第一章 6 第五节 第1课时 二次函数及其性质（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学高考复习资料聚焦二次函数及其性质核心考点，按解析式三种形式、图象性质、闭区间最值的逻辑架构梳理知识，通过课标研读明确考求，自主检测夯实基础，考点分析（含解析式求法、图象识别、性质应用）结合典例与变式，辅以真题训练，帮助学生构建知识网络，突破难点。 资料采用一题多解（如解析式求法）、一题多变（如最值分类讨论）策略，结合师生共研与自主练透，培养学生数学思维与模型意识。通过闭区间最值分类策略、图象特征分析等实例，帮助学生快速掌握解题方法，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第五节　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数及其性质 【课标研读】　1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.　2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. 2.二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0) y＝ax2＋bx＋c (a＜0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在［－，＋∞)上单调递减 【常用结论】 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n]. (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n). (2)当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n). (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m). (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). 【自主检测】 1.(多选)下列说法不正确的是(　　 ) A.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0 B.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定 C.二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是 D.二次函数y＝ax2＋bx＋c在(－∞，－］上单调递减，在［－，＋∞)上单调递增 答案：BCD 2.已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2，2)，则函数f(x)的值域为(　　) A.(2，10) B.[1，2) C.[2，10] D.[1，10) 答案：D 解析：当x∈(－2，2)时，－3＜x－1＜1，则f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1∈[1，10).故选D. 3.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) 答案：D 解析：由a＞b＞c且a＋b＋c＝0，得a＞0，c＜0，所以函数f(x)是二次函数，图象开口向上，排除A、C；又f(0)＝c＜0，所以排除B；只有D符合.故选D. 4.已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为　　　　　　. 答案：f(x)＝x2－4x 解析：由题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a＞0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x. 考点一　二次函数的解析式　　　　　自主练透 1.(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝　　　　　　　　. 答案：－4x2＋4x＋7 解析：法一(利用“一般式”)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用“顶点式”)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x，所以m.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用“零点式”)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即8，解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 2.已知函数f是二次函数，且f1，f(x＋1)－f2x，则f　　　　　　. 答案：x2－x＋1 解析：因为f1，y＝f是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，又因为f－f2x，所以a＋b＋1－2ax＋a＋b＝2x，所以2a＝2，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1. 3.已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为　　　　　　　　　　　　. 答案：yx2＋x－或y＝－x2－x＋ 解析：因为二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开得，y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为－4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，所以｜－4a｜＝2，即a＝±，所以二次函数的解析式为yx2＋x－或y＝－x2－x＋. 求二次函数解析式的方法 　　 考点二　二次函数的图象　　　　　师生共研 (多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x＝－.则下列结论正确的是(　　) A.abc＜0 B.b＜a＋c C.3b＜－4c D.当x＞－时，y随x的增大而增大 答案：ACD 解析：由二次函数图象和性质可得a＞0，c＜0，因为－－，所以a＝b＞0，所以abc＜0，故A正确；由图象可知当x＝－1时，函数值小于0，即a－b＋c＜0，所以b＞a＋c，故B错误；由图象可知x＝1时，函数值小于0，即a＋b＋c＜0，因为a＝b，所以2b＋c＜0，即2b＜－c，所以8b＜－4c，因为b＞0，所以3b＜8b，所以3b＜－4c，故C正确；根据函数图象可知，函数在对称轴的右侧y随x的增大而增大，因为二次函数的对称轴为x＝－，所以当x＞－时，y随x的增大而增大，故D正确.故选ACD. 　　研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. 　　 对点练1.(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.2a＋b＝0 B.4a＋2b＋c＜0 C.9a＋3b＋c＜0 D.abc＜0 答案：ACD 解析：由二次函数图象开口向下知a＜0，对称轴为x＝－1，即2a＋b＝0，故b＞0.又因为f(0)＝c＞0，所以abc＜0，f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c＞0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c＜0.故选ACD. 考点三　二次函数的性质　　　　　师生共研 (一题多变)已知函数f(x)＝x2－tx－1. (1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围； (2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t). 解：f(x)＝x2－tx－1－1－. (1)依题意，－1＜＜2，解得－2＜t＜4， 所以实数t的取值范围是(－2，4). (2)①当≥2，即t≥4时， f(x)在[－1，2]上单调递减， 所以f(x)min＝f(2)＝3－2t； ②当－1＜＜2，即－2＜t＜4时，f(x)min＝f－1－； ③当≤－1，即t≤－2时，f(x)在[－1，2]上单调递增， 所以f(x)min＝f(－1)＝t. 综上，g(t) [变式探究] (变结论)本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值G(t). 解：f(－1)＝t，f(2)＝3－2t， f(2)－f(－1)＝3－3t， 当t≥1时，f(2)－f(－1)≤0，所以f(2)≤f(－1)，所以f(x)max＝f(－1)＝t； 当t＜1时，f(2)－f(－1)＞0，所以f(2)＞f(－1)，所以f(x)max＝f(2)＝3－2t. 综上，G(t) 二次函数最值问题的类型及求解策略 1.类型：(1)对称轴、区间都是固定的；(2)对称轴变动、区间固定；(3)对称轴固定、区间变动. 2.解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思路即可完成. 　　 对点练2.已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值. 解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， 函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]， 所以f(x)min＝f－－3＝－， f(x)max＝f(3)＝15， 所以函数f(x)的值域为. (2)函数图象的对称轴为直线x＝－. ①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3， 所以6a＋3＝1，即a＝－，满足题意； ②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， 所以－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意. 综上可知，a＝－或－1. [真题再现]　(2024·北京卷)已知M＝{(x，y)｜y＝x＋t(x2－x)，1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集.设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则(　　) A.d＝3，S＜1 B.d＝3，S＞1 C.d，S＜1 D.d，S＞1 答案：C 解析：对任意给定x∈，则x2－x＝x≥0，且t∈，可知x≤x＋t≤x＋x2－x＝x2，即x≤y≤x2，所以所求集合表示的图形即为平面区域如图中阴影部分所示，其中A，B，C，可知任意两点间距离最大值d；阴影部分面积S＜S△ABC×1×2＝1.故选C. [教材呈现]　(人教A必修一P53例4)一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系：y＝－20x2＋2 200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 点评：数形结合是以形助数，见数想图，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解. 学科网（北京）股份有限公司 $