10.1平方根和立方根 讲义2025-2026学年 华东师大版（2024）八年级数学上册

10.1平方根和立方根 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】平方根的定义 4 【题型2】平方根的性质 4 【题型3】利用平方根求未知数的值 5 【题型4】算术平方根的定义 5 【题型5】算术平方根有意义的条件 6 【题型6】算术平方根的非负性 6 【题型7】算术平方根的应用 7 【题型8】利用计算器开平方 7 【题型9】立方根的定义与性质 9 【题型10】立方根与平方根的综合 9 【题型11】利用立方根求未知数的值 10 【题型12】立方根的实际应用 10 【题型13】利用计算器开立方 12 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1.（2025春•谷城县期末）4的平方根是（　　） A．±2 B． C．2 D．-2 【知识点2】算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 1.（2025春•海伦市期末）25的平方根是（　　） A．5 B．-5 C．5或-5 D． 2.（2025春•张店区期末）等于（　　） A．±3 B．3 C．±6 D．6 【知识点3】非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 1.（2025•广东校级模拟）若（a-1）2+=0，则（a-b）2022=（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2022 【知识点4】立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1.（2024秋•东台市期末）下列说法中，错误的是（　　） A．0的平方根是0 B．1的立方根是1 C．的平方根是±4 D．2是4的算术平方根 2.（2024秋•叶县期末）下列说法正确的是（　　） A．-27的立方根是3 B．=±4 C．1的平方根是1 D．4的算术平方根是2 【知识点5】计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 1.（2024•镇江一模）有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（　　） A． B． C． D． 2.（2024•烟台一模）用计算器求35值时，需相继按“3”，“yx”，“5”，“=”键，若小颖相继按“””4”，“yx”，“（-）”，“3”，“=”键，则输出结果是（　　） A．8 B．4 C．-6 D．0.125 【题型1】平方根的定义 【典型例题】“的平方根是±”，用数学式子表示为（　 　） A.=± B.±=± C.= D.-=- 【举一反三1】（-9）2的平方根是（　 　） A.-9 B.±9 C.81 D.± 【举一反三2】如果一个数的平方根是±8，那么这个数是____________． 【举一反三3】已知正实数x的平方根分别是n和n+a（a＞0），若n2+（n+a）2=8，求n+a的平方根． 【题型2】平方根的性质 【典型例题】下列各数中，没有平方根的是（　　） A.2 B.0 C.-（-5）2 D.|-2| 【举一反三1】若a和b都是7的平方根（a＜b），则a+b的值为（　 　） A.14 B.7 C.0 D.无法确定 【举一反三2】如果一个数的平方根是a+3和2a-15，则a的值为 4 ，这个数为____________． 【举一反三3】已知a-1和5-2a都是非负数m的平方根，求m的值． 佳佳的解题过程如下： 解：∵a-1和5-2a都是非负数m的平方根， ∴a-1+5-2a=0， 解得a=4， ∴a-1=3， ∴m的值为9． 请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由． 【举一反三4】已知正数m的平方根分别是a+3和-6，求a和m的值． 【题型3】利用平方根求未知数的值 【典型例题】若x使（x-1）2=4成立，则x的值是（　　） A.3 B.-1 C.3或-1 D.±2 【举一反三1】若（x-1）2=64，则x的值为（　　） A.8 B.9 C.±9 D.9或-7 【举一反三2】若x2=121，则x=____________． 【举一反三3】若（x-3）2=121，则x的值为____________． 【举一反三4】求下列各式中的x： （1）4x2=1； （2）（x-1）2-27=0． 【题型4】算术平方根的定义 【典型例题】若一个正数的两个平方根分别是m+6和2m-15，则的算术平方根是（　　） A.4 B.±4 C.2 D.±2 【举一反三1】81的算术平方根为（　　） A.±3 B.3 C.±9 D.9 【举一反三2】的算术平方根是____________；的平方根是____________． 【举一反三3】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，＝2，＝3，＝6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，____________． （2）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根． （3）已知9，a,25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 【题型5】算术平方根有意义的条件 【典型例题】已知，，的平方根是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】已知y=+x-2，则的值为（　　） A.5 B.3 C.﹣3 D.﹣5 【举一反三2】已知=3，则的值为（　　） A. B. C.12 D.18 【举一反三3】若代数式-有意义，则实数x的取值范围是 　      　． 【举一反三4】若x，y满足， (1)求x，y的值； (2)求的值． 【题型6】算术平方根的非负性 【典型例题】若=3.5-x,则x的值不能是（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 【举一反三1】已知的三边长a，b，c满足等式，则的形状是（    ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【举一反三2】若 ，则的值为（    ） A. B. C.3 D.7 【举一反三3】，则      ． 【举一反三4】如果，那么        ． 【举一反三5】若与互为相反数，求的值． 【举一反三6】若，求． 【题型7】算术平方根的应用 【典型例题】射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝进行计算，其中a为子弹的加速度，l为枪筒的长．如果a＝5×105 m/s2，l＝0.81 m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（　　） A.9×102 m/s B.0.9×103 m/s C.8×102 m/s D.0.8×103 m/s 【举一反三1】一个正方形的面积是4，则这个正方形的边长是（　　） A.2 B.±2 C. D. 【举一反三2】一个圆柱形零件的体积是251.2 cm3，高是20 cm，零件的底面直径是（　　）cm． A.12.56 B.6.28 C.4 D.2 【举一反三3】（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短．记得立契时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．现在请你帮他算出它的长是_______步．（一亩＝240平方步） 【举一反三4】已知刹车距离的计算公式v＝16，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数，在一次交通事故中．测得d＝16 m，f＝2.25，而发生交通事故的路段限速为100 km/h，通过计算说明肇事汽车是否违规行驶． 【举一反三5】电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt． （1）若导线电阻为5 Ω，电流为，则1 s时间导线产生的热量是多少？ （2）若导线电阻为5 Ω，1 s时间导线产生的热量为80 J，则电流I的值是多少？ 【题型8】利用计算器开平方 【典型例题】利用教材中的计算器依次按键如下： 则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（　　） A.2.5 B.2.6 C.2.8 D.2.9 【举一反三1】利用计算器求的值，正确的按键顺序为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表： （1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向 _________移动 _________位； （2）运用你发现的规律，探究下列问题： ①若1.910，6.042，则_________； ②已知x2≈0.000365，则x≈_________． 【举一反三4】用计算器计算： （1）__________； （2）__________； （3）__________； （4）__________. 观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果： __________. 【举一反三5】阅读下面材料，解答问题： [问题情境]数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根”的实践活动． [实践探究]同学们利用计算器计算出下表中的算术平方根，整理数据如下： （1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 _________位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 _________位： （2）已知，请运用上述规律直接写出各式的值：_________， _________． （3）你能根据的值说出的值是多少吗？请说明理由． 【题型9】立方根的定义与性质 【典型例题】若一个数的立方根是﹣3，则该数为（　　） A. B.﹣27 C.± D.±27 【举一反三1】已知：2.868，且28.68，则a＝（　　） A.2360 B.﹣2360 C.23600 D.﹣23600 【举一反三2】的立方根是（　　） A.8 B.4 C.2 D.16 【举一反三3】已知|a﹣1|+（b﹣8）2＝0，则的立方根是 　　． 【举一反三4】已知3是2x﹣1的立方根，4是3y+4的立方根，求x-y-2的立方根． 【题型10】立方根与平方根的综合 【典型例题】若实数x，y，z满足（y﹣4）2+|z+8|＝0，则xyz的立方根是（　　） A.8 B.﹣8 C.4 D.﹣4 【举一反三1】一个正数b的平方根为a+1和2a﹣7，则9a+b的立方根是（　　） A.2 B.3 C.9 D.±3 【举一反三2】下列说法中，正确的是（　　） A.±5 B.4 C.﹣32的算术平方根是3 D.0.01的平方根是0.1 【举一反三3】已知一个数的一个平方根是﹣8，则这个数的立方根是 　 　． 【举一反三4】若|y+25|＝0，则的值为 　   　． 【举一反三5】已知正数a的两个不同平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算术平方根是4． （1）求a和b的值； （2）求2a﹣b2+17的立方根． 【举一反三6】已知某正数的两个不同的平方根为3a﹣14和a﹣2，b﹣15的立方根为﹣3． （1）求a，b的值； （2）求12a+b的平方根． 【题型11】利用立方根求未知数的值 【典型例题】若（5x﹣3）3，则x的值为（　　） A.4 B.1 C.±1 D.﹣4 【举一反三1】若a3＝1，则a的值为（　　） A.﹣1 B.1 C.±1 D.0 【举一反三2】已知a是最大的负整数，b是8的立方根，则代数式b-a的值为（　　） A.-3 B.-1 C.1 D.3 【举一反三3】方程3x3＝81的根是_________． 【举一反三4】如果x3＝﹣27，那么x＝_________． 【举一反三5】求式子中x的值：5（2x+1）3+625＝0． 【题型12】立方根的实际应用 【典型例题】如图，一个正方体木块的体积是64 cm3，把它切成大小相等的27个小正方体，其表面积之和是（　　） A.96 cm2 B.128 cm2 C.196 cm2 D.288 cm2 【举一反三1】一个正方体的棱长为a，体积为b，则下列说法正确的是（　　） A.b的立方根±a B.a是b的立方根 C. D. 【举一反三2】一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（　　） A.±4 B.4 C.±2 D.2 【举一反三3】一体积为54 cm3的长方体如图放置，其底面是正方形，高的长度是底面边长的2倍，则高的长度为_________cm． 【举一反三4】如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8，若阴影部分为正方形ABCD，则此正方形的边长是 _______________． 【举一反三5】一个正方体的体积是16，另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的表面积． 【举一反三6】如图1，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27． （1）求出这个魔方的棱长． （2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长． （3）在图2的4×4方格中画一个面积为10的正方形． 【题型13】利用计算器开立方 【典型例题】用计算器计算约为（　　） A.3.049 B.3.050 C.3.051 D.3.052 【举一反三1】用计算器计算某个运算式，若正确的按键顺序是，则此运算式应是（　　） A.43 B.34 C. D. 【举一反三2】用计算器求的按键顺序为 _________． 【举一反三3】利用计算器计算，并将结果填在表中．你发现了什么规律？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1平方根和立方根 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】平方根的定义 6 【题型2】平方根的性质 7 【题型3】利用平方根求未知数的值 8 【题型4】算术平方根的定义 10 【题型5】算术平方根有意义的条件 11 【题型6】算术平方根的非负性 13 【题型7】算术平方根的应用 15 【题型8】利用计算器开平方 17 【题型9】立方根的定义与性质 20 【题型10】立方根与平方根的综合 21 【题型11】利用立方根求未知数的值 24 【题型12】立方根的实际应用 25 【题型13】利用计算器开立方 28 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1.（2025春•谷城县期末）4的平方根是（　　） A．±2 B． C．2 D．-2 【答案】A 【分析】依据平方根的定义求解即可． 【解答】解：∵（±2）2=4， ∴4的平方根是±2． 故选：A． 【知识点2】算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 1.（2025春•海伦市期末）25的平方根是（　　） A．5 B．-5 C．5或-5 D． 【答案】C 【分析】根据平方根的定义求出即可． 【解答】解：25的平方根是=±5， 故选：C． 2.（2025春•张店区期末）等于（　　） A．±3 B．3 C．±6 D．6 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案． 【解答】解：∵62=36， ∴=6， 故选：D． 【知识点3】非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 1.（2025•广东校级模拟）若（a-1）2+=0，则（a-b）2022=（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2022 【答案】A 【分析】根据偶次方和算术平方根的非负数的性质列式求出a、b,再代入计算即可得出答案． 【解答】解：∵（a-1）2+=0，而（a-1）2≥0，≥0， ∴a-1=0，b-2=0， 解得a=1，b=2， ∴（a-b）2022=（-1）2022=1． 故选：A． 【知识点4】立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1.（2024秋•东台市期末）下列说法中，错误的是（　　） A．0的平方根是0 B．1的立方根是1 C．的平方根是±4 D．2是4的算术平方根 【答案】C 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐项判断计算即可． 【解答】解：A、0的平方根是0，故此选项不符合题意； B、1的立方根是1，故此选项不符合题意； C、，4的平方根是±2，故此选项符合题意； D、2是4的算术平方根，故此选项不符合题意； 故选：C． 2.（2024秋•叶县期末）下列说法正确的是（　　） A．-27的立方根是3 B．=±4 C．1的平方根是1 D．4的算术平方根是2 【答案】D 【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、-27的立方根是-3，故本选项错误； B、=4，故本选项错误； C、1的平方根是±1，故本选项错误； D、4的算术平方根是2，故本选项正确． 故选：D． 【知识点5】计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 1.（2024•镇江一模）有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为计算器只能显示十三位（包括小数点），要想知道7后面的数字是什么，必须想办法让7后面的数字出现，即小数点前面应尽可能得去掉数据，使数位减少，从而让7后面的数据出现． 【解答】解：A.10=14.1421356237，总的位数还是13位， 所以不可能出现7后面的数字，故A错误； B.10（-1）=14.1421356237-10=4.1421356237一共12位， 这样7后面的数字一定会出现，故B正确； C.100=141.421356237，总的位数还是13位， 所以不可能出现7后面的数字，故C错误； D.-1=1.41421356237-1=0.41421356237一共13位， 这样7后面的数字不可能出现，故D错误； 故选：B． 2.（2024•烟台一模）用计算器求35值时，需相继按“3”，“yx”，“5”，“=”键，若小颖相继按“””4”，“yx”，“（-）”，“3”，“=”键，则输出结果是（　　） A．8 B．4 C．-6 D．0.125 【答案】D 【分析】计算器按键转为算式=． 【解答】解：计算器按键转为算式=， 故选：D． 【题型1】平方根的定义 【典型例题】“的平方根是±”，用数学式子表示为（　 　） A.=± B.±=± C.= D.-=- 【答案】B 【解析】∵“的平方根是±”， ∴±=±， 故选B． 【举一反三1】（-9）2的平方根是（　 　） A.-9 B.±9 C.81 D.± 【答案】B 【解析】∵（-9）2=81，（±9）2=81， ∴（-9）2的平方根是±9． 故选B． 【举一反三2】如果一个数的平方根是±8，那么这个数是____________． 【答案】64 【解析】由题意得，这个数为（±8）2=64． 故答案为64． 【举一反三3】已知正实数x的平方根分别是n和n+a（a＞0），若n2+（n+a）2=8，求n+a的平方根． 【答案】解：∵正实数x的平方根是n和n+a, ∴（n+a）2=x,n2=x, ∵n2+（n+a）2=8， ∴x+x=8， ∴x=4， ∴n=-2，n+a=2， ∴n+a的平方根是±． 【题型2】平方根的性质 【典型例题】下列各数中，没有平方根的是（　　） A.2 B.0 C.-（-5）2 D.|-2| 【答案】C 【解析】A、2＞0，有平方根，故不合题意； B、0的平方根是0，故不合题意； C、-（-5）2=-25＜0，因为负数没有平方根，故符合题意； D、|-2|=2＞0，有平方根，故不合题意； 故选：C． 【举一反三1】若a和b都是7的平方根（a＜b），则a+b的值为（　 　） A.14 B.7 C.0 D.无法确定 【答案】C 【解析】∵a和b都是7的平方根（a＜b）， ∴a+b=0， 故选：C． 【举一反三2】如果一个数的平方根是a+3和2a-15，则a的值为 4 ，这个数为____________． 【答案】4；49． 【解析】∵一个数的平方根是a+3和2a-15， ∴a+3+2a-15=0， 解得a=4， 把a=4代入a+3=7， 故这个数为49， 故答案为4；49． 【举一反三3】已知a-1和5-2a都是非负数m的平方根，求m的值． 佳佳的解题过程如下： 解：∵a-1和5-2a都是非负数m的平方根， ∴a-1+5-2a=0， 解得a=4， ∴a-1=3， ∴m的值为9． 请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由． 【答案】解：佳佳的解题过程不正确，理由如下： ∵a-1和5-2a是非负数m的平方根， ∴当a-1+5-2a=0时， 解得：a=4， ∴a-1=3， ∴m的值为：9， 当a-1=5-2a, 解得：a=2， 故m的值为：1， 综上所述：m的值为：1或9． 【举一反三4】已知正数m的平方根分别是a+3和-6，求a和m的值． 【答案】解：∵正数m的平方根分别是a+3和-6， ∴a+3=6， 解得a=3， ∴正数m=（±6）2=36， 答：a=3，m=36． 【题型3】利用平方根求未知数的值 【典型例题】若x使（x-1）2=4成立，则x的值是（　　） A.3 B.-1 C.3或-1 D.±2 【答案】C 【解析】∵（x-1）2=4成立， ∴x-1=±2， 解得：x1=3，x2=-1． 故选：C． 【举一反三1】若（x-1）2=64，则x的值为（　　） A.8 B.9 C.±9 D.9或-7 【答案】D 【解析】∵（x-1）2=64， ∴x-1=±8， ∴x-1=8，x-1=-8， ∴x=9或x=-7． 故选：D． 【举一反三2】若x2=121，则x=____________． 【答案】±11． 【解析】∵（±11）2=121， ∴x=±11， 故答案为：±11． 【举一反三3】若（x-3）2=121，则x的值为____________． 【答案】14或-8． 【解析】∵（x-3）2=121， ∴x-3=±11． ∴x=14或x=-8． 故答案为：14或-8． 【举一反三4】求下列各式中的x： （1）4x2=1； （2）（x-1）2-27=0． 【答案】解：（1）4x2=1， x2=， x=±=±， 故x=或x=-； （2）（x-1）2-27=0， （x-1）2=27， x-1=±=±3， x=1±3， 故x=1+3或x=1-3． 【题型4】算术平方根的定义 【典型例题】若一个正数的两个平方根分别是m+6和2m-15，则的算术平方根是（　　） A.4 B.±4 C.2 D.±2 【答案】C 【解析】∵一个正数的两个平方根分别是m+6和2m-15， ∴m+6+2m-15=0，则m=3， ∴＝＝4， ∴的算术平方根是2， 故选：C． 【举一反三1】81的算术平方根为（　　） A.±3 B.3 C.±9 D.9 【答案】D 【解析】∵92=81， ∴81的算术平方根为=9． 故选：D． 【举一反三2】的算术平方根是____________；的平方根是____________． 【答案】； 【解析】=3，其算术平方根为；=15，其平方根是±； 故答案为：；． 【举一反三3】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，＝2，＝3，＝6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，____________． （2）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根． （3）已知9，a,25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 【答案】（1）解：∵＝6，＝4，＝8， ∵4，8，不是整数， ∴3，12，32不是“和谐组合”； 故答案为：不是； （2）证明：∵＝6，＝4，＝12， ∴2，18，8这三个数是“和谐组合”， ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （3）解：分三种情况：①当9≤a≤25时，＝3得：a=0（舍去）， ②当a≤9＜25时，＝3，得：a＝（舍去）， ③当9＜25≤a时，＝3．得：a=81． 综上所述，a的值为81． 【题型5】算术平方根有意义的条件 【典型例题】已知，，的平方根是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵， ∴， 则原式， 解得， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 则的平方根为， 故选：D． 【举一反三1】已知y=+x-2，则的值为（　　） A.5 B.3 C.﹣3 D.﹣5 【答案】B 【解析】根据题意得：， 解得：x＝1． 则y＝﹣1． 则＝＝3． 故选：B． 【举一反三2】已知=3，则的值为（　　） A. B. C.12 D.18 【答案】B 【解析】由题意得：， 解得x＝3， 把x＝3代入=3，可得y＝3， 所以=＝． 故选：B． 【举一反三3】若代数式-有意义，则实数x的取值范围是 　      　． 【答案】3≤x≤5． 【解析】若代数式-有意义，则：． 解得3≤x≤5． 故答案为：3≤x≤5． 【举一反三4】若x，y满足， (1)求x，y的值； (2)求的值． 【答案】解：（1）∵， ∴， ∴， 解得：，则. （2）∵，， ∴. 【题型6】算术平方根的非负性 【典型例题】若=3.5-x,则x的值不能是（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】若=3.5-x, 则3.5-x≥0， 解得x≤3.5， ∴x的值不能是4， 故选：A． 【举一反三1】已知的三边长a，b，c满足等式，则的形状是（    ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【答案】D 【解析】∵， ∴， 解得：， ∴是等边三角形， 故选：D． 【举一反三2】若 ，则的值为（    ） A. B. C.3 D.7 【答案】C 【解析】∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 【举一反三3】，则      ． 【答案】 【解析】∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【举一反三4】如果，那么        ． 【答案】3 【解析】由题意得：，，， 得，，， 则， 故答案为：3． 【举一反三5】若与互为相反数，求的值． 【答案】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴，解得：． ∴． 【举一反三6】若，求． 【答案】解：∵，， ， 将①②得：， 则． 【题型7】算术平方根的应用 【典型例题】射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝进行计算，其中a为子弹的加速度，l为枪筒的长．如果a＝5×105 m/s2，l＝0.81 m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（　　） A.9×102 m/s B.0.9×103 m/s C.8×102 m/s D.0.8×103 m/s 【答案】A 【解析】根据题意可得： v＝＝＝＝900＝9×102（m/s）． 故选：A． 【举一反三1】一个正方形的面积是4，则这个正方形的边长是（　　） A.2 B.±2 C. D. 【答案】A 【解析】∵＝2， ∴这个正方形的边长是2， 故选：A． 【举一反三2】一个圆柱形零件的体积是251.2 cm3，高是20 cm，零件的底面直径是（　　）cm． A.12.56 B.6.28 C.4 D.2 【答案】C 【解析】设零件的底面半径为x cm，由题意得，3.14×x2×20＝251.2， 解得x＝2（取正值）， ∴零件的底面直径是4 cm， 故选：C． 【举一反三3】（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短．记得立契时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．现在请你帮他算出它的长是_______步．（一亩＝240平方步） 【答案】60 【解析】设此矩形田的宽为x步， 依据题意，可列方程为x⋅2x＝240×7.5， 即x2＝900， ∵x为正数， ∴x＝30， 则长为60步， 故答案为：60． 【举一反三4】已知刹车距离的计算公式v＝16，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数，在一次交通事故中．测得d＝16 m，f＝2.25，而发生交通事故的路段限速为100 km/h，通过计算说明肇事汽车是否违规行驶． 【答案】解：由题可知，得d＝16 m，f＝2.25， 代入v＝16， 得v＝16×＝16×＝16×6＝96（km/h ）， 又知96 km/h＜100 km/h， 故肇事汽车不存在违规行驶． 【举一反三5】电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt． （1）若导线电阻为5 Ω，电流为，则1 s时间导线产生的热量是多少？ （2）若导线电阻为5 Ω，1 s时间导线产生的热量为80 J，则电流I的值是多少？ 【答案】解：（1）Q＝I2Rt， 答：产生的热量为30 J． （2）把R＝5 Ω，t＝1 s，Q＝80 J代入Q＝I2Rt得， ， ∵I＞0， ∴． 答：电流I的值为4 A． 【题型8】利用计算器开平方 【典型例题】利用教材中的计算器依次按键如下： 则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（　　） A.2.5 B.2.6 C.2.8 D.2.9 【答案】B 【解析】∵2.646， ∴与最接近的是2.6， 故选：B． 【举一反三1】利用计算器求的值，正确的按键顺序为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是D选项中的顺序． 故选：D． 【举一反三2】某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据计算器的相关知识，可知答案为A． 故选：A． 【举一反三3】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表： （1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向 _________移动 _________位； （2）运用你发现的规律，探究下列问题： ①若1.910，6.042，则_________； ②已知x2≈0.000365，则x≈_________． 【答案】（1）向左或向右；1 （2）①604.2 ②±0.0190 【解析】（1）由表格可以看出被开方数的小数点向左或向右移动2位，算术平方根的小数点就向左或向右移动1位， 故答案为：向左或向右；1. （2）①由（1）可知，被开方数的小数点向右移动4位，算术平方根的小数点就向右移动2位， ∵6.042， ∴604.2； ②由（1）可知，被开方数的小数点向左移动4位，算术平方根的小数点就向左移动2位， ∵1.910，x2≈0.000365， 又∵一个正数的平方根有两个， ∴x＝±±0.0190． 故答案为：①604.2；②±0.0190． 【举一反三4】用计算器计算： （1）__________； （2）__________； （3）__________； （4）__________. 观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果： __________. 【答案】解：（1）10； （2）100； （3）1000； （4）10000. 所以10n． 【举一反三5】阅读下面材料，解答问题： [问题情境]数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根”的实践活动． [实践探究]同学们利用计算器计算出下表中的算术平方根，整理数据如下： （1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 _________位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 _________位： （2）已知，请运用上述规律直接写出各式的值：_________， _________． （3）你能根据的值说出的值是多少吗？请说明理由． 【答案】解：（1）由上表可得，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位． 故答案为：2；1． （2）利用以上所得规律可得：∵1.732， ∴0.1732，17.32． 故答案为：0.1732；17.32． （3）∵0.25；0.791；2.5；7.91；25；79.057；250， ∴规律是：被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍． ∵1.732， ∴0.1732，17.32． 根据发现的规律，不能根据的值确定的值． 【题型9】立方根的定义与性质 【典型例题】若一个数的立方根是﹣3，则该数为（　　） A. B.﹣27 C.± D.±27 【答案】B 【解析】这个数＝（﹣3）3＝﹣27． 故选：B． 【举一反三1】已知：2.868，且28.68，则a＝（　　） A.2360 B.﹣2360 C.23600 D.﹣23600 【答案】C 【解析】∵2.868，即（2.868）3＝23.6， ∴（28.68）3＝23600， ∴a＝23600， 故选：C． 【举一反三2】的立方根是（　　） A.8 B.4 C.2 D.16 【答案】C 【解析】∵8， 而8的立方根等于2， ∴的立方根是2． 故选：C． 【举一反三3】已知|a﹣1|+（b﹣8）2＝0，则的立方根是 　　． 【答案】． 【举一反三4】已知3是2x﹣1的立方根，4是3y+4的立方根，求x-y-2的立方根． 【答案】解：∵3是2x﹣1的立方根，4是3y+4的立方根， ∴2x﹣1＝27，3y+4＝64， 解得：x＝14，y＝20， 则x-y-2＝14-20-2＝-8， ∴x+y的立方根为-2． 【题型10】立方根与平方根的综合 【典型例题】若实数x，y，z满足（y﹣4）2+|z+8|＝0，则xyz的立方根是（　　） A.8 B.﹣8 C.4 D.﹣4 【答案】C 【解析】∵0，（y﹣4）2≥0，|z+8|≥0， ∴当（y﹣4）2+|z+8|＝0，则x+2＝0，y﹣4＝0，z+8＝0． ∴x＝﹣2，y＝4，z＝﹣8． ∴xyz＝（﹣2）×4×（﹣8）＝64． ∴xyz的立方根是4． 故选：C． 【举一反三1】一个正数b的平方根为a+1和2a﹣7，则9a+b的立方根是（　　） A.2 B.3 C.9 D.±3 【答案】B 【解析】∵正数b的平方根为a+1和2a﹣7， ∴a+1+2a﹣7＝0， ∴a＝2， ∴a+1＝2+1＝3， ∴b＝32＝9， ∴9a+b＝9×2+9＝27， ∴9a+b的立方根是3， 故选：B． 【举一反三2】下列说法中，正确的是（　　） A.±5 B.4 C.﹣32的算术平方根是3 D.0.01的平方根是0.1 【答案】B 【解析】A.，故本选项不合题意； B，故本选项符合题意； C.﹣32＝﹣9＜0，所以﹣32没有算术平方根，故本选项不合题意； D.0.01的平方根是±0.1，故本选项不合题意． 故选：B． 【举一反三3】已知一个数的一个平方根是﹣8，则这个数的立方根是 　 　． 【答案】4． 【解析】∵一个数的一个平方根是﹣8， ∴这个数是64， 则它的立方根为4， 故答案为：4． 【举一反三4】若|y+25|＝0，则的值为 　   　． 【答案】﹣5． 【解析】∵|y+25|＝0， ∴x﹣5＝0，y+25＝0， ∴x＝5，y＝﹣25， ∴5， 故答案为：﹣5． 【举一反三5】已知正数a的两个不同平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算术平方根是4． （1）求a和b的值； （2）求2a﹣b2+17的立方根． 【答案】解：（1）由题意得，2x﹣2+6﹣3x＝0， 解得x＝4， ∴2x﹣2＝6， ∴a＝62＝36， ∵a﹣4b的算术平方根是4， ∴a﹣4b＝16， ∴b＝5. （2）∵2a﹣b2+17＝2×36﹣52+17＝64， 而64的立方根是4， ∴2a﹣b2+17的立方根为4． 【举一反三6】已知某正数的两个不同的平方根为3a﹣14和a﹣2，b﹣15的立方根为﹣3． （1）求a，b的值； （2）求12a+b的平方根． 【答案】解：（1）∵正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2， ∴3a﹣14+a﹣2＝0， 解得a＝4， ∵b﹣15的立方根为﹣3， ∴b﹣15＝﹣27， 解得b＝﹣12， ∴a＝4、b＝﹣12； （2）a＝4、b＝﹣12代入12a+b 得12×4+（﹣12）＝36， ∴4a+b的平方根是±6． 【题型11】利用立方根求未知数的值 【典型例题】若（5x﹣3）3，则x的值为（　　） A.4 B.1 C.±1 D.﹣4 【答案】B 【解析】∵（5x﹣3）3， ∴5x﹣3＝2， 解得：x＝1． 故选：B． 【举一反三1】若a3＝1，则a的值为（　　） A.﹣1 B.1 C.±1 D.0 【答案】B 【解析】∵a3＝1， ∴a＝1． 故选：B． 【举一反三2】已知a是最大的负整数，b是8的立方根，则代数式b-a的值为（　　） A.-3 B.-1 C.1 D.3 【答案】D 【解析】∵a是最大的负整数，b是8的立方根， ∴a=-1，b=2， ∴b-a=2-（-1）=2+1=3， 故选：D． 【举一反三3】方程3x3＝81的根是_________． 【答案】x＝3． 【解析】两边都除以3，得x3＝27， 开立方，得x＝3， 故答案为：x＝3． 【举一反三4】如果x3＝﹣27，那么x＝_________． 【答案】﹣3． 【解析】∵（﹣3）3＝﹣27，而x3＝﹣27， ∴x＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【举一反三5】求式子中x的值：5（2x+1）3+625＝0． 【答案】解：5（2x+1）3+625＝0， 5（2x+1）3＝﹣625， （2x+1）3＝﹣125， 2x+1＝﹣5， x＝﹣3． 【题型12】立方根的实际应用 【典型例题】如图，一个正方体木块的体积是64 cm3，把它切成大小相等的27个小正方体，其表面积之和是（　　） A.96 cm2 B.128 cm2 C.196 cm2 D.288 cm2 【答案】D 【解析】每个小正方体的体积为：64÷27（cm3）， 所以每个小正方体的棱长为（cm）， 则每个正方体小木块的表面积为6×（）2（cm2）， 所以27个小正方体的表面积之和是27＝288（cm2）． 故选：D． 【举一反三1】一个正方体的棱长为a，体积为b，则下列说法正确的是（　　） A.b的立方根±a B.a是b的立方根 C. D. 【答案】B 【解析】由正方体的体积公式可得，a3＝b，即a是b的立方根， 故选：B． 【举一反三2】一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（　　） A.±4 B.4 C.±2 D.2 【答案】D 【解析】棱长4，4的算术平方根为2． 故选：D． 【举一反三3】一体积为54 cm3的长方体如图放置，其底面是正方形，高的长度是底面边长的2倍，则高的长度为_________cm． 【答案】6 【解析】设这个长方体的高为x cm，则底面边长为cm， 根据题意得，， 即x3＝216， 解得x＝6， 故答案为：6． 【举一反三4】如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8，若阴影部分为正方形ABCD，则此正方形的边长是 _______________． 【答案】 【解析】由于由8个同样大小的立方体组成的魔方的体积为8， 所以每个小正方体的体积为1， 即小正方体的棱长为1， 所以正方形ABCD的边长AB， 故答案为：． 【举一反三5】一个正方体的体积是16，另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的表面积． 【答案】解：根据题意另一个大正方体的体积为16×4＝64， 另一个大正方体的棱长为：4， 另一个正方体的表面积为：6×4×4＝96， 答：另一个大正方体的表面积为96． 【举一反三6】如图1，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27． （1）求出这个魔方的棱长． （2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长． （3）在图2的4×4方格中画一个面积为10的正方形． 【答案】解：（1）设魔方的棱长为x，根据题意，得x3＝27， 解得． 故魔方的棱长为3． （2）∵魔方的棱长为3， ∴阴影面积为：， 设正方形的边长为y，则y2＝5， 解得（舍去）， 故正方形的面积是5，边长为． （3）设正方形的边长为m，根据题意，得m2＝10， 解得（舍去）， 画图如下： 【题型13】利用计算器开立方 【典型例题】用计算器计算约为（　　） A.3.049 B.3.050 C.3.051 D.3.052 【答案】B 【解析】3.050， 所以用计算器计算约为3.050． 故选：B． 【举一反三1】用计算器计算某个运算式，若正确的按键顺序是，则此运算式应是（　　） A.43 B.34 C. D. 【答案】C 【解析】根据题意，进行计算的是， 故选：C． 【举一反三2】用计算器求的按键顺序为 _________． 【答案】﹣，2，，＝ 【解析】按键顺序依次为﹣，2，，＝． 故答案为：﹣1；2；；＝． 【举一反三3】利用计算器计算，并将结果填在表中．你发现了什么规律？ 【答案】解：0.06，0.6，6，60． 故答案为：0.06，0.6，6，60． 规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动三位，其立方根的小数点相应的向左（或向右）移动一位． 学科网（北京）股份有限公司 $