数学思想方法专项1 数形结合思想（讲义）-2026版浙江省（单考单招）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版浙江省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及浙江省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版浙江省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》数学思想方法专项的第1个专题，内容为数形结合思想。 2026版浙江省（对口招生）二轮复习 《数学考纲专题练》 数学思想方法专项1 数形结合思想 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 一、知识导读 在数学问题的求解过程中，我们常依据问题的具体情境，将涉及数量关系的问题转化为图形特征进行观察分析，同时将几何形态的问题转化为代数表达式进行逻辑推导。这种通过“数”与“形”双向转化来破解难题的策略，正是数学中重要的“数形结合思想方法”。 具体而言，数形结合的本质在于：通过挖掘数学问题中数量关系与空间形式的内在关联，借助数式运算的几何解释或几何图形的代数表征，将原本隐含的条件显性化、复杂的问题结构化、抽象的概念具象化，最终形成兼具数值分析与图形推理特征的解决方案。 在数学学科体系中，数形结合的应用主要聚焦于以下三个层面： 1.函数性质的几何解析：通过函数图像的直观呈现，可深入理解函数的单调性、对称性、值域等核心特征。例如，指数函数的增长趋势、对数函数的渐近特性、三角函数的周期波动、一次函数的线性变化、二次函数的抛物线形态等，均能通过图像特征获得直观启示。 2.坐标系统的代数-几何桥梁：借助数轴与直角坐标系，实现数与点的对应映射、函数与图像的动态关联、方程与曲线的空间表达，从而构建代数运算与几何推理的融合框架。 3.三角函数的单位圆表征：通过单位圆上点的坐标变换，将三角函数值转化为线段长度比例，实现角度与数值、几何图形与代数公式的深度互通。 二、经典例题解析 【考试题型1】数形结合在圆锥曲线中的应用 【例1】如图所示，已知椭圆的焦距是4，离心率为，斜率为2的直线过椭圆左焦点，且交椭圆于，两点，是坐标原点.求：    (1)椭圆的标准方程； (2)的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦距以及离心率求出椭圆的方程. （2）首先求出直线l的方程，再求出线段AB的长度以及原点到直线的距离，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）已知椭圆的焦距是4，则，即. 离心率为，解得，进而. 则椭圆的标准方程为. （2）斜率为2的直线过椭圆左焦点，则直线的方程为. 将直线代入到椭圆的方程，化简得. 则. 根据弦长公式，. 原点到直线的距离为. 所以三角形的面积为. 【例2】已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线与椭圆交于A，B两点，已知点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件列出的方程组，求出即可； （2）分为两种情况讨论：当直线的斜率不存在时，求出A，B两点的坐标，然后用向量内积的坐标运算求；当直线的斜率存在时，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及向量内积的坐标运算求． 【详解】（1）由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，即， 由，解得，， 则， 则； 当直线的斜率存在时，设，，，    联立，消去y得， 则， ，， 因为，， 所以 ． 所以为定值． 【考试题型2】借助曲线方程图像 【例3】如图所示，已知双曲线（，）的左、右焦点分别是，，实轴长为6，线段过焦点，则（   ）    A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】根据题图，由双曲线的定义求解. 【详解】根据题图，由双曲线的定义可知，，， 故，即. 故选：D. 【例4】已知抛物线的焦点为，点是该抛物线上一点，若是圆上一点，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先由抛物线的标准方程得到准线方程，由圆的标准方程得到圆心和半径，并求出的最小值即可. 【详解】依题意，由点M向抛物线的准线引垂线，垂足为，    由可知圆心，半径， 则有， 结合图形可知的最小值等于，即， 因此的最小值是4. 故选：A. 【考试题型3】借助函数图像性质 【例5】已知函数若方程有4个不同的实根，，，．且满足，则 ． 【答案】 【分析】根据二次函数与对数函数的图像，作出的图像，再作出直线，可得出的取值情况，从而得解. 【详解】的图像开口向下，对称轴为； 先作出函数的图像，再作出直线，如图，    由图可得，， 即，， 因此，， 所以． 故答案为：. 【例6】为了给食堂提出合理的建议，小明调查了某日下课后x（分钟）内，进入食堂累计人数y（人），当且时，数据如下表： 经过的时间x（分钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 累计人数y（人） 0 95 180 255 320 375 420 455 480 495 500 (1)如图所示，将表中的数组对应的点描在直角坐标系中，请将遗漏的三点描在所给坐标系中；    (2)当且时，请在一次函数，二次函数，指数函数中选择合适的函数模型描述y与x的关系，并求y与x之间的函数关系式； (3)已知食堂每分钟完成20位同学取餐.记排队人数为w（人），求w的最大值. 【答案】(1)坐标系见解析. (2)选择 （）描述函数关系，解析式为（且）. (3)320人. 【分析】（）根据题意作出图像即可得解. （）根据题意结合待定系数法求出函数解析式即可得解. （）根据二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）    （2）二次函数模型最合适， 设 （）， 将，，代入得，，解得 所以函数关系为（且）. （3）排队人数，函数图像为开口向下的抛物线， 对称轴为， 当时，w取最大值为人， 所以w最大值为320人. 【例7】著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，常常借助图象来研究函数的性质．已知函数.    (1)在平面直角坐标系中作函数的简图，并根据图象写出该函数的单调减区间； (2)解不等式. 【答案】(1)作图见解析，单调减区间为和 (2) 【分析】（1）直接利用指数函数与一元二次函数图象作图即可，根据图象写出函数单调递减区间求解； （2）分段讨论解不等式，最后再求并集即可. 【详解】（1）简图如图所示：    由图可得该函数的单调减区间为和； （2）①当时，得，所以； ②当时，，解得； 综上：不等式的解集为. 【例8】著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，常常借助图象来研究函数的性质．已知函数是定义域为的奇函数，当时，． (1)求出函数在上的解析式； (2)画出函数的图象，并根据图象写出的单调区间； (3)若函数的图象与直线有三个交点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析；增区间为，递减区间 (3) 【分析】（1）根据函数为上的奇函数，结合，即可求解； （2）根据函数的解析式，结合二次函数的图象与性质，作出函数的图象，即可写出函数的单调区间； （3）求得的值，结合函数的图象，即可求解. 【详解】（1）解：设，则， 因为函数为上的奇函数，且时，， 可得，且， 所以函数的解析式为 . （2）解：函数的图象，如图所示， 结合图象，可得函数单调递增区间为，单调递减区间. （3）解：由函数，可得： 当，可得；当，可得， 结合（2）中，函数的图象， 要使得函数的图象与直线有三个交点，可得， 所以实数的取值范围． 【考试题型4】数形结合在数列中的应用 【例9】已知圆，过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，，若，，…，是公差为的等差数列，则n的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n的最大值 【详解】解：由题意 在圆中 ∴圆心，半径为3， 过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…， 过圆心作弦的垂线，交圆于两点，如下图所示： 由几何知识得，当时， 为最短弦长；为最长弦长，为6. 此时， 直线的解析式为： 直线的解析式为： 圆心到弦BC所在直线的距离： 连接, 由勾股定理得， ∴， ∴最短弦长， ∵，，…，是公差为的等差数列 ∴设 ∵最长弦长为6 ∴ 解得： 故选：D. 3、 综合训练 1．我国古代人民早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若记，且为中点，则（    ） A． B． C． D． 2．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 3．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 4．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．某老师与参加会议的5名学生一起合影留念（6人站成一排），则老师站两端，且学生甲与学生乙不相邻的排法种数为（    ） A．72 B．96 C．144 D．240 8．定义运算，则符号的复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．函数的定义域是 （用集合表示）． 11．函数在区间上的单调递减区间是 ． 12．函数的图像的对称中心坐标是 （）． 13．二次函数与指数函数的图像在区间上的交点个数为 . 14．函数的单调递增区间是 ． 15．已知奇函数在上的解析式为，则在上的解析式为 ． 三、解答题 16．已知函数，求，，求： (1)求出函数的导函数； (2)求当时的单调递增区间； (3)求当时的单调递增区间； (4)若在处取得极值，求a值； (5)当a为上一问求出值时，直线与的图像有三个不同的交点，求的取值范围（提示：数形结合）． 17．从0，1，2，3，4，5六个数字中任取4个数字， (1)可组成多少个没有重复数字的4位数？ (2)可组成多少个没有重复数字的4位偶数？ 18．从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)在（1）中3个偶数排在一起的有几个？ (3)在（1）中偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ 19．某校数学学习小组有3名男生和4名女生，这7人站成一排留影，求以下有多少种不同的站法． (1)甲乙两人必须站在两头； (2)男生必须排在一起； (3)男生互不相邻； (4)甲乙两人之间恰好间隔1人． 20．如图，复平面的上半平面内有一个平行四边形，，，.    (1)求； (2)若，求点所对应的复数. 1．【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，设出边长，得到点的坐标，列出方程组，求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，则， 过点作⊥轴于点O，则， 由勾股定理得：， 则，故， 又， 所以设， 即，解得：， 故选：C 2．【答案】B 【分析】首先由函数的定义域排除CD，再由时，排除A，即可得答案. 【详解】由图象可知，函数的定义域为， 因为的定义域为，所以排除C， 因为的定义域为，所以排除D， 因为当时，，所以排除A， 故选：B 3．【答案】A 【分析】根据题意取特值点分析判断. 【详解】由题意可知：，排除CD；，排除B. 故选：A. 4．【答案】A 【分析】由图象知函数的定义域排除选项B、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项B、D， 又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：A. 5．【答案】C 【分析】根据根式函数以及对数函数的定义域求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则. 故该函数的定义域为. 故选：C. 6．【答案】C 【分析】由题意可知，偶次根式的被开方数需大于等于，对数的真数需大于，分母不能等于，依次列式求解即可. 【详解】要使函数有意义，则需要满足，解得且，即定义域为. 故选：C. 7．【答案】C 【分析】利用分步乘法计数原理，结合排列组合公式计算. 【详解】第一步，除了学生甲和学生乙以外的名学生排队，有种排法， 第二步，利用插空法，将学生甲和学生乙插入其他名学生排队产生的个空位， 排法有种， 第三步，将老师安排在队伍两端，有种排法， 所以共有种排法， 故选：C. 8．【答案】C 【分析】根据题意求出，结合复数的几何意义即可得解. 【详解】定义运算， 则符号， 化简得，复平面对应的点为，在第三象限， 故选：. 9．【答案】A 【分析】利用二次根式函数定义域与正弦函数的取值范围，求解即可． 【详解】二次根式有意义需，即； 根据正弦函数图像，时，的取值范围为． 则函数的定义域为. 故选：A． 10．【答案】 【分析】利用分式分母不为零和余弦函数的性质，求解即可． 【详解】要使函数有意义，则，即， 由得， 所以函数的定义域为． 故答案为：. 11．【答案】 【分析】根据题意，结合正弦函数的单调递减区间，求解即可． 【详解】因为正弦函数递减区间为，， 令，解得， 又， 所以函数在区间上的单调递减区间是. 故答案为：. 12．【答案】 【分析】利用正弦型函数的对称性以及对称中心坐标求解，求解即可． 【详解】正弦型函数对称中心满足， 所以函数的图像的对称中心坐标满足， 解得，故对称中心为． 故答案为：. 13．【答案】2 【分析】利用指数函数与二次函数的区间交点问题，求解即可. 【详解】二次函数在单调递增，在上单调递减. 指数函数在上单调递增. 计算关键点：时，与，； 时，与（交点）； 时，与. 结合单调性可知，在和各有一个交点，共2个. 故答案为：2. 14．【答案】 【分析】利用复合函数的单调性，求解即可． 【详解】函数的定义域为， 函数在上单调递减，函数递减， 所以复合函数递增区间为． 故答案为： 15．【答案】 【分析】根据奇函数的定义，求解即可． 【详解】由题意，任取，则， 所以， 又函数是奇函数， 所以， 所以． 故答案为：. 三、解答题 16．【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用导数的概念可求； （2）利用导数的性质求函数单调区间即可； （3）利用导数的性质求函数单调区间即可； （4）利用取得极值时可导函数导数为零可求； （5）由导数研究函数的单调性，再画出函数图像，数形结合可求解 【详解】（1），； （2）时，为增函数， 当时， ，，有恒成立， 的单调递增区间为； （3）当时，为增函数，， 当时， ，， 解得或， 的单调递增区间为； （4）取得极值时可导函数导数为零，为可导函数， 即当时，， 即，； （5）将代入解析式得，， 则， 令，解得， 由（3）可得的单调增区间为，单调减区间为， 则在处取得极大值，， 在处取得极小值，， 直线为， 如图，当直线与函数有三个交点时； . 即的取值范围为.    17．【答案】(1)300 (2)156 【分析】（1）先对千位进行选择，剩下三位随机排列即可； （2）千位和个位分类进行排列，结合分类计数法即可解得. 【详解】（1）由题，千位不能为零，只能从中选一个，则有：种选法， 后三位可从剩下五个数中任选个排入，则有：种选法， 则可组成个没有重复数字的4位数. （2）由题，排在个位，有种排法， 千位不能为零，有种排法， 最后排十位百位共有种排法， 排在个位时，有种排法， 十位、百位、千位随机排列共有种排法， 则组成没有重复数字的4位偶数共有个. 18．【答案】(1)100800 (2)14400 (3)5760 【分析】（1）根据题意，结合分步乘法计数原理，及排列、组合的应用，即可求解； （2）根据题意，结合分步乘法计数原理，及排列、组合的应用，利用捆绑法，即可求解； （3）根据题意，结合分步乘法计数原理，及排列、组合的应用，利用捆绑法，即可求解； 【详解】（1）由题意，可分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有种情况； 第二步，在5个奇数中取4个，有种情况； 第三步，将3个偶数、4个奇数进行排列，有种情况； 所以符合题意的七位数有（个）. （2）由题意，结合捆绑法，将3个偶数看成一个整体与4个奇数进行排列， 故在（1）中的七位数中3个偶数排在一起的有（个）. （3）由题意，结合捆绑法，将3个偶数与4个奇数分别看成一个整体，进行排列， 故在（1）中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有（个）. 19．【答案】(1)240 (2)720 (3)1440 (4)1200 【分析】（1）根据特殊元素优先排列的原则，即可求解； （2）根据相邻问题利用捆绑法，即可求解； （3）根据不相邻问题利用插空法，即可求解； （4）结合组合数及排列数的应用，即可求解. 【详解】（1）由题意，可先让甲乙两人站在两头有种，再让其余5人全排列， 故不同的站法种数为种； （2）由题意，可利用捆绑法，男生之间先全排列，再将3名男生看成一个元素与4名女生全排列， 故不同的站法种数为种； （3）由题意，可利用插空法，将4名女生全排列，产生5个空隙，再让3名男生插空站， 故共有不同的站法种数为种； （4）由题意，可从除去甲乙以外的5人中选1人站到甲乙之间，将此3人看成一个元素，和剩余的4人全排列，甲乙内部排列， 故共有不同的站法种数为种. 20．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理即可求解； （2）先求出对应的坐标，再根据向量的平行四边形法则即可求解. 【详解】（1）在三角形中，，，. 则， 因为或， 又因为，故舍去， 综上所述，； （2）已知， 则点A的坐标为，即， 在三角形中，，由（1）得，， 因此， 又因为， 所以OC与x轴的夹角为， 则点C的坐标为，即， 所以， 则对应的复数为. 学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $