第八章 4 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学讲义紧扣直线与圆、圆与圆的位置关系高考核心考点，按概念辨析（几何与代数判断）、常用结论（切线、弦长、公共弦方程）、综合应用（弦长、切线、最值问题）逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建解题框架，突破难点。 资料采用分层教学策略，基础题巩固概念，真题题提升能力，如切线问题中用结论快速求方程，培养数学思维。结合2022新高考真题分析最短弦长，渗透数学眼光，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 【课程标准】　1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.　2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.　3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 公共点 没有公共点 一个公共点 两个公共点 量化 方程观点 Δ<0 Δ=0 Δ>0 几何观点 d>r d=r d<r 2.圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d=|O1O2|) 图形 量的关系 公共点 外离 d>r1+r2 无 外切 d=r1+r2 1 相交 |r1-r2|<d <r1+r2 2 内切 d=|r1-r2| 1 内含 d<|r1-r2| 无 【常用结论】 (1)圆的切线方程常用结论 ①过圆x2+y2=r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. ②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b) =r2. ③过圆x2+y2=r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为x0x+y0y=r2. (2)直线被圆截得的弦长 弦心距d、弦长l的一半l及圆的半径r构成直角三角形，且有r2=d2+. (3)两圆相交时公共弦的方程 设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0　①， 圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0　②， 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①-②所得，即：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0. (4)圆系方程 ①同心圆系方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其中a，b是定值，r是参数. ②过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程：x2+y2+Dx+Ey+ F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R). ③过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解). 【自主检测】 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A．若两圆没有公共点，则两圆一定外离 B．若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交 C．若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切 D．在圆中最长的弦是直径 答案：CD 学生用书⬇第221页 2.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为(　　) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 答案：B 解析：圆心为(0，0)，到直线y=x+1，即x-y+1=0的距离d==，而0<<1，但是圆心不在直线y=x+1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心.故选B． 3.圆x2+y2-2y=0与x2+y2-4=0的位置关系是(　　) A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 答案：B 解析：两圆方程可化为x2+(y-1)2=1，x2+y2=4.两圆圆心分别为O1(0，1)，O2(0，0)，半径分别为r1=1，r2=2.因为|O1O2|=1=r2-r1，所以两圆内切.故选B． 4.(用结论)过点(2，2)作圆(x-1)2+y2=5的切线，则切线方程为(　　) A．x-2y+2=0 B．3x+2y-10=0 C．x+2y-6=0 D．x=2或x+2y-6=0 答案：C 解析：显然点(2，2)在圆上，由结论(1)可得切线方程为(2-1)·(x-1)+(2-0)y=5，即x+2y-6=0.故选C． 5.(用结论)圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦长为　　　　.  答案：2 解析：由结合结论(3)得两圆公共弦所在直线方程为x-y+2=0.又圆x2+y2=4的圆心到直线x-y+2=0的距离为=，由勾股定理得弦长的一半为=，则所求弦长为2. 考点一　直线与圆的位置关系自主练透 1.(2025·江西景德镇模拟) “a=3”是“直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：若直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切，则有=2，即|a+1|=4，所以a=3或-5.当a=3时，直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8一定相切，故“a=3”是“直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切”的充分不必要条件.故选A． 2.(多选)已知直线l：ax+by-r2=0与圆C：x2+y2=r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 答案：ABD 解析：圆心C(0，0)到直线l的距离d=，若点A(a，b)在圆C上，则a2+b2=r2，所以d==|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2+b2<r2，所以d=>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2+b2>r2，所以d=<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2+b2-r2=0，即a2+b2=r2，所以d==|r|，则直线l与圆C相切，故D正确.故选ABD． 3.直线kx-y+2-k=0与圆x2+y2-2x-8=0的位置关系为(　　) A．相交、相切或相离 B．相交或相切 C．相交 D．相切 答案：C 解析：法一：直线kx-y+2-k=0的方程可化为k(x-1)-(y-2)=0，该直线恒过定点(1，2).因为12+22-2×1-8<0，所以点(1，2)在圆x2+y2-2x-8=0的内部，所以直线kx-y+2-k=0与圆x2+y2-2x-8=0相交.故选C． 法二：圆的方程可化为(x-1)2+y2=32，所以圆的圆心为(1，0)，半径为3.圆心到直线kx-y+2-k=0的距离为=≤2<3，所以直线与圆相交.故选C． 4.(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(-2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则实数a的取值范围是　　　　　　.  答案： 解析：法一：由题意知点A(-2，3)关于直线y=a的对称点为A'(-2，2a-3)，所以kA'B=，所以直线A'B的方程为y=x+a，即(3-a)x-2y+2a=0.由题意知直线A'B与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，易知圆心为(-3，-2)，半径为1，所以≤1，整理得6a2-11a+3≤0，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是. 法二：设已知圆关于直线y=a的对称圆为圆C，则易知圆心C(-3，2a+2)，半径r=1.又直线AB的方程为y=x+a，即(a-3)x-2y+2a=0.于是，根据题意可知直线AB与圆C有公共点，从而可得≤1，整理得6a2-11a+3≤0，解得≤a≤.故实数a的取值范围是. 判断直线与圆的位置关系的常见方法 1.几何法：利用d与r的关系判断. 2.代数法：联立方程之后利用Δ判断. 3.点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 考点二　圆与圆的位置关系师生共研 (1)已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：(x-2)2+(y+2)2=1，则圆C1与C2的位置关系是(　　) A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 (2)圆C1：x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2：x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程为　　　　　　　　　　　，公共弦长为　　　　.  (3)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程　 .  答案：(1)B　(2)x-2y+4=0　2　(3)x=-1(答案不唯一) 解析：(1)根据题意，可知圆C1的半径r1=1，圆C2的半径r2=1，且两圆的圆心距d== >1+1，即d>r1+r2，故两圆外离.故选B． (2)联立两圆的方程得 两式相减并化简，得两圆公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0.设两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标满足方程组解得或所以|AB|= =2，即公共弦长为2. (3)圆x2+y2=1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为O1(3，4)，半径为4，两圆圆心距为=5，等于两圆半径之和，故两圆外切.如图， 当切线为l时，因为=，所以kl=-，设方程为y=-x+t(t>0)，点O到l的距离d==1，解得t=，所以l的方程为y=-x+，即3x+4y-5=0.当切线为m时，设直线方程为kx+y+p=0，其中p>0，k<0，由题意得解得所以m的方程为-x+y+=0，即7x-24y-25=0.当切线为n时，易知切线方程为x=-1.综上，所求切线的方程为3x+4y-5=0或7x-24y-25=0或x=-1. 圆与圆的位置关系的求解策略 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. 2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到. 对点练1.(1)(2025·河北石家庄质检三)已知圆C1：x2+y2=1和圆C2：x2+y2-6x-8y+9=0，则两圆公切线的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)过两圆x2+y2-2y-4=0与x2+y2-4x+2y=0的交点，且圆心在直线l：2x+4y-1=0上的圆的方程为　　　　　　　　　　　.  答案：(1)C　(2)x2+y2-3x+y-1=0 解析：(1)圆C1：x2+y2=1的圆心为C1，半径r1=1，圆C2：x2+y2-6x-8y+9=0的圆心C2，半径r2=4，则==5=r1+r2，故两圆外切，则两圆公切线的条数为3.故选C． (2)设所求圆的方程为x2+y2-4x+2y+λ(x2+y2-2y-4)=0(λ≠-1)，则(1+λ)x2-4x+(1+λ)y2 +(2-2λ)y-4λ=0，把圆心坐标代入直线l，可得λ=，显然圆x2+y2-2y-4=0不符合题意，故所求圆的方程为x2+y2-3x+y-1=0. 考点三　直线与圆的综合问题多维探究 角度1　圆的弦长问题 (1)(多选)(2025·湖南长沙模拟)已知圆C：(x-1)2+(y-1)2=16，直线l：(2m-1)x+(m-1)y-3m+1=0.下列说法正确的是(　　) A．直线l恒过定点(2，1) B．圆C被y轴截得的弦长为2 C．直线l被圆C截得的弦长存在最大值，此时直线l的方程为2x+y-3=0 D．直线l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线l的方程为x-2y-4=0 (2)(开放题)(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x-my 学生用书⬇第222页 +1=0与☉C：(x-1)2+y2=4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值　　　　.  答案：(1)BD　(2)2(2，-2，，-中任意一个皆可以) 解析：(1)对于A，将直线l的方程整理为m(2x+y-3)+(-x-y+1)=0，由得无论m为何值，直线l恒过定点(2，-1)，故A不正确；对于B，将x=0代入圆C的方程，得(y-1)2=15，解得y=1±，故圆C被y轴截得的弦长为2，故B正确；对于C，无论m为何值，直线l不过圆心(1，1)，即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值，故C不正确；对于D，当截得的弦长最短时，直线l垂直于圆心与定点的连线，则直线l的斜率为，此时直线l的方程为y+1=(x-2)，即x-2y-4=0，故D正确.综上所述.故选BD． (2)设点C到直线 AB 的距离为d，由弦长公式得|AB|=2，所以S△ABC=×d×2=，解得d=或d=，由d==，所以=或=，解得m=±或m=±2. 直线被圆截得的弦长的两种求法 角度2　圆的切线问题 (1)(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sin α=(　　) A．1 B． C． D． (2)过点P(2，4)引圆C：(x-1)2+(y-1)2=1的切线，则切线方程为　　　　　　　　.  答案：(1)B　(2)x=2或4x-3y+4=0 解析：(1)法一：因为x2+y2-4x-1=0，即(x-2)2+y2=5，可得圆心C(2，0)，半径r=，过点P(0，-2)作圆C的切线，切点为A，B，因为|PC|==2，则|PA|==，可得sin∠APC==，cos∠APC==，则sin∠APB=sin 2∠APC=2sin∠APCcos∠APC=2××=，cos∠APB=cos 2∠APC=cos2∠APC-sin2∠APC=-=-<0，所以sin α=sin(π-∠APB)=sin∠APB=.故选B． 法二：圆x2+y2-4x-1=0的圆心C(2，0)，半径r=，过点P(0，-2)作圆C的切线，切点为A，B，连接AB(图略)，可得|PC|==2，则|PA|=|PB| = =，因为|PA|2+|PB|2-2|PA|·|PB|cos∠APB=|CA|2+|CB|2 -2|CA|·|CB|cos∠ACB，且∠ACB=π-∠APB，则3+3-6cos∠APB=5+5-10cos(π-∠APB)，即3-3cos∠APB =5+5cos∠APB，解得cos∠APB=-<0，即∠APB为钝角，则cos α=cos(π-∠APB) =-cos∠APB=，且α为锐角，所以sin α==.故选B． (2)当直线的斜率不存在时，直线方程为x=2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y-4=k(x-2)，即kx-y+4-2k=0，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d===1，解得k=，所以所求切线方程为x-y+4-2×=0，即4x-3y+4=0.综上，切线方程为x=2或4x-3y+4=0. 求过某点的圆的切线的方法 1.确定点与圆的位置关系，再求切线方程. 2.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线. 注意：圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立等量关系解决问题. 角度3　位置关系中的最值(范围)问题 (2025·安徽阜阳模拟)已知圆C：x2+y2-4x-6y+12=0与直线l：x+y-1=0，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则|PQ|的最小值是(　　) A． B．2 C．-1 D．2-1 答案：A 解析：圆C：x2+y2-4x-6y+12=0化为标准方程为C：(x-2)2+(y-3)2=1，则圆C的圆心为C(2，3)，半径r=1，则|CP|=1，直线PQ与圆C相切，有|PQ|= =，因为点Q在直线l上，所以|CQ|≥=2，则|PQ|≥.即|PQ|的最小值是.故选A． 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果. 对点练2.(1) (2025·安徽黄山第一次质量检测)过点与圆x2+y2-2x-3=0相切的两条直线的夹角为α，则sin α=(　　) A． B．1 C． D． (2)(2025·浙江嘉兴模拟)已知点P(x0，y0)是直线l：x+y=4上的一点，过点P作圆O：x2+y2=2的两条切线，切点分别为A，B，则|PA|的取值范围为　　　　.  (3)(2025·江西新余模拟)点P为射线x=2(y≥0)上一点，过P作圆x2+y2=3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P的坐标为　　　　.  答案：(1)A　(2)[，+∞)　(3)(2，) 解析：(1)圆x2+y2-2x-3=0的标准方程为+y2=4，圆心为C，半径为2， 记点P，记切点分别为A，B，如图所示：由切线长定理可得=，又因为=，所以△PAC≌△PBC，所以∠APC=∠BPC，设∠APC=∠BPC=θ，由圆的几何性质可得AC⊥PA，则==，所以sin θ===，由图可知，θ为锐角，则cos θ= ==，所以sin∠APB=sin 2θ=2sin θ cos θ=2××=，故sin α=.故选A． (2)由圆O：x2+y2=2，得r=，因为点P(x0，y0)是直线l：x+y=4上的一点，所以P(x0，4-x0)，则|PA|==，又|PO|2=+=2-8x0+ 16=2(x0-2)2+8≥8，所以|PO|2-2≥6，则|PA|≥，即|PA|的取值范围是[，+∞). (3)如图所示，设切点为A，B，则OA⊥AP，OB⊥BP，OA=OB，AP=BP，若∠APB=90°，即AP⊥BP，故四边形OAPB为正方形，则|OP|=.又xP=2，则P. [真题再现]　(2024·全国甲卷理)已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．2 答案：C 解析：根据题意有2b=a+c，即a-2b+c=0，所以直线ax+by+c=0过点M(1，-2).设圆x2+y2+4y-1=0的圆心为C，连接CM(图略)，则AB⊥CM 时，|AB|最小，将圆的方程化为x2+=5，则C(0，-2)，所以|MC|=1，所以|AB|的最小值为2=4.故选C． [教材呈现]　(湘教版选择性必修一P101T9)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，求四边形ABCD的面积. 点评：高考题与教材习题考查角度相同，都考查了直线过定点问题和直线与圆相交时的最短弦问题. 学科网（北京）股份有限公司 $