第三章 圆锥曲线（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【江苏专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及性质。 第三章 圆锥曲线 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图所示，椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的方程为，则该椭圆的短轴长是（   ） A．6 B．8 C．9 D．16 3．已知椭圆的两个焦点分别为，且点P在椭圆上，若，则等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．椭圆的左顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．若椭圆的焦点为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，抛物线的图像开口向上，焦点为F，则其标准方程为（   ）． A． B． C． D． 8．以椭圆的焦点为焦点，离心率的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 9．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（   ） A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3988公里 C．两焦点坐标约为 D．离心率约为 10．方程表示的是（   ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．双曲线 D．线段 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 11．已知抛物线的焦点为，则点到直线的距离为 . 12．已知双曲线的离心率为，其右焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的标准方程为 ． 13．已知双曲线 的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为 . 14．已知抛物线与椭圆有一个公共焦点，则点的坐标是 ；若抛物线的准线与椭圆交于两点，是坐标原点，且是直角三角形，则椭圆的离心率 . 15．如图，已知矩形的面积为8，与坐标轨的交点是椭圆的四个顶点，且椭圆的离心率为，则椭圆的标准方程为 . 3、 解答题（本大题共8小题，前3小题每题10分，后5小题每题12分，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．如图，椭圆的上半部分拱形用于支撑横跨20m水面宽的桥，拱的中心距河面6m.试写出椭圆的一个方程.    17．如图，已知汽车前灯反射镜纵断面是抛物线的一部分，灯口直径为，灯深，灯泡要放在抛物线的焦点处，求灯泡到抛物线顶点的距离. 18．已知双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为． (1)求． (2)求双曲线的标准方程． 19．已知直线，椭圆.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 20．已知椭圆的焦点在轴上，其长轴长是10，离心率为，且直线过椭圆的左焦点，它与椭圆交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求的周长． 21．已知F为抛物线E：的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E分别交于点B、C，若△ABC为直角三角形． (1)求半径R的值； (2)判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明． 22．已知椭圆的焦距为2，离心率是，直线的斜率为且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有交点，求的取值范围. 23．如图所示，在平面直角坐标系中，已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，而点为抛物线上位于第一象限内的一个动点. (1)求直线的方程； (2)当时，求点的横坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【江苏专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及性质。 第三章 圆锥曲线 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图所示，椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图判断椭圆的基本值，进而可得椭圆的标准方程． 【详解】解：由图中可知，，且椭圆的焦点在x轴上， 所以椭圆的标准方程为． 故选:B． 2．已知椭圆的方程为，则该椭圆的短轴长是（   ） A．6 B．8 C．9 D．16 【答案】A 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程，可求出b的值，继而求解. 【详解】因为椭圆的方程为， 所以， 所以椭圆的短轴长. 故选：A. 3．已知椭圆的两个焦点分别为，且点P在椭圆上，若，则等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】因为椭圆的标准方程为， 所以， 所以， 因为， 所以. 故选：B. 4．椭圆的左顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的方程确定的值，即可解答. 【详解】由椭圆方程，可知椭圆的焦点在轴上， 所以左顶点坐标为，由方程可知，， 因此，椭圆的左顶点坐标为. 故选：D. 5．双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程结合双曲线中之间的关系即可解得. 【详解】由题，双曲线， 则，，双曲线的焦点在x轴上， 则， 故所求焦点坐标为. 故选：C 6．若椭圆的焦点为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意确定参数即可求解. 【详解】椭圆的焦点坐标为，则长轴在轴上， ，，根据椭圆参数关系可得，即. 所以离心率为. 故选：A. 7．如图所示，抛物线的图像开口向上，焦点为F，则其标准方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定的值及抛物线方程的形式即可. 【详解】抛物线的图像开口向上，焦点为，则，， 则其标准方程为，即. 故选：A. 8．以椭圆的焦点为焦点，离心率的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求椭圆的焦点，再按照双曲线的几何性质求解双曲线的标准方程. 【详解】在椭圆中，，，，焦点坐标为. 因此，所求双曲线焦点在轴上，，，，， 故双曲线方程为. 故选：D. 9．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（   ） A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3988公里 C．两焦点坐标约为 D．离心率约为 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质及月球直径，分别求得椭圆的和月球半径，即可确定长轴长、焦距和离心率. 【详解】设该椭圆的半长轴长为，半焦距长为. 依题意可得月球半径约为，，， 解得，，椭圆的离心率约为. 可得焦距，所以选项A正确，B、D错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误. 故选：A. 10．方程表示的是（   ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．双曲线 D．线段 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由题意得，可表示点到点的距离， 可表示点到点的距离， 则，又， 则，满足椭圆的定义， 因为两定点都在y轴上，所以该椭圆的焦点在y轴上. 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 11．已知抛物线的焦点为，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】首先由抛物线方程确定焦点坐标，再由点到直线的距离公式求值即可. 【详解】已知抛物线，其中， 所以焦点为， 到直线的距离为， 故答案为：. 12．已知双曲线的离心率为，其右焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的焦点及双曲线离心率求解即可. 【详解】抛物线的焦点为， 所以双曲线中，， 则，， 故双曲线标准方程为. 故答案为:. 13．已知双曲线 的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的离心率，结合双曲线中的关系求解渐近线方程即可； 【详解】因为双曲线 的离心率为2， 所以，即， 所以，即； 所以双曲线的渐近线方程为； 故答案为：. 14．已知抛物线与椭圆有一个公共焦点，则点的坐标是 ；若抛物线的准线与椭圆交于两点，是坐标原点，且是直角三角形，则椭圆的离心率 . 【答案】 【分析】根据抛物线方程，可得焦点F坐标，将准线方程与椭圆方程联立，可得，根据题意可得，化简可得关于e的一元二次方程，即可求得答案. 【详解】由抛物线的方程得，其焦点坐标为，所以抛物线C与椭圆D的公共焦点. 且抛物线准线方程为，椭圆左焦点为， 联立与椭圆，可得， 因为是直角三角形，所以，即， 又，所以， 左右同除可得，解得， 又，所以椭圆的离心率. 故答案为：； 15．如图，已知矩形的面积为8，与坐标轨的交点是椭圆的四个顶点，且椭圆的离心率为，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据矩形的面积得到，结合离心率得到，即可求解，得到椭圆的方程. 【详解】点是椭圆的四个顶点， 所以， 故矩形的面积为，则， 又由离心率，得， 即，椭圆的标准方程. 故答案为：. 3、 解答题（本大题共8小题，前3小题每题10分，后5小题每题12分，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．如图，椭圆的上半部分拱形用于支撑横跨20m水面宽的桥，拱的中心距河面6m.试写出椭圆的一个方程.    【答案】， 【分析】把图形转化为平面直角坐标系中的椭圆，即可写出椭圆中、的值，从而可得到椭圆的一个方程. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，    由已知可得：，，则在椭圆中有：，， 故椭圆的标准方程为：，. 17．如图，已知汽车前灯反射镜纵断面是抛物线的一部分，灯口直径为，灯深，灯泡要放在抛物线的焦点处，求灯泡到抛物线顶点的距离. 【答案】 【分析】设抛物线方程为，由抛物线过点，求得，从而得焦点坐标，即可得解. 【详解】由题意，灯口直径为，灯深，∴点． 设抛物线方程为， ∴抛物线过点，所以， ∴，，故焦点坐标为. 因此，灯泡到抛物线顶点的距离为. 18．已知双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为． (1)求． (2)求双曲线的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的几何性质即可求解； （2）由（1）可知双曲线中的a，b，c，代入即可求方程. 【详解】（1）已知双曲线的一个焦点为， 则双曲线焦点在x轴，， 一条渐近线方程为， 则有， 离心率， 综上所述，； （2）由（1）可知，， 所以双曲线的标准方程为. 19．已知直线，椭圆.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）联立直线和椭圆方程消去y，利用判别式求解即可. 【详解】（1）联立消去y得，， ， 若直线l与椭圆C有两个不重合的公共点，则， 解得， 即直线l与椭圆C有两个不重合的公共点时，的取值范围为. （2）若直线l与椭圆C有且只有一个公共点, 则，解得， 即直线l与椭圆C有且只有一个公共点时,的值为. （3）若直线l与椭圆C没有公共点, 则，解得， 即直线l与椭圆C没有公共点时,的取值范围为. 20．已知椭圆的焦点在轴上，其长轴长是10，离心率为，且直线过椭圆的左焦点，它与椭圆交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长轴可求解a的值，由离心率可求解c的值，再由即可求解椭圆的标准方程； （2）根据椭圆的定义即可求解周长. 【详解】（1）因为长轴长是10，离心率为， 所以， 所以， 则， 所求椭圆的标准方程是. （2）由（1）知，， . 21．已知F为抛物线E：的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E分别交于点B、C，若△ABC为直角三角形． (1)求半径R的值； (2)判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)直线AB与抛物线相切，证明见解析. 【分析】（1）根据抛物线和圆的对称性可得B，C，F三点共线，则可得，进而得到，所以圆的半径； （2）由（1）得到直线A、B的坐标进而可得AB的方程，再与抛物线方程联立，求得，即可得到位置关系． 【详解】（1）解：由题意得： 由抛物线和圆的对称性可得B，C关于x轴对称，再由△ABC为直角三角形可得BC为圆的直径，B，C，F三点共线 ，代入抛物线的方程可得 所以圆的半径 （2）直线AB与抛物线E相切. 由（1）知，，， 则直线AB： ，联立，整理得 ∴ ∴直线AB与抛物线相切． 22．已知椭圆的焦距为2，离心率是，直线的斜率为且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有交点，求的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合椭圆的性质列出方程组即可得解. （）根据题意写出直线方程，联立方程组结合即可得解. 【详解】（1）由题意知解得， 椭圆C的方程为. （2）直线的斜率为且过点，直线的方程为， 联立方程组，化简得， 又直线与椭圆C有交点， ，解得或， 直线与椭圆C有交点时，的取值范围是. 23．如图所示，在平面直角坐标系中，已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，而点为抛物线上位于第一象限内的一个动点. (1)求直线的方程； (2)当时，求点的横坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出抛物线的焦点，再由点斜式写出直线方程即可； （2）由题意可知，点为线段的垂直平分线与抛物线的交点，联立直线和抛物线方程结合韦达定理求出的中点坐标，再写出线段的垂直平分线的方程，联立抛物线方程即可求出点坐标. 【详解】（1）因为抛物线的方程为， 所以抛物线的焦点坐标为， 又因为直线的倾斜角为， 所以斜率， 所以直线的方程为，即. （2）由题意可知，点在抛物线上，且，因此，点为线段的垂直平分线与抛物线的交点. 设， 联立方程化简得， 由根与系数的关系得，则， 所以线段的中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 联立方程化简得， 解得， 又因为点在第一象限，且当时，， 所以点的横坐标为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $