1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 导学案2025-2026学年北师大版数学九年级下册

辅导科目 数 学 就读年级 九年级 教师姓名 课 题 第 2 讲：30°，45°，60°角的三角函数值 授课时间 备课时间 教学目标 1、熟练掌握三个特殊角的三角函数值 2、会利用三角函数值计算角度 重、难点 学习重点：九个特殊值的熟练掌握 学习难点：利用特殊角构造直角三角形，并利用特殊值计算线段或者角度的大小 教学内容 一、特殊锐角的三角比的值 示意图 30° 45° 1 60° 练一练： 1、填空 (1)2sin30°＝ 1 ；　　(2)tan30°＝ 1 ；(3)sin45°＝ 1 ； (4)4sin60°＝ 2 ； (5)tan230°＝ ； (6)sin260°＝ ． (7)计算：4sin30°－cos45°－tan30°＋2sin60°. 解：原式=2-1-1+ = 2、填空： (1)sinA＝，则∠A＝ 30° ； (2)cosA＝，则∠A＝ 60° ； (3)2cosA＝，则∠A＝ 30° ； (4)tanA＝1，则∠A＝ 45° ； (5)2cosA＝，则∠A＝ 45° ； (6)tanB＝，则∠B≈ 14.04° ． (参考数据：tan14.04°≈，sin14.48°≈，cos75.53°≈ 3、在△ABC中，∠A，∠B是锐角，sinA＝，2cosB＝，判断△ABC的形状． 解：∵sin30°= ∴∠A=30° ∵2cosB＝ ∴cosB＝ ∵cos30°= ∴∠B=30°=∠A ∴△ABC为等腰三角形 2、 特殊锐角三角函数值的应用 1、sin 45°+ cos 45°的值等于（A） A． B． C． D．1 2、下列不等式，成立的是（D） A． B． C． D． 3、计算：（1）； （2）． =+- =（+）2 = =3++2 = 4、 计算： （1）； （2）． =1-1=0 5、已知方程有两个相等的实数根，求锐角的大小． 【答案】30° 【解析】∵方程有两个相等的实数根， ∴ ． ∴． ∴． 课后练习 一、单选题 1．在中，如果，，那么这个三角形一定是（ A） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 2．在中，，如果 ，那么的长为（B） A． B． C． D． 3．在中，，，，那么的长为（B） A． B． C． D． 4．在中，，若，则的值为( C ) A． B． C． D． 5．中，，，，则的值为（C ） A． B． C． D． 6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为( D ) A． B． C． D． 7．已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（B） A．15° B．30° C．45° D．60° 二、填空题 8．在中，，，，那么AB的长为 8 ． 9．sin60°•tan45°﹣cos60°•tan30°=_____． 10．如图，点在线段上，，， ，如果，， ，那么 的长是 _____ ． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 设的长是x， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去负值）， 故答案为：． 11．计算：_______________． 12．计算：____0__． 三、解答题 13．计算：． =-6 14．计算． 【答案】 【详解】 = = =． 拓展提高： 15、数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长． 请你运用所学的数学知识解决这个问题． 解：在中，∠A=30°， ∴AC==EF ∵∠E=45° ∴CF=EFsinE= ∴AF=AC-CF=-. 16、图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( C ) A．(54＋10)cm　 B．(54＋10)cm C．64 cm D．54 cm 当堂小测 学生： 成绩： 日期： 1.计算2sin30°的值为( A ) A．1 B．　　　C．2　D．2 2.计算：sin30°·cos45°·tan60°. 3.计算cos260°的值是( A ) A． B．　 　　C．　 D． 4.计算：3tan230°－tan45°＋2sin60°. =1-1+ = 5.已知α为锐角，tanα＝2sin30°，则α＝ 45 °. 6.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝，你认为△ABC最确切的判断是( B ) A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 7.已知α为锐角，sin(α－15°)＝，则α＝ 75 °． 8.在锐角△ABC中，(tanC－)2＋|－2sinB|＝0，则∠A的度数为( D ) A．30° B．45°　　C．60° D．75° ( 第 1 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 辅导科目 数 学 就读年级 九年级 教师姓名 课 题 第 2 讲：30°，45°，60°角的三角函数值 授课时间 备课时间 教学目标 1、熟练掌握三个特殊角的三角函数值 2、会利用三角函数值计算角度 重、难点 学习重点：九个特殊值的熟练掌握 学习难点：利用特殊角构造直角三角形，并利用特殊值计算线段或者角度的大小 教学内容 一、特殊锐角的三角比的值 示意图 30° 45° 60° 练一练： 1、填空 (1)2sin30°＝ 1 ；　　(2)tan30°＝ 1 ；(3)sin45°＝ 1 ； (4)4sin60°＝ 2 ； (5)tan230°＝ ； (6)sin260°＝ ． (7)计算：4sin30°－cos45°－tan30°＋2sin60°. 2、填空： (1)sinA＝，则∠A＝ 30° ； (2)cosA＝，则∠A＝ 60° ； (3)2cosA＝，则∠A＝ 30° ； (4)tanA＝1，则∠A＝ 45° ； (5)2cosA＝，则∠A＝ 45° ； (6)tanB＝，则∠B≈ 14.04° ． (参考数据：tan14.04°≈，sin14.48°≈，cos75.53°≈ 3、在△ABC中，∠A，∠B是锐角，sinA＝，2cosB＝，判断△ABC的形状． 2、 特殊锐角三角函数值的应用 1、sin 45°+ cos 45°的值等于（ ） A． B． C． D．1 2、下列不等式，成立的是（ ） A． B． C． D． 3、计算：（1）； （2）． 4、 计算： （1）； （2）． 5、已知方程有两个相等的实数根，求锐角的大小． 课后练习 一、单选题 1．在中，如果，，那么这个三角形一定是（ ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 2．在中，，如果 ，那么的长为（ ） A． B． C． D． 3．在中，，，，那么的长为（ ） A． B． C． D． 4．在中，，若，则的值为( ) A． B． C． D． 5．中，，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为(　　) A． B． C． D． 7．已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 二、填空题 8．在中，，，，那么AB的长为__． 9．sin60°•tan45°﹣cos60°•tan30°=_____． 10．如图，点在线段上，，， ，如果，， ，那么 的长是 _____ ． 11．计算：_______________． 12．计算：______． 三、解答题 13．计算：． 14．（.·上海九年级一模）计算． 拓展提高： 15、数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长． 请你运用所学的数学知识解决这个问题． 16、图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( ) A．(54＋10)cm　B．(54＋10)cmC．64 cmD．54 cm 当堂小测 学生： 成绩： 日期： 1.计算2sin30°的值为( ) A．1 B．　　　C．2　D．2 2.计算：sin30°·cos45°·tan60°. 3.计算cos260°的值是( ) A． B．　 　　C．　 D． 4.计算：3tan230°－tan45°＋2sin60°. 5.已知α为锐角，tanα＝2sin30°，则α＝ 45 °. 6.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝，你认为△ABC最确切的判断是( ) A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 7.已知α为锐角，sin(α－15°)＝，则α＝ 75 °． 8.在锐角△ABC中，(tanC－)2＋|－2sinB|＝0，则∠A的度数为( ) A．30° B．45°　　C．60° D．75° ( 第 1 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $