第一章 特殊平行四边形 单元测试 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊平行四边形 一、单选题 1．如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当，是矩形 B．当，是菱形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 2．如图， 四边形 为矩形， E， F， G， H 分别为 ， ，， 的中点， 则四边形的形状是（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 3．如图，是菱形的对角线，点在边上，过点作交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形的边上有一点H，G和F分别是、延长线上的一点，满足，且，连接交于点E，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．如图，已知，，为 中点，，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，M是边的中点，且，，若的周长为30，则的长为（    ） A．15 B．10 C． D．5 8．如图，点为正方形的边的中点，连接，取的中点，连接，若的长为2.5，则正方形的面积为（   ） A．20 B．16 C．12 D．9 二、填空题 9．如图，在中，是斜边的中点，连接，，则的长为 ． 10．如图，在矩形中，对角线相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为 ． 11．如图，正方形和正方形按照如图所示方式放置，连接、、，若，则线段的最小值为 ． 12．如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，若，则菱形的面积为 ． 13．如图，在菱形ABCD中，，，动点分别在线段上，且，的最小值为 ． 三、解答题 14．如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 15．如图，在平行四边形中，，对角线与交于点，点，分别为、的中点，延长至点E，使连接DE． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 16．如图，在等腰直角三角形中，，是的中点，点，分别在直角边，上，且， 交于点． (1)求证； (2)直接写出 的面积与四边形 的面积的数量关系． 17．如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． (1)证明：； (2)四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 18．正方形和等腰直角三角形共顶点，将绕点逆时针旋转一周． (1)如图①，当点与点重合时，若．求的长； (2)如图②，为中点．连接、探究的关系，并说明理由； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了对矩形、菱形和正方形判断的应用.根据矩形、菱形和正方形的判定即可选出答案. 【详解】解：A、根据矩形的判定“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，故该选项不符合题意； B、根据菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，故该选项不符合题意； C、根据菱形的判定“对角线垂直的平行四边形是菱形”，故该选项不符合题意； D、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”，而不是正方形，故该选项符合题意； 故选：D. 2．B 【分析】连接、，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据矩形的性质、菱形的判定定理解答． 【详解】解：连接、， ∵在中，G、H为、的中点， ∴，且， 在中，E、F为、的中点， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 故选：B． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 3．C 【分析】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质． 根据菱形的性质可得，利用等腰三角形的性质求得，最后通过平行的性质可得的度数． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 故选：C． 4．B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．证明，得出，，证明，得出，，根据三角形外角的性质得出． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查含的直角三角形的基本性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记并灵活运用与直角三角形相关的性质是解题关键．首先求出，然后利用三角形的外角性质求出，从而在中，利用“角所对的直角边为斜边的一半”求解即可． 【详解】解：∵E是中斜边的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 故选：A． 6．A 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，由直角三角形斜边上的中线的性质得，所以，又， 则，然后通过等边对等角得，最后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7．D 【分析】先证明，根据平行四边形的性质，得，再证明，得到矩形，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形性质，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，M是边的中点， ∴，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的周长为30， ∴， 解得， 故选：D． 8．A 【分析】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 推出，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，由，求得，即可解答． 【详解】解：点为正方形的边的中点， ，，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 9．3 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由此即可计算． 【详解】解：∵中，D是斜边的中点， ∴． 故答案为：3． 10． 【分析】由矩形的性质得，故有，可证是等边三角形，通过等边三角形的性质和角所对直角边是斜边的一半可求出，然后由勾股定理得，然后再求，则，最后通过中位线定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 11． 【分析】本题考查的是正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，垂线段最短，取的中点，连接，证明，可得，如图，当最小时，则最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵正方形和正方形， ∴， ∴， ∴， 如图，当最小时，则最小， 此时、、重合， 四边形为矩形， ∴，即的最小值为． 故答案为： 12． 【分析】先根据菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再根据勾股定理求出、，最后由菱形面积即可得解． 【详解】解：菱形中，、互相垂直平分， 点是、中点，， ， ， ， ，， 中，， ， 菱形的面积． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理解直角三角形、菱形的面积，解题关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长． 13． 【分析】连接，过点作于，先证明、都是等边三角形，得到，进而证明得到，进一步证明是等边三角形，得到，则当与重合时，此时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴、都是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当与重合时，此时最小，即最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及最小值等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 14．(1)画图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. （1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可. （2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求. （2）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵平分， ∴， ∵直线，即， ∴， ∴． 15．(1)见解析 (2)48 【分析】题目主要考查平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键． （1）依据平行四边形的性质和全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质和平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到，利用矩形的判定即可证明；． （2）根据题意得出，再由勾股定理确定，结合图形，根据面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又点M，N分别为的中点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， 又∵M是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）由（1）得， ∵， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 16．(1)见解析； (2)的面积等于四边形面积的倍． 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质． 根据等腰直角三角形的性质可知，，，利用可证结论成立； 根据全等三角形的性质可知，可知． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，，点是的中点． ，，，， ，， ， ， ， ， 在和中，， ； （2）解：的面积等于四边形面积的倍. 理由如下： 由知， ， ， ． 17．(1)见解析 (2)四边形的面积为 【分析】（1）连接，先证是等腰直角三角形，由是的中点，根据等腰三角形中的“三线合一”可推得，，最后由“边角边”证明后，根据全等三角形的性质即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，结合中线平分三角形面积推得即可得解． 【详解】（1）证明：连接（如图）， 由条件可知是等腰直角三角形， ，即， 是的中点，且是等腰直角三角形， ，，平分， ， 即， 在和中， ， ， ，即． （2）解：在动点运动过程中，四边形面积不变， 由（1）可知：， ． ， 是的中点，且是等腰直角三角形， ， ， ， ． 答：四边形的面积为． 【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的判定与性质、三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、三角形中线平分三角形面积，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 18．(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）连接，由正方形的性质和勾股定理可得，，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理得到，，则可求出，据此利用勾股定理求解即可； （2）延长至，使，连接，证明，得到，延长交于点，设交于T，证明，得到，则可证明，据此可得结论． 【详解】（1）解：如图①．连接， 四边形为正方形， ，， ∴； ， ，， ∴，， ． （2）解：．理由如下： 如图②，延长至，使，连接， ∵为中点， ∴， 又∵，， ， ； 延长交于点，设交于T， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ， 又∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $