3.1 椭圆 过关检测-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1椭圆过关检测卷 （2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第一册第三章（2019）人教A版） 一、单选题 1．已知定点，平面上满足下列条件的动点的轨迹是椭圆的是（    ） A． B． C． D． 2．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 5．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知点，点P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线与CP相交于点Q，则面积的最大值为（    ） A． B． C．8 D． 8．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若椭圆上的一个焦点坐标为，点P为椭圆上一动点，则下列结论中正确的是（   ） A．C的短轴长 B．点在椭圆上 C．C的离心率为 D． 10．已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（    ） A．的最大值为5 B． C．存在点，使 D．的最大值为 11．已知椭圆，直线.则（    ） A．当时，直线与椭圆有两个公共点 B．当时，椭圆上到直线的距离为3的点恰有4个 C．当时，椭圆上的点到直线的最短距离小于1 D．当直线与椭圆相交时，直线被椭圆截得的线段的中点可能为 三、填空题 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上．若，则的面积为 ． 13．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围是 14.若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 . 四、解答题 15．设椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标． 16．已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 17．已知的周长为18，，． (1)求顶点的轨迹的标准方程； (2)当时，求点的纵坐标． 18．已知椭圆与动直线相交于两点． (1)求实数的取值范围； (2)设弦的中点为，求动点的轨迹方程． 19.已知椭圆经过点，且离心率为．为椭圆的左焦点，点为直线上的一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，连接． （1）求椭圆E的方程； （2）求证：直线过定点，并求出定点的坐标； （3）记的面积分别为和，当取最大值时，求直线的方程． 解析 一、单选题 1．已知定点，平面上满足下列条件的动点的轨迹是椭圆的是（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：根据椭圆的定义可得答案 解析：之间的距离， 根据椭圆的定义， 对于A，不满足椭圆的定义，无轨迹，A错误； 对于B，，轨迹是线段，不是椭圆，B错误； 对于C，符合椭圆的定义，轨迹是椭圆，C正确； 对于D，这不是距离之和的条件，不直接符合椭圆的定义，实际上，这描述的轨迹不是椭圆.轨迹是以原点为圆心的圆（如图），D错误.    故选：C 2．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 答案：D 分析：利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程. 解析：圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 故选：D 3．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 答案：D 分析：根据题意可知，可得，然后可求. 解析：，， 又椭圆，则， . 故选：D. 4．已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 答案：C 分析：设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 解析：设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值，所以， 故选：C. 5．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 答案：A 分析：由题意，设椭圆方程为，且，将点代入即可求解. 解析：法1：椭圆化成标准形式为，焦点坐标为：，，， 所求椭圆的焦点与椭圆有相同的焦点，设椭圆方程为，且， 由题意得： 解得：，，所求椭圆的标准方程为. 故选：A 法2:椭圆化成标准形式为，故所求椭圆方程可设为： 因为椭圆过点，所以有： 化简得：, 所求椭圆的标准方程为. 故选：A 6．已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 答案：C 分析：先据题意写出直线的方程，进而点到直线的距离化简并转化离心率的表达式，从而解方程可得结果. 解析：设椭圆上顶点的坐标，右顶点的坐标，左焦点，    则直线的方程为，即， 由到直线AB的距离为b，得， 又，化简得，即， 所以，解得或（舍去）． 故椭圆E的离心率为.故选：C 7．已知点，点P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线与CP相交于点Q，则面积的最大值为（    ） A． B． C．8 D． 答案：B 分析：根据已知得Q点轨迹是椭圆，结合面积为及椭圆的性质求面积的最大值. 解析：如图，Q是线段AP的垂直平分线上的点，则， 则，所以Q点轨迹是以，为焦点的椭圆， 设其标准方程为，其中，则，标准方程为， 面积为，显然，当时，最大， 则面积的最大值为. 故选：B 8．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：D 分析：设，，在中，通过椭圆的定义，余弦定理以及，得到关于，，，的等式，再通过基本不等式进行求解即可. 解析：法1：在中，设，，则，如图：    根据余弦定理，得，配方得：， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，即，故，解得. 故选：D 法2：依题意：椭圆上存在一点，使得，据椭圆的性质当为椭圆的上（或下）顶点时最大，所以只要即可。故, ,即 又 .故选：D 二、多选题 9．若椭圆上的一个焦点坐标为，点P为椭圆上一动点，则下列结论中正确的是（   ） A．C的短轴长 B．点在椭圆上 C．C的离心率为 D． 答案：AB 分析：由椭圆关系得到椭圆方程，再由椭圆的性质逐项判断可得. 解析：因为焦点坐标为，所以，解得或， 所以椭圆C的方程为； 短轴长为； 代入椭圆方程可得点在椭圆上； 离心率； 焦半径． 故选：AB． 10．已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（    ） A．的最大值为5 B． C．存在点，使 D．的最大值为 答案：BD 分析：设，则，进而根据两点之间的距离公式和二次函数性质求解判断A；根据椭圆定义判断B；根据为短轴端点时，判断C；根据，，三点共线时，有最大值判断D. 解析：对于A选项，设，则，即， 所以， 又，所以当时，，故A错误， 对于B选项，由椭圆定义，，故B正确 对于C选项，当为短轴端点时， ，，，故，进而，故C错误， 对于D选项，，当，，三点共线时，有最大值，故D正确. 故选：BD 11．已知椭圆，直线.则（    ） A．当时，直线与椭圆有两个公共点 B．当时，椭圆上到直线的距离为3的点恰有4个 C．当时，椭圆上的点到直线的最短距离小于1 D．当直线与椭圆相交时，直线被椭圆截得的线段的中点可能为 答案：AD 分析：联立，利用判别式大于0可求出，即可判断A；求出和直线平行且与椭圆相切的直线方程，结合计算两平行线间的距离，可判断BC；结合A的分析，利用根与系数的关系求解参数c的值，可判断D. 解析：对于A，联立，得， 令，得，此时直线与椭圆有两个公共点， 由于当时，必有， 故当时，直线与椭圆有两个公共点，A正确； 对于B，当时，直线, 设和直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立，得， 令，解得， 不妨取，求其和之间的距离：，而， 故此时椭圆上不存在到直线的距离为3的点，B错误； 对于C，当时，直线， 结合A的分析可知此时直线和椭圆没有公共点； 结合B的分析可知和直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 显然和之间的距离较小； 计算和之间的距离为， 故此时椭圆上的点到直线的最短距离大于1，C错误； 对于D，当直线与椭圆相交时，设两交点为， 结合A的分析可知， 令，则，满足，此时的中点为， 故直线被椭圆截得的线段的中点可能为，D正确，故选：AD 三、填空题 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上．若，则的面积为 ． 答案：4 分析：根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解． 解析：如图所示，椭圆，可得，，则，因为点P在椭圆C上，可得，又由，可得．联立方程组，可得，所以的面积为． 故答案为：4. 13．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围是 答案： 分析：根据椭圆的性质，只需保证为椭圆上下顶点时即可，应用余弦定理列不等式，结合椭圆离心率范围求离心率取值范围. 解析：由椭圆性质知：当为椭圆上下顶点时最大，所以椭圆上存在点使， 只需最大的情况下，有， 又椭圆离心率，故. 故答案为： 14.若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 . 答案： 分析：先求得切线的方程，从而求得两点的坐标，进而求得直线的方程，求得右焦点和上顶点的坐标，进而求得. 解析：①当直线l与x轴垂直时，k不存在，直线方程为，恰好与圆相切于点； ②当直线与x轴不垂直时， 设过点的圆的切线为l：，即， 原点到直线l的距离为：，解之得，此时直线l的方程为， ，所以与圆相切于点； 因此，直线斜率为，直线AB方程为， ∴直线交轴于点，交轴于点． 即椭圆的右焦点为，上顶点为， ∴，可得，椭圆方程为.故答案为： 四、解答题 15．设椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标． 分析：（1）根据给定的条件，将两个点的坐标代入椭圆方程，解方程组作答. （2）求出直线的方程，再与椭圆方程联立，借助根与系数的关系求解作答. 解析：（1）因椭圆过点， 则有，解得， 所以椭圆C的标准方程为：； （2）依题意，直线的方程为：，由消去y并整理得：， 显然，设，则， 因此线段中点的横坐标，其纵坐标， 所以线段中点的坐标为.    16．已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 分析：（1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到，再根据求解即可. 解析：（1）由题可知，，，又，且，解得，， 则椭圆的方程为. （2）法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意. ②当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得，， 设，则. 由题意，，即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意. ②当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立，得，， 设，则， 由，得，即，解得. 故直线的方程为或. 17．已知的周长为18，，． (1)求顶点的轨迹的标准方程； (2)当时，求点的纵坐标． 分析：（1）根据周长可得动点满足的几何性质，根据椭圆的定义可得动点的轨迹方程； （2）设点， 可得，与椭圆方程联立可得答案. 解析：（1）设，易得，则， 由椭圆定义可得点的轨迹是以，为焦点的椭圆（不含轴上两点）， 且，，所以，，，所以所求轨迹方程为． （2）当动点满足时，可得在以为直径的圆上， 所以该圆圆心为，半径为，即圆的方程为， 设点， 可得，又点在椭圆上，所以， 即，解得，，则的纵坐标为．      18．已知椭圆与动直线相交于两点． (1)求实数的取值范围； (2)设弦的中点为，求动点的轨迹方程． 分析：（1）联立直线与椭圆方程组，然后化简，使得判别式大于零，进而求得的范围. （2）解法一：根据中点横坐标和纵坐标，可求出轨迹方程；解法二：利用点差法，将点的坐标代入椭圆方程，两式相减并化简，可求出轨迹方程. 解析：（1）联立直线与椭圆方程得消去得（*），则，解得，故实数的取值范围是． （2）解法一：参数法 设弦的中点，，，由（1）中（*）式可得 消去可得，注意由的取值范围可得． 所以动点的轨迹方程为． 解法二：点差法． 设，，，则，． 由点在椭圆上得，，两式相减得， 即，，即， 即．要保证弦存在，需限制为椭圆的范围， 由（1）中的取值范围可知，则动点的轨迹方程为． 19.已知椭圆经过点，且离心率为．为椭圆的左焦点，点为直线上的一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，连接． （1）求椭圆E的方程； （2）求证：直线过定点，并求出定点的坐标； （3）记的面积分别为和，当取最大值时，求直线的方程． 分析：（1）根据椭圆上的点和离心率可求得椭圆方程； （2）根据（1）所求E的方程得到两条切线的方程，进而可确定直线方程，由此可得定点； （3）将问题转化为最大值的求解，分别讨论和的情况，结合基本不等式取等条件可确定取得最大值时，直线的方程. 解析：（1）由题意得：，，又，，，， 椭圆， （2） 设，则直线，直线， ，两点坐标满足方程：， 即直线方程为：，又，直线方程为：， 当时，，直线恒过定点. （3）由题意知：直线斜率不为，设直线，，， 由得：，， 又，，； 当时，； 当时，（当且仅当，即时取等号）； 综上所述：的最大值为，此时直线方程为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $