第一章 3 第三节 等式性质与不等式性质（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学讲义紧扣等式性质与不等式性质高考核心考点，按“比较大小方法—等式性质—不等式性质”逻辑梳理知识，结合常用结论构建体系。通过课标研读明确要求，自主检测诊断学情，分考点实施自主练透、师生共研与方法指导，帮助学生系统突破难点。 资料采用分层教学策略，如考点三用待定系数法建立整体关系求范围，培养数学思维与推理能力。设置基础检测、典例精讲、分层对点练三级训练，配合方法总结与即时反馈，确保高效复习。助力学生提升应考技能，为教师把控复习节奏提供实用指导。

第三节　等式性质与不等式性质 【课标研读】　1.梳理等式的性质.　2.会比较两个数(式)的大小.　3.理解不等式的概念，掌握不等式的性质，并能简单应用. 1.两个实数比较大小的方法 2.等式的性质 性质 内容 注意 性质1(对称性) 如果a＝b，那么b＝a 可逆 性质2(传递性) 如果a＝b，b＝c，那么a＝c 单向 性质3 (可加(减)性) 如果a＝b，那么a±c＝b±c 可逆 性质4(可乘性) 如果a＝b，那么ac＝bc 单向 性质5(可除性) 如果a＝b，c≠0，那么 可逆 3.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a＞b⇔b＜a 可逆 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c 同向 可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c 可逆 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc； a＞b，c＜0⇒ac＜bc c的符号 同向 可加性 a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d 同向 同向同正 可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd 同向， 同正 可乘方性 a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2) 同正 可开方性 a＞b＞0⇒(n∈N，n≥2) 同正 【常用结论】 (1)倒数性质 若ab＞0，且a＞b⇔； 若ab＜0，且a＞b⇔； 若a＞b＞0，0＜c＜d⇒. (2)有关分数的性质 若b＞a＞0，m＞0，则 ①(a－m＞0)(真分数越加越大，越减越小)； ②(a－m＞0)(假分数越加越小，越减越大). 【自主检测】 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种 B.若＞1，则a＞b C.同向不等式具有可加性和可乘性 D.两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母 答案：AD 2.(链接人教A必修一P38例1)若M＝(x－3)2，N＝(x－2)(x－4)，则有(　　) A.M ＞N B.M ≥N C.M＜N D.M≤N 答案：A 解析：因为M－N＝(x－3)2－(x－2)(x－4)＝1＞0，所以M ＞N.故选A. 3.(链接人教A必修一P43T8)如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是(　　) A. B.ab＜b2 C.ab＞a2 D.－＜－ 答案：D 解析：因为a＜b＜0，由不等式的性质可知，－a＞－b＞0，ab＞0，所以－＜－，所以，故A错误，D正确；由a＜b＜0，可得ab＞b2＞0，a2＞ab＞0，故B、C错误.故选D. 4.实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是(　　) A.＜1 B.2－x＜2－y C.lg(x－y)＞0 D.x2＞y2 答案：B 考点一　数(式)的大小比较　　　　自主练透 1.已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为(　　) A.M＜N B.M ＞N C.M≤N D.M ≥N 答案：B 解析：因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4＞0，所以M ＞N.故选B. 2.设a，b∈[0，＋∞)，A＋，B，则A，B的大小关系是(　　) A.A≤B B.A≥B C.A＜B D.A＞B 答案：B 解析：由题意得，B2－A2＝－2≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B.故选B. 3.若a，b，则a　　　　b.(填“＞”或“＜”) 答案：＜ 解析：法一：易知a，b都是正数，log89＞1，故a＜b. 法二：令f(x)，所以f'，当x∈(e，＋∞)时，f'(x)＜0，所以f(x)在(e，＋∞)上单调递减， 所以f(4)＜f(3)，即，故a＜b. 数(式)比较大小的常用方法 1.作差法：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)得出结论. 2.作商法：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小关系；(4)得出结论. 3.构造函数法：利用函数的单调性比较大小. 　　 考点二　不等式的性质　　　　师生共研 (1)若a，b，c为实数，且a＜b，c＞0，则下列不等关系一定成立的是(　　) A.a＋c＜b＋c B. C.ac＞bc D.b－a＞c (2)(多选)已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是(　　) A. B.a－c＞2b C.a2＞b2 D.ab＋bc＞0 答案：(1)A　(2)BC 解析：(1)对于A，由不等式的性质知，a＜b⇒a＋c＜b＋c，故A正确；对于B，若a＝－2，b＝－1，则，故B错误；对于C，由不等式的性质知，c＞0，a＜b⇒ac＜bc，故C错误；对于D，a＜b⇒b－a＞0，又c＞0，所以无法判断b－a与c的大小，故D错误.故选A. (2)对于A，因为a＞b＞c，所以a－c＞b－c＞0，所以，故A错误；对于B，因为a＞b＞c，a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，a－b＞0，所以b＋c＝－a＜0，所以a－b＞b＋c，即a－c＞2b，故B正确；对于C，因为a－b＞0，a＋b＝－c＞0，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)＞0，即a2＞b2，故C正确；对于D，ab＋bc＝b(a＋c)＝－b2≤0，故D错误.故选BC. 判断不等式的常用方法 1.利用不等式的性质逐个验证. 2.利用特殊值法排除错误选项. 3.作差法. 4.构造函数，利用函数的单调性验证. 对点练1.若a＞0＞b，则(　　) A.a3＞b3 B.｜a｜＞｜b｜ C. D.ln(a－b)＞0 答案：A 解析：因为a＞0＞b，所以a3＞0，b3＜0，即a3＞b3，故A正确；取a＝1，b＝－2，则｜a｜＞｜b｜不成立，不成立，故B，C错误；取a，b＝－，则ln(a－b)＝ln 1＝0，故D错误.故选A. 对点练2.(多选)若＜0，则下列不等式正确的是(　　 ) A. B.｜a｜＋b＞0 C.a－＞b－ D.ln a2＞ln b2 答案：AC 解析：由＜0，可知b＜a＜0.对于A，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0，则，故A正确；对于B，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0，故－b＞｜a｜，即｜a｜＋b＜0，故B错误；对于C，因为b＜a＜0，又＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故C正确；对于D，因为b＜a＜0，所以b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2＞ln a2，故D错误.故选AC. 考点三　不等式性质的综合应用　　　　师生共研 (1)(一题多变)已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则x－y的取值范围是　　　　，3x＋2y的取值范围是　　　　. (2)已知3＜a＜8，4＜b＜9，则的取值范围是　　　　　　　. 答案：(1)(－4，2)　(1，18)　(2)(，2) 解析：(1)因为－1＜x＜4，2＜y＜3，所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2.由－1＜x＜4，2＜y＜3，得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，所以1＜3x＋2y＜18. (2)因为4＜b＜9，所以，又3＜a＜8，所以×3＜×8，即＜2. [变式探究] (变条件)若将本例(1)中条件改为“－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3”，求3x＋2y的取值范围. 解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则所以即3x＋2y(x＋y)＋(x－y)，又因为－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3， 所以－(x＋y)＜10，1＜(x－y)＜， 所以－(x＋y)＋(x－y)＜，即－＜3x＋2y＜，所以3x＋2y的取值范围为(－，). 根据不等式的性质求取值范围的策略 1.严格运用不等式的性质，注意其成立的条件. 2.同向不等式的两边可以相加，如果在解题过程中多次使用这种转化，就会扩大其取值范围. 3.运用待定系数法建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系，最后一次性运用不等式的性质求得取值范围. 　　 对点练3.已知0＜β＜α＜，则α－β的取值范围是　　　　. 答案：( 0，) 解析：因为0＜β＜，所以－＜－β＜0，又0＜α＜，所以－＜α－β＜，又β＜α，所以α－β＞0，即0＜α－β＜，即α－β的取值范围为(0，). 对点练4.已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是　　　　. 答案：(－3，－1) 解析：因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c.因为a＞b＞c，所以－2a－c＜a，即3a＞－c，解得＞－3，将b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即c＜－a，得＜－1，所以－3＜＜－1，即的取值范围为(－3，－1). 学科网（北京）股份有限公司 $