．若点在直线上，在平面内，则点在平面内，用集合语言表示为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由点、线、面的符号表示即可得解. 【详解】点是元素、直线和平面是集合，所以若点在直线上，在平面内，则点在平面内，用集合语言表示为若，则. 故选：. 4．“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线平行于平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用线面平行的定义，结合空间想象与充分必要条件的知识即可得解. 【详解】如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线平行于平面或直线在平面内. 则命题“如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线平行于平面”是假命题， 其逆命题“如果直线平行于平面，那么直线与平面内的无数条直线平行”是真命题， 所以“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线平行于平面”的必要不充分条件. 故选：B. 5．平面和平面是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．内的一条直线平行于，则 B．内的一条直线垂直于的一条直线，则 C．与同时平行于同一个平面，则 D．平面与平面同时垂直于同一个平面，则 【答案】C 【分析】根据平面平行与垂直的判定逐项分析即可得到答案． 【详解】A选项错误：若平面内一条直线平行于平面，不能推出．反例：与相交时，在内与交线平行的直线平行于（但不平行于）． B选项错误：若内一条直线垂直于内一条直线，不能推出．平面垂直需满足内一条直线垂直于（即垂直于内所有直线），而非仅垂直于内一条直线． C选项正确：若且（为同一平面），则．这是平面平行的传递性，成立． D选项错误：若且（为同一平面），不能推出．反例：三面墙两两垂直时，与可能相交（如墙角）． 故选：C． 6．已知直线l，m，平面，且，给出下列四个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 其中正确的命题是（    ） A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据直线与平面的垂直、平行的性质判断. 【详解】， ①若，则时，是的垂线，而，故，①正确； ②若，若不在内，则，是过的平面，则平行或相交，②错； ③当时，，令是的交线，，则l与m异面，③错误； ④当时，而，则，又，则，④正确． 故选：A. 7．如图，在四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则（    ）    A． B． C． D．以上均有可能 【答案】B 【分析】由平面，通过线面平行推导线线平行即可. 【详解】平面，平面，平面平面， ， 故B正确， ，故与均不平行， 故B、C、D项错误. 故选：B． 8．如图，正方体中，直线和所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，则，是异面直线与所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线与所成角的大小. 【详解】连接，， 在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，所有是异面直线与所成角（或所成角的补角）， 因为， 所以， 所以异面直线与所成角的大小是. 故选：C． 9．如图，在长方体中，，，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由长方体性质知平面，即可根据二面角定义求解得. 【详解】由长方体的性质可知平面，且平面， ∴，， ∴是二面角的平面角． 在中，， ∴，即二面角的大小为． 故选： B. 10．在正方体中，为上底面的中心，则与上底面所成角的正切值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与平面所成的角的定义求解即可. 【详解】如图，连接过点, 在正方体中，平面， 为直线在平面内的射影， 为与平面所成角， 设正方体棱长为a， ， 在中，. 故选:C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 11．如果，，，那么与的位置关系为 ．（填“平行”“相交”或“异面”） 【答案】平行 【分析】根据线面关系得到线线关系. 【详解】∵，故，，而， ∴位于同一平面内，故与要么平行，要么相交. 若与相交，而，则与平面相交，不满足. 故与平行. 故答案为：平行. 12．根据图示，分别用数学符号表示以下各位置关系．    （1）点在直线上： ； （2）直线在平面上： ；点C在平面上： ； （3）点不在平面上： ；直线平行平面 ． 【答案】 , 【分析】用数学符号表示点、直线、平面的位置关系即可得解. 【详解】点在直线上，用数学符号表示为，； 直线在平面上，用数学符号表示为； 点C在平面上，用数学符号表示为； 点不在平面上，用数学符号表示为； 直线平行平面，用数学符号表示为； 故答案为：，；；；；. 13．已知a，b为直线，为平面，，对于a，b的位置关系有下面五个结论：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交． 其中可能成立的有 ． 【答案】①②③④⑤ 【分析】结合图形即可求解. 【详解】 如图所示，在正方体中，， 则 垂直且相交，垂直不相交，平行，即不垂直且不相交. 故答案为： ①②③④⑤ 14．如图所示，在正方体中，E，F分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为 ． 【答案】/ 【分析】利用，，得到异面直线与所成的角，然后根据为等边三角形可求角. 【详解】连接，，因为为正方体， 所以为等腰三角形，且E，F分别是，的中点， 所以， 又因为与平行且相等， 所以为平行四边形，所以， 所以异面直线与所成的角即与所成的角或其补角， 连接，因为、、都是正方形对角线， 所以为等边三角形， 所以； 故答案为：. 15．如图所示，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点A到平面的距离为 【答案】 【分析】根据三棱锥和三棱柱的体积关系求出三棱锥的体积，再利用等体积法即可得解. 【详解】因为三棱锥体积为乘以三棱柱的体积， 故， 设点A到平面的距离为， 则，解得. 故答案为：. 3、 解答题（本大题共8小题，前3小题每题10分，后5小题每题12分，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．如图，在正方体中，为线段的中点. (1)证明：直线平面； (2)证明：直线平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明直线垂直于平面内两条相交直线即可证明直线平面； （2）证明直线所在的平面平面平面，即可证明直线平面. 【详解】（1）∵在正方体中， 平面，平面， ∴， 又∵在正方形中，为线段中点， ∴， 又，平面， ∴直线平面. （2）连接，如图， 在正方体中， 四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 在正方体中，四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 又，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 17．如图所示，在三棱柱中，、、、分别是、、、的中点，求证：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先证明，得到平面，再证明，得到平面，最后由面面平行的判定定理即可证明． 【详解】∵、分别是、的中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面． ∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面, ∵，平面，平面， ∴平面平面． 18．在三棱锥中，平面.    (1)求三棱锥的侧面积； (2)求点A到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求得三角形的三边，结合三角形的面积公式即可求解. （2）根据棱锥的结构特征，体积公式即可求解. 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 又，所以均为直角三角形. 又， 所以，. 所以为等腰三角形，. ，. 所以三棱锥的侧面积为. （2）由（1）知，. 因为平面，所以. 设点A到平面的距离为，则. 解得，即点A到平面的距离为：． 19．如图，在正方体中，点分别是上的中点，连接． (1)求异面直线和所成角的大小． (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先构造异面直线的夹角，再根据正方体的性质求解. （2）根据正方体的性质找到线面角，再根据边的关系求得正弦值. 【详解】（1）连接， ∵点分别是的中点， ∴，即所求异面直线所成角为， ∵为正方体，即为正三角形， ∴，即异面直线EF和BC1所成角为； （2）连接与， ∵为正方体， ∴平面，∴所求线面角为， 设正方体棱长为，即，则，， 故． 20．棱长为2的正方体中，为的中点. (1)求与所成的角. (2)求与平面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先找出为与所成的角，再结合正方体的结构特征即可求解. （2）先找出是与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）∵，∴为与所成的角. 在正方体中，三角形为直角三角形， 所以，∴与所成的角为. （2）连接，因为平面， 所以是在平面内的射影. ∴是与平面所成角. ∵在正方体中，平面， 因为平面，不在平面内，所以. 因为为的中点，所以. 在直角三角形中，. ∴与平面所成角的正切值为. 21．如图所示，在直三棱柱中，，. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过垂直与所在的平面，得出两直线垂直. （2）先找到二面角的平面角，再利用余弦定理求值. 【详解】（1）∵， ∴ 又∵直三棱柱， ∴平面 ∵平面， ∴ ∵，，平面 ∴平面 ∵平面， ∴ ∵， ∴平面为正方形 ∴ ∵，，平面 ∴平面 ∵平面， ∴. （2）取中点，连结， ∵， ∴为等腰三角形， ∴ ∵平面，平面， ∴ ∵，，平面， ∴ 即为所求角 ∵， ∴， ， . 22．在棱长为2的正方体中，已知E，F分别是BC，的中点. (1)求证：； (2)求点F到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的对角线垂的关系，以及中位线平行来证明. （2）先找到点到直线的距离线段，再根据关系求长度. 【详解】（1）证明：连接、 ∵为正方形，、为对角线， ∴， ∵E，F分别是BC，的中点， ∴在中为中位线， ∴， 在平面中，，， ∴①， ∵正方体， ∴平面， ∵平面， ∴②， ， ∴平面， ∵平面， ∴. （2）连接与交点为，则正方体中为与的中点， ∵为的中点， ∴中为中位线， ∴，且， ∵， ∴， ∵平面，平面， ∴， ∴ ∵， ∴平面， ∵平面， ∴， ∴到直线的距离为， ∵， ∴， ∴， 故点F到直线的距离为. 23．如图所示，在棱长为2的正方体中，平面把正方体分成两部分.求： (1)直线与平面所成的角； (2)二面角的平面角的余弦值； (3)两部分中体积较大部分的体积. 【答案】(1)0° (2) (3) 【分析】（1）通过线面平行，即可求出直线与平面所成的角； （2）通过构造辅助线，找出二面角的平面角，之后通过三角形三边长求出余弦值； （3）利用间接法，体积较大部分的体积可转化成正方体的体积减去较小部分的体积，即三棱锥的体积，即可求解. 【详解】（1）因为正方体， 所以，平面，平面， 所以平面，故直线与平面所成角为. （2） 连接交于点O，连接， 因为是等边三角形，且， 所以，，故是二面角的平面角. 在中，，，，. 所以. （3）由图可知，较大部分体积为正方体的体积减去较小部分体积， 即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $