期中考前满分冲刺之优质压轴题-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

期中考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、正确结论(说法)的是(选) 1．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法： ①； ②； ③若x为数轴上任意一点，则的最小值为； ④其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，有理数的绝对值的含义，除法运算，整式的加减运算，由题意，且，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：由题意，且， ∴，则 ∴，故①正确 由可得： ∴，故②不正确； 当时，的值最小，最小值为．故③正确； ∵， ∴ ，故④不正确； 故选：A． 2．有理数，，在数轴上的位置如图所示，以下结论：；；；．其中正确结论的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值，合并同类项等知识点，根据数轴判断出、、的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键． 首先根据数轴判断出、、的正负情况以及绝对值的大小，然后求出、、、、、的正负情况，再化简绝对值，最后合并同类项即可得解． 【详解】解：由图可知：，，且， ， 故结论正确； ， 故结论正确； ， 故结论错误； ，，， ， 故结论正确； 综上所述，正确的结论有，共个， 故选：． 3．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，下列结论：①；②；③；④．正确的是（   ） A．②③④ B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，根据点在数轴上的位置，判断出数的符号以及数的大小关系，进而判断出式子的符号，即可得出结论． 【详解】解：由图可知：，，，，， ∴，故①说法错误； ；故②说法正确； ，故③说法错误； ，故④说法正确； 故选：B． 4．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，下列结论：①；②；③；④．正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，根据点在数轴上的位置，判断出数的符号以及数的大小关系，进而判断出式子的符号，即可得出结论． 【详解】解：由图可知：， ∴，故①正确； ；故②错误； ，故③正确； ，故④正确； 故选B． 5．已知数，，的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号，化简绝对值，整式的加减运算，先根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∴，故①正确； ∵ ∴故②正确； ∵，故③正确； ∵，， ∴， ∴；故④正确； 故选D． 6．已知数，，的大小关系如图，下列说法：；；；；若为数轴上任意一点，则的最小值为；其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和数的大小比较，利用数轴也可以比较任意两个数的大小，即在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 首先判断出，，，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可． 【详解】解：由题意，，，则 ，故原结论正确； ，故原结论错误； ，故原结论错误； ，故原结论错误； 当时，的最小值为，故原结论正确． 故正确结论有个． 故选：B． 类型二、程序流程图(选、填) 1．我校计算机社团的同学用编程软件编写出了如下运算程序，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，……，第次输出的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了代数式求值，根据运算程序得出一般性规律是解题的关键．根据运算程序求出前几个输出结果，找出循环规律，再根据规律计算第次输出的结果． 【详解】解：第1次输出的数为：把代入，； 第2次输出的数为：把代入，； 第3次输出的数为：把代入，； 第4次输出的数为：把代入，； 第5次输出的数为：把代入，； 由此得，从第2次输出结果开始，以，循环， ， 第次输出的结果为， 故选：B． 2．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入x的值为2，则输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的结果是，…，那么第2024次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序框图是解本题的关键．把代入程序中计算，以此类推得到一般性规律，即可确定出第2024次输出的结果． 【详解】解：把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 以此类推， ， 第2024次输出的结果为， 故选：D． 3．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，…，则第2024次输出的结果为（    ）    A．6 B．0 C．24 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，找到规律是解题的关键；先分别计算出前几次的输出结果：第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，第3次输出的结果为3，第4次输出的结果为0，第5次输出的结果为0，…，进而归纳得到规律：即从4次开始，输出的结果都为0，由此即可求解． 【详解】解：第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，第3次输出的结果为3，第4次输出的结果为0，第5次输出的结果为0，…，进而归纳得到规律：即从4次开始，输出的结果都为0，则第2024次输出的结果为0； 故选：B． 4．在如图所示的运算程序中，若开始输入的值为5，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，…，则第2025次输出的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题考查程序问题，从程序中找到从第2次开始，每3次 1组，每组按照4，2,1的顺序循环的规律是解题的关键． 【详解】解：第1次， 第2次， 第3次， 第4次， 第5次， 第6次， 第7次． …… 从第2次开始，每3次 1组，每组按照4，2,1的顺序循环， ， ∴第2025次输出的结果为2， 故答案为：2． 5．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2025次输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，罗列输出数据的规律，根据规律解答问题即可． 【详解】解：第一次输出为：； 第二次输出为：； 第三次输出为：； 第四次输出为：； 第五次输出为：； 第六次输出为：； 第七次输出为：； ……， 从第二次输出开始以9，3，1循环， ， ∴第2025次输出结果为3． 故答案为：3． 6．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为5，第1次输出的结果为16，第2次输出的结果为8，则第2025次输出的结果为 ． 【答案】4 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，数字类规律探究，将代入，按照流程图进行计算，找到循环节，进行求解即可． 【详解】解：第1次输出的结果为16，第2次输出的结果为8， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为，， 从第3次开始，输出结果以为一个循环节进行循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为4； 故答案为：4． 类型三、代数式的规律(选、填、解) 1．将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是（    ） A．52 B．67 C．84 D．101 【答案】C 【分析】本题考查图形的变化规律问题，需要找出图形之间的联系，得出运算规律，再利用规律解决问题．第n个图形中，棋子数量为，从而可得答案． 【详解】解：第①个图形中，棋子数量为； 第②个图形中，棋子数量为； 第③个图形中，棋子数量为； ； 第n个图形中，棋子数量为； ∴第⑨个图形中共有棋子的颗数是， 故选：C． 2．如图是由棱长为1的正方体构成的立体图形，第1个图形由1个正方体构成，从上面可以看到1个正方形；第2个图形由4个正方体构成，从上面可以看到3个正方形；第3个图形由10个正方体构成，从上面可以看到6个正方形；……依次类推，第200个图形从上面可以看到正方体的个数是（    ） A．1000个 B．5000个 C．40000个 D．20100个 【答案】D 【分析】本题考查简单组合体的不同方面的观察以及图形的变化类，发现各个图形从上面看到的正方形个数所呈现的规律是正确解答的关键． 根据各个图形从上面看到的正方形个数所呈现的规律进行计算即可． 【详解】解：第①个图形从上面可以看到1个正方形，即； 第②个图形从上面可以看到3个正方形，即； 第③个图形从上面可以看到6个正方形，即； 第④个图形从上面可以看到10个正方形，即； 第200个图形从上面可以看到的正方形的个数为 ． 故选：D． 3．观察下面一列数，，，，，，则第个数为 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，解题的关键是根据所给的数列发现分子和分母的变化规律，然后利用规律解决问题． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第个数的符号为，分子为，分母为：， ∴第个数为（为正整数）， 当时，， 即第个数为． 故答案为：． 4．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10．这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16……这样的数称为“正方形数”，从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如．把“正方形数”169写成两个相邻的“三角形数”之和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，根据三角形数的特点，得到第个三角形数为，根据任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，得到相邻的两个三角形数的和为，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴第个三角形数为， ∵任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和， ∴相邻的两个三角形数的和为， ∵， ∴， ∴第12个三角形数为：，第13个三角形数为， ∴； 故答案为：． 5．学校餐厅中，张桌子可坐人，有以下两种摆放方式： (1)当有张桌子时，第一种摆放方式能坐______人，第二种摆放方式能坐______人； (2)新学期有人在学校就餐，但餐厅只有张这样的餐桌，若你是老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？ 【答案】(1)，； (2)第一种，理由见解析 【分析】本题考查用代数式表示图形的规律，代数式求值，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． （1）第一种，第一张桌子坐6人，后边每多一张桌子多坐4人；第二种，第一张桌子坐6人，后边每多一张桌子多坐2人，根据此规律即可列代数式； （2）分别求出两种情形坐的人数，即可判断． 【详解】（1）解：第一种，第一张桌子坐6人，后边每多一张桌子多坐4人， 即有n张桌子时坐人； 第二种，第一张桌子坐6人，后边每多一张桌子多坐2人， 即有n张桌子时坐人． 故答案为：，； （2）解：选择第一种方式．理由如下； 第一种方式：50张桌子一共可以坐（人）； 第二种方式：50张桌子一共可以坐（人）； ∵， ∴选择第一种方式． 6．下面是用棋子摆成的“T”字形图案： (1)第2个“T”字形图案需要 枚棋子，第3个“T”字形图案需要 枚棋子； (2)按这样的规律摆下去，第个“T”字形图案需要 枚棋子（用含的代数式表示）； (3)照此规律，第50个“T”字形图案需要 枚棋子； (4)请你计算，前100个“T”字形图案一共需要 枚棋子． 【答案】(1)8，11 (2) (3)152 (4)15350 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现棋子枚数的变化规律是解题的关键． （1）根据所给图形，依次求出图形中棋子的枚数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （4）根据题意，将前100个“”字形图案需要的棋子枚数加起来，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个“”字形图案需要的棋子枚数为：； 第2个“”字形图案需要的棋子枚数为：； 第3个“”字形图案需要的棋子枚数为：； ， 所以第个“”字形图案需要的棋子枚数为枚． 故答案为：8，11． （2）解：由（1）知， 第个“”字形图案需要的棋子枚数为枚． 故答案为：． （3）解：令， 则（枚， 即第50个“”字形图案需要的棋子枚数为152枚． 故答案为：152． （4）解：由题知， 前100个“”字形图案一共需要的棋子枚数为：（枚． 故答案为：15350． 类型四、阴影部分面积(选、填、解) 1．把四张形状完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，根据长方形的周长公式分别列出表示两个阴影周长的代数式，再利用整式加减的运算法则进行计算即可．先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b， ∴，， ∴ ， 又∵， ∴， 即图②中两块阴影部分的周长和是． 故选：B． 2．如图，在一个长方形中放入三个大小一样的小长方形，小长方形的长为a，宽为b，则左下角阴影部分的周长与右上角阴影部分的周长差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用，设大长方形的长为，宽为，分别表示出两个阴影部分的周长，作差即可得出结果． 【详解】解：设大长方形的长为，宽为，由图可知： 左下角阴影部分的周长为：， 右上角阴影部分的周长为：， 故左下角阴影部分的周长与右上角阴影部分的周长差为； 故选B． 3．【组合图形的周长】九天阅阅开宫殿，万国衣冠拜冕旒的盛唐气象，一个繁荣、开放的盛唐社会、借由小姐姐们的舞蹈，惟妙惟肖地展现在我们眼前．如图是河南卫视8号演播厅的舞台，长为2023．通过AI投影四个完全一样的白色小长方形后，得到图1、图2，那么，图1中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 根据题意，可以设每个小长方形的长为x，宽为y，大长方形长为a，宽为b，然后根据图形，可以得到x、y与a、b的关系，然后再根据图形可以写出图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差的代数式，然后化简即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为x，宽为y，大长方形长为a，宽为b， 由图①可得，，得， 由图②可得，，，得，， 则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是： ， ∵， ∴原式， 河南卫视8号演播厅的舞台，长为2023，即， 所以图1中阴影部分的周长与图2中阴影部分的H长的差是 故答案为：． 4．把图中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、、、和一张长方形纸片，并将它们按图的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为，阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，根据各线段的数量关系列出代数式，并正确进行计算是解题关键． 根据题意可表示出正方形A、的边长，再根据图中长方形的周长为，可求出的值；根据图的周长比阴影部分的周长多个A的边长，可求出阴影部分的周长． 【详解】解：由图可得，正方形的边长为， 正方形的边长为， ， ， 如图，阴影部分的周长比图的周长少个的边长， 阴影部分的周长： ． 故答案为：． 5．如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块．除阴影A､B外，其余5块是形状､大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)用含x的代数式表示阴影A的长为___________，阴影B的宽为___________； (2)求阴影A的周长比阴影B的周长多多少？ 【答案】(1)20， (2)阴影A的周长比阴影B的周长多 【分析】本题考查列代数式，整式加减的实际应用： （1）根据图形得到阴影A的长为大长方形的长减去3个小长方形的宽，阴影B的宽为大长方形的长减去阴影A的长，列出代数式即可； （2）求出阴影A的宽和阴影B的长，进而求出两个阴影的周长，相减即可得出结果． 【详解】（1）解：由图可知：阴影A的长为， 阴影B的宽为； 故答案为：20，； （2）由图可得阴影A的宽为， 所以阴影A的周长为． 由图可得阴影B的长为， 所以阴影B的周长为． ， 所以阴影A的周长比阴影B的周长多． 6．用4个完全相同的边长为的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽（）为6的大长方形（如图2）． (1)请用含的代数式表示：①的长；②阴影的面积； (2)说明阴影与阴影的周长的和与的关系． 【答案】(1)①；② (2)阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，由拼图用含有a、b的代数式表示，，是正确解答的关键． （1）①由拼图可直接得到AD；②用代数式表示阴影M的长、宽，再根据长方形面积的计算方法即可得出答案； （2）由阴影M与阴影N的周长的和为，据此求解即可． 【详解】（1）解：①由拼图可知，， ②阴影M的长为a，宽为， 所以阴影M的面积为， （2）解：阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关，理由： 如图， 阴影M与阴影N的周长的和为 ， 所以阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关． 类型五、绝对值"1"与“-1”的化简(选、填、解) 1．已知是有理数，当，时，求的值为（    ） A．1或 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘法，有理数加法和绝对值，学生必须熟练掌握才能正确解答．根据，，可得三个数一定是两负一正，然后再进行化简计算即可． 【详解】解：∵，， ∴三个数中必须有两个负数，一个正数，可设， ， ， 故选：B． 2．设a，b，c是不为零的实数，那么的值有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的混合运算，分情况讨论：三个数分为三个正数或三个负数或两个正数，一个负数或两个负数，一个正数；再进一步分析并计算即可. 【详解】解：∵a，b，c是不为零的实数， ∴三个数分为三个正数或三个负数或两个正数，一个负数或两个负数，一个正数； 当三个数为三个正数时， ∴， 当三个数为三个负数时， ∴， 当三个数为两个正数，一个负数时， 当，，时， ∴， 当，，时或，，时， ∴， 当三个数为两个负数，一个正数； 当，，时， ∴， 当，，或，，， ∴， 综上：的值有4种； 故选：B 3．的最小值是 ，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数的乘法，利用绝对值的意义确定a值和b、c的符号是解答的关键．根据绝对值的意义求得a值，再确定b、c符号，然后再根据绝对值的意义化简求解即可． 【详解】解：根据绝对值的意义， 当时，取得最小值，最小值为， ∴，则， ∵， ∴，， ∴，，，， ∴ ． 故答案为：． 4．若三个非零有理数a，b，c满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，化简绝对值，根据，得到的符号为一负两正，进而得到，根据绝对值的意义，化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴的符号为一负两正， ∴， ∴. 故答案为：． 5．请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知是有理数，当时，则______；当时，则_______． (2)已知是有理数，当时，的值为_______． (3)已知是有理数，，求的值． 【答案】(1)， (2)3或或1或 (3) 【分析】本题考查了绝对值的意义、有理数的加法，乘除运算的含义，分类讨论的思想方法，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）根据已知条件去绝对值，再代入即可； （2）分情况去绝对值，再代入即可； （3）根据已知条件得出、、中有两个正数，一个负数，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 则， 当时，， 则． （2）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． （3）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴ ． 6．已知均为不等于零的有理数，完成下列问题： (1)若为正数，则的值为______； (2)若满足，求的值； (3)若且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1或 【分析】本题考查绝对值的性质以及有理数的运算．解题关键是根据绝对值的定义，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，结合已知条件对字母的正负性进行分析，进而求解． （1）为正数，则代入求解即可； （2），即异号，需要分类讨论：①若，，②若，再化简求解即可； （3）且，可以得到，，需要分类讨论①，②，再化简求解即可． 【详解】（1）解：为正数，则， 故答案为：1； （2），即异号 ①若，， ②若，， 综上所述： 故答案为：； （3）且 ， ①，， ②， 综上所述，1或 故答案为：1或． 类型六、算筹问题(选、填、解) 1．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，如图①表示的是（+2）+（﹣2），可推算图②中所得的数值为（　　） A．﹣3 B．+3 C．﹣6 D．+6 【答案】A 【分析】根据“正放表示正数，斜放表示负数”再根据图中的实例列式计算即可． 【详解】解：由题意得，（+3）+（﹣6）＝﹣3， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的加法，理解题意列出算式是解决问题的关键． 2．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图）． 当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的介绍，掌握0-9这十个数字的表达形式及数的表达方法，即可表示出2022这个数． 【详解】由题意各位数码的筹式需要纵横相间， 个位，百位数字用纵式表示，十位，千位数字用横式表示， 则2022 用算筹可表示为， 故选C． 【点睛】本题是一道阅读理解题.解题中要注意读懂题意，掌握算筹表示数的方法，利用数形结合的思想进行分析是解题的关键． 3．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图1表示的是，根据刘徽的这种表示法，可推算图表示的算式及其结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，根据正放表示正数，斜放表示负数，列出算式计算即可，看懂题意是解题的关键． 【详解】解：∵正放表示正数，斜放表示负数， ∴由图可得，， 故答案为： 4．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表． 数字形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．例如：表示的数是6739；    表示的数是2025，则“”表示的数是 ． 【答案】8219 【分析】本题考查了算筹计数法及数字规律的应用，牢记算筹表示数字的方式，以及算筹计数法中个位、十位、百位、千位等不同数位交替使用纵式和横式的规则，是解题的关键； 根据题意用算筹计数法计数即可． 【详解】 解：千位上“”对应横式中的8，百位上“”对应纵式中的2，十位上“”对应横式中的1，个位上“”对应纵式中的9， ∴“”表示的数是8219． 故答案为：8219． 5．算筹是我国古代一种常用的数学工具，古人通常用算筹记数和进行数的简单运算．如图1，用算筹表示数字有两种方式：纵式和横式．我们可以使用纵横交替的十进制记数法表示数字．具体而言，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，依此类推．数字0要空位，在个位数上划上斜线以表示负数． 如“”表示38，“”表示1983． 【观察思考】 （1）请写出图2，图3中算筹表示的数为______，______． （2）利用算筹可以进行简单的加法运算，请同学们观察的计算步骤，并在第5步中填入正确的算筹摆放方式． 【迁移运用】 《孙子算经》对算筹乘法有详细阐述．将被乘数放在上排（上位），乘数放在下排（下位），乘数的个位对齐被乘数的最高位．上下排之间，留空几排，作中间积存放处．下图即为计算的演示步骤： （3）试用算式解释“利用算筹进行乘法运算”的原理； 【总结提升】 （4）观察以上计算过程，对比我们现在所使用的竖式计算，你有什么发现，请写出你的发现． 【答案】（1）266；；（2）见解析；（3）见解析；（4）算筹进行乘法运算的原理是乘法分配律 【分析】本题主要考查了对于算筹的理解和数的表示，正确理解题意是解题的关键． （1）根据算筹的表示方法即可得到答案； （2）根据题意可知十位数字因为进位变成0，百位数字因为进位变为6，据此画图即可； （3）就是把38分成30和8，把76分成70和6，再根据乘法分配律求解即可； （4）根据题意可得算筹进行乘法运算的原理是乘法分配律． 【详解】解：（1）由题意得，图2表示的数为266，图3表示的数为； （2）如图所示，即为所求； （3）就是把38分成30和8，把76分成70和6， ； （4）观察以上计算过程，对比我们现在所使用的竖式计算可知，算筹进行乘法运算的原理是乘法分配律． 6．我国在数的发展上有辉煌的历史，其中算筹计数法可追溯到公元前五世纪．算筹是竹制的小棍，摆法有横式和纵式两种（如图）．它计数的方法是：摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，零以空格表示．如3123，表示为． （1）请用算筹表示数721（在答题卷的图1中画出）； （2）用三根算筹表示一个两位数（用完三根算筹，且十位不能为零），在答题卷图2的双方框中把所有可能的情况都画出来，并在下方的横线上填上所表示的数（注：图中的双方框仅供选用，不一定用完）． 　　　 【答案】（1）；（2）共有6种可能，如图所示，见解析． 【分析】根据图形的表示方法，对（1）、（2）进行解答即可． 【详解】解：（1）依题意得：； （2）依题意，共有6种可能，如下图所示： 【点睛】此题考查图形类的规律，仔细观察题干给出的规律即可 类型七、日历问题(解) 1．如图是某月的日历． (1)通过计算说明，带阴影的方框中的个数之和与方框正中的数有什么关系？ (2)不改变方框的大小，如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试（方框内必须有数字），上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立（尽量用数学语言表述） 【活学活用】 小刚是个爱动脑筋的同学，在发现教程中的用方框在日历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数，，，，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：    (3)十字框中的五个数的和与中间的数有什么关系？ (4)设中间的数为，用代数式表示十字框中的五个数的和； (5)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五位数，其它五位数的和能等于吗？如能，写出这五位数，如不能，说明理由． 【答案】(1)方框中个数之和为方框正中心的倍； (2)见解析； (3)十字框中的五个数的和是中间的数的倍； (4)； (5)不能，理由见解析． 【分析】（）方框中个数相加即可得出结论； （）设中间的数为，则另外八个数分别为、、，，、，，，将九个数相加即可得出结论； （）将五个数相加即可得出结论； （）设中间的数为，则另外四个数分别为、、、，将五个数相加即可得出结论； （）设中间的数为，根据（）的规律可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，然后判定的五个数的和不能能等于； 本题考查了规律型中数字的变化类，观察表格中的数据，找出十字框中的五个数的和是中间的数的倍是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴十字框中的五个数的和是中间的数的倍； （2）由题意得设中间这个数为，另外八个数分别为、、，，、，，， ∴； （3）∵， ∴十字框中的五个数的和是中间的数的倍； （4）由题意得另外四个数分别为、、、， ∴； （5）不能，理由如下： 设中间的数为，根据题意得：，解得：， ∵排在最后一列， ∴框住的五个数的和不能等于． 2．观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题． (1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”； (2)请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； (3)在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是3的倍数 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，倍数，整式得加减，掌握数字变化类的规律是解题的关键． （1）根据日历中“阶梯框”中的数字规律即可解答； （2）将6个数相加即可解答； （3）根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，日期数字中不可能； 【详解】（1）解：如图所示： a （2） 所以日历中"阶梯框"中的数字之和一定是3的倍数； （3）不可能，根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，当 时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，日期数字中不可能出现32． 3．数学来源于生活，又服务于生活，生活中处处都有数学的身影．如图1是2024年11月份的日历，请仔细观察该日历，回答下列问题： 【观察发现】 （1）小乐在日历画出一个的方框，框住四个数（如图1阴影区域），若第一个数字表示为，则四个数的和可以表示为______． 【数学思考】 （2）小明又在日历画出一个的方框，框住九个数（如图2阴影区域），若方框正中心的数表示为，则阴影区域中的9个数之和可以表示为______，图中______． 【解决问题】 （3）小华发现的方框在日历上移动的过程中（如图3所示），四个数存在特定的规律，即的值不变．小芳认为小华的猜想正确，她进行了推理证明，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． 【类比探究】 （4）借助图2中的日历，继续进行如下探究：在日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”值的规律，直接写出你的结论． 【答案】（1）；（2）；0；（3）见详解；（4）的值均为0 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是能观察得到日历表中框出数字的规律． （1）根据框出的数字规律填空即可． （2）根据框出的数字规律和有理数加减法法则填空即可． （3）设，则，根据数量关系列出算式计算即可求解． （4）设，则，根据数量关系列出算式计算即可求解． 【详解】（1）解：若第一个数字表示为， 则其他三个数分别表示为， 则四个数的和可以表示为． 故答案为： （2）若方框正中心的数表示为， 则第一排三个数分别表示为， 第二排三个数分别表示为， 第三排三个数分别表示为， 则阴影区域中的9个数之和可以表示为， 图中． 故答案为：，0 （3）解：设，则， ， 的值均为． 故答案为： （4）解：的值均为0，理由如下： 设，则， ． ∴的值均为0． 4．数学活动——探究日历中的数字规律：如图是年月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ； 将的方框移动到图中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， ， （ ）， ， 所以，的值均为 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图中的日历，继续进行如下探究．请从下列，两题中任选一题作答．我选择 题． ．在日历中用“型框”框住位置如图所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； ．在日历中用“型框”框住位置如图所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，，， (3)见解析 【分析】（）计算所列式子即可； （）根据框出数字规律填空即可； （）选择，设，则，，，再代入计算即可；选择，设，则，，，再代入计算即可； 本题考查了整式的加减，解题的关键是能观察得到日历表中框出数字的规律． 【详解】（1）解： ； 将的方框移动到图中的其他位置，总有，，， ； 故答案为：；； （2）解：设，则，，， ， ， ， ∴的值均为； 故答案为：，，，； （3）解：选择， 的值均为，理由如下： 设，则，，， ； 的值均为； 选择， 的值均为，理由如下： 设，则，，， ， 的值均为． 5．如图是某年11月的日历，用一个“”形阴影框住5个数． (1)用“”形阴影框住的5个数中，正中间的数为16，则这5个数的和为______； (2)移动“”形阴影，设位于“”形阴影最中间的一个数为，则这5个数的和为______（用含的代数式表示）； (3)在表中移动“”形阴影的位置，阴影框住的5个数之和为60，求这五个数字中最中间的数． 【答案】(1)80 (2) (3)12 【分析】本题主要考查了日历中的规律和有理数的运算，解决此题的关键是发现日历中的规律； （1）根据日历中日期代表数的规律可知，以中间数为基础，上下或左右两个数的和为中间数的2倍，进而得到答案即可； （2）根据（1）中规律即可得到答案； （3）由（2）中的公式算出答案即可： 【详解】（1）解：， 故答案为：80； （2）解：由（1）中计算过程可发现：以中间数为基础，上下或左右两个数的和为中间数的2倍，； 故答案为：； （3）解：设位于“”形阴影最中间的一个数为，由（2）知， ， ． 所以这五个数字中最中间的数为12． 6．观察日历找规律． (1)观察日历中加框的4个数，你发现了什么？ (2)观察日历中加阴影的9个数，你又发现了什么？ (3)你还能在日历中找到什么规律？ 【答案】(1)如果左上的数字为x，则右上为，左下为：，右下为：． (2)方框中9个数的和是中间数的9倍． (3)表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1． 【分析】本题主要考查了数表中的规律，用代数式表示， （1）根据所给日历，利用日历中各数之间的关系，发现规律：每行相邻两数差1，每一列相邻两数差7，解答即可； （2）直接写出这9个数，求出和，再根据结果解答； （3）根据（1）解答即可． 【详解】（1）解：利用日历中各数之间的关系，发现规律： 如果左上的数字为x，则右上为，左下为，右下为； （2）解： 答：方框中9个数的和是中间数的9倍； （3）解：我发现：表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1． 类型八、收费、打折问题(解) 1．为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家10月用电量为160度，则他们家10月的电费是_____元． (2)若小明家11月用电量为230度，则他们家11月的电费是_____元． (3)若小明家12月用电量为度；请用含的代数式表示他们家12月应缴的电费． 【答案】(1)10月的电费是80元 (2)11月的电费是120元 (3)见详解 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，再结合10月用电量为160度，进行列式计算，即可作答． （2）先理解题意，再结合11月用电量为230度，进行列式计算，即可作答． （3）理解题意，进行分类讨论，根据不同情况进行列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元） ∴10月的电费是80元； （2）解：依题意，（元） ∴11月的电费是120元； （3）解：依题意，当时，则电费是元； 当时， ∴， 则电费是元； 当时， ∴， 则电费是元． 2．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如下所示是该市自来水收费价格见价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元/ 超出但不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算． (1)填空：若该户居民2月份用水，则应收水费______元； (2)若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示并化简） (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水，求该户居民4，5月份共交水费多少元？（用含的整式表示并化简） 【答案】(1)8 (2)元 (3)见解析 【分析】此题主要考查了整式的加减的应用，分段收费的含义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据表格中的收费标准，求出水费即可； （2）根据a的范围，求出水费即可； （3）根据5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于，分4月份的用水量少于时，5月份用水量超过；4月份用水量不低于，但不超过时，5月份用水量不少于，但不超过；4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过但少于三种情况分别求出水费即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）； （2）解：根据题意得：元． 答：应收水费元； （3）解：由5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于， 当4月份用水量少于时，5月份用水量超过，则4，5月份共交水费为： 元； 当4月份用水量不低于，但不超过时，5月份用水量不少于，但不超过，则4，5月份交的水费为： 元； 当4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过但少于，则4，5月份交的水费为： （元）． 3．滴滴打车是目前国内最受欢迎的网约车平台之一，为了给用户提供便捷、安全的出行服务，滴滴打车在某市制定了一套收费规则： 起步价：滴滴打车的起步价为10元，乘客预约用车、取消订单等情况都会收取起步价． 里程费：起步里程3公里，超过3公里的部分，将按2元/公里的标准收取里程费用． 时长费：起步时间8分钟，超过8分钟的部分，将按0.5元/分钟的标准收取时长费用． （注：车费由里程费、时长费、起步价构成，其中里程费按行车的实际里程计算，不足1公里按1公里计；时长费按行车的实际时间计算，不足1分钟按1分钟计．） 任务： (1)若自强同学乘坐滴滴打车，行车里程为公里，行车时间为5分钟，需付车费为_____元． (2)若自强同学从家出发，乘坐滴滴打车到体育馆观看比赛，行车里程为19公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元? (3)若自强同学乘坐滴滴打车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则应付车费多少元? 【答案】(1)10 (2)48元 (3) 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，列代数式，解题的关键是理解题意． （1）根据行驶的里程小于3公里，时间小于8分钟，得出答案即可； （2）根据行驶的里程超过3公里，时间超过8分钟，车费包含里程费，时长费和起步价，列出算式进行计算即可； （3）根据行驶的里程超过3公里，时间超过8分钟，用a表示出里程费，用b表示出时长费，列出代数式即可． 【详解】（1）解：， ∴只需付费10元即可； 故答案为：10； （2）解： （元）， 答：需付车费48元； （3）解：根据题意得，自强同学需要付车费： 元， 答：需付车费元． 4．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物620元，他实际付款 元． (2)若某位顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，那么他实际付款 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 元．（用含x的代数式表示）． (3)如果王老师两次购物货款合计850元，第一次购物的货款为a元，用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？（货款为打折前的货物总价） 【答案】(1)546 (2)， (3)元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式．根据题意正确的列代数式是解题的关键． （1）根据500元部分按9折付款，剩下的按8折付款即可； （2）根据当x小于500元但不小于200元时，他实际付款为：购物款折元，当x大于或等于500元时，他实际付款为：折超过500的购物款折元，计算求解即可； （3）由题意知两次购物实际付款第一次购物款折折（总购物款第一次购物款第二次购物款的500）折，把相关数值代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： 元， 故答案为：546； （2）解：由题意知，当x小于500元但不小于200元时，他实际付款元， 当x大于或等于500元时，他实际付款元， 故答案为：，； （3）解：第一次购物的货款为a元，， 第二次购物的货款为元， ∴第一次购物的实际货款为元，第二次购物的实际货款为元， ∴两次实际付款数和为：， ∴两次购物王老师实际付款元． 5．学校准备在商店订购一批某品牌排球和篮球，已知排球每个售价50元，篮球每个售价100元． (1)若要购买个排球，个篮球，则需花费______元； (2)商店开展打折促销活动，推出两种促销方案： 方案一：排球和篮球的单价均按九折优惠出售； 方案二：排球单价按照原价出售，买个篮球，每个篮球的售价为元，篮球售价最低为80元/个． 记方案一的花费为，方案二的花费为． ①若要购买5个排球和5个篮球，判断与的大小关系，并说明理由； ②若要购买个排球，个篮球，求，并化简． 【答案】(1) (2)①；②当时，；当时，． 【分析】本题考查了列代数式，有理数混合运算的应用，整式的加减混合运算，理解题意，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据费用单个售价数量列式即可； （2）①根据两种促销方案分别计算并比较大小即可； ②分两种情况求解：和，根据两种促销方案分别求出、，再作差即可． 【详解】（1）解：排球每个售价50元，篮球每个售价100元， 要购买个排球，个篮球，则需花费元， 故答案为： （2）解：①若要购买5个排球和5个篮球， 则，， ， ； 若要购买个排球，个篮球， 当时，，， ； 当时，，， ． 6．某商家有600件成本元的商品，现将商品分成两部分，分别采取两种销售方案： 方案一： 将其中200件商品交给某直播团队直播带货，商品售价定为成本的2倍再降5元，并用当天销售额的作为整个直播团队的费用，结果当晚所有200件商品全部销售完毕． 方案二： 将剩下400件的商品打折销售，售价定为成本的倍，第一次打八折，售出100件；第二次在第一次基础上再打八折，剩下商品被一抢而空． (1)用含的代数式表示方案一中直播团队的费用为________元； (2)用含的代数式表示方案二的总销售额； (3)用含的代数式表示商家两种方案销售后的总盈利．（总盈利＝总销售额−总成本） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出方案一中直播团队的费用即可； （2）根据题意得出方案二的总销售额即可； （3）根据题意得出两种方案销售后的总盈利即可． 【详解】（1）解：方案一中直播团队的费用为元， 故答案为：； （2）解：（元）； （3）解：商家两种方案销售后的总盈利为：元． 【点睛】此题考查列代数式，解题的关键是根据题意得出代数式求解． 类型九、绝对值的最值问题(解) 1．【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是______，当时，则______； (2)当，则的值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)拓展应用： 试求出取得最小值时，应满足的条件是什么？其最小值为多少？ 【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或1 (2)或4 (3)，8 (4)， 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． （1）结合题意直接可以得出在数轴上的几何意义，表示数轴上与有理数的点之间的距离等于3的点，结合数轴找到点即可； （2）表示数轴上x到与x到3的距离之和，分当x在的左边和当x在3的右边两种情况求解即可； （3）表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和，数轴上x到与x到2的距离之和最小时，x应该在与2之间的线段上，数轴上x到的距离最小时，x在处，所以当时，x到、x到与x到2的距离之和最小； （4）式子表示x到的距离之和，当x是最中间两个数之间的任意值，即时距离之和最小． 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； ∵表示数轴上与有理数的点之间的距离等于3的点， 又∵，， ∴x的值为或1． 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或1； （2）∵即表示数轴上x到与x到3的距离之和， 由于， ∴x在的左边或x在3的右边． 当x在的左边时，， 解得； 当x在3的右边时，， 解得， ∴x的值是或4； 故答案为：或4； （3）∵表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和， 数轴上x到与x到2的距离之和最小时，x应该在与2之间的线段上， 数轴上x到的距离最小时，x在处， ∴当时，x到、x到与x到2的距离之和最小， ∴的最小值为8； 故答案为：，8； （4）∵式子表示x到的距离之和， ∴当x是最中间两个数之间的任意值，即时距离之和最小， ∴该式子取得最小值时，应满足的条件是， ∴当时，取得最小值，最小值为： ． 2．阅读下面材料：点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是______，数轴上表示和2的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示和1的两点之间的距离为6，则表示的数为______； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请直接写出最小值；若没有，请说明理由． (4)请你画出数轴，探究：是否存在数，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出的值；如果不存在，简要说明理由． 【答案】(1)4， (2)或 (3)5 (4)见解析，或 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为即可求解； （2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为列方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义，即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示和1两点之间的距离是， 数轴上表示x和2的两点之间的距离是， 故答案为：4，； （2）解：∵数轴上表示a和1的两点之间的距离为6， ∴， ∴或， 故答案为：或． （3）解：∵数轴上表示x和的两点之间的距离是， 数轴上表示x和3两点之间的距离是， 数轴上表示和3两点之间的距离是， ∴在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到及到3距离之和， ∴当，即表示有理数x的点在和3之间时，它的最小值为5； （4）由（3）得， 在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到及到3距离之和， 如图所示， 当时，表示的点到及到3距离之和为； 当时，表示4点到及到3距离之和为． 3．阅读绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示5和0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的有： 表示5和在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，有理数、在数轴上对应的点为A、B，那么A、B之间的距离可表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是_____，数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为_____． (2)可以理解为数轴上表示和_____的两点之间的距离，可以理解为数轴上表示的点到表示_____和_____这两点的距离之和． (3)借助数轴，的最小值是_____，达到最小值时，可取哪些整数，请直接写出所有答案_____． (4)的最小值是_____． 【答案】(1)4，； (2)2，2，8 (3)6；2，3，4，5，6，7，8； (4)6 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，解题的关键是正确理解绝对值表示距离的本质； （1）数轴上两点间的距离是两个数之差的绝对值； （2）由绝对值拓展的资料可得答案； （3）根据的绝对值意义，借助数轴即可得到答案； （4）思路同（3），只有当时取得最小值，进而得到答案； 【详解】（1）解：由题可知： 数轴上表示1和的两点之间的距离是， 数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为， 故答案为：4，； （2）解：可以理解为数轴上表示和2的两点之间的距离， 可以理解为数轴上表示的点到表示2和8这两点的距离之和， 故答案为：2，2，8； （3） 解：由数轴易得： 当时，的值最小为， 故答案为：6；2，3，4，5，6，7，8； （4） 解：借助数轴易得： 当时，的最小值是， 故答案为：6． 4．阅读下面的材料，完成有关问题． 材料： 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为． 应用： （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离是 ，A到C的距离是 ．（直接填最后结果）； （2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 ．（用含绝对值的式子表示）； 拓展： （3）利用数轴探究： ①满足的x的所有值是 ； ②设，当时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是 ； 当x的值取在 的范围时，的最小值是 ； 当x的取值是 时，的最小值是 ； （4）试求的最小值． 【答案】（1）4，8；（2）；（3）①5或；②4，，2，3，4；（4）1025156 【分析】本题考查两点间的距离公式，绝对值的几何意义，一元一次方程的应用，掌握两点间的距离公式，是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据两点间的距离公式列出代数式即可； （3）①分三种情况进行讨论求解，即可；②化简绝对值求出m的值即可，根据绝对值的意义，求最小值即可； （4）根据绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可得A到B的距离是， A到C的距离是； 故答案为：4，8； （2）A到B的距离与A到C的距离之和可以表示为； 故答案为：； （3）①∵， 当时，， ∴； 当时，，不成立； 当时， ∴． 综上：或； 故答案为：5或； ②，当时，， 故答案为：4； 式子表示数x到1和3的距离之和， ∴当时，式子有最小值为； 故答案为：，2； 表示数轴上表示x的点到表示1、和5三个点的距离之和，要使距离之和最小，x在中间的那个数上，即时，的最小值为4； 故答案为：3，4； （4）∵表示在数轴上表示x的点到表示1，2，3，……，2025共2025个点的距离之和， ∴当取中间那个数1013时，取到最小值， 把代入得： ． 即的最小值为1025156． 5．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是　　 ． (2)数轴上表示x和的两点A，B之间的距离是　　 ． (3)式子的最小值是　　 ． (4)结合数轴求的最小值为　　 ，此时符合条件的整数x为　　 ． (5)结合数轴求的最小值为　　 ，最大值为　　 ． (6)结合数轴求的最小值为　　 ，此时符合条件的整数x为　　 ． 【答案】(1)15 (2) (3)4 (4)7，0或1 (5)，2 (6)16，1 【分析】本题考查绝对值的性质和数轴，考虑分类讨论是解题的关键． （1）数轴上两点间的距离等于这两个点所表示的数的差的绝对值； （2）数轴上两点间距离公式：数轴上表示数a和b的两点间距离为； （3）根据题意表示出的意义，取最小值； （4）分析绝对值表达式的几何意义，表示数轴上点x到点a的距离，原式表示点x到、0、1、4四个点的距离之和，数轴上四个点按顺序排列为、0、1、4，当x位于中间两个点0和1之间（含端点）时，距离之和最小，当时，展开绝对值并计算和：，验证区间内整数：和时，距离和均为7； （5）根据绝对值表达式的几何意义，可化简绝对值，根据整式的加减，可得答案； （6）根据绝对值表达式的几何意义，将转化为分别计算，可得答案． 【详解】（1）解：表示和的两点间距离为：， 故答案为：15； （2）解：根据题意可得x和的两点A，B之间的距离是， 故答案为：； （3）解：表示到，到2，到的距离之和， 当位于时，到，2，的距离之和最小为4， 故答案为：4； （4）解：几何意义为：原式表示点x到、0、1、4四个点的距离之和， 当x位于中间两个点0和1之间（含端点）时，距离之和最小， 当时，展开绝对值并计算和：， 当和时，距离和均为7． 故答案为：7，0或1； （5）解：表示到和到的距离之差， 当时，到和到的距离之差最小，化简绝对值为； 当时，到和到的距离之差最大，化简绝对值为； 故答案为：，2； （6）解：， 根据上述论证可得，在时，有最小值为， 在时，有最小值为， 在时，有最小值为， 在时，有最小值为， 所以在时，有最小值， 最小值为， 故答案为：16，1． 6．阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示与之差的绝对值，同时也可以理解为与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示与之差的绝对值，也可以理解为与两点之间的距离． (1)表示数轴上___________与___________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，数轴上表示数的点位于和之间，则的值___________． (4)利用绝对值的几何意义，当取何范围时，有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3)9 (4)， 【分析】（）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义进行解答即可； （）由绝对值的几何意义得的值即为所对应的点到所对应的点的距离，再根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）由绝对值的几何意义得式子表示有理数所对应的点到所对应的点的距离与有理数所对应的点到所对应的点的距离之和，可知当位于和之间时，有最小值，据此解答即可求解； 本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离，掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离， 故答案为：，； （2）解：表示数轴上有理数所对应的点到所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到所对应的点之间的距离， 故答案为：，； （3）解：∵数轴上表示数的点位于和之间，， ∴的值即为所对应的点到所对应的点的距离， ∴， 故答案为：9； （4）解：∵， ∴式子表示有理数所对应的点到所对应的点的距离与有理数所对应的点到所对应的点的距离之和， ∴当位于和之间，即时，有最小值，最小值为． 类型十、数轴动点求t(含新定义)(解) 1．如图，在数轴上点对应的数为，点对应的数为，且，满足．点与点之间的距离记为． (1)求点与点之间的距离； (2)点在点，点之间的数轴上，点在数轴上，且，，求点与点之间的距离； (3)点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点到达点后，立即调转方向沿数轴按原速向左运动．在点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动．设点的运动时间为（秒）． ①当点与点相遇时，求的值； ②当点与点之间的距离时，求的值． 【答案】(1)18 (2)12或16 (3)①3或9；②，，8或10 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的混合运算，数轴上两点间的距离． （1）根据绝对值的非负性和平方的非负性求出，，进而计算即可； （2）根据数轴上两点间的距离求出点对应的数、点对应的数，进而计算即可； （3）①分点到达点前、后两种情况作答即可； ②分点到达点前、后两种情况，分别计算点在点左、右侧时的值即可． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ，， 点与点之间的距离； （2）解：点在点，点之间的数轴上，且， 则点在点的左侧4个单位长度， 点对应的数为， 点在数轴上，，若点在点右侧，则点对应的数为； 若点在点的左侧，则点对应的数为． ，或． 综上所述，点与点之间的距离为12或16； （3）解：①当点到达点前与点相遇，则（秒）； 点由点到达点，需要（秒）， 此时点由点向左运动了个单位长度， （秒），（秒）． 综上所述，当点与点相遇时，的值为3或9； ②在点到达点之前， 当点在点左侧时，（秒）； 当点在点的右侧时，（秒）． 在点到达点之后，由①得，点到达点时，（秒）， 此时点在点左侧9个单位长度． 当点在点右侧时，（秒）； 当点在点左侧时，（秒）． 综上所述，当时，的值为，，8或10． 2．阅读理解，完成下列各题： 定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的3倍，则称点是的3倍点．例如：如图1，点是的3倍点，点不是的3倍点，但点是的3倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图1中，点______的3倍点（填写“是”或“不是”）；的3倍点是点______（填写或或或）； (2)如图2，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是5，若点是的3倍点，则点表示的数是______； (3)若、为数轴上两点，点在点的左侧，，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的3倍点？（用含的代数式表示）． 【答案】(1)是， (2)3或9 (3)当或或时，点恰好是和两点的3倍点 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，解本题的关键是分清3倍点的两种不同的情况． （1）根据图形可直接解得； （2）由，点在，之间和点右侧，分别求出点表示的数是3或9； （3）点恰好是和 两点的3倍点，可分得或或，从而解得与的关系． 【详解】（1）解：由图可知：， 是，的3倍点， ， ，的3倍点是点， 故答案为：是，； （2）解：， 当点在线段上时， 点是，的3倍点， ， 此时点表示的数是3， 当点在点右侧时， 点是，的3倍点， ， 点表示的数是9． 故答案为：3或9； （3）解：，， ， 恰好是和两点的3倍点， 点是，的3倍点或点是，的3倍点 或 即：或或， 或或， 当或或时，点恰好是和两点的3倍点． 3．唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度已知点在，数轴上分别表示有理数，，和两点之间的距离表示为，例如，在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为；解决问题： 已知有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，且满足，． (1)填空：______，______，______． (2)若点在数轴上对应的数为，当，间距离是，间距离的倍时，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)时，的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，去绝对值是解决本题的关键，代数式中不含某项或与某项无关，需要满足系数为． （1）根据绝对值与偶次幂具有非负性，代入即可求解； （2）根据数轴上两点间的距离公式，列出方程，分类求解即可； （3）根据数轴上两点间的距离公式，列出对应的式子，代数式的值与某字母无关，需要让字母前的系数为，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 即，． ， ． 故答案为：，，； （2）解：，，， ， 解得或； （3）解：存在，理由如下： 经过秒点表示的数是，点表示的数是， ，， ， 由题意得，解得． 答：时，的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变． 4．如图：在数轴上点A表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点A，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 【答案】(1)，3 (2)①；；②不变，这个常数是16 【分析】（1）根据单项式的概念、负整数的定义即可求出答案； （2）①根据A、B、C三点运动的方向即可求出答案； ②将（2）问中的与的表达式代入即可判断． 本题考查有理数与数轴，涉及数轴上的动点问题，解题的关键是用含字母的代数式表示点运动后所表示的数． 【详解】（1）解：根据最大的负整数是，单项式的次数是3， 得，， 故答案为：，3． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：；． ②根据题意，得，， ∴． 故的值不变，这个常数是16 5．已知是数轴上三点，点表示的数为， (1)点表示的数是 ，点表示的数是 . (2)动点分别从同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点的运动时间为（）秒． ①用含的代数式表示：点表示的数为 ，点表示是数为 ； ②当时，点之间的距离为 ； ③当点在线段上运动时，用含的代数式表示点之间的距离. 【答案】(1)， (2)①，；②；③ 【分析】本题考查了数轴上动点的问题，整式的加减；掌握数轴上两点距离公式是解题关键． （1）根据数轴上两点距离右边的数左边的数，计算求值即可； （2）①根据数轴上动点的表示：起点所表示的数加上或减去动点运动的距离，向正方向用加，负方向用减；列代数式即可； ②将代入，两点所表示的数中，再计算两点距离即可； ③根据题意可得点从出发到时用的时间为秒，点从出发到时用的时间为秒，故当点在线段上运动时，，即点在右，点在左，再计算两点距离即可． 【详解】（1）解：∵点在点左边，点表示，， ∴点表示的数，； 又∵点在点右边，， ∴点表示的数为：； 故答案为：，． （2）解：①点向右运动，点向左运动， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； ②∵点表示的数为，点表示的数为， ∴当时，点表示的数为，点表示的数为， ∴点之间的距离为， 故答案为：． ③∵，动点分别从同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 ∴点从出发到时用的时间为秒，点从出发到时用的时间为秒 ∴当点在线段上运动时，， ∴点在右，点在左， 又∵点表示的数为，点表示的数为， ∴两点距离为． 6．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示b，C点表示数c，且a，c满足． (1) ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数 表示的点重合． (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．则 ， ， ．（用含t的代数式表示） (4)请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，9 (2) (3)；； (4)不变， 【分析】本题考查了列代数式、偶次方、绝对值等非负数的化简及代数式的化简，明确题意，正确列式是解题的关键． （1）根据绝对值和偶次方的非负性可解； （2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则可知对折点所表示的数，进而可得点C与数哪个数表示的点重合； （3）根据数轴上的点向左运动用减法，向右运动用加法，按照题意计算即可； （4）将（3）中数据代入计算，结果为定值． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 解得，． 故答案为：，9； （2）因为，．将数轴折叠后，A点与B点重合， 可知折叠的中点距离A点和B点相同， 则折叠的中点为1， 所以此时点C与表示的点重合． 故答案为：； （3）点A、B、C开始时的位置分别是，3，9， t秒后，A：，B：，C：， ， ， ． 故答案为：；；； （4）． 故的值不随着时间t的变化而变化． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、正确结论(说法)的是(选) 1．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法： ①； ②； ③若x为数轴上任意一点，则的最小值为； ④其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．有理数，，在数轴上的位置如图所示，以下结论：；；；．其中正确结论的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，下列结论：①；②；③；④．正确的是（   ） A．②③④ B．②④ C．②③ D．③④ 4．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，下列结论：①；②；③；④．正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．②③④ 5．已知数，，的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知数，，的大小关系如图，下列说法：；；；；若为数轴上任意一点，则的最小值为；其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 类型二、程序流程图(选、填) 1．我校计算机社团的同学用编程软件编写出了如下运算程序，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，……，第次输出的结果为（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入x的值为2，则输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的结果是，…，那么第2024次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，…，则第2024次输出的结果为（    ）    A．6 B．0 C．24 D．12 4．在如图所示的运算程序中，若开始输入的值为5，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，…，则第2025次输出的结果为 ． 5．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2025次输出的结果为 ． 6．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为5，第1次输出的结果为16，第2次输出的结果为8，则第2025次输出的结果为 ． 类型三、代数式的规律(选、填、解) 1．将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是（    ） A．52 B．67 C．84 D．101 2．如图是由棱长为1的正方体构成的立体图形，第1个图形由1个正方体构成，从上面可以看到1个正方形；第2个图形由4个正方体构成，从上面可以看到3个正方形；第3个图形由10个正方体构成，从上面可以看到6个正方形；……依次类推，第200个图形从上面可以看到正方体的个数是（    ） A．1000个 B．5000个 C．40000个 D．20100个 3．观察下面一列数，，，，，，则第个数为 4．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10．这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16……这样的数称为“正方形数”，从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如．把“正方形数”169写成两个相邻的“三角形数”之和，则 ． 5．学校餐厅中，张桌子可坐人，有以下两种摆放方式： (1)当有张桌子时，第一种摆放方式能坐______人，第二种摆放方式能坐______人； (2)新学期有人在学校就餐，但餐厅只有张这样的餐桌，若你是老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？ 6．下面是用棋子摆成的“T”字形图案： (1)第2个“T”字形图案需要 枚棋子，第3个“T”字形图案需要 枚棋子； (2)按这样的规律摆下去，第个“T”字形图案需要 枚棋子（用含的代数式表示）； (3)照此规律，第50个“T”字形图案需要 枚棋子； (4)请你计算，前100个“T”字形图案一共需要 枚棋子． 类型四、阴影部分面积(选、填、解) 1．把四张形状完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，在一个长方形中放入三个大小一样的小长方形，小长方形的长为a，宽为b，则左下角阴影部分的周长与右上角阴影部分的周长差为（   ） A． B． C． D． 3．【组合图形的周长】九天阅阅开宫殿，万国衣冠拜冕旒的盛唐气象，一个繁荣、开放的盛唐社会、借由小姐姐们的舞蹈，惟妙惟肖地展现在我们眼前．如图是河南卫视8号演播厅的舞台，长为2023．通过AI投影四个完全一样的白色小长方形后，得到图1、图2，那么，图1中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ． 4．把图中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、、、和一张长方形纸片，并将它们按图的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为，阴影部分的周长为 ． 5．如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块．除阴影A､B外，其余5块是形状､大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)用含x的代数式表示阴影A的长为___________，阴影B的宽为___________； (2)求阴影A的周长比阴影B的周长多多少？ 6．用4个完全相同的边长为的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽（）为6的大长方形（如图2）． (1)请用含的代数式表示：①的长；②阴影的面积； (2)说明阴影与阴影的周长的和与的关系． 类型五、绝对值"1"与“-1”的化简(选、填、解) 1．已知是有理数，当，时，求的值为（    ） A．1或 B．1 C．0 D． 2．设a，b，c是不为零的实数，那么的值有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 3．的最小值是 ，，那么的值为 ． 4．若三个非零有理数a，b，c满足，则 ． 5．请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知是有理数，当时，则______；当时，则_______． (2)已知是有理数，当时，的值为_______． (3)已知是有理数，，求的值． 6．已知均为不等于零的有理数，完成下列问题： (1)若为正数，则的值为______； (2)若满足，求的值； (3)若且，求的值． 类型六、算筹问题(选、填、解) 1．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，如图①表示的是（+2）+（﹣2），可推算图②中所得的数值为（　　） A．﹣3 B．+3 C．﹣6 D．+6 2．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图）． 当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为（ ） A． B． C． D． 3．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图1表示的是，根据刘徽的这种表示法，可推算图表示的算式及其结果为 ． 4．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表． 数字形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．例如：表示的数是6739；    表示的数是2025，则“”表示的数是 ． 5．算筹是我国古代一种常用的数学工具，古人通常用算筹记数和进行数的简单运算．如图1，用算筹表示数字有两种方式：纵式和横式．我们可以使用纵横交替的十进制记数法表示数字．具体而言，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，依此类推．数字0要空位，在个位数上划上斜线以表示负数． 如“”表示38，“”表示1983． 【观察思考】 （1）请写出图2，图3中算筹表示的数为______，______． （2）利用算筹可以进行简单的加法运算，请同学们观察的计算步骤，并在第5步中填入正确的算筹摆放方式． 【迁移运用】 《孙子算经》对算筹乘法有详细阐述．将被乘数放在上排（上位），乘数放在下排（下位），乘数的个位对齐被乘数的最高位．上下排之间，留空几排，作中间积存放处．下图即为计算的演示步骤： （3）试用算式解释“利用算筹进行乘法运算”的原理； 【总结提升】 （4）观察以上计算过程，对比我们现在所使用的竖式计算，你有什么发现，请写出你的发现． 6．我国在数的发展上有辉煌的历史，其中算筹计数法可追溯到公元前五世纪．算筹是竹制的小棍，摆法有横式和纵式两种（如图）．它计数的方法是：摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，零以空格表示．如3123，表示为． （1）请用算筹表示数721（在答题卷的图1中画出）； （2）用三根算筹表示一个两位数（用完三根算筹，且十位不能为零），在答题卷图2的双方框中把所有可能的情况都画出来，并在下方的横线上填上所表示的数（注：图中的双方框仅供选用，不一定用完）． 　　　 类型七、日历问题(解) 1．如图是某月的日历． (1)通过计算说明，带阴影的方框中的个数之和与方框正中的数有什么关系？ (2)不改变方框的大小，如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试（方框内必须有数字），上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立（尽量用数学语言表述） 【活学活用】 小刚是个爱动脑筋的同学，在发现教程中的用方框在日历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数，，，，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：    (3)十字框中的五个数的和与中间的数有什么关系？ (4)设中间的数为，用代数式表示十字框中的五个数的和； (5)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五位数，其它五位数的和能等于吗？如能，写出这五位数，如不能，说明理由． 2．观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题． (1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”； (2)请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； (3)在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由． 3．数学来源于生活，又服务于生活，生活中处处都有数学的身影．如图1是2024年11月份的日历，请仔细观察该日历，回答下列问题： 【观察发现】 （1）小乐在日历画出一个的方框，框住四个数（如图1阴影区域），若第一个数字表示为，则四个数的和可以表示为______． 【数学思考】 （2）小明又在日历画出一个的方框，框住九个数（如图2阴影区域），若方框正中心的数表示为，则阴影区域中的9个数之和可以表示为______，图中______． 【解决问题】 （3）小华发现的方框在日历上移动的过程中（如图3所示），四个数存在特定的规律，即的值不变．小芳认为小华的猜想正确，她进行了推理证明，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． 【类比探究】 （4）借助图2中的日历，继续进行如下探究：在日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”值的规律，直接写出你的结论． 4．数学活动——探究日历中的数字规律：如图是年月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ； 将的方框移动到图中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， ， （ ）， ， 所以，的值均为 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图中的日历，继续进行如下探究．请从下列，两题中任选一题作答．我选择 题． ．在日历中用“型框”框住位置如图所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； ．在日历中用“型框”框住位置如图所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 5．如图是某年11月的日历，用一个“”形阴影框住5个数． (1)用“”形阴影框住的5个数中，正中间的数为16，则这5个数的和为______； (2)移动“”形阴影，设位于“”形阴影最中间的一个数为，则这5个数的和为______（用含的代数式表示）； (3)在表中移动“”形阴影的位置，阴影框住的5个数之和为60，求这五个数字中最中间的数． 6．观察日历找规律． (1)观察日历中加框的4个数，你发现了什么？ (2)观察日历中加阴影的9个数，你又发现了什么？ (3)你还能在日历中找到什么规律？ 类型八、收费、打折问题(解) 1．为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家10月用电量为160度，则他们家10月的电费是_____元． (2)若小明家11月用电量为230度，则他们家11月的电费是_____元． (3)若小明家12月用电量为度；请用含的代数式表示他们家12月应缴的电费． 2．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如下所示是该市自来水收费价格见价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元/ 超出但不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算． (1)填空：若该户居民2月份用水，则应收水费______元； (2)若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示并化简） (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水，求该户居民4，5月份共交水费多少元？（用含的整式表示并化简） 3．滴滴打车是目前国内最受欢迎的网约车平台之一，为了给用户提供便捷、安全的出行服务，滴滴打车在某市制定了一套收费规则： 起步价：滴滴打车的起步价为10元，乘客预约用车、取消订单等情况都会收取起步价． 里程费：起步里程3公里，超过3公里的部分，将按2元/公里的标准收取里程费用． 时长费：起步时间8分钟，超过8分钟的部分，将按0.5元/分钟的标准收取时长费用． （注：车费由里程费、时长费、起步价构成，其中里程费按行车的实际里程计算，不足1公里按1公里计；时长费按行车的实际时间计算，不足1分钟按1分钟计．） 任务： (1)若自强同学乘坐滴滴打车，行车里程为公里，行车时间为5分钟，需付车费为_____元． (2)若自强同学从家出发，乘坐滴滴打车到体育馆观看比赛，行车里程为19公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元? (3)若自强同学乘坐滴滴打车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则应付车费多少元? 4．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物620元，他实际付款 元． (2)若某位顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，那么他实际付款 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 元．（用含x的代数式表示）． (3)如果王老师两次购物货款合计850元，第一次购物的货款为a元，用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？（货款为打折前的货物总价） 5．学校准备在商店订购一批某品牌排球和篮球，已知排球每个售价50元，篮球每个售价100元． (1)若要购买个排球，个篮球，则需花费______元； (2)商店开展打折促销活动，推出两种促销方案： 方案一：排球和篮球的单价均按九折优惠出售； 方案二：排球单价按照原价出售，买个篮球，每个篮球的售价为元，篮球售价最低为80元/个． 记方案一的花费为，方案二的花费为． ①若要购买5个排球和5个篮球，判断与的大小关系，并说明理由； ②若要购买个排球，个篮球，求，并化简． 6．某商家有600件成本元的商品，现将商品分成两部分，分别采取两种销售方案： 方案一： 将其中200件商品交给某直播团队直播带货，商品售价定为成本的2倍再降5元，并用当天销售额的作为整个直播团队的费用，结果当晚所有200件商品全部销售完毕． 方案二： 将剩下400件的商品打折销售，售价定为成本的倍，第一次打八折，售出100件；第二次在第一次基础上再打八折，剩下商品被一抢而空． (1)用含的代数式表示方案一中直播团队的费用为________元； (2)用含的代数式表示方案二的总销售额； (3)用含的代数式表示商家两种方案销售后的总盈利．（总盈利＝总销售额−总成本） 类型九、绝对值的最值问题(解) 1．【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是______，当时，则______； (2)当，则的值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)拓展应用： 试求出取得最小值时，应满足的条件是什么？其最小值为多少？ 2．阅读下面材料：点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是______，数轴上表示和2的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示和1的两点之间的距离为6，则表示的数为______； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请直接写出最小值；若没有，请说明理由． (4)请你画出数轴，探究：是否存在数，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出的值；如果不存在，简要说明理由． 3．阅读绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示5和0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的有： 表示5和在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，有理数、在数轴上对应的点为A、B，那么A、B之间的距离可表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是_____，数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为_____． (2)可以理解为数轴上表示和_____的两点之间的距离，可以理解为数轴上表示的点到表示_____和_____这两点的距离之和． (3)借助数轴，的最小值是_____，达到最小值时，可取哪些整数，请直接写出所有答案_____． (4)的最小值是_____． 4．阅读下面的材料，完成有关问题． 材料： 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为． 应用： （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离是 ，A到C的距离是 ．（直接填最后结果）； （2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 ．（用含绝对值的式子表示）； 拓展： （3）利用数轴探究： ①满足的x的所有值是 ； ②设，当时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是 ； 当x的值取在 的范围时，的最小值是 ； 当x的取值是 时，的最小值是 ； （4）试求的最小值． 5．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是　　 ． (2)数轴上表示x和的两点A，B之间的距离是　　 ． (3)式子的最小值是　　 ． (4)结合数轴求的最小值为　　 ，此时符合条件的整数x为　　 ． (5)结合数轴求的最小值为　　 ，最大值为　　 ． (6)结合数轴求的最小值为　　 ，此时符合条件的整数x为　　 ． 6．阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示与之差的绝对值，同时也可以理解为与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示与之差的绝对值，也可以理解为与两点之间的距离． (1)表示数轴上___________与___________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，数轴上表示数的点位于和之间，则的值___________． (4)利用绝对值的几何意义，当取何范围时，有最小值，最小值是多少？ 类型十、数轴动点求t(含新定义)(解) 1．如图，在数轴上点对应的数为，点对应的数为，且，满足．点与点之间的距离记为． (1)求点与点之间的距离； (2)点在点，点之间的数轴上，点在数轴上，且，，求点与点之间的距离； (3)点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点到达点后，立即调转方向沿数轴按原速向左运动．在点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动．设点的运动时间为（秒）． ①当点与点相遇时，求的值； ②当点与点之间的距离时，求的值． 2．阅读理解，完成下列各题： 定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的3倍，则称点是的3倍点．例如：如图1，点是的3倍点，点不是的3倍点，但点是的3倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图1中，点______的3倍点（填写“是”或“不是”）；的3倍点是点______（填写或或或）； (2)如图2，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是5，若点是的3倍点，则点表示的数是______； (3)若、为数轴上两点，点在点的左侧，，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的3倍点？（用含的代数式表示）． 3．唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度已知点在，数轴上分别表示有理数，，和两点之间的距离表示为，例如，在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为；解决问题： 已知有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，且满足，． (1)填空：______，______，______． (2)若点在数轴上对应的数为，当，间距离是，间距离的倍时，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4．如图：在数轴上点A表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点A，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 5．已知是数轴上三点，点表示的数为， (1)点表示的数是 ，点表示的数是 . (2)动点分别从同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点的运动时间为（）秒． ①用含的代数式表示：点表示的数为 ，点表示是数为 ； ②当时，点之间的距离为 ； ③当点在线段上运动时，用含的代数式表示点之间的距离. 6．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示b，C点表示数c，且a，c满足． (1) ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数 表示的点重合． (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．则 ， ， ．（用含t的代数式表示） (4)请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $