课时测评21 导数与函数的单调性（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

课时测评21　导数与函数的单调性 (时间：60分钟　满分：88分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.若函数f(x)x3－x2＋ax＋4的单调递减区间是[－1，4]，则a＝(　　) A.－4 B.－1 C.1 D.4 答案：A 解析：易知f'(x)＝x2－3x＋a，由题意知f'(x)≤0的解集为[－1，4]，则－1与4是方程x2－3x＋a＝0的两个根，故a＝－1×4＝－4.故选A. 2.已知f'(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f'(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案：D 解析：根据导函数的图象可得，当x∈(－∞，0)时，f'(x)＜0，则f(x)单调递减；当x∈(0，2)时，f'(x)＞0，则f(x)单调递增；当x∈(2，＋∞)时，f'(x)＜0，则f(x)单调递减，所以只有D选项符合.故选D. 3.已知函数f(x)ln x，且a＝f，b＝f，c＝f，则(　　) A.a＞b＞c B.c＞a＞b C.a＞c＞b D.c＞b＞a 答案：B 解析：由f(x)ln x，得f'(x)ln x＋，当x∈(0，1)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，因为c＝f，0＜＜1，所以f＞f＞f，故c＞a＞b.故选B. 4.若函数f(x)＝2x2＋ax＋ln x在(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围为(　　) A.(－∞，－4) B.(－∞，－4] C.(－4，＋∞) D.[－4，＋∞) 答案：A 解析：f'(x)＝4x＋a＋，由x＞0，可得f'(x)＝4x＋a＋≥2＋a＝4＋a，当且仅当4x时，等号成立，所以f'(x)的最小值为4＋a.若要函数f(x)＝2x2＋ax＋ln x在(0，＋∞)上不单调，则4＋a＜0，解得a＜－4，则实数a的取值范围为(－∞，－4).故选A. 5.(新定义)(多选)若函数f(x)·ln x在定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的函数为(　　) A.f(x) B.f(x)＝x－1 C.f(x) D.f(x)＝ex 答案：AD 解析：令g(x)＝f(x)·ln x，x∈(0，＋∞).对于A，g(x)·ln x，x∈，则g'(x)＞0恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于B，g(x)＝(x－1)ln x，x∈(0，＋∞)，则g'(x)＝ln x－＋1，又'＋＞0，g'(1)＝0，所以当0＜x＜1时，g'(x)＜0，g(x)在(0，1)上单调递减，当x＞1时，g'(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意；对于C，g(x)·ln x，x∈，则g'(x)，又'＝－－＜0，所以g'(x)在定义域上单调递减，且g'(e)＜0，不符合题意；对于D，g(x)＝ex·ln x，x∈，则g'(x)＝ex·，令h(x)＝ln x＋，则h'(x)－，所以当x＞1时，h'(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增；当0＜x＜1时，h'(x)＜0，h(x)在(0，1)上单调递减.所以h(x)在x＝1处取得极小值，也是最小值，h(x)min＝h(1)＝1＞0，所以g'(x)＝ex·＞0恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意.故选AD. 6.(多选)若函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是(　　) A.－3 B.－1 C.0 D.2 答案：BD 解析：依题意知，f'(x)＝3ax2＋6x－1有两个不相等的零点，故解得a＞－3且a≠0.故选BD. 7.(2024·四川绵阳模拟)设函数f(x)＝aln x＋bx2，若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，则函数f(x)的单调递增区间为　　　　. 答案： 解析：f'(x)＋2bx，由题意得即解得 所以f'(x)＝－＋2x(x＞0)，由f'(x)＞0，得x＞，所以函数y＝f(x)的单调递增区间为. 8.(开放题)已知函数f(x)的定义域为D，给出下列三个条件：①∀x∈D，有f(x)＋f(－x)＝0；②∀x∈D，有f'(x)≤0；③∃x1，x2∈D且x1＜x2，有f(x1)＜f(x2).试写出一个同时满足条件①②③的函数f(x)，则f(x)＝　　　　. 答案：(答案不唯一) 解析：由①可得，f(x)在定义域内为奇函数，由②可得f'(x)≤0恒成立，由③可得f(x)不是在整个定义域上单调递减，故可有f(x). 9.(13分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋1，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间；(8分) (2)若函数f(x)的单调递减区间是，求a的值.(5分) 解：(1)由题意知，f'(x)＝3x2＋2ax＝3x， 当a＝0时，f'(x)＝3x2≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，没有单调递减区间； 当a＞0时，令f'(x)＞0，可得x∈∪(0，＋∞)，令f'(x)＜0，可得x∈， 所以f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，单调递减区间为； 当a＜0时，令f'(x)＞0，可得x∈(－∞，0)∪，令f'(x)＜0，可得x∈， 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，，单调递减区间为. (2)由题意知，f'(x)＝3x2＋2ax＝0的两根为－，0，所以－－，解得a＝1. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(多选)(2025·八省适应性测试)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sin hx，双曲余弦函数cos hx，双曲正切函数tan hx.则(　　) A.双曲正弦函数是增函数 B.双曲余弦函数是增函数 C.双曲正切函数是增函数 D.tan h 答案：ACD 解析：对于A，令fsin hx，则f'(x)＞0恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；对于B，令gcos hx，则g'，由选项A知，g'为增函数，又g'0，故当x∈时，g'＜0，当x∈时，g'＞0，故g在上单调递减，在上单调递增，故B错误；对于C，tan hx1－，由y＝e2x＋1在R上单调递增，且y＝e2x＋1＞1，故tan hx＝1－是增函数，故C正确；对于D，由C知tan hx，则tan h， ， 故tan h，故D正确.故选ACD. 11.(2023·全国乙卷)设a∈(0，1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是　　　　. 答案： 解析：由函数的解析式可得f'(x)＝axln a＋(1＋a)xln(1＋a)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立， 则(1＋a)xln(1＋a)≥－axln a，即()x≥－在区间(0，＋∞)上恒成立，故()0＝1≥－，而1＋a∈(1，2)，故ln(1＋a)＞0，故即故≤a＜1，所以实数a的取值范围是. 12.(15分)已知函数f(x)＝ax－(a＋1)ln x－，讨论函数f(x)的单调性. 解：因为f(x)＝ax－(a＋1)ln x－，所以f'(x)＝a－＋，x＞0. 当a≤0时，令f'(x)＞0，得0＜x＜1，令f'(x)＜0，得x＞1， 所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0＜a＜1时，令f'(x)＞0，得0＜x＜1或x＞，令f'(x)＜0，得1＜x＜， 所以f(x)在(0，1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当a＝1时，f'(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞1时，令f'(x)＞0，得0＜x＜或x＞1，令f'(x)＜0，得＜x＜1， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增. 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0＜a＜1时，f(x)在(0，1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞1时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增. (13、14题，每小题5分，共10分) 13.(2025·江苏南京六校联考)已知a，b＝ln ，c＝tan ，则(　　) A.b＜a＜c B.c＜b＜a C.a＜c＜b D.c＜a＜b 答案：A 解析：因为b＝ln ln ，所以b－a＝ln －，设fln－x(0＜x＜1)，则f'－1＝－＜0，所以f在上单调递减，所以f＜f0，即ln，所以b＜a；令g(x)＝tan x－x(0＜x＜1)，则g'(x)－1＞0，所以g(x)在(0，1)上单调递增，所以g＞g(0)＝0，即tan，则c＞a，综上所述：b＜a＜c.故选A. 14.(2025·湖南怀化模拟)已知函数f(x)＋x＋sin x－1，若f(a－1)＋f(2a2)≤－2，则实数a的取值范围是(　　) A. B.∪ C. D.∪ 答案：A 解析：令h(x)＝f(x)＋1＋x＋sin x，因为h－x－sin x－x－sin x＝－－x－sin x＝－h(x)，所以h(x)为奇函数，原不等式化为f(2a2)＋1≤－f(a－1)－1，即h(2a2)≤－h(a－1)，即h(2a2)≤h(1－a).h(x)＋x＋sin x＋x＋sin x＝1－＋x＋sin x，因为y＝3x为增函数，所以y为减函数，所以y＝－为增函数，又因为y＝x＋sin x，y'＝1＋cos x≥0，所以y＝x＋sin x为增函数，所以h(x)在x∈R上单调递增，所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，解得a∈.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $