课时测评52 空间的几何体及其直观图、简单几何体的表面积和体积（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

课时测评52　空间的几何体及其直观图、简单几何体的表面积和体积 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共50分) 1．下列说法中正确的是(　　) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 答案：D 解析：对于A，如图①所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各个面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；对于B，如图②③所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；对于C，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；对于D，根据圆锥母线的定义知，D正确．故选D． 2．如图是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图(图中虚线分别与x′轴、y′轴平行)，则原图形△AOB的面积是(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 答案：C 解析：根据题意，如图， 原图形△AOB的底边OB的长为4，高为16，所以其面积S＝×4×16＝32.故选C． 3．(2024·四川广元模拟)如图，长方体ABCD -A1B1C1D1的体积为36，E为棱CC1上的点，且CE＝2EC1，则三棱锥E-BCD的体积是(　　) A．3 B．4 C．6 D．12 答案：B 解析：因为S△BCD＝S四边形ABCD，CE＝＝S四边形ABCD·CC1＝36，所以VE-BCD＝S△BCD·CE＝S×36＝4.故选B． 4．(2024·陕西咸阳模拟)若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成45˚角，则这个圆台的侧面积是(　　) A．27π B．27π C．9π D．36π 答案：B 解析：由题意，可作该圆台的轴截面，如图所示， 则圆台的高h＝O1O2＝BE＝3，上底面半径r＝O2B，下底面半径R＝O1A，即2O2B＝O1A，母线l＝AB，∠BAE＝45˚.在Rt△ABE中，AE＝BE＝3，AB＝3.易知在正方形O2O1EB中，O2B＝O1E，则AO1＝2EO1＝2AE＝6，即O2B＝3.综上，h＝3，r＝3，R＝6，l＝3，故圆台的侧面积S＝π(r＋R)l＝π(3＋6)×3π.故选B． 5．(2024·浙江金华模拟)如图，S -ABC是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，三角形BEF的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为(　　) A．30˚ B．60˚ C．20˚ D．90˚ 答案：A 解析：把正三棱锥沿SB剪开，展开形成三个全等的等腰三角形，分别为△SBC，△SCA，△SAB′，连接BB′，交SC于点F，交SA于点E，则线段BB′的长就是△BEF的最小周长，BB′＝a，又SB＝SB′＝a，根据勾股定理，SB2＋SB′2＝BB′2＝2a2，所以△SBB′是等腰直角三角形，∠BSB′＝90˚，所以∠ASC＝90˚×＝30˚，所以侧棱SA，SC的夹角为30˚.故选A． 6．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120˚，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45˚，则(　　) A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4π C．AC＝2 D．△PAC 的面积为 答案：AC 解析：依题意，∠APB＝120˚，PA＝2，所以OP＝1，OA＝OB＝，对于A，圆锥的体积为×π×2×1＝π，故A正确；对于B，圆锥的侧面积为π×，故B错误；对于C，如图，设D是AC的中点，连接OD，PD，则AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P-AC-O的平面角，则∠PDO＝45˚，所以OP＝OD＝1，故AD＝CD＝，则AC＝2，故C正确；对于D，PD＝，所以S△PAC＝＝2，故D错误．故选AC． 7．(数学文化)(多选)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．如图为四角攒尖，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30˚.若取θ＝30˚，侧棱长为米，则(　　) A．正四棱锥的底面边长为6米 B．正四棱锥的底面边长为3米 C．正四棱锥的侧面积为24平方米 D．正四棱锥的侧面积为12平方米 答案：AC 解析：如图，在正四棱锥S-ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，则SH⊥AB，设底面边长为2a.因为∠SHO＝30˚，所以OH＝AH＝a，OS＝a.在Rt△SAH中，a2＋＝21，解得a＝3，所以正四棱锥的底面边长为6米，侧面积为S＝(平方米)．故选AC． 8．(2024·天津滨海新区二模)在各棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，上下底面的中心分别为D，H，三个侧面的中心分别为E，F，G，若在该三棱柱中挖去两个三棱锥D -EFG和H-EFG，则剩余部分的体积为__________． 答案： 解析：如图所示，因为三个侧面的中心分别为E，F，G，所以三棱锥D -EFG和三棱锥H-EFG的底面EFG面积为S△ABC，高为正三棱柱的高的一半，故挖去的几何体的体积为2××2×2sin 60˚×1＝，三棱柱的体积为×2×2sin 60˚×2＝2，故剩余几何体的体积为2. 9．已知一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个面的距离是 cm，则该球的体积为________． 答案：36π cm3 解析：由题意知截面圆的半径为r＝ cm，所以球的半径为R＝ ，体积为V＝πR3＝π×33＝36π. 10．(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________． 答案：28 解析：法一：由于，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以原正四棱锥的体积为×(4×4)×6＝32，截去的正四棱锥的体积为×(2×2)×3＝4，所以棱台的体积为32－4＝28. 法二：棱台的体积为×3×＝28. (每小题8分，共32分) 11．(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120˚，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为(　　) A．π B．π C．3π D．3π 答案：B 解析：在△AOB中，∠AOB＝120˚，而OA＝OB＝，取AB的中点C，连接OC，PC，有OC⊥AB，PC⊥AB，如图， 所以∠ABO＝30˚，OC＝，AB＝2BC＝3，由△PAB的面积为，得，解得PC＝，于是PO＝，所以圆锥的体积V＝π×OA2×PO＝π×2×π.故选B． 12．(2024·广东惠州模拟)如图①所示，在高为h的直三棱柱容器ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好在平面A1B1C内(如图②)，则容器的高h为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案：B 解析：结合题图②知h，故h，所以题图①中容器的高度与水深之比为3∶2，又水深为2，则h＝3.故选B． 13．(数学文化)(2023·山东济南二模)17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法．如图，是一个半圆，圆心为O，四边形ABCD是半圆的外切矩形．以直线OE为轴将该平面图形旋转一周，记△OCD，阴影部分，半圆所形成的几何体的体积分别为V1，V2，V3，则下列说法正确的是(　　) A．V1＋V2<V3 B．V1＋V2>V3 C．V1>V2 D．V1＝V2 答案：D 解析：由旋转体的概念可得△OCD、阴影部分、半圆所形成的几何体分别为圆锥、圆柱减去同半径的半球、半球，易知OE＝DE，设DE＝OE＝r， 故V1＝πr2×r＝πr3，V2＝πr2×r－πr3＝πr3，V3＝πr3＝πr3，显然V1＝V2，且V1＋V2＝V3.故选D． 14．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则(　　 ) A．V3＝2V2 B．V3＝V1 C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1 答案：CD 解析：设AB＝ED＝2FB＝2，则V1＝.连接BD交AC于M，连接EM，FM(图略)，则FM＝，EF＝3，FM2＋EM2＝EF2，故△EMF是直角三角形，故S△EMF＝×AC＝2，V3＝V1＋V2，2V3＝3V1.故选CD． (每小题9分，共18分) 15．(多选)折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)．图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且∠ABC＝120˚，则该圆台的(　　) A．高为4 B．体积为π C．表面积为34π D．上底面面积、下底面面积和侧面面积之比为1∶9∶22 答案：AC 解析：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2πr＝×2π×3，2πR＝×2π×9，解得r＝1，R＝3.易知圆台的母线长l＝6，则圆台的高为h＝，故A正确；圆台的体积＝π×4×(32＋3×1＋12)＝π，故B错误；圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，侧面面积为π(1＋3)×6＝24π，则圆台的表面积为π＋9π＋24π＝34π，故C正确；由C选项可知上底面面积、下底面面积和侧面面积之比为1∶9∶24，故D错误．故选AC． 16．(多选)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90˚，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列判断正确的是(　　) A．直三棱柱的侧面积是4＋2 B．直三棱柱的体积是 C．三棱锥E-AA1O的体积为定值 D．AE＋EC1的最小值为2 答案：ACD 解析：因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90˚，所以△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋，故A正确；直三棱柱的体积V＝S△ABC·AA1＝×1×1×2＝1，故B不正确；如图所示，因为BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，所以三棱锥E-AA1O的高为定值＝＝，为定值，故C正确；由该棱柱的侧面展开图易知(图略)，AE＋EC1的最小值为，故D正确．故选ACD． 学生用书第176页 学科网（北京）股份有限公司 $