第二章 平面向量（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【江苏专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的单元测试卷，主要考查了向量的概念、向量的线性运算、向量的坐标化及运算、向量的内积。 第二章 平面向量 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法中正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．单位向量都相等 C．相等向量的起点必须相同 D．共线向量不一定是相反向量 【答案】D 【分析】根据零向量，相等向量，单位向量，共线向量的概念逐个分析即可. 【详解】零向量的方向是任意的，故A错误， 单位向量长度均为1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，故B错误， 相等向量的起点不一定相同，故C错误， 共线向量的方向相同或相反，故D正确， 故选：D. 2．两个非零向量夹角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角的范围即可解答. 【详解】当两向量方向相同时，夹角为；当两向量方向相反时，夹角为； 当两向量成其他任意角度时，夹角是到之间， 所以两个非零向量夹角的范围是到，即， 故选：C. 3．如图所示，在平行四边形中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法法则即可解答. 【详解】由图可知，， 所以. 故选：C. 4．已知点，，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算即可解得. 【详解】因为点，，所以，则． 故选：D. 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量坐标的线性运算求解即可； 【详解】因为，， 所以， 故选：B 6．若，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据相等向量的坐标表示列等式求值即可. 【详解】已知，， 由，得，， . 故选：B. 7．如图，正六边形中，（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质，结合向量的加法法则运算即可. 【详解】正六边形中，， 则． 故选：B. 8．已知向量，且，，，则一定共线的三点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性关系判断三点共线即可； 【详解】因为，，， 所以， 所以， 所以，共线，且有公共点， 所以三点共线． 故选：C 9．下列表述正确的个数是（    ） ①两个非零向量，若存在实数，使得；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用平行向量的定义，零向量的定义，向量的加法及向量的内积可判断. 【详解】两个非零向量，若存在实数，使得，①正确； ，若，则与可以是任意方向，不一定平行，②错误； ，③错误； ，④正确； 综上①④正确； 故选：C. 10．已知向量，，，若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据两个平面向量平行与垂直的关系求出的值，结合平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. 【详解】向量，，， 因为，则，解得，所以； 因为，则，解得，所以， 则， 所以， 故选：. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 11． . 【答案】 【分析】根据向量的基本运算法则，即可求解. 【详解】， 故答案为： 12．已知点，，则的坐标为 【答案】 【分析】由点坐标直接求得向量坐标. 【详解】已知点，， 则的坐标为， 故答案为：. 13．已知向量，，且，则实数 . 【答案】 【分析】根据题意结合平面向量的线性运算法则求出，代入平面向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】向量，，则， 因为，则，解得， 故答案为：. 14．如图所示，在平行四边形ABCD中，，，，则 . 【答案】 【分析】根据向量的代数运算和向量内积的定义即可求解. 【详解】由平行四边形法则可得，， 所以 ∵，，， ∴. 故答案为：. 15．如图所示，在菱形中，，则下列说法中正确的是 （填序号）． ①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个（不含本身） ②图中所标出的向量中与的模相等的向量有5个（不含本身） ③的长度恰为长度的倍 ④与不共线 【答案】①②③ 【分析】根据向量相等、共线以及向量的模的定义进行分析求解. 【详解】在菱形中，，且方向相同，，且其他向量与向量不平行，故①正确； 又，是正三角形，，故②正确； 由平面几何知，故③正确； 因为，所以与共线，故④不正确． 故答案为：①②③. 3、 解答题（本大题共8小题，前3小题每题10分，后5小题每题12分，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知向量，，求： (1)，； (2)； (3)向量与向量夹角． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）根据向量的加法、减法、数乘进行线性运算； （2）根据数量积坐标公式运算； （3）根据平面向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）由题可知：，. （2） （3）设向量与向量夹角为， 所以，又，所以 17．已知向量，且. (1)求m的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示即可求解； （2）由向量模的计算公式及可求解. 【详解】（1）向量，且， 则，解得. （2）因为， 则， 所以. 18．如图所示，分别是的边的中点，分别是，的中点，已知，，试用分别表示． 【答案】；； 【分析】根据三角形中位线定理和向量的加法法则，分析求解即可. 【详解】因为分别是的边的中点， 所以，故，即； ； 又因为分别是，的中点，所以： ． 19．设向量. (1)求； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由向量的坐标运算求得，然后求出.   （2）根据列方程组，化简求得，进而求得. 【详解】（1），； （2）， 所以，解得，所以. 20．点，求： (1)求B点关于x轴对称的C点坐标； (2)直线的斜率； (3)求，. 【答案】(1) (2)1 (3)， 【分析】（1）根据点关于x轴对称的点的特点，即横坐标不变，纵坐标为相反数求解即可； （2）根据两点求斜率的公式代入求解即可； （3）先求解出与的坐标，再根据模长公式计算即可. 【详解】（1）∵点关于x轴对称的C点坐标为； （2）∵点， ∴直线的斜率为； （3）∵点， ∴，， ∴，. 21．已知向量，向量与的夹角大小为，且． (1)求向量； (2)设向量，其中．若，试求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设，再由向量内积的坐标表示和向量的模的坐标表示列方程求解即可. （2）由向量的内积坐标表示确定，再由向量模的坐标表示得出，再由正弦函数的值域确定的取值范围. 【详解】（1）设，已知向量， 由得，， 且，由向量与的夹角大小为， 得，解得， 即， 则，整理得， 解得，则， 所以或. （2）由（1）可知，或， 由向量，，所以， 又，所以， 则， 因为，则， 即，所以， 即的取值范围为. 22．已知向量，  . (1)若  ，求实数的值； (2)若向量，，求向量与的夹角的弧度数； (3)当取得最大值时，是否存在实数，使得 ? 请说明理由. 【答案】(1)或 (2) (3)存在实数，理由见解析 【分析】（1）根据平面向量相互垂直的坐标表示列方程求解. （2）根据平面向量平行的坐标表示列方程解出参数，然后求，两向量的夹角. （3）先根据取最大值求出，然后再根据列出方程，根据判别式得出有解，即存在. 【详解】（1）因为向量， 所以 . 由得， 即 ， 整理得， 解得或. （2）因为， 所以 . 由，可得   ， 解得：， 所以  ， 所以. 又， 所以. （3）解法一： 由向量知， 所以 . 当时，取得最大值，此时 . 若存在实数，使， 则， 又因为， 所以，      即 ， 因为， 所以方程有实数根. 故存在实数，使得. 解法二： 由向量知， 所以 ， 当时，取得最大值，此时 ， 因为， ， 若存在实数，使得， 则有， 整理得 ， 因为， 所以方程有实数根. 故存在实数，使得. 23．已知，且. (1)化简； (2)若是第二象限角，求的值； (3)已知向量，若向量与的夹角为锐角的3倍，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合三角函数诱导公式，即可化简求解； （2）根据题意，结合三角函数诱导公式，和同角三角函数的平方关系，即可求解； （3）根据题意，先求出的值，继而求出向量的夹角，结合向量共线的坐标表示，即可求解. 【详解】（1） ； （2）由（1）知， 因为，即，所以， 因为是第二象限角，所以， 所以； （3）因为，即，所以， 又角是锐角，所以， 因为向量与的夹角为锐角的3倍，即向量与的夹角为， 所以向量与是共线向量，且方向相反， 又， 所以，即， 解得，此时， 此时反向，符合题意， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【江苏专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的单元测试卷，主要考查了向量的概念、向量的线性运算、向量的坐标化及运算、向量的内积。 第二章 平面向量 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法中正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．单位向量都相等 C．相等向量的起点必须相同 D．共线向量不一定是相反向量 2．两个非零向量夹角的范围是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，在平行四边形中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 4．已知点，，则向量（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．若，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．如图，正六边形中，（   ） A．0 B． C． D． 8．已知向量，且，，，则一定共线的三点是（   ） A． B． C． D． 9．下列表述正确的个数是（    ） ①两个非零向量，若存在实数，使得；②；③；④. A．0 B．1 C．2 D．3 10．已知向量，，，若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 11． . 12．已知点，，则的坐标为 13．已知向量，，且，则实数 . 14．如图所示，在平行四边形ABCD中，，，，则 . 15．如图所示，在菱形中，，则下列说法中正确的是 （填序号）． ①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个（不含本身） ②图中所标出的向量中与的模相等的向量有5个（不含本身） ③的长度恰为长度的倍 ④与不共线 3、 解答题（本大题共8小题，前3小题每题10分，后5小题每题12分，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知向量，，求： (1)，； (2)； (3)向量与向量夹角． 17．已知向量，且. (1)求m的值； (2)求的值. 18．如图所示，分别是的边的中点，分别是，的中点，已知，，试用分别表示． 19．设向量. (1)求； (2)若，，求的值. 20．点，求： (1)求B点关于x轴对称的C点坐标； (2)直线的斜率； (3)求，. 21．已知向量，向量与的夹角大小为，且． (1)求向量； (2)设向量，其中．若，试求的取值范围． 22．已知向量，  . (1)若  ，求实数的值； (2)若向量，，求向量与的夹角的弧度数； (3)当取得最大值时，是否存在实数，使得 ? 请说明理由. 23．已知，且. (1)化简； (2)若是第二象限角，求的值； (3)已知向量，若向量与的夹角为锐角的3倍，求实数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $