第二章 5 培优课1 函数性质的综合应用（课件PPT）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数性质综合应用，覆盖奇偶性与单调性、周期性等四大高考核心题型，依据高考评价体系分析考点权重，通过典例解析与规律方法归纳，构建系统备考框架，对接解不等式、求函数值等高频考查要求。 课件亮点在于“题型突破+真题训练+素养提升”，如通过构造奇函数转化不等式培养数学思维，总结性质转化技巧强化数学语言表达。内含2024-2025年模拟真题及易错点分析，助力学生掌握解题逻辑，教师可据此精准教学，提升复习效率。

培优课1　函数性质的综合应用 高三一轮复习讲义　湘教版 第二章　函数与基本初等函数 05 03 题型三　函数的奇偶性与对称性 课时测评 02 题型二　函数的奇偶性与周期性 题型一　函数的奇偶性与单调性 01 内容索引 04 题型四　函数的周期性与对称性 题型一　函数的奇偶性与单调性 返回 (2025·四川自贡模拟)已知函数f(x)=+3x+3，且f(a2)+f(3a－4)>6，则实数a的取值范围为  A．(－4，1) B．(－3，2) C．(0，5) D．(－∞，－4)∪(1，+∞) 典例1 √ 令g(x)=+3x，则有g(x)=f(x)－3，因为x∈R，g(x)+g(－x)= +3x+－3x=+=0，所以g(x)为奇函数，又因为g(x)=1－+3x，由复合函数的单调性知g(x)为R上的增函数，因为f(a2)+f(3a－4)>6，则f(a2)－3+f(3a－4)－3>0，所以g(a2)+g(3a－4)>0，g(a2)>－g(3a－4)=g(4－3a)，所以a2>4－3a，解得a<－4或a>1，故a∈(－∞，－4)∪(1，+∞).故选D． 综合应用函数奇偶性与单调性解题的技巧 1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小. 2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式求解. 规律方法 对点练1.(2024·安徽安庆模拟)函数y=f(x)是偶函数且在(－∞，0]上单调递减，f(－2)=0，则f(2－3x)>0的解集为 A．∪ B． C． D．∪ √ 因为函数y=f(x)是偶函数且在(－∞，0]上单调递减，则该函数在[0，+∞)上单调递增，且f(2)=f(－2)=0，由f(2－3x)>0可得f(|3x－2|)>f(2)，所以|3x－2|>2，可得3x－2<－2或3x－2>2，解得x<0或x>.因此，不等式f(2－3x)>0的解集为(－∞，0)∪.故选D． 返回 题型二　函数的奇偶性与周期性 返回 (2024·沈阳质量监测(三))已知f(x)是定义在R上的函数，且f(2x－1)为偶函数，f(x－2)是奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)=2x－1，则f(7)等于 A．－1 B．－ C． D．1 典例2 √ 因为f(2x－1)为偶函数，所以f(－2x－1)=f(2x－1)，即f(x－1)=f(－x－1)， 所以f(x)=f(－x－2)，又f(x－2)是奇函数，所以f(－x－2)=－f(x－2)，即f(x)=－f(x－2)，所以f(x+2)=－f(x)，则f(x+4)=－f(x+2)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，又当x∈时，f(x)=2x－1，所以f(1)=21－1=1，则f(－1)=－f(1)=－1，所以f(7)=f(－1)=－1.故选A． 综合应用函数奇偶性与周期性解题的思路 1.根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期. 2.利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化. 3.代入已知的解析式求解即得要求的函数值. 规律方法 对点练2.(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)=－f，f(0)=－2，且f为奇函数，则 A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)是一个周期为3的周期函数 D．f(2 025)=－2 √ √ √ 函数f(x)的定义域为R，且f(0)=－2，则f(x)不可能是奇函数，故A错误；定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)=－f，变形可得f(x)=－f，而f为奇函数，则f=－f，则f(－x)=－f，则有f(－x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，故B正确；已知函数f(x)满足f(x－1)=－f，即f(x)=－f，则有f(x+3)=－f=f(x)，即函数f(x)是一个周期为3的周期函数，故C正确；因为f(x)周期为3，则f(2 025)=f(0)=－2，故D正确.故选BCD． 返回 题型三　函数的奇偶性与对称性 返回 (多选)(2024·河北石家庄模拟)对于定义在R上的函数f(x)，若f(x+1)是奇函数，f(x+2)是偶函数，且在[1，2]上单调递减，则 A．f(3)=0 B．f(0)=f(4) C．f=f D．f(x)在[3，4]上单调递减 典例3 √ √ 令g(x)=f(x+1)，由f(x+1)是奇函数，则g(－x)=f(－x+1)=－g(x)=－f(x+1)，即f(－x+1)=－f(x+1)，f(x)图象关于(1，0)对称.令h(x)=f(x+2)，由f(x+2)是偶函数，则h(－x)=f(－x+2)=h(x)=f(x+2)，即f(－x+2)=f(x+2)，f(x)图象关于直线x=2对称.对于A，令x=0，可得f(1)=－f(1)⇒f(1)=0，又令x=1，可得f(1)=f(3)=0，故A正确；对于B，令x=2，可得f(0)=f(4)，故B正确；对于C，令x=，可得f=－f⇒f+f=0，又因为f(x)在[1，2]上单调递减，由图象关于(1，0)对称，则f(x)在[0，1)上单调递减，即f(x)在[0，2]上单调递减，故f>f.故C错误；对于D，由f(x)在[0，2]上单调递减，结合f(x)图象关于直线x=2对称，则f(x)在(2，4]上单调递增.故D错误.故选AB． 　　由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等. 规律方法 对点练3.已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[0，1]时，f(x)=2－2x，则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 026)的值为 A．－2 B．－1 C．0 D．1 √ 因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(－x)=－f(2+x)，又f(x)为R上的偶函数，所以f(x)=f(－x)，所以f(x+2)=－f(－x)=－f(x)，所以f(x+4)=－f(x+2)=－[－f(x)]=f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(3)=f(－1)=f(1)=2－2=0，又f(0)=1，f(2)=－f(0)=－1，所以f(0)+f(1)+f(2)+…+　f(2 026)=506[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(2 024)+f(2 025)+f(2 026)=506×(1+0－1+0)+f(0)+f(1)+f(2)=0.故选C． 返回 题型四　函数的周期性与对称性 返回 　　　(多选)已知定义域为R的函数f(x)在(－1，0]上单调递增，f(1+x)=f(1－x)，且图象关于点(2，0)对称，则下列结论正确的是 A．f(0)=f(2) B．f(x)的最小正周期T=2 C．f(x)在(1，2]上单调递减 D．f(2 024)>f(2 025)>f(2 026) 典例４ √ √ 由f(1+x)=f(1－x)知，f(x)图象的对称轴为直线x=1，所以f(0)=f(2)，故A正确； 由f(1+x)=f(1－x)知，f(2+x)=f(－x)，又图象关于点(2，0)对称，即f(2+x)=－f(2－x)，故f(4+x)=－f(－x)，所以－f(2+x)=f(4+x)，即－f(x)=f(2+x)，所以f(x)=f(x+4)，f(x)的最小正周期为4，故B错误；因为f(x)在(－1，0]上单调递增，且T=4，所以f(x)在(3，4]上单调递增，又图象关于点(2，0)对称，所以f(x)在[0，1)上单调递增，因为f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)在(1，2]上单调递减，故C正确；根据f(x)的周期为4，可得f(2 024)=f(0)，f(2 025)=f(1)，f(2 026)=f(2)，因为f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(2)=f(0)，即f(2 024)=f(2 026)，故D错误.故选AC． 综合应用函数对称性与周期性解题的技巧 　　函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 规律方法 对点练4.(多选)已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x+1)=f(x－3)，f(1+x)=f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)=x2－x，则下列说法正确的是 A．f(x)的周期为4 B．f(x)的图象关于直线x=2对称 C．当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2 D．当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为－ √ √ √ 对于A，因为f(x+1)=f(x－3)，所以f(x+3+1)=f(x+3－3)，则f(x)=f(x+4)，即f(x)的周期为4，故A正确；对于B，由f(1+x)=f(3－x)知f(x)的图象关于直线x=2对称，故B正确；对于C，当0≤x≤2时，f(x)=x2－x在上单调递减，在上单调递增，根据对称性可知，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，则函数f(x)在[0，4]上的最大值为f(2)=4－2=2，故C正确；对于D，根据周期性以及单调性可知，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，则函数f(x)在[6，8]上的最小值为f=f=f=f==－，故D错误.故选ABC． 返回 课 时 测 评 返回 1.已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，且f(x+2)为偶函数，则不等式f(x－1)>f(2x)的解集为 A．∪ B．∪ C． D． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x+2)为偶函数，所以f(－x+2)=f(x+2)，即f(2－x)=f(2+x)，所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称，又因为函数f(x)定义域为R，在区间(－∞，2]上单调递减，所以函数f(x)在区间(2，+∞)上单调递增，所以由f(x－1)>f(2x)得，|(x－1)－2|>|2x－2|，解得x∈.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 2.(2023·四川达州一诊)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)=－f(x)，f(1+x)=f(1－x)，当x∈[－1，1]时，f(x)=x3－3x，则f(2 023)= A．1 B．－2 C．－1 D．2 √ 法一：因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)=－f(x)，所以f(1+x)=f(1－x)=－f(x－1)，则f(x+2)=－f(x)，f(x+4)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.则f(2 023)=f(4×505+3)=f(3)=f(－1)=2.故选D． 法二：由f(x)的定义域为R，f(－x)=－f(x)，可知f(x)为奇函数，由f(1+x)=f(1－x)，可知f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数.则f(2 023)=f(4×505+3)=f(3)=f(－1)=2.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 3.已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x+1)既是奇函数又是增函数，f(3)=2，则f(2x－1)<－2的解集为 A．{x|x<－2} B．{x|x<－3} C．{x|x<－1} D．{x|x<0} √ 令g(x)=f(2x+1)，因为g(x)既是奇函数又是增函数，f(3)=2，所以g(1)=f(3)=2，所以g(－1)=－2，所以不等式f(2x－1)<－2等价于g(x－1) <g(－1)，所以x－1<－1，即x<0.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 4.已知函数f(x)的图象关于原点对称，且满足f(x+1)+f(3－x)=0，且当x∈(2，4)时，f(x)=－lo(x－1)+m，若=f(－1)，则m等于 A． B． C．－ D．－ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，因为f(x+1)=－f(3－x)=f(x－3)，故函数f(x)的周期为4，则f(2 025)=f(1)，而f(－1)=－f(1)，所以由=f(－1)可得f(1)=，而f(1)=－f(3)=lo(3－1)－m=，解得m=－.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 5.(2023·福建泉州第一次质量监测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，当1≤x<2时，f(x)=x－2.若y=x－与f(x)的图象交于点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n∈N+)，则(xi+yi)= A．6 B．8 C．10 D．14 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 因为f(x)为奇函数，所以f(x+2)=－f(x)=f(－x)，所以直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴.又由f(x+2)=－f(x)，得到f(x+4)=－f(x+2)=－[－f(x)]　=f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.作出函数f(x)的图象，如图所示. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 因为－f(x)=f(－x)=f(4－x)，所以点(2，0)是函数f(x)图象的一个对称中心，由图象可知直线y=x－也关于点(2，0)对称，且当x≥8时，y=x－≥1，当x≤－4时，y=x－≤－1，直线y=x－与y=f(x)的图象有7个公共点，则由对称性可得，x1+x2+…+x7=2+4×3=14，y1+y2+y3+…　+y7=0，因此=14.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 6.(多选)(2024·湖南九校联盟第二次联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0，且y=f(2－x)为偶函数，则下列说法一定正确的是 A．函数f(x)的周期为2 B．函数f(x)的图象关于(1，0)对称 C．函数f(x)为偶函数 D．函数f(x)的图象关于x=3对称 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 依题意，R上的函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，则f(x+4)=－f(x+2)=f(x)，所以函数f(x)的周期为4，故A错误；因为函数y=f(2－x)是偶函数，则f(2－x)=f(2+x)，函数f(x)的图象关于x=2对称，且f(2－x)=－f(x)，即f(2－x)+f(x)=0，函数f(x)图象关于(1，0)对称，故B正确；由f(2－x)=f(2+x)得f(－x)=f(4+x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数，故C正确；由f(x+2)+f(x)=0得f(x+3)+f(1+x)=0，由f(2－x)=f(2+x)得f(3－x)=f(1+x)，因此f(x+3)+f(3－x)=0，函数f(x)的图象关于(3，0)对称，故D错误.故选BC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 7.(多选)(2025·浙江杭州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g是定义在R上的奇函数，且f，g在上单调递增，则 A．f<f B．f<f C．g<g D．g<g √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 因为f(x)是定义在R上的偶函数，g是定义在R上的奇函数，且f，g上单调递增，所以f(1)<f(2)，g(2)>g(1)>g(0)=0，f(x)在上单调递减，g在R上单调递增，对于A，因为f，f的正负无法确定，若f(1)<f(2)<0，则f>f，故A错误；对于B，由g(2)>g(1)>g(0)=0，f上单调递增，则f<　f，故B正确；对于C，由f(1)<f(2)，g在R上单调递增，则g<g，故C正确；对于D，由g(1)<g(2)，g在R上单调递增，则g<g，故D正确.故选BCD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 8.(多选)(2024·山东泰安模拟)已知函数y=f(x)在[1，+∞)上单调递增，且f(x)关于x=1对称，则 A．f(－1)<f(3) B．f<f(1) C．f(x+1)为偶函数 D．任意x∈R且x≠0，都有f(2x)<f(3x) √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，因为函数y=f(x)的图象关于x=1对称，所以f(－1)=f(3)，故A错误；对于B，因为2x>0，所以2x+1>1，又因为函数f(x)在[1，+∞)上单调递增，所以f>f(1)，故B错误；对于C，因为f(x)的图象向左平移一个单位即f(x+1)的图象，函数y=f(x)的图象关于x=1对称，则f(x+1)的图象关于y轴对称，是偶函数，故C正确；对于D，函数f(x)在[1，+∞)单调递增，且关于x=1对称，函数在(－∞，1]上单调递减，当x<0时，3x<2x<1，所以f(2x)<f(3x)，当x>0时，1<2x<3x，所以f(2x)<f(3x)，综上，∀x∈R且x≠0，都有f(2x)<f(3x)，故D正确.故选CD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 9.(多选)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)+f(x)=0，且f(1－x)=f(1+x)，则下列结论一定正确的是 A．f(x+2)=f(x) B．函数y=f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．函数y=f(x+1)是偶函数 D．f(2－x)=f(x－1) √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，因为f(－x)+f(x)=0，且f(1－x)=f(1+x)，则f(1－(1+x))　=f(1+(1+x))，即f(x+2)=－f(x)，故A错误；对于B，因为f(x+2)=－f(x)，则f(x+4)=－f(x+2)=f(x)，因为f(－x)+f(x)=0，则f(－(2+x))+f(2+x)=0，即f(2+x)=－f(－2－x)=－f(2－x)，即f(2+x)+f(2－x)=0，故函数y=f(x)的图象关于点(2，0)对称，故B正确；对于C，因为f(1－x)=f(1+x)，故函数y=f(x+1)是偶函数，故C正确；对于D，因为f(1－x)=f(1+x)，则f(1－(x－1))=f(1+(x－1))，即f(2－x)=f(x)，题干中没有条件能说明f(x)与f(x－1)的关系，故D错误.故选BC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 (－∞，－5)∪(1，+∞) 10.已知函数f(x)，对于∀x∈R，都有f(－4－x)=f(x)成立，且任取x1，x2∈<0，若f(m)<f(1)，则实数m的取值范围是______________________.  ∀x∈R，都有f(－4－x)=f(x)成立，则函数图象关于直线x=－2对称，任取x1，x2∈， <0(x1≠x2)，则f(x)在[－2，+∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增，所以由f(m)<f(1)，得|m－(－2)|>|1－(－2)|，解得m>1或m<－5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 11.若函数y=f(x)的图象关于直线x=对称，且y=f(x)共有3个零点，则所有零点之和为________.  　 因为函数y=f(x)的图象关于直线x=对称，且f(x)共有3个零点，则x=必为其中一个零点，并且另外两个零点关于x=对称，所以所有零点之和为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 12.(开放题)(2025·广东广州模拟)写出一个同时具有下列性质的函数 f=________________________.  ①f是偶函数；②f不存在对称中心； ③f存在最小正周期，且最小正周期为2. (答案不唯一) 由题意可知，f(x)是偶函数，f(x)不存在对称中心，f(x)存在最小正周期，且最小正周期为2，所以f(x)=满足题意.(答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 13.(多选)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x+1)=f(x－2)，下列说法正确的是 A．y=f(x)的图象关于直线x=对称 B．y=f(x)的图象关于点对称 C．y=f(x)在[0，6]内至少有5个零点 D．若y=f(x)在[0，1]上单调递增，则它在[2 024，2 025]上也单调递增 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 因为f(x+1)=f(x－2)且y=f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x+3)=f(x)，故函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(x+3)=f(x)=－f(－x)，所以f(3+x)+f(－x)　=0，故函数y=f(x)的图象关于点对称，故A错误，B正确；由题意可知，f(6)=f(3)=f(0)=0，因为f(x)=f(x+3)=－f(－x)，令x=－，可得f　=f，即f=－f，所以f=0，从而f=f=0，故函数y=f(x)在[0，6]内至少有5个零点，故C正确；因为f(2 024)= f(3×675－1)=f(－1)，f(2 025)=f(3×675)=f(0)，且函数f(x)在[0，1]上单调递增，则函数f(x)在 [－1，0]上也单调递增，故函数f(x)在[2 024，2 025]上也单调递增，故D正确.故选BCD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 14.(2024·福建漳州第三次质量检测)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(2x+1)是奇函数，且f(x)+g(3－x)=－4，y=g(x)的图象关于x=1对称，f(4)=2，则f(22)+g(24)= A．4 B．8 C．－4 D．－6 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 因为y=g(x)的图象关于x=1对称，所以g(3－x)=g(x－1).因为f(x)+g(3－x)=－4①，所以f(4－x)+g(3－(4－x))=－4，即f(4－x)+g(x－1)=－4②，①－②得，f(x)=f(4－x)，所以y=f(x)的图象关于x=2对称.令h(x)=f(2x+1)，则h(x)是奇函数，所以h+h=f(x+1)+f(－x+1)=0，即f(x+1)=－f(－x+1)，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，所以f(4－x)=－f(x－2)，所以f(x)=－f(x－2)　=f(x－4)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.因为f(x)+g(x－1)=－4，所以g(x)=－4－f(x+1).因为f(x)是以4为周期的周期函数，所以g(x)也是以4为周期的周期函数，取x=0，f(1)=－f(1)，所以f(1)=0.因为f(4)=2，所以f(0)=2，所以f(2)=－f(0)=－2，f(3)=f(1)=0.取x=3，所以f(3)+g(0)=－4，所以g(0)=－4，所以f(22)+g(24)=f(2)+g(0)=－2－4=－6.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 15.(2025·江苏徐州适应性测试)若定义在R上的函数f满足f+f(x)=f，f(2x+1)是奇函数，f=，则 A．f=－ B．f=0 C．kf=－ D．kf= √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 由f(x+2)+f(x)=f，得f(x+4)+f(x+2)=f，则f(x+4)=f(x)，即函数f(x)的周期为4，由f(2x+1)是R上的奇函数，得f(－2x+1)=－f(2x+1)，即f(－x+1)+f(x+1)=0，于是f+f=0，f+f=f+f=0，即f+f+f+f=0，因此f=4+f=f=，故A、B错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 由f(x+4)+f(x+2)=f，取x=0，得f(2)=0，则f(4)=f(0)=－f(2)=0，因此f(x+2)+f(x)=0，取x=，得f+f=0，于是f+2f　+3f+4f=+3+f+f=0，同理可得5f+6f+7f+8f=0，9f+10f+11f+12f=0，13f+14f+　15f+16f=0，则kf=17f=，故C错误，D正确.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 16.(多选)(2025·安徽六校第二次素养测试)已知函数f，g的定义域均为R，f+g(1+x)=2，g－f=2，g－f=2，且当x∈时.f=x2+1，则 A．g=2 B．g(i)=0 C．函数f的图象关于直线x=3对称 D．方程f=x有且只在2个实根 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，由所以g(2－x)+g(4－x)=4，所以g(2－(2－x))+g(4－(2－x))=4，即g(x)　+g(x+2)=4，所以g(x+2)+g(x+4)=4，得g(x)=g(x+4)，故g为周期函数，且周期为4，又　故g(2－x)+g(x+2)　=4，令x=0可得g=2，令g(x)+g(x+2)=4中的x=0可得g=2，所以g=g=2，故A正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于B，因为当x∈时，f=x2+1，所以f=2，由f(1－x)+g=2得f+g=2，所以g=0，由g－f=2得g－f=2，所以g=4，又g=g=2，所以g(i)=506[g+g+g+　g]=　506×(0+2+4+2)=4 048，故B错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于C，由 可得故f(2－x)+f(4－x)=0，即f(x+2)=－f(x)，f(x+4)=f(x)，由 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 返回 可得故f(1－x)+f(x－1)=0，即f(x)=－f(－x)，所以f(x+2)=－f(x)=f，故f(x)为奇函数，图象关于x=1对称，且周期为4，又当x∈时.f=x2+1，作出f(x)的图象如图①：由图可知函数f的图象关于直线x=3对称，故C正确；对于D，方程f=x，即f=x，由图②可知，函数f的图象和y=x的图象有3个交点，即方程f=x有3个实根，故D错误.故选AC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 函数性质的综合应用 $