考点113 电磁感应+单杆模型 讲义 -2026届高考物理一轮复习重点考点解读与针对性训练

高考重点考点解读与针对性训练 第十三章 电磁感应 考点113 电磁感应+单杆模型 【考点解读】 电磁感应中的“单杆＋轨道”模型 类型 拉力恒定（含电阻） 拉力恒定（含电容器） 示意图 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定 类型 拉力恒定（含电阻） 拉力恒定（含电容器） 力学观点 开始时a＝，杆ab速度v↑⇒感应电动势E＝Blv↑⇒I↑⇒安培力F安＝IlB↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝ 开始时a＝，杆ab速度v↑⇒感应电动势E＝Blv↑，经过Δt速度为v＋Δv，此时感应电动势E'＝Bl（v＋Δv），Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝C（E'－E）＝CBlΔv，电流I＝＝CBl＝CBla，安培力F安＝IlB＝CB2l2a，F－F安＝ma，a＝，所以杆以恒定的加速度做匀加速运动 类型 拉力恒定（含电阻） 拉力恒定（含电容器） 图像观点 能量观点 F做的功一部分转化为杆的动能，一部分产生电热：WF＝Q＋m F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WF＝mv2＋EC 【高考真题】 【典例1】．（2025高考安徽卷）（18分）如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，右端连接阻值为R的定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域MNPQ存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。某装置从MQ左侧沿导轨水平向右发射第1根导体棒，导体棒以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定；从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒仍以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，以此类推，直到发射第n根相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量为m，电阻为R，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力、导轨的电阻，忽略回路中的电流对原磁场的影响。 求： (1)第1根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率； (2)第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，其横截面上通过的电荷量； (3)从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量。 【答案】(1) (2) (3)，n = 1，2，3，… 【解析】（1）第1根导体棒刚进入磁场时产生的感应电动势为E = BLv0 则此时回路的电流为 此时导体棒受到的安培力F安 = BIL 此时导体棒受安培力的功率（4分） （2）第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，根据动量定理有 其中 解得（4分） （3）由于每根导体棒均以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，则根据能量守恒，每根导体棒进入磁场后产生的总热量均为 第1根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 第2根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 第3根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 第n根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 则从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量QR = QR1＋QR2＋QR3＋…＋QRn 联立解得 ，n = 1，2，3，…（10分） 【典例2】．（2024年高考湖北卷第15题）. 如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内，直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的圆弧导轨相切。MP连线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab由静止释放， 求： （1）ab刚越过MP时产生的感应电动势大小； （2）金属环刚开始运动时的加速度大小； （3）为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1）根据题意可知，对金属棒ab由静止释放到刚越过MP过程中，由动能定理有 解得 则ab刚越过MP时产生的感应电动势大小为 （2）根据题意可知，金属环在导轨间两段圆弧并联接入电路中，轨道外侧的两端圆弧金属环被短路，由几何关系可得，每段圆弧的电阻为 可知，整个回路的总电阻为 ab刚越过MP时，通过ab的感应电流为 对金属环由牛顿第二定律有 解得 （3）根据题意，结合上述分析可知，金属环和金属棒ab所受的安培力等大反向，则系统的动量守恒，由于金属环做加速运动，金属棒做减速运动，为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，则有当金属棒ab和金属环速度相等时，金属棒ab恰好追上金属环，设此时速度为，由动量守恒定律有 解得 对金属棒，由动量定理有 则有 设金属棒运动距离为，金属环运动的距离为，则有 联立解得 则金属环圆心初始位置到MP的最小距离 【典例3】. . （2022高考上海）宽L=0.75m的导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度B=0.4T的匀强磁场。虚线框I、II中有定值电阻R0和最大阻值为20Ω的滑动变阻器R。一根与导轨等宽的金属杆以恒定速率向右运动，图甲和图乙分别为变阻器全部接入和一般接入时沿abcda方向电势变化的图像。求： （1）匀强磁场的方向； （2）分析并说明定值电阻R0在I还是在II中，并且R0大小为多少？ （3）金属杆运动的速率； （4）滑动变阻器阻值为多大时变阻器的功率最大？并求出该最大功率Pm。 【命题意图】本题考查电磁感应及其相关知识点。 【思维导图】由电势图像得出a点电势高→切割磁感线产生感应电动势的金属杆是电源→金属杆上端为高电势（电源正极）→金属杆中电流方向从下到上→右手定则→磁场方向垂直纸面向里 对比图甲和图乙→串联电路分压规律→I中为定值电阻→欧姆定律列方程组→解得R0和φ0.. 把定值电阻和金属杆视作等效电源→电源输出电功率最大条件→滑动变阻器最大功率 【名师解析】（1）a点电势高，即金属杆上端电势高，根据右手定则可判断出磁场垂直纸面向里 （2）滑动变阻器接入阻值减小时，Uab变大，根据串联电路分压特点，说明I中的阻值分到的电压增多，I中为定值电阻。 金属杆的电阻不计，Uad=E=φ0。 滑动变阻器两种情况下，R=1.2V，R=1.0V， 联立解得：R0=5Ω，φ0=1.5V （3）金属杆切割磁感线，产生感应电动势 ，E=BLv=φ0=1.5V 解得v=5m/s （4）将定值电阻和金属杆视作一个等效电源，由电源输出功率最大的条件可知，当滑动变阻器阻值为Rx= R0=5Ω时，滑动变阻器消耗的电功率最大，最大功率Pm===0.1125W。 【针对性训练】 1. （2025·广东佛山模拟）两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，顶端接阻值为R的电阻。质量为m、电阻为r的金属棒在距磁场上边界某处由静止释放，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场垂直，如图所示。不计导轨的电阻，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A.金属棒在磁场中运动时，流过电阻R的电流方向为a→b B.金属棒刚进磁场时一定做加速运动 C.金属棒的速度为v时，金属棒所受的安培力大小为 D.金属棒以稳定的速度下滑时，电阻R的热功率为R 答案 D 解析：　当金属棒在磁场中向下运动时，根据楞次定律可判断流过电阻R的电流方向为b→a，A错误；由于无法确定金属棒刚进入磁场时安培力与重力的大小关系，故无法确定金属棒的运动情况，B错误；金属棒进入磁场时，产生的感应电动势E＝BLv，产生的感应电流是I＝＝，金属棒所受的安培力大小F＝ILB＝，C错误；金属棒以稳定的速度下滑时，有F＝I'LB＝mg，可求得电阻R的热功率P＝I'2R＝R，D正确。 2 （2025·山东烟台模拟）如图所示，一光滑、电阻忽略不计的轨道固定在架台上，轨道由倾斜和水平两段组成，倾斜段的上端连接一电阻R＝0.5 Ω，两轨道间距d＝1 m，水平部分两轨道间有一竖直向下，磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场。一质量m＝0.5 kg、长为l＝1.1 m、电阻忽略不计的导体棒，从轨道上距水平面h1＝0.8 m高处由静止释放，通过磁场区域后从水平轨道末端水平飞出，落地点与水平轨道末端的水平距离x2＝0.8 m，水平轨道距水平地面的高度h2＝0.8 m。通过计算可知（g取10 m/s2）（　　） A.导体棒进入磁场时的速度为3 m/s B.导体棒整个运动过程中，电阻R上产生的热量为3 J C.磁场的长度x1为2 m D.整个过程通过电阻的电荷量为2 C 答案 BCD 解析：　设导体棒进入磁场时的速度为v0，根据机械能守恒定律有m＝mgh1，解得v0＝4 m/s，故A错误；导体棒从水平轨道水平飞出后做平抛运动，则水平方向有x2＝vt，竖直方向有h2＝gt2，联立代入数据解得v＝2 m/s，导体棒通过磁场区域过程中，根据能量守恒定律有Q＝m－mv2，则导体棒整个运动过程中，电阻R上产生的热量为Q＝3 J，故B正确；导体棒通过磁场区域过程中，根据动量定理有t1＝Bdq＝mv0－mv，又有q＝t1＝＝，联立代入数据解得x1＝2 m，q＝2 C，故C、D正确。 3 （2025重庆模拟）如图甲所示，一倾角为 θ、上端接有阻值为 R 的定值电阻的光滑导轨，处于磁感应强度大小为 B、方向垂直导轨 平面向上的匀强磁场中，导轨间距为 L，导轨电阻忽略不计、且 ab 两点与导轨上端相距足够远。一质量为 m 的金属棒， 在棒中点受到沿斜面且平行于导轨的拉力 F 作用，由静止开始从 ab 处沿导轨向上加速运动，金属棒运动的速度—位移 图像如图乙所示（b 点位置为坐标原点）。金属棒在导轨间连接的阻值为 R，且重力加速度为 g，则金属棒从起点 b 沿 导轨向上运动 x0的过程中（ ） A．金属棒所受安培力的大小与速率成正比 B．金属棒做匀加速直线运动 C．定值电阻产生的焦耳热为 D．拉力 F 做的功为 + mgx0sinθ+ 【答案】AD 【解析】若金属棒做匀加速直线运动，则金属棒运动的速度位移关系式为v2-v02=2ax，由此可知金属棒运动的速度—位移 图像应该是曲线，所以金属棒做变加速直线运动，B错误；金属棒所受安培力的大小为，F安=BIL=, 即金属棒所受安培力的大小与速率成正比，A正确；金属棒由静止开始从 ab 处沿导轨向上加速运动过程中，安培力做负功，根据动能定理，W安+WF-mgx0sinθ=，金属棒运动的速度—位移 图像与横轴所围面积为，W安=-Σ△x=-Σv△x，而Σv△x等于金属棒运动的速度—位移 图像与横轴所围面积为，即W安=-= - ，拉力 F 做的功为WF=+ mgx0sinθ+，D正确；电路中产生的焦耳热等于克服安培力做的功，定值电阻产生的焦耳热为Q=0.5 ×=，C错误。 4. (2025河北十县联考)如图所示，竖直放置的光滑导轨宽为L，上端接有阻值为R的电阻，导轨的一部分处于宽度和间距均为d、磁感应强度大小均为B的4个矩形匀强磁场中.质量为m的水平金属杆ab在距离第1个磁场h高度处由静止释放，发现金属杆进入每个磁场时的速度都相等.金属杆接入导轨间的电阻为3R，与导轨始终垂直且接触良好，导轨电阻不计，重力加速度为g，h>d，下列说法正确的是（ ） A.金属杆从第4个磁场穿出时，金属杆中产生的热量6mgd B.金属杆从第4个磁场穿出时的速度大小为 C.金属杆穿过第1个磁场的过程，通过电阻R的电荷量为 D.金属杆在第1个磁场中做加速度越来越大的减速运动 【答案】.C 【解析】.由于金属杆进入每个磁场的速度都相等，故在金属杆穿过第一区域磁场到进入第二区域磁场，根据能量守恒可知，故穿过第四个磁场时产生的总热量，A错误；B.设穿过第四个磁场的速度为v，根据能量守恒可知，解得，B错误；C.根据法拉第电磁感应定律，穿过第一个磁场的电动势，，通过电路中的电流，又因为，联立上述各式可得，C正确；D.对金属杆受力分析可知，，解得，金属杆的质量不变，随着金属杆向下运动，由于金属杆减速，感应电动势逐渐变小，电路中的感应电流变小，金属杆受到的安培力F变小，故加速度越来越小，D错误.故选C. 5. （2024年新蔡县一高9月质检）小草在微风中会左右摇摆，有人受此启发设计了微风摇摆发电装置，其原理简化图如图所示。空间中存在垂直于纸面的匀强磁场，微风使导体棒在两固定的平行金属导轨之间垂直于磁场方向往复运动，此时导体棒相当于电源，可通过金属导轨对外供电。将导体棒的运动视为简谐运动，其速度随时间的变化规律为。已知匀强磁场的磁感应强度大小为B，两导轨的间距和导体棒的长度均为L，导体棒的电阻为r，导体棒始终与导轨垂直，导轨和导线的电阻均不计。若使其对阻值为R的电阻供电，则一个周期内电阻R产生的焦耳热为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 导体棒切割磁感线产生电动势的瞬时值为 回路中电流的有效值为 一个周期内电阻产生的焦耳热为 故选C。 6．(2025湖北名校联盟质检)如图所示，水平面内放置着电阻可忽略不计的金属导轨，其形状满足方程，空间分布者垂直xOy平面向内的匀强磁场。先将足够长的导体棒ab与x轴重合，且关于y轴对称放置，再用沿y轴正向的外力使其由静止开始做匀加速直线运动，导体棒先后经过、的位置。若导体棒接入电路的电阻和其长度成正比，运动过程中始终和x轴平行并和导轨接触良好，不计摩擦，下列说法正确的是（ ） A．导体棒经过、的位置时，闭合回路中的电动势之比为 B．导体棒经过、的位置时，闭合回路中的电流大小之比为 C．经过、的位置时，导体棒所受安培力大小之比为 D．、过程中，闭合回路中产生的电热之比为 【答案】D 【解析】若导体棒运动到某一位置，速度大小为v，其与导轨接触点的坐标为，由匀变速直线运动规律：，根据法拉第电磁感应定律，闭合回路中的感应电动势大小为：，解得：，故感应电动势之比为，A错误；由闭合电路欧姆定律，闭合回路中的电流为，其中，解得：，故电流之比为，B错误；导体棒所受安培力大小为：，解得：，故安培力之比为，C错误；显然，导体棒所受安培力大小与其位移大小y成正比，作出安培力随着位移变化的图像，图像与横轴所围的面积即导体棒运动过程中克服安培力做的功，也就是闭合回路产生的电热：，解得：，故电热之比为：，D正确。 7 (四川雅安市高2025年4月第二次诊断)如图所示，顶角为74°足够长的等腰三角形金属轨道MON水平固定在方向竖直向上，磁感强度的匀强磁场中，沿轨道角平分线方向建立坐标轴Ox。质量m＝0.01kg且足够长的金属棒ab静止放在轨道上，其中点与O点重合。质量为M＝0.04kg的绝缘物块沿Ox方向以速度与金属棒ab发生碰撞并迅速粘在一起，之后一起在轨道上做减速运动。金属棒与坐标轴Ox始终垂直，与轨道始终接触良好。已知金属棒与导轨单位长度电阻值均为r＝0.125Ω，不计一切摩擦阻力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求 （1）物块与ab棒碰撞后瞬间共同速度的大小； （2）物块与ab棒一起运动速度v＝0.1m/s时，回路中感应电流的大小； （3）从物块与ab棒碰撞后瞬间到它们停下来的过程中，物块与ab棒运动的距离。 【答案】（1） （2）0.1A （3）0.2m 【解析】(1)物块与金属棒ab碰撞过程中动量守恒，有 解得 (2)ab切割磁感线设切割长度为L，回路中产生感应电动势，根据法拉第电磁感应定律有E=BLv 回路中总电阻 回路中电流 解得I=0.1A (3)若某时刻杆长为L，则回路中电阻为 经过，由动量定理可得 其中 注意到v△t=△x, 联立解得 =(M+m)△v， R=L（1+1/sin37°）r， 方程两侧求和，注意到Σ△x=x，Σ△v=v共， tan37°=L/2x 联立可得 解得x= 0.2m 8. 如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ置于垂直于斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝1 T，金属导轨倾角θ＝37°，导轨间距l＝1 m，其电阻不计。K为单刀双掷开关，当其掷于1端时，电容C＝1 F的电容器接入电路；当其掷于2端时，有R＝1 Ω的电阻接入电路。金属杆OO'质量m＝1 kg，接入电路的阻值也为R＝1 Ω。初始时，OO'锁定。已知重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。 （1）将K掷于2端，释放OO'，求OO'的最大速度； 答案：（1）12 m/s　 解析：（1）当OO'加速度为零时，OO'的速度最大，对金属杆受力分析有mgsin θ＝IBl 通过金属杆的电流为I＝ 金属杆产生的感应电动势为E＝Blv 联立解得最大速度v＝12 m/s。 （2）将K掷于1端，释放OO'，求系统稳定时金属杆的加速度大小。 答案：（2）3 m/s2 解析：（2）由电流定义式得I＝ 由电容定义式得C＝，得 Δq＝CΔU 由法拉第电磁感应定律得ΔU＝ΔE＝BlΔv 联立可得感应电流I＝CBla OO'所受安培力的大小为F＝IlB＝CB2l2a 对OO'应用牛顿第二定律有 mgsin θ－CB2l2a＝ma 解得a＝ 代入数据得a＝3 m/s2。 9 （2025四川德阳二诊）如图甲所示，两根平行、光滑且足够长金属导轨固定在倾角为θ=30°的斜面上，其间距L=2m。导轨间存在垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B=2T。两根金属棒NQ和ab与导轨始终保持垂直且接触良好，NQ棒在轨道最低位置，与两轨道最低点的两个垂直于轨道的压力传感器接触（两压力传感器完全相同，连接前，传感器已校零）。已知ab棒的质量为2kg，NQ棒和ab棒接入电路的电阻均为2Ω，导轨电阻不计。t=0时，对导体棒ab棒施加平行于导轨的外力F，使ab导体棒从静止开始向上运动，其中一个压力传感器测量的NQ棒的压力为 FN，作出力FN随时间t的变化图像如图乙所示（力FN大小没有超出拉力传感器量程），重力加速度g取10m/s2。求： （1）金属棒NQ的质量M； （2）t1=1s时，外力F的大小； （3）已知在t2=2s时，撤去外力，ab棒又经过0.4s速度减小到零，求此时ab棒离出发点的距离。 【解析】 （1）在t=0时刻，FN=6N，对金属棒NQ受力分析，由平衡条件，2FN=Mgsinθ，解得M=2.4kg （2）在t=1s时刻，FN=3N，对金属棒NQ受力分析，由平衡条件，F安+2FN=Mgsinθ， 解得FN=Mgsinθ- F安， 由电磁感应定律，E=BLv1，E=I·2R，F安=BIL， 联立解得：v1=1.5m/s 由F安+2FN=Mgsinθ， 解得FN=Mgsinθ-， 乙图中，FN=6-3t， 由于FN随时间t均匀减小，所以ab棒做匀加速运动，其加速度a===1.5m/s2。 对金属棒ab受力分析，由牛顿第二定律，F-mgsinθ=ma， 联立解得 F=19N （3）在前2s的位移为s1=，在最后0.4s内，由动量定理， mgsinθ·t+ΣF安△t=mv， F安=BiL，q=Σi△t=t，=E/2R，E=△Φ/△t，△Φ=BLx， 由以上各式联立解得x=0.5m，总位移s=s1+x=3.5m 10 （2024高考福建模拟）L=0.75m的导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度B=0.4T的匀强磁场。虚线框I、II中有定值电阻R0和最大阻值为20Ω的滑动变阻器R。一根与导轨等宽的金属杆在沿着导轨方向拉力F作用下，以恒定速率v向右运动，图甲和图乙分别为变阻器全部接入和一半接入时，电路上电势φ沿abcdefa方向的位置变化而变化的图像；导轨和金属杆的电阻均可忽略。 （1）分析并说明定值电阻R0在I还是II中，并求出其值R0； （2）分析确定匀强磁场的方向，求出金属杆运动的速率v； （3）若金属杆受到拉力为F=0.045N，求此时滑动变阻器两端电压U3。 【名师解析】（1）由法拉第电磁感应定律可知，金属杆在沿着导轨方向拉力F作用下，以恒定速率v向右运动，金属杆切割磁感线产生的感应电动势E=BLv不变，由闭合电路欧姆定律可得，回路中的电流I= 变阻器从全部接入到一半接入电路，回路中电流增大，定值电阻R0上电压增大，图甲的Uab小于图乙的Uab，可以推理出定值电阻在I内，滑动变阻器在II内。 由甲图可得滑动变阻器接入电路电阻R1=20Ω，其两端电压为U1=1.2V。 由欧姆定律，回路电流I1==0.06A 由闭合电路欧姆定律，I1= 由乙图可得滑动变阻器接入电路中电阻R2=10Ω，其两端电压U2=1.0V 由欧姆定律，回路电流I2==0.10A 由闭合电路欧姆定律，I2= 联立解得：R0=5Ω，E=1.5V （2）由图可知，a点电势比d点电势高，说明导体棒上端为电源正极，导体棒切割磁感线产生的感应电流方向向上，根据右手定则判断出匀强磁场的方向垂直纸面向里。 由E=BLv解得v=5m/s。 （3）金属棒匀速运动，所受安培力等于拉力 F=BI3L I3= 由部分电路欧姆定律 U3=I3R3， 解得 I3=0.15A，R3=5Ω，U3=0.75V 11、（2024年秋季湖北省随州市部分高中联考协作体12月月考）如图所示，在倾角为θ的斜面内有两条足够长的不计电阻的平行金属导轨，导轨宽度为L，导轨上端连有阻值为R的电阻；在垂直于导轨边界ab上方轨道空间内有垂直于导轨向上的均匀变化的匀强磁场B1；边界ab下方导轨空间内有垂直于导轨向下的匀强磁场B2。电阻为R、质量为m的导体棒MN垂直于导轨放置，磁场B1随时间均匀减小，且边界ab上方轨道平面内磁通量变化率大小为k，MN静止且受到导轨的摩擦力为0；撤去磁场B2，MN从静止开始在较短的时间t内做匀加速运动通过的距离为x。重力加速度为g。 (1)求磁场B2的磁感应强度大小；(4分） (2)求导体棒MN与导轨之间动摩擦因数；(4分） (3)若撤去B1，恢复B2，MN从静止开始运动，求其运动过程中的最大动能。(4分） [解析]　 (1)磁场B1随时间均匀减小，设回路中感应电动势为E，感应电流为I，则根据法拉第电磁感应定律E＝＝k 根据闭合电路欧姆定律I＝ MN静止且受到导轨的摩擦力为零，受力平衡mg sin θ＝B2IL 解得B2＝。 (2)撤去磁场B2，设MN从静止开始做匀加速运动过程中的加速度为a，导体棒MN与导轨之间动摩擦因数为μ，则x＝at2 根据牛顿第二定律mg sin θ－μmg cos θ＝ma 解得μ＝tan θ－。 (3)若撤去B1，恢复B2，设MN运动过程中的最大速度为vm，最大动能为Ekm，稳定时 mg sin θ＝μmg cos θ＋F安 导体切割磁感线E′＝B2Lvm 通过回路的感应电流I′＝ 安培力为F安＝B2I′L＝ 最大动能Ekm＝ 联立方程解得Ekm＝。 [答案]　(1)tan θ－　(3) 12. (2024江西赣州期末) 如图所示，足够长的两根平行金属轨道固定放置，间距，其中轨道aa1、bb1水平，轨道a1a2、b1b2与水平面成，金属导轨处在垂直斜面轨道向上且大小的匀强磁场中。在轨道aa1、bb1之间固定了两个绝缘立柱，紧挨绝缘立柱左侧放置一金属杆2，金属杆1从斜面轨道a1a2、b1b2上静止释放，经过位移时，金属杆1恰好达到最大速度。已知金属杆1和2的质量均为，长度均为，电阻均为，金属杆与导轨接触良好并始终保持与导轨垂直，不计导轨电阻和一切摩擦，取（忽略金属杆1运动过程中对原磁场的影响），求： （1）金属杆1的最大速度大小； （2）金属杆1达到最大速度过程中金属杆2产生的焦耳热； （3）金属杆1达到最大速度过程中两个绝缘立柱对金属杆2产生冲量大小。 【答案】（1）2m/s；（2）7J；（3） 【解析】 （1）金属杆1运动时金属杆2由于立柱的阻挡保持静止，金属杆1最大速度时，金属杆1合外力为0，则 代入数据求得 （2）金属杆1从静止到最大速度过程中，由动能定律可知 金属杆1和金属杆2电阻相等，金属杆2产生的焦耳热为总电能的一半 解得 （3）金属杆1运动到最大速度过程中，金属杆1流过的电荷量 解得 金属杆1运动到最大速度过程中，金属杆1受到的安培力冲量大小 解得 金属杆1运动过程中，金属杆1和金属杆2所受的安培力大小相等，所以安培力对金属杆1和金属杆2的冲量大小相等，又因为金属杆所受的安培力不是水平的，所以立柱对金属杆2的冲量为 13. （2024山东菏泽高二期末）如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内。MP连线与直导轨垂直，整个空间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。现将长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab从一定高度处以速度水平抛出，不计空气阻力，恰落在MP处，与平行金属直导轨MN、PQ碰撞后竖直方向速度突变为0，水平方向速度不变，忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。求 （1）在接触MP之前，ab棒两端间的电势差； （2）金属环刚开始运动时的加速度大小； （3）为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离和该过程中ab棒上产生的焦耳热。 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】 （1）根据题意可知，对金属棒ab平抛过程中，只有水平方向的速度切割磁感线，故在接触MP之前，ab棒两端间的电势差 （2）根据题意可知，导轨电阻不计，金属环在导轨间两段圆弧并联接入电路中，轨道外侧的两端圆弧金属环被短路，由几何关系可得，每段圆弧的电阻为 可知，整个回路的总电阻为. ab刚接触MP时，竖直速度突变为零，通过ab的感应电流为 对金属环由牛顿第二定律有 解得 （3）根据题意，结合上述分析可知，金属环和金属棒ab所受的安培力等大反向，则系统的动量守恒，由于金属环做加速运动，金属棒做减速运动，为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，则有当金属棒ab和金属环速度相等时，金属棒ab恰好追上金属环，设此时速度为v，由动量守恒定律有 解得 对金属棒ab，由动量定理有 则有 设金属棒运动距离为，金属环运动的距离为，则有 联立解得 则:金属环圆心初始位置到MP的最小距离 由能量守恒得 ab棒上产生的焦耳热 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考重点考点解读与针对性训练 第十三章 电磁感应 考点113 电磁感应+单杆模型 【考点解读】 电磁感应中的“单杆＋轨道”模型 类型 拉力恒定（含电阻） 拉力恒定（含电容器） 示意图 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定 类型 拉力恒定（含电阻） 拉力恒定（含电容器） 力学观点 开始时a＝，杆ab速度v↑⇒感应电动势E＝Blv↑⇒I↑⇒安培力F安＝IlB↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝ 开始时a＝，杆ab速度v↑⇒感应电动势E＝Blv↑，经过Δt速度为v＋Δv，此时感应电动势E'＝Bl（v＋Δv），Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝C（E'－E）＝CBlΔv，电流I＝＝CBl＝CBla，安培力F安＝IlB＝CB2l2a，F－F安＝ma，a＝，所以杆以恒定的加速度做匀加速运动 类型 拉力恒定（含电阻） 拉力恒定（含电容器） 图像观点 能量观点 F做的功一部分转化为杆的动能，一部分产生电热：WF＝Q＋m F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WF＝mv2＋EC 【高考真题】 【典例1】．（2025高考安徽卷）（18分）如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，右端连接阻值为R的定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域MNPQ存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。某装置从MQ左侧沿导轨水平向右发射第1根导体棒，导体棒以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定；从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒仍以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，以此类推，直到发射第n根相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量为m，电阻为R，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力、导轨的电阻，忽略回路中的电流对原磁场的影响。 求： (1)第1根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率； (2)第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，其横截面上通过的电荷量； (3)从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量。 【典例2】．（2024年高考湖北卷第15题）. 如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内，直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的圆弧导轨相切。MP连线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab由静止释放， 求： （1）ab刚越过MP时产生的感应电动势大小； （2）金属环刚开始运动时的加速度大小； （3）为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离。 【典例3】. . （2022高考上海）宽L=0.75m的导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度B=0.4T的匀强磁场。虚线框I、II中有定值电阻R0和最大阻值为20Ω的滑动变阻器R。一根与导轨等宽的金属杆以恒定速率向右运动，图甲和图乙分别为变阻器全部接入和一般接入时沿abcda方向电势变化的图像。求： （1）匀强磁场的方向； （2）分析并说明定值电阻R0在I还是在II中，并且R0大小为多少？ （3）金属杆运动的速率； （4）滑动变阻器阻值为多大时变阻器的功率最大？并求出该最大功率Pm。 【针对性训练】 1. （2025·广东佛山模拟）两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，顶端接阻值为R的电阻。质量为m、电阻为r的金属棒在距磁场上边界某处由静止释放，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场垂直，如图所示。不计导轨的电阻，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A.金属棒在磁场中运动时，流过电阻R的电流方向为a→b B.金属棒刚进磁场时一定做加速运动 C.金属棒的速度为v时，金属棒所受的安培力大小为 D.金属棒以稳定的速度下滑时，电阻R的热功率为R 2 （2025·山东烟台模拟）如图所示，一光滑、电阻忽略不计的轨道固定在架台上，轨道由倾斜和水平两段组成，倾斜段的上端连接一电阻R＝0.5 Ω，两轨道间距d＝1 m，水平部分两轨道间有一竖直向下，磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场。一质量m＝0.5 kg、长为l＝1.1 m、电阻忽略不计的导体棒，从轨道上距水平面h1＝0.8 m高处由静止释放，通过磁场区域后从水平轨道末端水平飞出，落地点与水平轨道末端的水平距离x2＝0.8 m，水平轨道距水平地面的高度h2＝0.8 m。通过计算可知（g取10 m/s2）（　　） A.导体棒进入磁场时的速度为3 m/s B.导体棒整个运动过程中，电阻R上产生的热量为3 J C.磁场的长度x1为2 m D.整个过程通过电阻的电荷量为2 C 3 （2025重庆模拟）如图甲所示，一倾角为 θ、上端接有阻值为 R 的定值电阻的光滑导轨，处于磁感应强度大小为 B、方向垂直导轨 平面向上的匀强磁场中，导轨间距为 L，导轨电阻忽略不计、且 ab 两点与导轨上端相距足够远。一质量为 m 的金属棒， 在棒中点受到沿斜面且平行于导轨的拉力 F 作用，由静止开始从 ab 处沿导轨向上加速运动，金属棒运动的速度—位移 图像如图乙所示（b 点位置为坐标原点）。金属棒在导轨间连接的阻值为 R，且重力加速度为 g，则金属棒从起点 b 沿 导轨向上运动 x0的过程中（ ） A．金属棒所受安培力的大小与速率成正比 B．金属棒做匀加速直线运动 C．定值电阻产生的焦耳热为 D．拉力 F 做的功为 + mgx0sinθ+ 4. (2025河北十县联考)如图所示，竖直放置的光滑导轨宽为L，上端接有阻值为R的电阻，导轨的一部分处于宽度和间距均为d、磁感应强度大小均为B的4个矩形匀强磁场中.质量为m的水平金属杆ab在距离第1个磁场h高度处由静止释放，发现金属杆进入每个磁场时的速度都相等.金属杆接入导轨间的电阻为3R，与导轨始终垂直且接触良好，导轨电阻不计，重力加速度为g，h>d，下列说法正确的是（ ） A.金属杆从第4个磁场穿出时，金属杆中产生的热量6mgd B.金属杆从第4个磁场穿出时的速度大小为 C.金属杆穿过第1个磁场的过程，通过电阻R的电荷量为 D.金属杆在第1个磁场中做加速度越来越大的减速运动 5. （2024年新蔡县一高9月质检）小草在微风中会左右摇摆，有人受此启发设计了微风摇摆发电装置，其原理简化图如图所示。空间中存在垂直于纸面的匀强磁场，微风使导体棒在两固定的平行金属导轨之间垂直于磁场方向往复运动，此时导体棒相当于电源，可通过金属导轨对外供电。将导体棒的运动视为简谐运动，其速度随时间的变化规律为。已知匀强磁场的磁感应强度大小为B，两导轨的间距和导体棒的长度均为L，导体棒的电阻为r，导体棒始终与导轨垂直，导轨和导线的电阻均不计。若使其对阻值为R的电阻供电，则一个周期内电阻R产生的焦耳热为（ ） A. B. C. D. 6．(2025湖北名校联盟质检)如图所示，水平面内放置着电阻可忽略不计的金属导轨，其形状满足方程，空间分布者垂直xOy平面向内的匀强磁场。先将足够长的导体棒ab与x轴重合，且关于y轴对称放置，再用沿y轴正向的外力使其由静止开始做匀加速直线运动，导体棒先后经过、的位置。若导体棒接入电路的电阻和其长度成正比，运动过程中始终和x轴平行并和导轨接触良好，不计摩擦，下列说法正确的是（ ） A．导体棒经过、的位置时，闭合回路中的电动势之比为 B．导体棒经过、的位置时，闭合回路中的电流大小之比为 C．经过、的位置时，导体棒所受安培力大小之比为 D．、过程中，闭合回路中产生的电热之比为 7 (四川雅安市高2025年4月第二次诊断)如图所示，顶角为74°足够长的等腰三角形金属轨道MON水平固定在方向竖直向上，磁感强度的匀强磁场中，沿轨道角平分线方向建立坐标轴Ox。质量m＝0.01kg且足够长的金属棒ab静止放在轨道上，其中点与O点重合。质量为M＝0.04kg的绝缘物块沿Ox方向以速度与金属棒ab发生碰撞并迅速粘在一起，之后一起在轨道上做减速运动。金属棒与坐标轴Ox始终垂直，与轨道始终接触良好。已知金属棒与导轨单位长度电阻值均为r＝0.125Ω，不计一切摩擦阻力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求 （1）物块与ab棒碰撞后瞬间共同速度的大小； （2）物块与ab棒一起运动速度v＝0.1m/s时，回路中感应电流的大小； （3）从物块与ab棒碰撞后瞬间到它们停下来的过程中，物块与ab棒运动的距离。 8. 如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ置于垂直于斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝1 T，金属导轨倾角θ＝37°，导轨间距l＝1 m，其电阻不计。K为单刀双掷开关，当其掷于1端时，电容C＝1 F的电容器接入电路；当其掷于2端时，有R＝1 Ω的电阻接入电路。金属杆OO'质量m＝1 kg，接入电路的阻值也为R＝1 Ω。初始时，OO'锁定。已知重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。 （1）将K掷于2端，释放OO'，求OO'的最大速度； 9 （2025四川德阳二诊）如图甲所示，两根平行、光滑且足够长金属导轨固定在倾角为θ=30°的斜面上，其间距L=2m。导轨间存在垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B=2T。两根金属棒NQ和ab与导轨始终保持垂直且接触良好，NQ棒在轨道最低位置，与两轨道最低点的两个垂直于轨道的压力传感器接触（两压力传感器完全相同，连接前，传感器已校零）。已知ab棒的质量为2kg，NQ棒和ab棒接入电路的电阻均为2Ω，导轨电阻不计。t=0时，对导体棒ab棒施加平行于导轨的外力F，使ab导体棒从静止开始向上运动，其中一个压力传感器测量的NQ棒的压力为 FN，作出力FN随时间t的变化图像如图乙所示（力FN大小没有超出拉力传感器量程），重力加速度g取10m/s2。求： （1）金属棒NQ的质量M； （2）t1=1s时，外力F的大小； （3）已知在t2=2s时，撤去外力，ab棒又经过0.4s速度减小到零，求此时ab棒离出发点的距离。 10 （2024高考福建模拟）L=0.75m的导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度B=0.4T的匀强磁场。虚线框I、II中有定值电阻R0和最大阻值为20Ω的滑动变阻器R。一根与导轨等宽的金属杆在沿着导轨方向拉力F作用下，以恒定速率v向右运动，图甲和图乙分别为变阻器全部接入和一半接入时，电路上电势φ沿abcdefa方向的位置变化而变化的图像；导轨和金属杆的电阻均可忽略。 （1）分析并说明定值电阻R0在I还是II中，并求出其值R0； （2）分析确定匀强磁场的方向，求出金属杆运动的速率v； （3）若金属杆受到拉力为F=0.045N，求此时滑动变阻器两端电压U3。 11、（2024年秋季湖北省随州市部分高中联考协作体12月月考）如图所示，在倾角为θ的斜面内有两条足够长的不计电阻的平行金属导轨，导轨宽度为L，导轨上端连有阻值为R的电阻；在垂直于导轨边界ab上方轨道空间内有垂直于导轨向上的均匀变化的匀强磁场B1；边界ab下方导轨空间内有垂直于导轨向下的匀强磁场B2。电阻为R、质量为m的导体棒MN垂直于导轨放置，磁场B1随时间均匀减小，且边界ab上方轨道平面内磁通量变化率大小为k，MN静止且受到导轨的摩擦力为0；撤去磁场B2，MN从静止开始在较短的时间t内做匀加速运动通过的距离为x。重力加速度为g。 (1)求磁场B2的磁感应强度大小；(4分） (2)求导体棒MN与导轨之间动摩擦因数；(4分） (3)若撤去B1，恢复B2，MN从静止开始运动，求其运动过程中的最大动能。(4分） 12. (2024江西赣州期末) 如图所示，足够长的两根平行金属轨道固定放置，间距，其中轨道aa1、bb1水平，轨道a1a2、b1b2与水平面成，金属导轨处在垂直斜面轨道向上且大小的匀强磁场中。在轨道aa1、bb1之间固定了两个绝缘立柱，紧挨绝缘立柱左侧放置一金属杆2，金属杆1从斜面轨道a1a2、b1b2上静止释放，经过位移时，金属杆1恰好达到最大速度。已知金属杆1和2的质量均为，长度均为，电阻均为，金属杆与导轨接触良好并始终保持与导轨垂直，不计导轨电阻和一切摩擦，取（忽略金属杆1运动过程中对原磁场的影响），求： （1）金属杆1的最大速度大小； （2）金属杆1达到最大速度过程中金属杆2产生的焦耳热； （3）金属杆1达到最大速度过程中两个绝缘立柱对金属杆2产生冲量大小。 13. （2024山东菏泽高二期末）如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内。MP连线与直导轨垂直，整个空间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。现将长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab从一定高度处以速度水平抛出，不计空气阻力，恰落在MP处，与平行金属直导轨MN、PQ碰撞后竖直方向速度突变为0，水平方向速度不变，忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。求 （1）在接触MP之前，ab棒两端间的电势差； （2）金属环刚开始运动时的加速度大小； （3）为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离和该过程中ab棒上产生的焦耳热。 学科网（北京）股份有限公司 $