课时测评28 极值点偏移问题（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

三学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 对应学生 课时测评28极值点偏移问题用书P365 (时间：60分钟满分：77分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 可综合运用练1一3题，每小题5分，共15分) 1.己知函数x)=x一nx十m(m∈R),若fx)有两个零点x1,x(<x2),则下列选项中不正 确的是() A.m<-1 B.e2=点 C.0<x1<1 D.i1十x2≤2 答案：D 解析：由题意得，=1-= xx>0),令fx)=0,解得x=1.所以当0<x<1时，fx) <0:当x>1时，fx)>0. 故fx)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增.因为函数x)有两个零点x1,2(x< x),所以作出函数x)的大致图象如图所示.故x)mim=1)=1十m<0,即m<一1，且0< x1-Inx1+m=0, <1.故选项A,C正确：由于，为)的两个零点，故有(x2一lnx2十m=0,两式相 减得西一=n品，即e的8=是 x2.故选项B正确；因为m<一1，f2)=2-ln2十m,所以当 m≤一2十ln2时，x2≥2，所以x1十2>2.故选项D不正确.故选D. y↑ 2.关于函数侧一子+n,下列说达错误的是( ) A.x=2是x)的极小值点 B.函数y=fx)一x有且只有1个零点 C.存在正实数k,使得fx)>恒成立 D.对任意两个正实数x1,2,且x>2,若)=)，则x十x2>4 答案：C 2,1=二3 解析：对于A,)的定义域为0，十∞)，f)=-+x=,当0<x<2时，f)<0, 独家授权侵权必究年 三学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当x>2时，fx)>0,所以x=2是fx)的极小值点，故A正确；对于B,令h(x)=y=x) x2-x+2 x,hx)=-2一<0，所以hx在(0，十∞)上单调递减，h(1)=1,h(2)=1n2-1<0,所 以闲有唯一季点，故B正确：对千C,令o的但=京+罗，阳=当 x3.令F(x) =xnx-x+4,F(x)=lnx,当x∈(0,1)时，F'(x)<0,x∈(1，+∞)时，F(x)>0,则Fx) 在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，则F(x)min=F(1)=3>0,所以p'(x)< 0,p(x)在(0，十∞)上单调递减，px)图象恒在x轴上方，与x轴无限接近，故不存在正实 数k使得f)>r恒成立，故C错误：对于D,由A知，x)在(O,2)上单调递减，在(2，十 ∞)上单调递增，对任意正实数x1,,且x1>x2,x)=x2),则0<x2<2<x1,当0<x<2 2-x=二8(x-2) 时，令=一4-，g的=时+4一)-导+4司4-司<0.即8在 (0,2)上单调递减，则gx)>g(2)=0,所以x)=x2)>4-x2),又4-2>2，所以x>4 一x2,即x十x2>4成立，故D正确.故选C. 2 3.(2024浙江名校联考)设x1,2是函数fx)2ax2-e+1(a∈R)的两个极值点，若1≥2， 则a的最小值为 答案：品 解析：因为fx)=ax一e,,x2是f孔x)的两个极值点，所以i,2是ax一e=0的两个实数 根，又当K三0时，方程不成立，由，e购三a两式作商得长=鲁=e网 ,所以 t-1 e2=22= -Int =1-1批 .令≥2，所以x2=-1令h0t-1,≥2，则h0t-1)令， n,≥2，则u0兰<0，所以0在p,十o)止单调道减，所以M0≤M2片 -1-t ln2<0,故h(t)<0,所以h()在[2，+∞)上单调递减.因为当t→+∞时，h(①)0，h(2)= 二e -o ln2,所以∈(0，n2],所以a,x∈(0，ln2l.令p)-云，0<x≤n2,则o =ex-1) <0恒成立，所以在0，n21上单调道减，又p02)=品，当K-0时，p的一 十∞，所以a≥m2,所以a的最小值为n2. ·独家授权侵权必究 之学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3 4.(15分)已知函数x)=x+x+2lnx一a(a∈R)有两个不同的零点，2. (1)求实数a的取值范围；(6分) (2)求证：x2>1.(9分) 3,2=x+3x-1 解：()由题意，)的定义域为(0，+∞)，f)=1-+ ，当x∈(0,1)时， fx)<0,所以x)在(0,1)上单调递减： 当x∈(1，+∞)时，fx)>0,所以fx)在(1，+∞)上单调递增，所以fx)在x=1处取得极 小值，也是最小值， 又x)mim=1)=4一a,所以先保证必要条件1)<0成立，即a>4满足题意 3 3 当a>4时，易知K2a=2a+a+21n(2a)-a=a+2a+21n(2a)>0: 1 月=日+3a-2na-a2+2a-1no>0: 3 由以上可知，当a>4时，fx)=x十x十2lnx一a有两个不同的零点，故实数a的取值范围是 (4,+∞). 2)证明：由题意，假设0<<1<，要证明x>1,即证明>，即证)<日月， 又)=即证<人日，药造西数)=-月>1 -2 g(x)x-2x+4Inx, -2(x-1) 所以g)=x之<0，所以g)在(1，+∞)上单调递减。 g=0,图为6≥1，所以的<0=0.即2月成立，即<得)， 即x2>1. 5.(15分)已知函数fx)=ae+lnx一1(a∈R)恰有两个极值点x,(<),且x1十x2≤2ln 2 3,求的最大值， 解网>0袋题意，))=0. e1-ax1=0,e1=ax1, 则(e2-ax2=0,即(e2=ax2, 两式相除得， e欢~为=2 。2三 五，设近6，则1>1，=，ee-x1=6 Int -(t+1)Int 所以x1t-1,2t-1,所以x1十21 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 =(t+1)Int =t21r 设h()-1(t>1),则h(0e-1), 设0=1--2n>1少，则00=1+点子= t2>0, 所以p()在(1，+∞)上单调递增，则p(0>p(1)=0,所以h()>0,则h()在(1，+∞)上单 调递增， 又x1+x2≤2ln3,即h(0≤2ln3, 因为3)=2n3,所以1,3，即号的最大值为3. 6.(I5分)已知函数=e(e*-ax+a有两个极值点，2 (1)求实数a的取值范围；(6分) (2)求证：2xx2<x+x2.(9分) 解：()因为f=e(e-ax+a,所以f=ee-ar+a+e(e-a=e2e-a. 令fx)=0,则2e=ax.当a=0时，不成立， 当a≠0时，京令的点，则g四学兰 当x<1时，gx)>0,当x>1时，g(x)<0,所以gx)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞) 上单调递减。 又8)，当x一-0时，一-0，当一十0时，=0，所以当0<2<时，阳 有两个极值点， 故所求实数a的取值范围为(2e,十∞). (2)证明：因为g(0)=0,所以由(1)不妨设0<x1<1<2,因为x,2为fx)的极值点， (2ex1=ax1, (In2+x1=Ina+ln x1, 所以(2e=ax2,所以ln2+x为2=lna+lnx2, 所以x2-x=ln2-lnx1, 要证明2xx2<x1十x, 可证明2xxn2-lnx)<号-x好， 丝<丝酒 即证明2lnx1x一x2. 设xt(t>1),即要证明2lnt-t+t<0在t∈(1，十∞)上恒成立， 记0=2h1-1+,1e0,+0),则40号-1- 1 是=4x=-亚 t2 t2,当t>1时， h(t)<0,所以h()在区间(1，十∞)上单调递减， 独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1 所以当t>1时，h(0<h1)=0,即2lnt-t+t<0,即2x<x十x2 @创新拓展练 7.(17分)已知函数x)=x(1一nx. (1)讨论x)的单调性：(5分) 2设a,b为两个不相等的正数，且加ahb=g一-b,证明：2<2+京c2分】 解：()由题意知，)的定义城为0，十，f)=1-1nr十x（一) =-lnx. 当x∈(0,1)时，fx)>0:当x∈(1，+∞)时，fx)<0. 所以函数)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减. (2)证明：由题意，a,b是两个不相等的正数，且blna一alnb=a一b,两边同时除以ab, 得号兽=片即=些，即月=周 由(1)知fx)在(0,1)上单调递增，在(1，+十∞)上单调递减， 且当0<x<e时，f)>0,当x>e时，x)<0, 不妨设x<x2,则0<x<1<x<e. 11 要证2<a+i<e,即证2<x十x<e. 先证x十x2>2: 要证x十x2>2,即证x2>2-x1, 因为0<x<1<x2<e,所以2->1， 又x)在(1，+∞)上单调递减， 所以即证x)<2-), 又x)=x2),所以即证)<2-x),即证当x∈(0,1)时，x)一2-x)<0. 构造函数Fx)=x)-2一x), F(w)=f(x)+f(2-x)=-Inx-In(2-x)=-In[x(2-x)], 当0<x<1时，x(2-x)<1,则-ln[x(2-x]>0,即当0<x<1时，F(x)>0,所以Fx)在 (0,1)上单调递增， 所以当0<x<1时，Fx)<F1)=0, 所以当0<x<1时，x)一2一x)<0成立， 所以x十x2>2成立. 再证x十2<e: 独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 由(1)知，fx)的极大值点为x=1,x)的极大值为1)=1， 过点(0,0)，(1,1)的直线方程为y=x, 设fx)=fx2)=m,当x∈(0,1)时，fx)=x(1-lnx)>x, 直线y=x与直线y=m的交点坐标为(m,m),则x1<m. 欲证x十2<e,即证x+x2<m十2=)十x<e, 即证当l<x<e时，x)十x<e. 构造函数h(x)=fx)十x,则h()=1一lnx, 当1<x<e时，h'(x)>0,所以函数h(x)在(1，e)上单调递增， 所以当1<x<e时，h(x)<h(e)=fe)十e=e,即fx)十x<e成立， 11 所以x1十x2<e成立.综上可知，2<a+b<e成立. ·独家授权侵权必究