1.4.1一元二次函数 教案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该教案聚焦高中数学一元二次函数的三种表达式、图象变换规律及性质。通过复习初中已学内容，以“二次函数图象如何由y=x²变换得到”的问题衔接，搭建旧知到新知的学习支架，自然引出课题。 特色在于融合数形结合思想，运用启发法、讨论法引导学生探究图象变换与性质，例题典析强化应用，培养数学抽象、直观想象和逻辑推理素养。多媒体辅助教学提升效率，助力学生系统掌握知识，教师可直接用于课堂实施。

课题 1.4.1 一元二次函数 学科 数学 教材 北师大版（2019）必修第一册 章节 第一章第四部分第一节 课程类型 新授 课时安排 1课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1.掌握一元二次函数的表达式（一般式、顶点式、两根式）及其图象特点。 2.理解一元二次函数的性质，包括开口方向、顶点坐标、对称轴、单调性、最值等。 3.能够利用一元二次函数的性质解决实际问题，如求对称轴、最值等。 教学重、难点： 重点：一元二次函数的图象特点及性质； 难点：利用一元二次函数的性质解决实际问题，建立数学模型； 教材分析 本节课是高中数学北师大版（2019）必修一的1.4.1一元二次函数，主要学习一元二次函数的基本概念、图象特点和性质。一元二次函数是重要的基本函数之一，具有广泛的应用价值。本节课的内容在初中学生已学过的基础上，进一步学习一元二次函数的性质与图象，使学生对一元二次函数有一个比较完整的认识。 核心素养 1.数学抽象：通过一元二次函数的学习，培养学生从具体问题中抽象出数学模型的能力。 2.逻辑推理：通过观察和分析一元二次函数的图象和性质，提高学生的逻辑推理能力。 3.数学运算：掌握一元二次函数的运算方法，包括求对称轴、最值等。 4.直观想象：通过观察一元二次函数的图象，培养学生的直观想象能力。 教学方法和手段 教学方法：启发法、练习法、讨论法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 复习导入 在初中，我们学习了一元二次函数，认识这个函数的过程是从开始的，是由简到繁的过程（如图）. 思考：对于二次函数的图象，可以由函数的图象，经过怎样的变换得到？ 教师揭示本节课题：《一元二次函数》． 通过对旧知识的回顾，激发学生对一元二次函数的探究，从而引出今天的课题，让学生在对新问题的挑战中，深化数形结合思想． 探究新知 知识点1：一元二次函数 知识点2：一元二次函数的图像变换规律 知识点3：一元二次函数的性质 例题典析 教师讲解： 一元二次函数的三种形式： （1）一般式： （2）顶点式： （3）两根式： 师生活动： 对于上述思考，教师给学生留时间让学生思考、交流、讨论，然后共同得出结论： 一元二次函数都可以通过配方化为 ， 若设，则有 . 函数的图象，可以由函数的图象平移而得到. 教师讲解： 通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.一元二次函数的图象可以由的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到. 如图所示，一元二次函数的图象可以由的图象右移2个单位长度得到；的图象可以由由的图象右移2个单位长度，下移1个单位长度得到． 问题：你能说出一元二次函数的性质吗？ 师生活动： 教师引导学生从函数图象的对称轴，函数的单调性、最值等方面分析，教师总结一元二次函数有如下性质。 教师讲解： （1）函数的图象是一条抛物线，顶点坐标是，对称轴是直线. （2）当时，抛物线开口向上；在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在处有最小值，记作. 当时，抛物线开口向下；在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在处有最大值，记作. 例1、已知一元二次函数. （1）指出它的图象可以由的图象经过怎样的变换才能得到； （2）指出它的对称轴，试述函数的变化趋势及函数的最大值或最小值． 【师生活动】 学生分析题目，发现题中给出了一元二次函数的一般形式，所以我们直接利用配方，将它变成的形式，然后通过结合图形，即可得出答案.，教师对学生的答案进行点评并归纳。 【解析】 解：（1）配方,可得， . 所以，的图象可以由的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到. （2） 由（1）可知：该函数的图象开口向上，对称轴为直线 =-2；在区间上，函数值y随自变量的增大而减小，在区间上,函数值y随自变量的增大而增大；函数在处取得最小值3， 从一元二次函数的三种形式进行探究，从简到繁，唤醒旧知，联系新知，从形式到图象变换，再到性质分析，循序渐进对一元二次函数的变换以及性质进行理解． 通过例题讲解，让学生理解怎样解决问题，提高学生解决问题的能力。 当堂练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的核心素养。 课堂总结 回顾本节课知识点，总结概括 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计 1.4.1 一元二次函数 知识点一：一元二次函数 一元二次函数的三种形式： （1）一般式： （2）顶点式： （3）两根式： 知识点二：一元二次函数的图像变换规律 一元二次函数的图象可以由的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到. 知识点三：一元二次函数的性质 （1）函数的图象是一条抛物线，顶点坐标是，对称轴是直线. （2）当时，抛物线开口向上；函数在处有最小值，记作. 当时，抛物线开口向下；函数在处有最大值，记作. 教学设计反思 成功之处： 通过生动的图象展示和丰富的实例，激发了学生的学习兴趣和积极性。 通过小组合作和问题解决的过程，培养了学生的团队协作能力和数学沟通能力。 通过引导学生发现和总结一元二次函数的性质，培养了学生的归纳和抽象能力。 不足之处： 部分学生对一元二次函数图象的变换规律理解不够深入，需要进一步加强练习和巩固。 在解决实际问题时，部分学生缺乏分析问题和逻辑推理的能力，需要进一步加强引导和训练。 改进措施： 加强图象展示和实例分析，帮助学生更好地理解一元二次函数的图象和性质。 提供更多的练习题和实际问题，让学生在实践中巩固和应用所学知识。 加强小组合作和讨论，促进学生之间的交流与合作，共同突破难点。 学科网（北京）股份有限公司 $