第二章 12 第九节 函数与方程（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数与方程核心考点，涵盖函数零点的定义、等价关系、零点存在定理及二分法，按“基础概念—定理应用—综合探究”逻辑架构知识点，通过自主检测梳理基础，分考点设置“自主练透—师生共研—多维探究”环节，结合方法总结与真题训练，帮助学生构建从定义理解到复杂问题解决的完整认知链，体现复习的系统性和针对性。 讲义突出数学思维与几何直观的培养，创新采用“结论提炼—方法归类—分层突破”教学策略，如在零点个数判定中，通过对比分段函数与周期函数的图象特征，引导学生用数学眼光抽象问题本质，结合“一题多解”训练（如参数范围问题的单调性分析与零点存在定理结合），培养逻辑推理能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合即时反馈，确保高效突破难点，为教师把控复习节奏、学生提升应考能力提供有力支持。

第九节　函数与方程 【课程标准】　1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.　2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路. 1.函数零点 (1)定义：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点. (2)三个等价关系 (3)函数零点存在定理 2.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 【常用结论】 (1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点. (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 【自主检测】 1.(多选)若函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中错误的有(　　) A．若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)=0 B．若f(a)f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈[a，b]，使得f(c)=0 C．若f(a)f(b)>0，则可能存在实数c∈[a，b]，使得f(c)=0 D．若f(a)f(b)<0，则可能不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)=0 答案：ABD 解析：取f(x)=x2-1，区间取为[-2，2]，满足f(-2)f(2)>0，但是f(x)在[-2，2]内存在两个零点-1，1，故A错误，C正确；取f(x)=sin x，区间取为，满足ff=×=-<0，但是f(x)在内存在三个零点π，2π，3π，故B错误；根据零点存在定理可知，D错误.故选ABD． 2.下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　) A．y=2x B．y=(x-2)2 C．y=x+-3 D．y=ln x 答案：B 解析：对于B，y=(x-2)2有唯一零点x=2，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点.故选B． 3.函数f(x)=ln x+x-，则函数f(x)的零点所在区间是(　　) A． B． C． D．(1，2) 答案：C 4.已知函数f(x)=则f(x)的零点为　　　　.  答案：-2，e 解析：由题意得，或解得x=-2或x=e. 学生用书⬇第50页 考点一　函数零点所在区间的判定自主练透 1.根据表格中的数据可以判定方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为(　　) x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609 x-2 -1 0 1 2 3 A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 答案：C 解析：设f(x)=ln x-x+2=ln x-(x-2)，易知函数f(x)在(1，+∞)上的图象连续，由表格数据得f(1)>0，f(2)>0，f(3)>0，f(4)<0，f(5)<0，则f(3)·f(4)<0，即在区间(3，4)上，函数f(x)至少存在一个零点，即方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为(3，4).故选C． 2.函数f(x)=5-2x-lg(2x+1)的零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 答案：C 解析：因为函数f(x)=5-2x-lg(2x+1)在上单调递减，且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，所以函数f(x)最多只有一个零点.因为f(0)=5-lg 1=5>0，f(1)=3-lg 3>0，f(2)=1-lg 5>0，f(3)=-1-lg 7<0，f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)=5-2x-lg(2x+1)的零点所在的区间是(2，3).故选C． 3.已知函数f(x)=e-x-2x-5的零点位于区间(m，m+1)(m∈Z)上，则m等于(　　) A．-2 B．-1 C．0 D．1 答案：A 解析：因为函数f(x)=e-x-2x-5是连续减函数，f(-2)=e2-1>0，f(-1)=e-3<0，所以f(-2)·f(-1)<0，函数f(x)=e-x-2x-5的零点位于区间(-2，-1)，即(m，m+1)上，又m∈Z，所以m=-2.故选A． 4.已知x1+=0，x2+log2x2=0，-log2x3=0，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3 C．x1<x3<x2 D．x2<x3<x1 答案：A 解析：设函数f(x)=x+2x，易知f(x)在R上单调递增，f=-，f(0)=1，即f(-1)f(0)<0，由函数零点存在定理可知，-1<x1<0.设函数g(x)=x+log2x，易知g(x)在(0，+∞)上单调递增，g=-，g(1)=1，即gg(1)<0，由函数零点存在定理可知，<x2<1.设函数h(x)=-log2x，易知h(x)在(0，+∞)上单调递减，h(1)=，h=0，因为h(1)>h(x3)，由函数单调性可知，x3>1，即-1<x1<0<x2<1<x3.故选A． 函数零点所在区间的判断方法及适用情形 1.定理法：利用函数零点存在定理进行判断.适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形. 2.图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.适用于容易画出函数图象的情形. 考点二　函数零点个数的判定师生共研 (1)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)(2024·河南郑州模拟)已知定义域为R的偶函数f(x)的图象是连续不断的曲线，且f(x+2)+f(x)=f(1)，对任意的x1，x2∈，x1≠x2，>0恒成立，则f(x)在区间[-2 024，2 024]上的零点个数为　　　　.  答案：(1)C　(2)2 024 解析：(1)当x≤0时，令g(x)=-=0，解得x=1，舍去；当x>0时，令g(x)=|log2x|-=0，解得x=或x=，满足x>0，所以x=或x=.综上，函数g(x)=f(x)-的零点个数为2. (2)令x=-1，得f(1)+f(-1)=f(1)，即f(-1)=0，因为对任意的x1，x2∈[-2，0]，x1≠x2，>0恒成立，所以f(x)在[-2，0]上单调递增.因为f(x)为偶函数，所以f(1)=0，f(x)在(0，2]上单调递减，f(x+2)+f(x)=f(1)=0，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.因为f(x)在一个周期内有两个零点，故f(x)在区间[-2 024，2 024]上的零点个数为1 012×2=2 024. 函数零点个数的判断方法 1.直接法：令f(x)=0，有几个解就有几个零点. 2.定理法：首先确定函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数. 3.图象法：将原函数分成两个函数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 对点练1.(1)已知函数f(x)=则方程f(x)-2|x|=0的解的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)函数f(x)=·cos x的零点个数为　　　　.  答案：(1)C　(2)6 解析：(1)由f(x)-2|x|=0，得f(x)=2|x|，则方程f(x)-2|x|=0的解的个数即函数f(x)的图象与函数y=2|x|的图象的交点个数.作出函数f(x)与函数y=2|x|的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，故方程f(x)-2|x|=0的解的个数为2.故选C． (2)令36-x2≥0，解得-6≤x≤6，所以f(x)的定义域为[-6，6].令f(x)=0得36-x2=0或cos x=0，由36-x2=0得x=±6，由cos x=0得x=+kπ，k∈Z，又x∈[-6，6]，所以x的取值为-，-.故f(x)共有6个零点. 考点三　函数零点的应用多维探究 角度1　根据函数的零点个数求参数的取值范围 (2024·山东济南三模)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为(　　) A．(0，1] B．[0，1] C．(0，1) D．(1，+∞) 答案：A 解析：依题意，函数g(x)=f(x)-b有四个不同的零点，即f(x)=b有四个解，转化为函数y=f(x)与y=b的图象有四个交点，作函数f(x)的图象，如图所示. 结合图象，可知实数b的取值范围为(0，1].故选A． 学生用书⬇第51页 角度2　根据函数的零点范围求参数的取值范围 函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．0<a<3 B．1<a<3 C．1<a<2 D．a≥2 答案：A 解析：因为函数y=2x，y=-在(0，+∞)上单调递增，所以函数f(x)=2x--a在(0，+∞)上单调递增，由函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1，2)内，得f(1)×f(2)=(2-2-a)(4-1-a)=(-a)×(3-a)<0，解得0<a<3.故选A． 角度3　探究函数多个零点(方程根)问题 (多选)(2025·安徽淮北模拟)已知函数f(x)=若f(x)=a有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，且满足x1<x2<x3<x4，则下列结论正确的是(　　) A．0<a<1 B．x1+2x2∈ C．x1+x2+x3+x4∈ D．2x1+x2∈ 答案：ACD 解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)，y=a的图象，如图所示. 由图象知，若f(x)=a有四个不同的实数解，则0<a<1，故A正确；因为|log2x1|=|log2x2|，即-log2x1=log2x2，则=x2，所以x1+2x2=+2x2，1<x2<2，因为y=+2x2在(1，2)上单调递增，所以+2x2∈，故B错误；因为x1+x2=+x2，1<x2<2，y=+x2在(1，2)上单调递增，所以+x2∈，而x3+x4=8，所以x1+x2+x3+x4∈，故C正确；因为2x1+x2=+x2，1<x2<2，y=+x2在(1，)上单调递减，在(，2)上单调递增，则+x2∈，故D正确.故选ACD． 1.利用函数零点求参数范围的方法 2.求函数的多个零点(或方程的根以及直线y=m与函数图象的多个交点横坐标)的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性特征(这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称，直线的对称等). 对点练2.(1)(2024·山东菏泽三模)已知函数f=若曲线y=f与直线y=ax恰有2个公共点，则实数a的取值范围是　　　　　.  (2)(2025·苏北四市联考)已知函数f(x)=若f(x)=m存在四个不相等的实数根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则x4-(x1+x2)x3的最小值是　　　　　.  答案：(1)[-1，2)　(2)2e 解析：(1)当x≤0时，f=x2+2x，其在上单调递减，在上单调递增，且f'=2x+2，则f'(0)=2；当0<x<1时，f=ln，f'=-<0，其在上单调递减，且f'=-1.作出f的图象，如图，易知a的取值范围是. (2)作出函数f(x)=的图象与直线y=m如图所示.因为f(x)=m存在四个不相等的实数根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，所以x1+x2=-2，x3，x4>0，且1-ln x3=-(1-ln x4)，则ln x3+ln x4=2，即ln x3x4=2，得x3x4=e2，则x4-(x1+x2)x3=x4+2x3≥2=2e，当且仅当x4=2x3，即x3=e，x4=e时等号成立.故x4-(x1+x2)x3的最小值是2e. [真题再现]　(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1，1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=(　　) A．-1 B． C．1 D．2 答案：D 解析：由题意知f(x)=g(x)，则a-1=cos x+2ax，即cos x=a-1.令h=cos x-a+1.易知h(x)为偶函数，由题意知h(x)在(-1，1)上有唯一零点，所以h(0)=0，即cos 0-a(0+1)+1=0，得a=2.故选D． [教材呈现]　1.(人教A必修一P156T13)有一道题“若函数f(x)=24ax2+4x-1在区间(-1，1)内恰有一个零点，求实数a的取值范围”，某同学给出了如下解答： 由f(-1)f(1)=(24a-5)(24a+3)<0，解得-<a<. 所以，实数a的取值范围是. 上述解答正确吗?若不正确，请说明理由，并给出正确的解答. 2.(湘教版必修一P136T2)用图象法判定方程log2x=-(x-1)2+2的根的个数. 点评：本题是教材习题的拓展，都考查了已知函数零点求参数(范围)，需适当变形后利用零点存在定理解决问题，是高考试题源于教材的典例. 学科网（北京）股份有限公司 $