3.3抛物线（1）专项训练 2025-2026学年高二上学期《数学期中专项训练卷》

2025-2026学年高二上学期期中专项复习 抛物线专项训练卷（1） 一、单选题 1．若抛物线上的点P到焦点的距离为8，则点P到y轴的距离为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 2．若动点到定点的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹是（    ） A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线 3．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，该抛物线上一点到焦点的距离为4，抛物线C的方程为（     ）. A． B． C． D． 4．若抛物线上一点到焦点距离为，则点的横坐标为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．已知抛物线上一点A到焦点的距离为6，则点A的横坐标为（     ） A．4 B． C． D．2 6．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于点A、B且，则AB的中点M到直线的距离为（     ） A． B． C． D．2 7．上的两点，到抛物线的焦点距离之和为，则线段中点横坐标是（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．抛物线上一点到焦点的距离是，则该点的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 9．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 10．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，若该抛物线经过点，则其标准方程是（     ） A．或 B． C． D．或 11．若抛物线的焦点坐标是，则的值为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 12．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（     ） A． B． C． D． 13．焦点在直线上的抛物线标准方程为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 14．如图所示，过抛物线（）的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（     ）    A．5 B．6 C． D． 15．平面中与点和直线的距离相等的点轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 16．顶点在原点，以y轴为对称轴且过点的抛物线方程是（    ） A．或 B． C．或 D． 17．到点的距离比到直线的距离小的动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 18．若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，抛物线的离心率为，则它们的大小关系为（     ） A． B． C． D． 19．已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D． 20．已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则的最小值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．0 二、填空题 21．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线的方程为 . 22．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的左焦点，则 ． 23．已知抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，则抛物线的准线为 ． 24．以双曲线的下焦点为焦点的抛物线的标准方程为 ． 25．若抛物线上点到焦点的距离为4，则 ． 26．若抛物线上一点P到焦点的距离为5，则点P的纵坐标为 . 27．抛物线上的点到直线距离的最小值是 . 三、解答题 28．已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点. (1)若，求点A的坐标； (2)若直线l的倾斜角为，求线段AB的长. 29．已知抛物线上的一点到焦点的距离与到轴的距离之差是2. (1)求抛物线的标准方程； (2)若为抛物线的焦点弦，且，点为的中点，求点的横坐标. 30．已知抛物线：上一点到其焦点的距离为4. (1)求及的值； (2)若抛物线被直线截得的弦的中点为，求直线的方程. 31．已知抛物线C的顶点与坐标原点O重合，且以双曲线的右焦点F为焦点. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若斜率为1的直线l经过点F，且与抛物线C交于A，B两点，求△OAB的面积. 32．在一场篮球赛中，小王同学起跳投篮，如下图所示，已知球离手时距离地面的高度为米，与篮筐的水平距离为7米，球的运动弧线离地面的最大距离为4米，篮筐的高度为3米，假设球的运动轨迹为抛物线． (1)求运动轨迹的函数解析式； (2)问此球能否投中？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期中专项复习 抛物线专项训练卷（1） 一、单选题 1．若抛物线上的点P到焦点的距离为8，则点P到y轴的距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．10 【答案】A 【分析】由抛物线方程求出准线方程，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 点P到准线的距离，则点P到准线的距离也为8， 则点P到y轴的距离为． 故选：A. 2．若动点到定点的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹是（   ） A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线 【答案】A 【分析】根据题意结合抛物线的定义即可得解. 【详解】动点到定点的距离与到直线的距离相等，且定点不在直线上，满足抛物线的定义， 故选：. 3．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，该抛物线上一点到焦点的距离为4，抛物线C的方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意假设抛物线的方程，再利用抛物线的焦半径公式求得，从而得解. 【详解】因为抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上， 所以可设抛物线的方程为，其准线方程为， 又抛物线上一点到焦点的距离为4， 则点到准线的距离也为4，即，解得， 所以抛物线的方程为. 故选：A. 4．若抛物线上一点到焦点距离为，则点的横坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先确定抛物线的焦点坐标，再利用焦半径公式求得，再将点代入抛物线方程即可得解. 【详解】因为抛物线方程可化为，则其焦点为， 依题意，设点的坐标为，， 因为点到焦点距离为， 所以，则（正值舍去）， 将点代入，得，解得. 故选：C. 5．已知抛物线上一点A到焦点的距离为6，则点A的横坐标为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义：抛物线上的一点到焦点的距离等于到准线的距离即可. 【详解】由题意得， 由抛物线可得， ，解得. 则抛物线准线方程为：. 所以. 解得. 故选：B. 6．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于点A、B且，则AB的中点M到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义及中点坐标公式即可求解. 【详解】设直线l交抛物线于点A、B的交点的横坐标分别为，点M的横坐标为， 因抛物线方程为，即为，所以， 由抛物线的定义得 ， 即，. 点M到直线距离为：. 故选：B. 7．抛物线上的两点，到抛物线的焦点距离之和为，则线段中点的横坐标是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】利用抛物线的焦点弦公式列式即可得解. 【详解】对于抛物线，有，设是的横坐标， 由抛物线的焦点弦公式有，即， 所以线段中点的横坐标是2. 故选：A. 8．抛物线上一点到焦点的距离是，则该点的纵坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可求解． 【详解】抛物线的准线方程为， 因为抛物线上一点到焦点的距离是，记该点纵坐标为， 根据抛物线的定义可知，则，即该点的纵坐标是2． 故选：C． 9．抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程求焦点. 【详解】根据题意可知抛物线的标准方程为，所以，焦点在轴上， 焦点坐标为，即. 故选：C. 10．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，若该抛物线经过点，则其标准方程是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】因为抛物线经过点在第二象限，且题中没有明确抛物线的对称轴位置，因此分两种情况设抛物线方程，由点代入可求解. 【详解】由题意，可设其标准方程为或， 由点分别代入方程，可得 或， 解得或. 故抛物线的标准方程为或. 故选：A 11．若抛物线的焦点坐标是，则的值为（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】先将抛物线方程转化为标准方程，然后根据焦点坐标与参数的关系确定a的值. 【详解】原方程可化为，开口向上，焦点在轴正半轴，此时有, 而抛物线焦点纵坐标与参数p的关系为：， 解得:． 故选：D 12．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据椭圆的标准方程求焦点，再根据焦点求抛物线的标准方程，再根据抛物线标准方程求准线. 【详解】∵抛物线的焦点在轴的正半轴上， ∴抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合， 由椭圆的标准方程可知，， ∴，即， ∴右焦点坐标为， ∴抛物线的焦点坐标是，即， ∴抛物线的准线方程为． 故选:D. 13．焦点在直线上的抛物线标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先求得直线与坐标轴的交点，即抛物线的焦点，再利用抛物线的焦点求得抛物线的标准方程，从而得解. 【详解】对于直线，令，得；令，则， 则抛物线的焦点为或， 当抛物线焦点为，抛物线标准方程为， 当抛物线焦点为，抛物线标准方程为， 综上，抛物线的标准方程为或． 故选：C. 14．如图所示，过抛物线（）的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（    ）    A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线方程和直线方程，再根据焦点弦公式即可求解线段的长. 【详解】如图，设准线l与x轴交于点M，过点作A交l于点D， 由抛物线的定义可知，， 由点是的中点可知，MF为的中位线， 所以，即，即， 所以抛物线方程为， 设， 则，解得，即 所以，又因为焦点， 所以， 所以， 联立直线与抛物线方程有， 解得， 所以. 故选:C.    15．平面中与点和直线的距离相等的点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义判断即可. 【详解】由抛物线的定义可知，平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹为抛物线， 所以可知焦点为，且， 所以抛物线的方程为. 故选：B． 16．顶点在原点，以y轴为对称轴且过点的抛物线方程是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的对称轴位置，设出标准方程，代入点求解即可. 【详解】因为顶点在原点，以y轴为对称轴，所以设抛物线方程为. 因为抛物线过点，则，解得. 所以抛物线的标准方程为. 故选：D. 17．到点的距离比到直线的距离小的动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知点的轨迹是抛物线，确定该抛物线的焦点坐标和准线方程，即可得出点的轨迹方程. 【详解】由题意可知，动点到点的距离等于到直线的距离， 故点的轨迹为以点为焦点，以直线为准线的抛物线，其轨迹方程为. 故选：C. 18．若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，抛物线的离心率为，则它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三种曲线离心率的范围,比较大小即可求出. 【详解】解:根据题意得椭圆的离心率,双曲线的离心率, 抛物线的离心率; 故选:B 19．已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的切线的性质和勾股定理，结合二次函数的性质，求出P到圆心M的距离的最小值，然后求解的最小值． 【详解】由圆知，圆心，半径为1， 点P为抛物线上的动点，设，则， 过点P作圆的切线，切点为， 则， ， 因为，所以， 所以，当时，取得最小值， 所以的最小值为． 故选：C． 20．已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．0 【答案】B 【分析】将抛物线方程代入，利用二次函数的性质配方即可求最值. 【详解】因为点(x，y)在抛物线y2=4x上，所以x≥0， 因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2， 所以当x=0时，z最小，最小值为3. 故选：B. 二、填空题 21．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线的方程为 . 【答案】 【分析】由抛物线的定义和性质及标准方程即可得解. 【详解】因为抛物线过点，且焦点在轴上， 所以可设抛物线的方程为，则准线方程为， 又因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即， 所以，则抛物线方程为. 故答案为：. 22．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的左焦点，则 ． 【答案】 【分析】根据双曲线与抛物线共焦点求解. 【详解】∵双曲线左焦点， 则， 解得， ∴抛物线方程， 则． 故答案为: . 23．已知抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，则抛物线的准线为 ． 【答案】 【分析】先根据椭圆的标准方程求焦点，即可求出抛物线的焦点，再根据抛物线的焦点求准线方程即可. 【详解】根据椭圆可得， 所以椭圆的上焦点为， 又因为抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合， 所以抛物线焦点为， 所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 24．以双曲线的下焦点为焦点的抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线方程，找出焦点坐标，写出抛物线方程. 【详解】由双曲线得焦点在轴上，且，， ∴， ∴双曲线的下焦点坐标为． 设焦点在轴负半轴上的抛物线的标准方程为， 由题意得， ∴， ∴抛物线的标准方程为． 故答案为：. 25．若抛物线上点到焦点的距离为4，则 ． 【答案】 【分析】根据题意结合抛物线的定义求出值，将点代入解析式中即可得解. 【详解】由抛物线的定义，，解得， 所以抛物线为， 将点代入抛物线方程中得，因为， 解得， 故答案为：. 26．若抛物线上一点P到焦点的距离为5，则点P的纵坐标为 . 【答案】3 【分析】根据抛物线方程得到焦点坐标和准线方程，再根据抛物线上的点到焦点距离等于到抛物线准线的距离，即可求得纵坐标. 【详解】∵，即， ∴焦点坐标为，准线. 点P到焦点的距离等于到准线的距离，即，得到. 故答案为：3. 27．抛物线上的点到直线距离的最小值是 . 【答案】 【分析】按照点到直线距离公式计算. 【详解】设抛物线上该点为，则 该点到直线的距离 故，当时，最小，此时 故答案为： 三、解答题 28．已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点. (1)若，求点A的坐标； (2)若直线l的倾斜角为，求线段AB的长. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义和几何性质即可求解. （2）根据倾斜角与斜率的关系，设出直线l的方程，再与抛物线方程联立，根据抛物线的几何性质即可求解. 【详解】（1）因为抛物线方程为， 所以，其准线方程为，焦点. 设，， 由抛物线的定义可知，， 因为， 所以， 将其代入，解得， 所以点A的坐标为或. （2）因为直线l的倾斜角为， 所以直线l的斜率为1. 因为直线l经过抛物线的焦点， 所以直线l的方程为. 将其与抛物线方程联立，得， 整理得， 由韦达定理可知，， 由抛物线的定义可知，. 所以线段AB的长是8. 29．已知抛物线上的一点到焦点的距离与到轴的距离之差是2. (1)求抛物线的标准方程； (2)若为抛物线的焦点弦，且，点为的中点，求点的横坐标. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）由抛物线的定义可得出关于的等式，求出值，即可得出抛物线的标准方程. （2）设，，由抛物线定义与题目条件求出，即可求出点的横坐标. 【详解】（1）设. 准线. 由抛物线定义，到焦点距离等于到准线距离等于. 到轴距离等于. 由题意知. 故抛物线的标准方程为. （2）设，，焦点. 为抛物线的焦点弦. . ，. . . . 故点的横坐标为. 30．已知抛物线：上一点到其焦点的距离为4. (1)求及的值； (2)若抛物线被直线截得的弦的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦半径公式求出的值，再将点代入抛物线方程中即可求出的值. （2）设直线与抛物线的交点，将点代入抛物线方程化简为，再由直线的斜率公式和中点坐标求出斜率，代入点斜式方程化为一般式即可. 【详解】（1）已知抛物线上一点到其焦点的距离为4， 由焦半径公式可知，解得， 所以抛物线方程为， 将点代入. . （2）设直线与抛物线的交点， 则有，两式作差得， 所以直线的斜率， 又由为线段的中点，所以， 即，， 所以直线的方程为，即. 31．已知抛物线C的顶点与坐标原点O重合，且以双曲线的右焦点F为焦点. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若斜率为1的直线l经过点F，且与抛物线C交于A，B两点，求△OAB的面积. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）设出抛物线方程，根据双曲线的的关系即可求解. （2）根据点斜式方程求出直线l的方程，与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）设抛物线C的标准方程为. ∵在双曲线中，，∴. ∴右焦点F的坐标为，则，即. ∴抛物线C的标准方程为. （2）由题意得，直线l的方程为，即. 联立，消去y得 设A，B，由韦达定理得. ∴ 又∵坐标原点O到直线l的距离. ∴. 32．在一场篮球赛中，小王同学起跳投篮，如下图所示，已知球离手时距离地面的高度为米，与篮筐的水平距离为7米，球的运动弧线离地面的最大距离为4米，篮筐的高度为3米，假设球的运动轨迹为抛物线．    (1)求运动轨迹的函数解析式； (2)问此球能否投中？ 【答案】(1). (2)此球能投中，答案见解析. 【分析】（1）根据已知条件设定抛物线的顶点式，求出抛物线的系数，进而可求抛物线解析式. （2）根据抛物线方程，看篮筐是否在抛物线上，即可判断篮球是否投中篮筐. 【详解】（1）根据题意抛物线顶点为， 可设抛物线的函数解析式为. 因为抛物线经过点， 所以， 所以, 所以抛物线的函数解析式为. （2）当时，， 即篮筐恰好在篮球运行的抛物线上，所以此球能够投中. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $