3.1双曲线（1）专项训练 2025-2026学年高二上学期《数学期中专项训练卷》

2025-2026学年高二上学期期中专项复习 双曲线专项训练卷（1） 一、单选题 1．等轴双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D．1 2．双曲线和的离心率分别为和，且，则这两个双曲线的“张口”更大的是（     ） A． B． C．一样大 D．无法确定 3．双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 4．与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（     ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的离心率为3，焦点为和，则该双曲线的方程为（     ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的离心率，且该双曲线的顶点是椭圆的焦点，则双曲线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（     ） A． B． C． D． 8．椭圆与双曲线有相同的焦点，则（      ） A． B．1 C． D．2 9．中心在原点，焦点在轴，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 10．双曲线的渐近线方程是（     ） A． B． C． D． 11．已知两定点，，动点P满足，则当和时，P点的轨迹是（    ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线 12．双曲线上一点到左焦点的距离为7，则它到右焦点的距离为（    ） A．1 B． C．1或 D． 13．已知两定点，，在满足下列条件的平面内动点的轨迹中是双曲线的是（    ） A． B． C． D． 14．已知双曲线渐近线方程为，则双曲线的离心率为（     ） A．2 B． C． D． 15．已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，则此双曲线方程为（      ） A． B． C． D． 16．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（     ） A．1 B．1或 C．1或 D． 17．过点，且的双曲线的标准方程是（     ） A． B． C． D．或 18．若双曲线的渐近线方程为，其中一个焦点是，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 19．设椭圆的离心率为，焦点在轴上，且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离之差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 20．已知双曲线的焦点在轴上，且双曲线上的动点到其两个焦点的距离满足，则该双曲线的渐近线方程是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 21．若方程表示双曲线，则的取值范围是 . 22．过点的等轴双曲线的标准方程是 . 23．双曲线绕其中心按逆时针方向旋转，所得的双曲线的标准方程为 . 24．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 . 25．点在双曲线（，）上，的焦距为4，则离心率为 . 26．以椭圆焦点为顶点，以椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线标准方程是 . 27．如图所示，双曲线的左焦点为，双曲线上的点与关于轴对称，则 . 三、解答题 28．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点的坐标为，一条渐近线的方程为； (2)焦距为12，离心率为. 29．求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程. 30．已知双曲线C：的右焦点为，离心率为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过双曲线C的左焦点，且倾斜角为的直线交该双曲线于A，B两点，求. 31．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，双曲线的右焦点为，求的面积． 32．如图，双曲线的渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右顶点，，A，B是直线与双曲线的两交点，是AB的中点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线AB的斜率； (3)求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期中专项复习 双曲线专项训练卷（1） 一、单选题 1．等轴双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质即可求解. 【详解】等轴双曲线：，，所以； 离心率. 故选：C. 2．双曲线和的离心率分别为和，且，则这两个双曲线的“张口”更大的是（    ） A． B． C．一样大 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据双曲线的离心率，判断双曲线“张口”大小. 【详解】离心率越大，双曲线的“张口”就越大. ∵， ∴双曲线的“张口”更大. 故选：A. 3．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将双曲线方程转化为标准方程，再利用离心率公式代数求解即可. 【详解】因为双曲线方程化成标准方程形式为， 所以，所以离心率， 故选：D. 4．与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出双曲线的离心率和渐近线方程，然后逐项求解即可判断. 【详解】双曲线中，，，，渐近线， 对于A：，，，，渐近线，故A错误； 对于B ：，，，，渐近线，故B错误； 对于C ：，，，，渐近线，故C正确； 对于D：，，，，渐近线，故D错误.   故选：C. 5．已知双曲线的离心率为3，焦点为和，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合焦点坐标和离心率，可确定焦点的位置，并求得c和a的值，继而求得，即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为3，焦点为和， 所以，且焦点在轴上， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 6．已知双曲线的离心率，且该双曲线的顶点是椭圆的焦点，则双曲线C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由椭圆的标准方程求出椭圆焦点，即双曲线的顶点，再结合离心率求出，即可写出方程. 【详解】双曲线的焦点在轴上， 又该双曲线的顶点是椭圆的焦点， 椭圆的焦点坐标为，即， 所以该双曲线的顶点坐标为，即， 又双曲线的离心率，所以， 所以双曲线C的标准方程为. 故选：C. 7．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的离心率可得，再根据渐近线方程可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，化简可得， 所以其渐近线方程是. 故选：A 8．椭圆与双曲线有相同的焦点，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据椭圆与双曲线共焦点，求a. 【详解】由题知，椭圆与双曲线的焦点都在轴上，且焦点相同， 所以，解得(经检验，都符合题意). 故选：C. 9．中心在原点，焦点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直线与轴交点得到焦点坐标，再根据等轴双曲线的特点求解. 【详解】因为一个焦点在直线上， 令，解得， 等轴双曲线的一个焦点为， 所以，． 故双曲线方程为， 变形可得. 故选：A. 10．双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线方程得出焦点在轴上，并求出的值代入渐近线方程即可得解. 【详解】双曲线焦点在轴上， 则，， 所以渐近线方程为，即. 故选：. 11．已知两定点，，动点P满足，则当和时，P点的轨迹是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义和几何性质即可求解. 【详解】因为两定点，，所以. 当时，， 因为此式中没有加绝对值， 所以此时点的轨迹是双曲线的一支； 当时，， 所以点P的轨迹为以为端点沿轴向右的一条射线. 故选：C. 12．双曲线上一点到左焦点的距离为7，则它到右焦点的距离为（   ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程得到，再根据双曲线的定义即可求解. 【详解】由双曲线的方程可知， 所以， 设它到右焦点的距离为，， 则由双曲线的定义可知， 解得（舍去）或. 故选：B 13．已知两定点，，在满足下列条件的平面内动点的轨迹中是双曲线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义逐项判断即可得解. 【详解】两定点，，， 选项，因为，所以，故动点的轨迹是双曲线，符合题意； 选项，因为，所以动点的轨迹是以或为端点的射线（含端点），不符合题意； 选项，因为，所以动点的轨迹不存在，不符合题意； 选项，因为，即根据线段垂直平分线的性质，动点的轨迹是线段的垂直平分线，不符合题意． 故选：. 14．已知双曲线渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的方程可知其焦点在轴，根据渐近线方程可得的值，再利用离心率公式，代数求解即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的焦点在轴，所以， 则双曲线的离心率为. 故选：A. 15．已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，则此双曲线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由椭圆的方程确定，再由椭圆中的关系求出确定焦点，和离心率，再由双曲线的离心率求出的值，再由双曲线中的值求出即可写出方程. 【详解】由椭圆可得， 所以，焦点坐标为，离心率 因为双曲线与椭圆共焦点， 所以，由它们的离心率之和为， 可得双曲线的离心率为， 即，解得，则 且焦点在轴上，所以双曲线方程为， 故选：D. 16．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ） A．1 B．1或 C．1或 D． 【答案】A 【分析】根据题意结合椭圆与双曲线的定义列出不等式组即可得解. 【详解】椭圆与双曲线有相同的焦点，所以焦点在轴上， 由题意知解得， 故选：. 17．过点，且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意结合双曲线的性质，分类讨论焦点在轴和轴上即可得解. 【详解】，， 当焦点在轴上时，设双曲线方程为， 将点代入方程中，得，解得， 此时双曲线方程为； 当焦点在轴上时，设双曲线方程为， 将点代入方程中，得，解得， 此时双曲线方程为； 综上所述，双曲线方程为或， 故选：. 18．若双曲线的渐近线方程为，其中一个焦点是，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合双曲线渐近线方程，列出方程组求出的值即可得解. 【详解】因为双曲线的一个焦点为，所以双曲线的焦点在轴上，且， 则渐近线方程为， 所以，解得， 双曲线方程为， 故选：. 19．设椭圆的离心率为，焦点在轴上，且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离之差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的离心率和长轴长可求解焦点坐标，再由双曲线的定义求解标准方程即可. 【详解】∵椭圆的离心率为，焦点在轴上，且长轴长为26， ∴，解得， ∴椭圆的焦点坐标为和， 又∵曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离之差的绝对值等于8， 可知曲线是焦点为和的双曲线， 且，即， ∴， ∴双曲线为. 故选：D. 20．已知双曲线的焦点在轴上，且双曲线上的动点到其两个焦点的距离满足，则该双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的焦点在轴上设出方程，再根据定义求出及渐近线方程. 【详解】双曲线的焦点在轴上，可设标准方程为， 双曲线上的动点到其两个焦点的距离满足， 由双曲线的定义可知，焦点是和， 则， 故该双曲线的渐近线方程是. 故选：A. 二、填空题 21．若方程表示双曲线，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据双曲线标准方程的形式，求解即可. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，可化为， 解得； 所以的取值范围是. 故答案为： 22．过点的等轴双曲线的标准方程是 . 【答案】 【分析】根据题意，可设出等轴双曲线方程，将已知点坐标代入，即可求解. 【详解】由题意，设等轴双曲线方程为， 将点代入方程得， 故等轴双曲线的方程为，化为标准方程得. 故答案为：. 23．双曲线绕其中心按逆时针方向旋转，所得的双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程和对称性，即可求解. 【详解】因为双曲线， 所以，且焦点在x轴上， 将此双曲线绕其中心按逆时针方向旋转，则焦点在轴上，的值不变， 故所得的双曲线的标准方程为. 故答案为：. 24．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程，可得，，结合虚轴长与实轴长之间的关系，即可列出等式求得m的值. 【详解】因为双曲线的标准方程为， 所以焦点在轴上，且，， 又双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，故，即， 所以，即，解得. 故答案为：. 25．已知点在双曲线（，）上，的焦距为4，则它的离心率为 . 【答案】2 【分析】将已知点代入双曲线方程，利用焦距的定义及的关系列方程组，解得的值，据此可得解. 【详解】由题意知，解得，，， . 故答案为：2 26．以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是 . 【答案】 【分析】由双曲线的焦点和顶点确定标准方程. 【详解】由题意知，椭圆的一个焦点为，椭圆的长轴的一个端点为， 因此双曲线的焦点在轴上，且，，所以， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 27．如图所示，双曲线的左焦点为，双曲线上的点与关于轴对称，则 .    【答案】 【分析】作出右焦点，连接，结合双曲线定义得到答案. 【详解】已知双曲线，则， 图中作出右焦点，连接，    由对称性可得, 所以， 故答案为：. 三、解答题 28．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点的坐标为，一条渐近线的方程为； (2)焦距为12，离心率为. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用渐近线方程及焦点坐标，列方程组可得的值，据此可求解； （2）利用焦距及离心率，列方程可得的值，分焦点所在位置讨论可得结果. 【详解】（1）由题设可知，双曲线的焦点在轴上，渐近线的方程为.则 ，解得， 故所求的双曲线的标准方程为； （2）由已知条件可知，因此. 又，故，从而. ①当双曲线的焦点在轴上时，所求双曲线的标准方程为； ②当双曲线的焦点在轴上时，所求双曲线的标准方程为. 综上所述，双曲线的标准方程为或 29．求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程. 【答案】 【分析】由题意求出椭圆的焦点和顶点，从而可得双曲线的顶点和焦点，设出双曲线的方程，确定的值即可. 【详解】椭圆即， ∴椭圆的焦点在轴上，且，从而， ∴椭圆的焦点为，顶点为， ∴双曲线的顶点为，焦点为， 设所求双曲线的方程为， 可知，，得， 故所求双曲线的方程为. 30．已知双曲线C：的右焦点为，离心率为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过双曲线C的左焦点，且倾斜角为的直线交该双曲线于A，B两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由焦点坐标可得c，由离心率求得，进而得及双曲线的标准方程； （2）求出直线的方程，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及弦长公式求出结果. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c， ∵双曲线的右焦点为，∴焦点在轴上，且， ∵双曲线的离心率，∴， 则， ∴双曲线C的标准方程为. （2）由（1）可知，双曲线C的左焦点为， 直线的斜率，则直线的方程为， 设点A、B的坐标分别为，， 联立直线与双曲线方程，消去y得，， ∴，，， 则. 31．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，双曲线的右焦点为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可设双曲线的方程为，将点代入，求得即可； （2）解法一：将直线代入双曲线的方程，由韦达定理和弦长公式求得，再求出点到直线的距离，由求得结果； 解法二：将直线代入双曲线的方程，设，，由韦达定理求得，设与轴交于点，由求得结果． 【详解】（1）根据题意可设双曲线的方程为，， 将点代入中，得，解得， 所以双曲线的方程为，即． （2）解法一：由（1）知，双曲线的方程为， 将直线代入中，整理得． 设，，由韦达定理可得，， 所以， 因为双曲线的标准方程为，所以双曲线的右焦点为， 又因为点到直线的距离， 所以． 解法二：因为双曲线的标准方程为，所以双曲线的右焦点为， 由（1）知，双曲线的方程为， 将直线代入中，整理得． 设，，由韦达定理可得，， 所以． 设与轴交于点，因为点在上，所以， 则． 32．如图，双曲线的渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右顶点，，A，B是直线与双曲线的两交点，是AB的中点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线AB的斜率； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由双曲线的渐近线和焦距即可得到双曲线的标准方程； （2）利用点差法解决中点弦问题，即可得到直线AB的斜率； （3）先根据（2）得到直线AB的方程，联立双曲线和直线AB的方程求出弦长AB，再求出点C到直线AB的距离，进而求出的面积. 【详解】（1）∵ ∴， 又∵渐近线方程为， ∴， ∴所求双曲线的标准方程为. （2）设，， 则， 由得，③ ∵是AB的中点， ∴，， ∴③式即， ∴， ∴. （3）由（2）可得直线AB的方程为，即 由消去y，整理得， ∴，， ∴. 又∵点到直线AB：的距离， ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $