4.2.1 课时2 等差数列的判定与性质 同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1 课时2 等差数列的判定与性质 【基础巩固】 1．已知是公差不为0的等差数列，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由等差数列的性质知，结合题设有. 故选：D. 2．已知等差数列满足，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】在等差数列中，. 故选B. 3．设等差数列的公差为，若，，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】因为，所以，又，所以，故公差.故选：D. 4．若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 【答案】A 【解析】因为数列为等差数列，设公差为，可得， 对于A中，例如：等差数列，则， 此时数列不是等差数列，所以A符合题意； 对于B中，数列中，可得，所以数列为常数列， 所以数列一定是等差数列，所以B不符合题意； 对于C中，数列中，可得（常数）， 所以数列一定是等差数列，所以C不符合题意； 对于D中，数列中，可得， 所以数列一定是等差数列，所以D不符合题意. 故选A. 5．（多选）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的有（ ） A． B．当时， C．当时，是数列中的项 D．若是数列的项，则的值不可能为7 【答案】ABC 【解析】对于A，由题意得，A正确； 对于B，当时，数列的首项为2，公差为，故，B正确； 对于C，由B选项可知，令，解得，所以是数列的第8项，C正确； 对于D，插入个数，则，，，，…，所以等差数列中的项在等差数列中对应的项的序号是以1为首项，为公差的等差数列，即，若是数列的项，令，当时，，D错误. 故选：ABC. 6．在等差数列中，若，则________． 【答案】60 【解析】∵在等差数列中，，∴，解得， ． 7．做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是________. 【答案】 【解析】记7根横梁的长度从上到下成等差数列， 由题意得，，， ∴，，故，， ∵，∴，即正中间的一根横梁的长度是. 8．在等差数列中， (1)若，求； (2)已知，求. 【答案】见解析 【解析】(1)在等差数列中, ∴，∴， ∴. (2)∵，∴. ∴. 【能力拓展】 9．已知数列是等差数列,若,“”,“”,则是的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】∵数列为等差数列, 当时,显然任意的,均满足,但不一定满足,即“”推不出“”,必要性不成立; 由数列是等差数列,设该数列的公差为,若,则, 即“”能推出“”,充分性成立. 因此,是的充分不必要条件. 故选:A. 10．（多选）已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（ ） A．公差的取值范围是 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题意得,,， 所以，解得，所以，故A错误； 由，故B正确； 由，故，C选项正确； 由等差数列性质，，故D正确. 故选：BCD 11．已知数列满足，，则________；对任意实数，总存在正整数，使得，则________． 【答案】； 【解析】因为，所以， 所以，所以，所以， 又，所以数列是首项为8，公差为的等差数列， 所以；由，则， 即，则． 【素养提升】 12．已知数列的各项均为正数，，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足求数列中的最大项与最小项． 【答案】见解析 【解析】(1)证明：由，两边取倒数，可得， 即，，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列. (2)由(1)，所以， 由则当时，， 所以的最大项为， 又当时，随着n增大，减小，故单调递增，故的最小项为. 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1 课时2 等差数列的判定与性质 【基础巩固】 1．已知是公差不为0的等差数列，则（ ） A． B． C． D． 2．已知等差数列满足，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．设等差数列的公差为，若，，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 5．（多选）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的有（ ） A． B．当时， C．当时，是数列中的项 D．若是数列的项，则的值不可能为7 6．在等差数列中，若，则________． 7．做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是________. 8．在等差数列中， (1)若，求； (2)已知，求. 【能力拓展】 9．已知数列是等差数列,若,“”,“”,则是的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（多选）已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（ ） A．公差的取值范围是 B． C． D． 11．已知数列满足，，则________；对任意实数，总存在正整数，使得，则________． 【素养提升】 12．已知数列的各项均为正数，，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足求数列中的最大项与最小项． 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $