第二章 10 培优课2 指、对、幂的大小比较（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（湘教版）

该高中数学高考复习讲义聚焦指数、对数及幂的大小比较这一高考核心考点，按直接法（单调性、中间值、特殊值）、运算性质化简、构造函数法三大技法分层梳理，构建“技法讲解—例题解析—真题演练”的复习体系。通过考点分类突破、解题方法归纳、2024年天津卷等真题精讲，帮助学生系统掌握比较策略，形成针对性解题思路。 资料创新采用“技法角度细分+函数构造建模”教学策略，如角度3通过取特殊值a=4,b=2,c=1/2验证选项，构造函数f(x)=x/(lnx)利用导数判断单调性比较大小，培养学生数学思维与抽象能力。设置基础巩固与真题对点练分层练习，配合即时方法总结，确保学生在有限时间内高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用教学工具。

培优课2　指、对、幂的大小比较 　　指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点之一，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现. 技法一　直接法比较大小 角度1　利用函数的单调性法比较大小 若a=1.53，b=1.52，c=0.82，则(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．b>a>c D．b>c>a 答案：A 解析：函数y=1.5x在R上单调递增，函数y=0.8x在R上单调递减，所以1.53>1.52>1.50=1=0.80>0.82，所以a>b>c.故选A． 角度2　利用中间值法比较大小 设a=2 02，b=log2 025，c=lo2 025，则(　　) A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 答案：D 解析：a=2 02>2 0250=1，0=log2 0251<b=log2 025<log2 0252 025=1，c=lo2 025=-log2 0262 025<0，故c<0<b<1<a.即a>b>c.故选D． 角度3　利用特殊值法比较大小 已知a>b>1，0<c<，则下列结论正确的是(　　) A．ac<bc B．abc<bac C．alogbc<blogac D．logac<logbc 答案：C 解析：取特殊值，令a=4，b=2，c=，则ac=，bc=，所以ac>bc，故A错误；abc=4×=，bac=2×=，所以abc>bac，故B错误；logac=log4=-1，logbc=log2=-2，alogbc=-8，blogac=-2，所以alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误.故选C． 学生用书⬇第44页 在指数、对数中通常可优先选择“-1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1=log22<log23<log24=2，进而可估计log23是一个1~2之间的数，从而便于比较. 对点练1.已知a=1.60.3，b=1.60.8，c=0.70.8，则(　　) A．c<a<b B．a<b<c C．b>c>a D．a>b>c 答案：A 解析：y=1.6x是增函数，故a=1.60.3<b=1.60.8，而1.60.3>1>c=0.70.8，故c<a<b.故选A． 对点练2.(2024·天津卷)若a=4.2-0.3，b=4.20.3，c=log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 答案：B 解析：因为y=4.2x在R上单调递增，且-0.3<0<0.3，所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b，因为y=log4.2x在(0，+∞)上单调递增，且0<0.2<1，所以log4.20.2<log4.21=0，即c<0，所以b>a>c.故选B． 技法二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 (1)(2024·山东临沂模拟)已知a=log34，b=log45，c=log56，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b (2)(2024·河南郑州模拟)已知a=log63，b=log84，c=lg 5，则(　　) A．b<a<c B．c<b<a C．a<c<b D．a<b<c 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)因为a=log34=，b=log45=，c=log56=，所以a-b=-=，因为lg 3lg 5 <=<==，所以-lg 3lg 5>0，lg 3lg 4>0，所以a-b>0，即a>b，同理可证b>c，故a>b>c.故选A． (2)由题意得，a=log63=log6=1-log62=1-，b=log84=log8=1-log82=1-，c=lg 5=lg=1-lg 2=1-，因为函数y=log2x在(0，+∞)上单调递增，所以log26<log28<log210，则>>，所以a<b<c.故选D． 如果两个指数或对数的底数相同，则可通过指数或真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式及性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况. 对点练3.已知a=2100，b=365，c=930，则a，b，c的大小关系是(参考值lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a 答案：B 解析：c=930=360，a=2100⇒lg a=lg 2100=100lg 2≈30.1，b=365⇒lg b=lg 365=65lg 3≈31.011 5，c=930⇒lg c=lg 360=60lg 3≈28.626，所以lg b>lg a>lg c，即b>a>c.故选B． 技法三　构造函数法比较大小 (1)已知a=e，b=3log3e，c=，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<a<b B．a<c<b C．b<c<a D．a<b<c (2)(2024·湖南郴州质量检测)设=log2a，2b=lob，=5，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b<a<c B．c<b<a C．a<b<c D．b<c<a 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)设f(x)=，x≥e，则f'(x)=≥0恒成立，所以函数f(x)在[e，+∞)上单调递增，又a=f，b=3log3e==f(3)，c==f(5)，因为e<3<5，所以f(e)<f(3)<f(5)，所以a<b<c.故选D． (2)构造函数f(x)=log2x-，因为函数y=log2x，y=-在(0，+∞)上均为增函数，所以函数f(x)为(0，+∞)上的增函数，且f(1)=-<0，f(2)=>0，因为f(a)=0，由零点存在定理可知1<a<2；构造函数g(x)=2x-lox，因为函数y=2x，y=-lox在(0，+∞)上均为增函数，所以函数g(x)为(0，+∞)上的增函数，且g=-2<0，g=-1>0，因为g(b)=0，由零点存在定理可知<b<.因为=5，则c=lo5<lo1=0，因此c<b<a.故选B． 某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，但要细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小. 对点练4.(1)设x，y，z为正实数，且log2x=log3y=log5z>1，则的大小关系是(　　) A．<< B．<< C．<< D．== (2)(2024·江西南昌模拟)设a=e1.3-2，b=4-4，c=2ln 1.1，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)由x，y，z为正实数，设log2x=log3y=log5z=k>1，可得x=2k>2，y=3k>3，z=5k>5.所以=2k-1>1，=3k-1>1，=5k-1>1，令f(x)=xk-1，因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(2)<f(3)<f(5)，即<<.故选B． (2)因为=e2.6<e3<33，=28>33，所以e1.3<2，所以a<0；b-c=4-4-2ln 1.1=2(2-2-ln 1.1)，令f(x)=2-2-ln x，所以f'(x)=-=，所以当0<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min=f(1)=0，所以f(1.1)>0，即2-2-ln 1.1>0，所以c<b，又c=2ln 1.1>2ln 1=0，所以a<c<b.故选B． 学科网（北京）股份有限公司 $