3.4 函数的应用（一）（第2课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数模型的应用，涵盖一次、二次、幂函数及分段函数模型。通过复习函数性质导入，结合例题解析与探究活动，搭建从函数理论到实际问题的学习支架，帮助学生建立数学模型与现实问题的联系。 其亮点在于结合报刊亭利润、车管站保管费等生活实例，以“问题情境-建模求解-探究总结”流程，培养数学眼光、数学思维与数学语言。采用例题解析与巩固训练结合的教学方法，学生提升实际问题建模能力，教师可高效开展应用教学。

3.4 函数的应用（一） 第2课时 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 题型一 ——一次函数模型 例1　某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得利润最大，每月最多可获利多少元？ 【解析】　设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N*)份报纸，每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份，每月退回报社的报纸共10×(x－250)份， 依题意得y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)， 即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)， 化简得y＝1.6x＋800(250≤x≤400，x∈N*). ∵此函数为一次函数，且1.6>0， ∴此函数是一个增函数，由250≤x≤400知当x＝400时，y取得最大值，此时y＝1.6×400＋800＝1 440. ∴每天买进400份报纸时每月获利最大，最多可获利1 440元. 探究1 一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么”的原则来处理，求解过程也较简单. 巩固训练 车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元.设自行车停放的辆次为x，总的保管费收入为y元. (1)试写出y关于x的函数关系式； 【解析】　(1)由题意得y＝0.3x＋0.5(3 500－x)＝－0.2x＋1 750(x∈N且0≤x≤3 500). (2)若某个星期日前来停放的3 500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日总的保管费的取值范围. 【解析】　(2)若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%， 则3 500×(1－40%)≤x≤3 500×(1－25%)， 即2 100≤x≤2 625. ∵函数y＝－0.2x＋1 750为一次函数，且－0.2＜0，∴该函数是减函数， ∴函数y＝－0.2x＋1 750(2 100≤x≤2 625，x∈N)的值域是[1 225，1 330]，即该车管站这个星期日总的保管费的取值范围是[1 225，1 330]. 题型二 ——二次函数模型 如图所示，有一块矩形空地ABCD，要在这块 空地上开辟一个内接四边形绿地(图中四边形EFGH)，使 其四个顶点分别落在矩形的四条边上.已知AB＝a(a>2)， BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝x，绿地面积为 y，若2<a<6，则当AE＝________时，绿地面积y最大.(用含a的式子作答) 探究2 形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数模型是二次函数模型.二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题. 利用二次函数模型解题时需注意以下几点： (1)二次函数与一元二次方程之间密切相关,解题时要注意利用题中的约束条件,如对自变量的限制、对图象与x轴交点位置的限制等. (2)要抓住已知的条件和函数具有的性质结合实际求解. (3)结合二次函数的对称性与单调性进行分析. 巩固训练 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边 角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边 角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的 矩形面积S最大时，矩形两边长x，y应满足(　　) A.x＝15，y＝12　　　 B.x＝12，y＝15 C.x＝14，y＝10 D.x＝10，y＝14 √ 题型三 ——幂函数模型 例3　某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元. (1)分别写出两类产品的收益(万元)与投资额x(万元)的函数关系式； (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益？最大收益是多少万元？ 探究3 常用幂函数模型有两个：y＝kxn(k，n是常数)，y＝a(1＋x)n(a，n是常数). 巩固训练 √ 题型四 ——分段函数模型 例4　提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v(x)(单位：km/h)是车流密度x(单位：辆/km)的函数，当桥上的车流密度达到180辆/km时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/km时，车流速度为50 km/h，研究表明：当30≤x≤180时，车流速度v(x)是车流密度x的一次函数. (1)当0≤x≤180时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/h)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值. 探究4 用有关的函数知识建立数学模型，难点是理解题意，把实际问题数学化，建立数学模型一定要过好三关： (1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口. (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数量关系. (3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型. 巩固训练 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x(单位：元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(单位：元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得). (1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域； 【解析】　(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x>2.3. ∵x∈N*，∴x≥3，∴3≤x≤6，x∈N*. 当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115， 令[50－3(x－6)]x－115>0，得3x2－68x＋115<0， 上述不等式的整数解为2≤x≤20(x∈N*)， 所以6<x≤20(x∈N*)， (2)当每辆自行车的日租金为多少元时，一日的净收入最多？ 随堂训练 2.某市原来民用电价为0.52元/千瓦时，换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/千瓦时，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/千瓦时.对于一个平均每月用电量为200千瓦时的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少？ 解析　原来每月电费y1＝0.52×200＝104(元). 设这个家庭每月在峰时段的平均用电量为x千瓦时，总电费为y元. 则y＝x×0.55＋(200－x)×0.35≤0.9y1， 即0.55x＋70－0.35x≤93.6， 则0.2x≤23.6，x≤118. 则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118千瓦时. 感谢观看与聆听 THANKS eq \f(a＋2,4) 【解析】　∵S△AEH＝S△CFG＝eq \f(1,2)x2，S△BEF＝S△DGH＝eq \f(1,2)(a－x)(2－x)，∴y＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BEF＝2a－x2－(a－x)(2－x)＝－2x2＋(a＋2)x，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,a－x>0，,2－x>0，,2<a<6，))得0<x<2，∴y＝－2x2＋(a＋2)x，x∈(0，2).∵2<a<6，∴1<eq \f(a＋2,4)<2，∴当x＝eq \f(a＋2,4)时，y取得最大值，最大值为eq \f((a＋2)2,8). 【解析】　在直角梯形ABCD中，过点D向BC作垂线，垂足为H，则△CDH∽△CFG，则eq \f(24－y,24－8)＝eq \f(x,20)，得x＝eq \f(5,4)(24－y)，由0<x≤20，得8≤y<24，∴S＝xy＝－eq \f(5,4)(y－12)2＋180，∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.故选A. 【解析】　(1)设稳健型与风险型产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2eq \r(x)(x≥0)，结合已知得f(1)＝eq \f(1,8)＝k1，g(1)＝eq \f(1,2)＝k2， 所以f(x)＝eq \f(1,8)x(x≥0)，g(x)＝eq \f(1,2) eq \r(x)(x≥0). 【解析】　(2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20－x)万元， 依题意得获得的收益为y＝f(x)＋g(20－x)＝eq \f(x,8)＋eq \f(1,2) eq \r(20－x)(0≤x≤20)， 令t＝eq \r(20－x)，则0≤t≤2eq \r(5)，x＝20－t2， 所以y＝eq \f(20－t2,8)＋eq \f(t,2)＝－eq \f(1,8)(t－2)2＋3， 所以当t＝2，即x＝16时，y取得最大值，ymax＝3. 故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元. 某重装企业的装配分厂举行装配工人技术比赛，根据以往技术资料统计，某工人装配第n件工件所用的时间(单位：分钟)f(n)大致服从的关系为f(n)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(k,\r(n))，n<M，,\f(k,\r(M))，n≥M))(k，M为常数).已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用的时间是(　　) A.40分钟　　　　　　 B.35分钟 C.30分钟 D.25分钟 【解析】　由题意可知当n＝M时，eq \f(k,\r(M))＝12，当n＝9时，eq \f(k,\r(9))＝20，解得k＝60，M＝25， ∴f(n)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(60,\r(n))，n<25，,12，n≥25.)) ∵n＝4<25，∴f(4)＝eq \f(60,\r(4))＝30. 即可大致推出该工人装配第4件工件所用的时间是30分钟. 【解析】　(1)由题意，当0≤x≤30时，v(x)＝50；当30≤x≤180时，设v(x)＝ax＋b，a≠0， 再由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(180a＋b＝0，,30a＋b＝50，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,3)，,b＝60，)) 故函数v(x)的表达式为 v(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50，0≤x<30，,\f(1,3)(180－x)，30≤x≤180.)) 【解析】　(2)依题意并由(1)可得 f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50x，0≤x<30，,\f(1,3)x(180－x)，30≤x≤180.)) 当0≤x<30时，f(x)单调递增，故当x→30时，f(x)→50×30＝1 500； 当30≤x≤180时，f(x)＝eq \f(1,3)x(180－x)＝－eq \f(1,3)(x－90)2＋2 700， 所以当x＝90时，f(x)在区间[30，180]上取得最大值2 700. 综上，当x＝90时，f(x)在区间[0，180]上取得最大值2 700， 即当车流密度为90辆/km时，车流量可以达到最大，最大值为2 700辆/h. 所以y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50x－115，3≤x≤6，x∈N*，,－3x2＋68x－115，6<x≤20，x∈N*.)) 【解析】　(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N*)， 显然当x＝6时，ymax＝185， 对于y＝－3x2＋68x－115＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34,3))) eq \s\up12(2)＋eq \f(811,3)(6<x≤20，x∈N*)， 所以当x＝11时，ymax＝270. 因为270>185， 所以当每辆自行车的日租金为11元时，一日的净收入最多. 1.有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润(万元)依次是P和Q，它们与投入资金x(万元)的关系式分别为：P＝eq \f(x,5)，Q＝eq \f(3,5) eq \r(x).今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为多少？能获得的最大利润是多少？ 解析　设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元，据题意有y＝eq \f(1,5)x＋eq \f(3,5) eq \r(3－x)(0≤x≤3). 令eq \r(3－x)＝t，则x＝3－t2，0≤t≤eq \r(3). 所以y＝eq \f(1,5)(3－t2)＋eq \f(3,5)t＝－eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(21,20)，t∈[0，eq \r(3)]. 当t＝eq \f(3,2)时，ymax＝1.05， 此时x＝0.75，3－x＝2.25. 由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元. $