专题01 集合与不等式（讲义）-2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第1个专题，内容为集合与不等式。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题01 集合与不等式 一、课标解读 1. 集合 · (1)集合及其表示； · (2)集合之间的关系； · (3)集合的运算. 2. 充要条件 3.不等式性质的应用 4.区间 5.解不等式 · (1) 一元一次不等式、一元一次不等式组； · (2) 一元二次不等式； · (3) 含绝对值不等式. 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 2 集合的元素性质 4 （1）题型：集中在选择题. （2）分值：集合与充要条件、不等式几乎每年都有涉及，分值一般在8分左右. （3）内容：集合的概念与关系、集合的运算均有考查；充要条件通常与三角函数、不等式等知识点结合考查. 选择题 4 充分必要条件（与不等式结合） 4 2024 选择题 1 集合的运算 4 选择题 7 充分必要条件 4 2023 选择题 1 集合的运算 4 选择题 2 不等式 4 2022 选择题 1 集合的运算 4 选择题 2 充分必要条件 4 填空题 7 不等式 4 三、考点预测 根据2022-2025年的真题考情，预估2026年湖南省对口招生考试依然有2道题目分别考查集合与充分必要条件、不等式，题型均设置为单项选择题，分值各4分，共8分.但是不等式的题目从2024年开始就没有单独考察，而是和其他知识点结合考. 具体考点可能涉及如下内容： · 元素与集合的关系 · 集合的运算 · 充要条件的判断 · 不等式的解集（和充要条件或者集合结合考） 四、知识梳理 （一）集合的概念及表示方法 定义 由确定的对象组成的总体，称为集合 元素特征 确定性、无序性、互异性． 集合表示法 列举法、描述法、图示法. 元素与集合的关系 属于，记为 ∈；不属于，记为 ∉. 常见数集符号和关系 正整数集：N*或N＋；然数集：N；整数集：Z；有理数集：Q　；实数集：R． 关系： （二）集合之间的关系 关系 关系　　 表示 文字语言 图形语言 符号语言 子集  集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,称集合A为集合B的子集   A⊆B或 B⊇A 真子集 如果集合A⊆B,但存在元素 x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集 A⫋B或 B⫌A 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 相关结论：1.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 2.若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. （三）集合的运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} （四）充要条件 1.相关定义 若p⇒q，则p是q的充分条件，若q⇒p，则p是q的必要条件 p⇒q且qp p是q的充分不必要条件 pq且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 pq且qp p是q的 既不充分也不必要条件 2.充分条件和必要条件的判断方法 （1）定义法 （2）集包含法:（其中） 是 的充分条件 是 的必要条件 是 的充要条件 （五）不等式 1.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔ b<a　 ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒ a>c　 ⇒ 可加性 a>b⇔ a＋c>b＋c　 ⇔ 可乘性 ⇒ ac>bc　 注意c 的符号 ⇒ ac<bc　 同向可加性 ⇒ a＋c>b＋d　 ⇒ 2.一元二次不等式 （1）一元二次不等式解法 ①将不等式化成标准形式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． ②计算对应方程的根的判别式△. ③当时，求出相应的一元二次方程的根． ④利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． （2）三个二次之间的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 x1，x2 x1＝x2＝－ 无实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 R ax2＋bx＋c0(a>0)的解集 R R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ∅ ∅ ax2＋bx＋c0(a>0)的解集 ∅ 记忆口诀 大于取两边， 小于取中间 / 大于取R， 小于取空 3.绝对值不等式 |ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 （1）|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 五、10分钟小测验 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合，若，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．2或4 5．已知不等式的解集为，则b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 7．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．若关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，下列实数是集合中的元素的是（    ） A． B． C．1 D．0 10．设x为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1【答案】C 【分析】根据题意求出集合的元素，结合并集的定义即可得解. 【详解】得集合，故， 故选：. 2【答案】A 【分析】解一元二次不等式结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】化为，解得或， 所以当时，成立，故充分性成立； 当时，或，故必要性不成立， 所以 “”是“”的充分不必要条件. 故选：. 3【答案】C 【分析】根据交集的定义求出集合，利用子集的个数公式即可得解. 【详解】集合，， 集合的元素个数为， 则集合的子集个数为， 故选：. 4【答案】C 【分析】根据可知或，据此即可求解． 【详解】∵，， ∴或， ∴或， 故选：C． 5【答案】B 【分析】根据一元二次不等式、一元二次方程、二次函数间的关系，列不等式可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，即， 解得， 所以b的取值范围为. 故选：B 6【答案】D 【分析】由交集的定义即可得解. 【详解】集合，，则 故选：D． 7【答案】A 【分析】根据绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】或或． 故选：A. 8【答案】A 【分析】由不等式的解集写出解集端点处满足的方程，求解方程即可. 【详解】由不等式的解集端点性质知和必为方程的解， 也即且，解得. 故选：A. 9【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系，即可求解. 【详解】因为集合，所以，选项CD错误， 又，即，选项A正确， ，选项B错误， 故选：A. 10【答案】A 【分析】利用不等式的性质及条件的充分性与必要性的判断可求. 【详解】判断充分性：若 ，两边同时平方可得 ，充分性成立. 判断必要性：若，则 或，无法仅推出 ，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 六、经典例题解析 （一）集合 【考试题型1】集合元素特征 【例1】（2025·湖南对口升学高考）已知, 则a 的值可以是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C​ 【分析】根据集合中的元素进行判断 【详解】集合中只有1满足条件 【考试题型2】集合的运算 【例2】（2024·湖南对口升学高考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交运算即可求解. 【详解】. 故选：A. 【例3】（2023·湖南对口升学高考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题目条件及并集的定义即可求解. 【详解】集合，， 则. 故选：D. 【例4】（2022·湖南对口升学高考）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的运算求解即可. 【详解】因为全集，集合. 所以. 故选：A. 【例5】（2021·湖南对口升学高考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合运算中交集的定义求集合与集合的交集. 【详解】由题意集合，，则两者的交集为. 故选：C. 【例6】（2020·湖南对口升学高考）已知集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】根据交集的定义，求解集合的参数. 【详解】∵，∴. 而，故得到. 故选：D. （二）充要条件 【例7】（2025·湖南对口升学高考）已知则 “”是“” 的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A​ 【分析】解不等式，看推出关系 【详解】，充分性成立；，必要性成立，故为充要条件. 【例8】（2024·湖南对口升学高考）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】因为， 则或， 即或. 而， 则. 所以是的必要不充分条件. 故选：B 【例9】（2022·湖南对口升学高考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求方程的解，再判断充分条件与必要条件. 【详解】∵的解为或， ∴能推出， 但不能推出， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 【例10】（2021·湖南对口升学高考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】将代入可判断充分性，求解方程可判断必要性，即可得到结果. 【详解】将代入中可得， 即“”是“”的充分条件， 由可得， 即或，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【例11】（2020·湖南对口升学高考）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的概念分析. 【详解】当时，成立，故“” “”. 当时，或，故“” “”. 即，“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. （三）不等式 【例12】（2023·湖南对口升学高考）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次不等式解法直接求解即可. 【详解】不等式，即， 解得， 所以的解集是. 故选：A 【例13】（2022·湖南对口升学高考）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解含绝对值的不等式. 【详解】， 即或， 解得或. 故选：B. 【例14】（2021·湖南对口升学高考）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解. 【详解】由可得：，解得：， 所以原不等式的解集为：， 故选：C. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】考情总结 （1）题型稳定：选择题是绝对主力. （2）分值固定：集合与充要条件、不等式几乎每年都考，分值一般在8分左右. （3）内容侧重：集合的概念与关系、运算是基础；充要条件常与不等式、三角函数等知识点结合考查； 不等式部分，一元二次不等式和含绝对值不等式是重点. 【专题内容总结2】核心知识点梳理 1. 集合的概念与运算 （1）元素三个特征：确定性、互异性、无序性.解题后注意检验元素的互异性，避免出错. （2）集合表示：弄清代表元素的含义，区分数集、点集等. （3）集合运算：熟练交集 、并集 、补集 .尽可能借助 Venn图（离散元素）或数轴（连续元素）使抽象问题直观化. （4）子集个数：若集合有 个元素，则其子集个数为 ，真子集个数为 ，非空真子集个数为 . 2. 充要条件的判断：定义法、集合法 3. 不等式的性质与解法 （1）基本性质：重点关注可乘性： 且 ； 且 .注意c的符号. （2）一元二次不等式：掌握“大于取两边，小于取中间”的口诀 （3）含绝对值不等式： 或 【专题内容总结3】备考策略 1.夯实基础：确保集合的运算、一元二次不等式和含绝对值不等式等基础题型不丢分. 2.注意易错点：集合问题中，涉及 时，勿忘考虑 的情况.；解含参不等式时，注意分类讨论. 3.提升综合能力：真题中常出现集合、充要条件与不等式结合的题目.平时练习应有意识训练知识点的综合运用. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $