期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练（42题）（十八种覆盖训练）-2025-2026学年北师大版七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:有理数的混合运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则及运算律是解题的关键． （1）根据有理数加减运算法则进行计算即可； （2）根据结合律计算即可； （3）先算除法、绝对值，再算加减即可； （4）)根据有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)11 (2) (3) (4)0 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序和运算法则． （1）按照有理数的加减运算法则，先去括号再计算． （2）先算乘法，再算加法，注意小数与分数的转换． （3）利用乘法分配律进行简便计算． （4）先算乘方、绝对值，再算乘法，最后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 覆盖训练02:数轴表示并比较大小 3．在数轴上标出下列各数，并用“”号连接下列各数：，2，0，， 【答案】图见解析， 【分析】本题主要考查了数轴，有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则的内容是解题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的点表示数总比左边的点表示的数大． 先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可． 【详解】解：数轴表示如图： ∴ 4．把下列六个数：． (1)分别在数轴上表示出来； (2)用符号“<”把它们连接起来． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查了用数轴表示数和根据数轴比较有理数大小，解决此题的关键是先把不是最简形式的数化简； （1）先把不是最简形式的数化简，表示在数轴上即可； （2）根据数轴上的数从左到右越来越大，进行比较即可； 【详解】（1）解：化简得：， 把数表示在数轴上如下图： （2）解：由（1）中数轴上表示数从左到右越来越大，可得： 覆盖训练03:合并同类项与去括号化简 5．化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减等知识． （1）先找出同类项，再合并同类项即可求解； （2）先去括号，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 6．去括号，并合并同类项： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号法则、合并同类项法则，属于中考常考题型． （1）去括号后合并同类项即可； （2）去括号后合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） 覆盖训练04:化简求值 7．先化简，再求值： ，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握去括号法则是解题的关键．先去括号、合并同类项得到最简结果，把，代入即可． 【详解】解：原式， 把，代入原式． 8．化简求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】此题考查了整式的加减——化简求值，将原式去括号合并得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．熟练运用运算法则进行计算和化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 覆盖训练05:三视图 9．如图是由8个相同的小立方体组成的一个几何体，请画出这个几何体从正面看、从左面看、从上面看到的图形．       【答案】见解析 【分析】本题考查了从不同方向看物体，根据观察的角度，分别画出从正面看、从左面看、从上面看到的图形即可． 【详解】解：如图所示，    10．如图，请分别画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的形状图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，解题的关键是根据一定的空间想象能力得出每列的个数．分别从三个方向观察小正方形的数目与位置，然后分别对应画出图形即可． 【详解】解：如图： 覆盖训练06:代数式表示并计算 11．某纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，其余部分则需要铺设草皮，尺寸如图所示（单位：）． (1)用含x的代数式表示草皮部分的面积； (2)当时，草皮部分的面积是多少？（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值． （1）两个长方形的面积和减去一个半圆的面积就是阴影部分的面积； （2）由（1）的结果，代入数据求值即可． 【详解】（1）解：草皮部分的面积 ； （2）解：当时， 草皮部分的面积． 12．窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，整个窗户是铝合金窗框（包含内窗格、外窗框），内部全部安装玻璃，已知下部小正方形的边长是米，窗框的宽度、厚度不计． (1)求窗户的总面积； (2)计算窗户内外所有铝合金窗框的总长； (3)若窗户的玻璃每平方米100元，所有铝合金窗框平均每米50元，材料买好后交付工人制作费100元/个，当米时，求制作5个这种窗户成品需要总费用是多少元？（其中，取3） 【答案】(1)平方米 (2)米 (3)制作个这种窗户成品需要总费用是元． 【分析】本题考查了列代数式表示实际问题，关键分清数量关系，抓住关键词语，正确的列出代数式，然后再代入求值即可． （1）根据题意可直接进行列式求解； （2）根据圆的周长公式及正方形的周长可求解； （3）由（1）（2）及题意可直接进行求解． 【详解】（1）解： ， 该窗户的总面积为平方米； （2）解：， 答：窗户内外所有铝合金窗框的总长是米； （3）解：当米时， （元） 答：制作个这种窗户成品需要总费用是元． 覆盖训练07:有理数的实际应用 13．一出租车司机某天早上从点出发，在东西方向的公路上接送乘客（向东记为正），到下午送走最后一名乘客时，所走的路程记录如下：（单位：千米），，，，，，，，， (1)问下午送走最后一名乘客时，他在出发点的哪个方向？距离出发地有多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升，问从地出发到下午再回到地，共耗油多少升？ 【答案】(1)东边，千米 (2)升 【分析】本题考查了有理数的加减运算在实际行程问题中的应用，熟练掌握正负数的意义以及路程、耗油量的计算方法是解答本题的关键． （1）利用正负数表示方向的意义，将所有路程数据相加，根据结果的正负判断方向，其绝对值即为距离出发地的距离； （2）先计算总路程（所有路程的绝对值之和再加上返回出发地的距离），再结合每千米耗油量，求出总耗油量． 【详解】（1）解：（千米） 答：下午送走最后一名乘客时，他在出发点的东边，距离出发地有千米． （2）解：该出租车司机接送乘客共行驶了：（千米）， 回到地需额外行驶千米， 故该司机的总路程为：（千米）， 总耗油量为：升， 答：从地出发到下午再回到地共耗油升． 14．某粮库10天内粮食进、出库的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）： (1)经过这10天，仓库的粮食是增加了还是减少了？ (2)这10天后，管理员结算时发现仓库里还存80吨，求10天前仓库里存量有多少吨？ (3)如果粮食进出的装卸费每吨5元，那么这10天要付多少装卸费？ 【答案】(1)减少了 (2)89吨 (3)565元 【分析】本题考查了有理数加减法与乘法的应用、绝对值的应用，正确列出各运算式子是解题关键． （1）将这10天记录的数字相加即可得； （2）将80减去（1）中的结果即可得； （3）将这10天记录的数字的绝对值相加，再乘以5即可得． 【详解】（1）解：（吨）， 答：粮食减少了， （2）解：吨， 答：存量有89吨． （3）解：（元）， 答：付565元． 覆盖训练08:相反数、绝对值、倒数结合 15．已知有理数所表示的点与表示的点距离4个单位长度，互为相反数，互为倒数，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴，相反数，倒数的相关概念，解题时注意分类讨论． 互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1，分两种情况讨论的值即可求出结果． 【详解】解：由题得，， ①当在左边时，， 则； ②当在右边时，， 则； 综上所述，原式的值为或． 16．已知、互为相反数，且，、互为倒数，的绝对值等于3， (1)填空： ； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值的定义． （1）根据相反数的和为0作答即可； （2）相反数、倒数、绝对值的定义求出，，，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵、互为相反数， ∴， 故答案为：； （2）∵、互为相反数，且，、互为倒数，的绝对值等于3， ∴，，， ∴或． 覆盖训练09:解一元一次方程(选考) 17．解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解方程． （1）先将除法转化为乘法，再解方程即可； （2）先移项，再计算减法，进而求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 18．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元一次方程．根据移项、合并同类项，未知数系数化为1，即可． 【详解】（1）解：， 移项、合并同类项，得， 解得； （2）解：， 移项、合并同类项，得； （3）解：， 移项、合并同类项，得； （4）解：， 移项、合并同类项，得． 覆盖训练10:收费问题 19．某货运车的收费方案有2种． 方案一：以内的收费为180元，若超出，则超出的部分每千米收费15元． 方案二：每千米收费均为12元． 设货运车行驶的路程为千米． (1)请写出方案一的收费表达式及方案二的收费表达式； (2)当货运车行驶的路程为时，请问选取哪种收费方案比较划算． 【答案】(1)方案一：若，则费用为180元；若，则费用为元；方案二：元 (2)选取方案一比较划算 【分析】本题主要考查列代数式、求代数式的值，根据题意正确列出代数式，并正确计算代数式的值是解题关键． （1）根据两种方案的收费方式列出代数式即可； （2）将代入（1）中所求的代数式中，分别得出两种方案所需费用，再比较即可得到答案． 【详解】（1）解：方案一：若，则费用为180元； 若，则费用为元， 方案二：元； （2）解：方案一：，则费用为（元）， 方案二：（元）， ， ∴当货运车行驶的路程为时，选取方案一比较划算． 20．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的，如表所示是该市自来水收费价格价目表： 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 3元/ 超出但不超出的部分 5元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)填空：若某户居民2月份用水 5，则2月份应收水费 元；若该户居民3月份用水 10，则3月份应收水费 元； (2)若该户居民4月份用水量 (a 在6 至 10m3之间)，则应收水费包含两部分，一部分为用水量为 6，水费18元； 另外一部分用水量为 ，此部分应收水费 元； 则4月份总共应收水费________元．(用a 的整式表示并化简) (3)若该户居民5月份用水 xm3()，求该户居民5月份共交水费多少元？(用 x 的整式表示并化简) 【答案】(1)15，38 (2)，， (3)该户居民 5 月份共交水费元 【分析】（1）按照收费标准，列出算式计算即可； （2）根据收费标准，列出代数式即可； （3）根据收费标准，列出代数式即可． 【详解】（1）解：（元），（元）； 故答案为：15，38； （2）另一部分的用水量为，应收水费为元；4月份总共应收水费元； 故答案为：，，； （3）元； 答：该户居民5月份共交水费元． 【点睛】本题考查整式加减的实际应用．解题的关键是掌握收费标准，正确的列出代数式． 覆盖训练11:阴影部分问题 21．综合与实践 现有三个边长分别为3，4，5的正方形卡片（如图1），分别记为，，，还有一个两边长分别为的长方形． 数学思考 （1）如图2，将放入长方形中，用含的代数式表示阴影部分的面积：___________．当，时，阴影部分的面积为___________． 深入探究 （2）将，两张卡片按图3所示的方式（和部分重叠）放置在长方形中，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． （3）将，，三张卡片按图4所示的方式（和II不重叠，和部分重叠，）放置在长方形中，求左上角阴影部分与右下角阴影部分周长的差，勤学小组成员认为缺少与的值无法计算，善思小组成员则认为不需要与的值也能计算，哪一个小组成员的说法正确？请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）善思小组成员说法正确，理由见解析 【分析】此题考查了列代数式及求值和整式加减运算，熟记长方形、正方形的面积、周长公式求解即可． （1）根据长方形、正方形的面积公式列代数式并求值即可； （2）根据长方形、正方形的面积公式列代数式求解即可； （3）根据长方形、正方形的周长公式列代数式求解即可． 【详解】解：（1）， 当时，； 故答案为：，； （2）； （3）善思小组成员说法正确，理由如下： 周长之差为： ． 则左上角阴影部分与右下角阴影部分周长的差为8， 故善思小组成员说法正确． 22．如图，在长方形中，长为，宽为．除阴影部分M，N外，其余5块是全等的小长方形，小长方形的宽为． (1)求每个小长方形的长（用含x的代数式表示）； (2)分别用含x，y的代数式表示阴影M，N的面积； (3)若阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化，请求出x的值，并说明理由． 【答案】(1) (2)阴影M的面积为：；阴影N的面积为： (3)，见解析 【分析】本题主要考查了列代数式、整式加减法应用，①根据题意，用含x的代数式表示出小长方形的长即可． ②根据题意，用含x，y的代数式分别表示出阴影部分M和N的面积即可． ③将②中所得M和N相减，再令y的系数为0即可． 【详解】（1）解：由图可知小长方形的长等于的长减去3个小长方形的宽， ∴每个小长方形的长为． （2）解：阴影M的面积为：． 阴影N的面积为：． （3）解： ∵阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化， ∴， 解得， 故x的值为． 覆盖训练12:新定义运算 23．定义一种新运算，规定当时，；当时，． (1)填空：_________，_________； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查了新定义运算，熟练掌握有理数的加减混合运算和乘方运算是关键． （1）先比较两个数的大小,然后根据运算规则选择合适的算式代入求值即可； （2）根据新定义进行解答即可； （3）一定是大于的,故要按照进行解答即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：， （2） （3）∵， ∴， ∴， 解得 24．定义新运算：，（等号右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_______．（请填序号）． ①；②，；③． (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．请你计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义运算：，是解决问题的关键． （1）根据新定义运算：，，由“隔一数对”定义直接求解即可得到答案； （2）根据新定义运算：，，代值求解即可得到答案； （3）根据新定义运算：，进而裂项相消求和即可得到答案． 【详解】（1）解：①当时， 则，， ，即有理数为“隔一数对”； ②当，时， 则，， ，即有理数，为“隔一数对”； ③当时， 则，， ，即有理数不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解： ； （3）解： ． 覆盖训练13:代数式的规律 25．阅读探究：；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不化简）； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 【答案】(1)55 (2) (3)960 【分析】本题主要考查了数字变化规律问题，用代数式表示， 对于（1），仿照阅读内容解答； 对于（2），结合（1）解答即可； 对于（3），先根据（1）得，再根据题意求出，然后作差即可得出答案. 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得（n为正整数）； （3）解：根据（1），得 ， 则，得. 26．某学校在布置食堂时，购置了一批餐桌和餐椅，现有以下两种摆放方式：    (1)当有4张餐桌时，方案一能摆_____把餐椅，方案二能摆_____把餐椅； (2)当有张餐桌时，方案一能摆_____把餐椅，方案二能摆_____把餐椅；（用含的代数式表示） (3)午休时有320名学生需要就餐，但学校只有150张这样的餐桌，如果只选择一种方案来摆放桌椅，应选择哪种方案？请说明理由． 【答案】(1)18，12 (2)， (3)应选择方案一，理由见解析 【分析】本题考查了图形类规律探索、列代数式与代数式求值，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图形可得方案一：每增加一张餐桌，可以多摆4把餐椅；方案二：每增加一张餐桌，可以多摆2把餐椅；据此列式，计算加法即可得； （2）根据图形可得方案一：每增加一张餐桌，可以多摆4把餐椅；方案二：每增加一张餐桌，可以多摆2把餐椅；据此归纳类推出一般规律即可得； （3）将代入（2）的结论中，找出能摆餐椅的数量大于320把的方案即可得． 【详解】（1）解：由图可知，方案一：每增加一张餐桌，可以多摆4把餐椅； 方案二：每增加一张餐桌，可以多摆2把餐椅； 则当有4张餐桌时，方案一能摆餐椅的数量为（把）；方案二能摆餐椅的数量为（把）， 故答案为：18，12． （2）解：方案一：当有1张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把）， 当有2张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把）， 当有3张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把）， 归纳类推得：当有张餐桌时，方案一能摆把餐椅． 方案二：当有1张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把）， 当有2张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把）， 当有3张餐桌时，能摆餐椅的数量为（把）， 归纳类推得：当有张餐桌时，方案二能摆把餐椅． 故答案为：，． （3）解：应选择方案一，理由如下： 方案一：当时，， 方案二：当时，， 所以应选择方案一． 27．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：    (1)在④后面的横线上写出相应的等式：①；②；③；④ ； (2)请猜想 ； (3)请用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)2500 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． （1）观察图形的变化情况即可填空． （2）根据图示和数据可知规律是：等式左边是连续的奇数和，等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方，据此可得结论． （3）根据式子的特点，再利用所得规律计算． 【详解】（1）解：根据题意可知：④． （2）解：，，，， 猜想：． （3）解： ． 覆盖训练14:日历问题 28．如图1见2024年12月份的日历，小胡在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为__________；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为__________； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则__________． 所以，（__________）__________． (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择__________题． A．在日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．在日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由． 【答案】(1)0，0 (2)，，0 (3)A，的值均为0，见解析；B，的值均为，见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的加减等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． （1）先计算括号，再计算减法可得结论； （2）把，代入计算即可； （3）选A时，设，则，代入计算即可；选B时，设，则，，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 设中间的数为a，则，，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：设，则． 所以，， 故答案为：；；； （3）选A．的值均为0；理由： 设，则， ； ∴的值均为0． 选B．的值均为；理由： 设，则， ， ∴的值均为． 29．在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题： 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （1）课上我们探究了“3×3”型框架问题，如图框住的九个数的和与正中间数的关系为 ； （2）我们还可以用如图所示的“X”字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系． 例如图中“”字型框架框住的五个数的和为： 2+4+10+16+18=50， 5+7+13+19+21=65； 设“”字型框架中正中间数为m，探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系，请利用所学知识说明理由； （3）如图所示的“”字型框架框住的五个数之和可以是120吗？如果可以，请写出正中间的数；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）这九个数的和是正中间数的9倍（2）这五个数的和是正中间数的5倍，理由见详解（3）五个数之和不可以是120，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数加法计算，整式的加减计算，解题的关键是理解题意，列出代数式． （1）根据题意，表示出各数，列出代数式求解即可； （2）根据题意，表示出各数，列出代数式求解即可； （3）根据题意，求出正中间数，再求出最大的数进行判断即可． 【详解】解：（1）设正中间的数为， 则这9个数依次为， ∴这9个数的和为， 所以，这九个数的和与是正中间数的9倍； （2）这五个数的和是正中间数的5倍，理由如下： 设“X”字型框架中正中间数为m，则这5个数依次为， ∴这5个数的和为， 所以，这五个数的和是正中间数的5倍； （3）五个数之和不可以是120，理由如下： ∵， ∴最大的数为，不符合题意， 所以，五个数之和不可以是120． 30．在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题： (1)我们用如图所示的“X”字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“X”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系． 例如图中“”字型框架框住的五个数和为：______，______；不难发现，“X”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系为______． (2)设“X”字型框架中位置上的数为，请利用所学知识对（1）中的规律加以证明； (3)如图的日历中，求“X”字型框架框住的5个数之和的最大值与最小值的差为______． 【答案】(1)50；65；“X”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍 (2)见解析 (3)70 【分析】本题主要考查了有理数加法计算，整式的加减计算： （1）先根据有理数加法计算法则求出两个式子的和，可以发现式子的和都是对应C位置上的数字的5倍； （2）设设“X”字型框架中位置上的数为，则位置上的数为，位置上的数为，位置上的数为，位置上的数为，再根据整式的加减计算法则求出这五个数字的和即可证明结论； （3）根据日历可得和的最大值时，，和取最小值为40时，，由此根据（2）的结论求出最大值和最小值得，进而求差． 【详解】（1）解： ，， “X”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍； 故答案为：；；“X”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍. （2）证明： 设“X”字型框架中位置上的数为， 则位置上的数为，位置上的数为， 位置上的数为，位置上的数为， ， “X”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍； （3）当位上的数是24时，“X”字型框架中的五个数的和取最大值，和为， 当位上的数是9时，“X”字型框架中的五个数的和取最小值，和为， “X”字型框架框住的5个数之和的最大值与最小值的差为． 覆盖训练15:绝对值“1”与“-1”化简 31．阅读下面材料，并解决有关问题，在实数范围内我们知道：，当时，；当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面的问题： (1)已知是不为0的有理数，当，时，则的值是___________； (2)已知是不为0的有理数，当时，则的值是___________； (3)已知是有理数，当时，求的值； (4)已知是有理数，，求的值是___________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘、除法法则； （1）根据，，时，根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出，同号或，异号，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出，，或，，两正一负，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （4）根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当，时， ， 故答案为：． （2）解：已知，是有理数，当时， ，， ，， ，异号，． 故的值为或． （3）已知，，是有理数，当时， ，，， ，，两正一负，． 故的值为或 （4）已知，，是有理数，，， 所以，，，，，两正一负， 所以 ． 32．我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题： (1)若都是有理数，，且，求的值； (2)若都是非零的有理数，且满足同号，求的值； (3)若都是有理数，且，则的值可能是多少？ 【答案】(1)的值是10或4； (2)的值为2或； (3)的值可能是或． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的性质等知识点， (1)根据,都是有理数，,,且,可以得到、的值，然后代入所求式子计算即可； (2)根据都是非零的有理数，且满足同号，可知或,然后代入所求式子计算即可； (3)根据都是有理数，且,可知中三正或一正两负，然后代入所求式子计算即可； 熟练掌握有理数的混合运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：都是有理数,,且， 或, 当时，， 当时，； ∴由上可得，的值是10或4； （2）解：都是非零的有理数，且满足同号， ,或,, 当时，， 当时，， ∴由上可得，的值为2或； （3）解：都是有理数，且, 中三正或一正两负，不妨设或, 当时，， 当时，， ∴由上可得，的值可能是或． 33．综合与实践 我们知道，在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，．现在请你利用这一思想解决下列问题． (1)________，________． (2)________，________（其中，）． (3)若，试求的所有可能的值． 【答案】(1)1； (2)1或；2或0 (3)，0，4 【分析】本题考查了绝对值的化简，合理选择分类的标准是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法，即得答案； （2）对和分别计算，即得的结果；对和分别计算，即得的结果； （3）分四种情况讨论：①，，；②，，三个字母中有一个小于0，其它两个大于0；③，，三个字母中有一个大于0，其它两个小于0；④当，，三个字母都小于0．根据绝对值的化简方法，即可分别求出结果． 【详解】（1）解：，； 故答案为：1；． （2）解：当时，； 当时，； 当，时，； 当，时，； 故答案为：1或；2或0． （3）解：分以下四种情况： ①当，，时； ②当，，三个字母中有一个小于0，其它两个大于0时， ； ③当，，三个字母中有一个大于0，其它两个小于0时， ； ④当，，三个字母都小于0时， ； 综上所述的所有可能的值为，0，4． 覆盖训练16:绝对值的最值 34．【背景知识】数轴如图是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作． 【综合运用】 (1)填空：点，表示的数分别为，2，则 ；式子的几何意义是数轴上表示a的点与表示 的点之间的距离． (2)根据绝对值的几何意义，当时， ． (3)当表示的点在与5之间移动时，的值是否为固定值，如果是，求出固定值；如果不是，说明理由． (4)由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)9； (2)5或 (3)是，固定值为7 (4)有最小值，最小值为，此时 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，数轴上两点间的距离，读懂题目信息，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键． （1）根据两点之间的距离及绝对值几何意义解答即可； （2）由两点之间的距离，可知表示x的点与2的点之间的距离是3，可得答案； （3）求表示x的点到和5的距离之和，且表示x的点在和5之间； （4）根据表示x的点到数、和1的点的距离之和即可求解． 【详解】（1）解：，， 则式子的几何意义是数轴上表示a的点与表示的点之间的距离． 故答案为：9，； （2）解：表示数轴上x的点与2的点之间的距离是3， ∴或． 故答案为：5或； （3）解：∵表示x的点在和5之间，且和5之间的距离是， ∴所以表示x的点到和5的距离之和是7． （4）解：有最小值，最小值为， ∵表示x的点到数、和1的点的距离之和， ∴当时，的最小值为． 35．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是______． (2)当取最小值时，x可以取整数______． (3)的最大值为______． (4)当x取何值时，的值最小？最小值为？ (5)【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧、左侧、右侧、右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短？最短路程是多少？ 【答案】(1)数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离 (2)，，，， (3) (4)时取最小值为 (5)便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握相关绝对值的几何意义是解题的关键： （1）根据绝对值的几何意义进行作答即可； （2）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小为数轴上到的距离，即可得出结果； （3）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最大为数轴上到的距离，进行求解即可； （4）根据绝对值的意义，得到当时，的值最小为数轴上到的距离，进行求解即可； （5）设点距离市民广场的距离为，得到，根据绝对值的意义，得到当时，服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短，进行求解即可． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离； （2）表示数轴上数到数的距离之和， ∴当时，的值最小为数轴上到的距离， ∴x可以取整数，，，，； （3）表示数轴上数到数的距离之差， ∴当时，的值最大为数轴上到的距离，即：； （4）表示数轴上数到数的距离之和， ∴当时，的值最小为数轴上到的距离，即：； （5）设点距离市民广场的距离为， 由题意，服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程为， 即数轴上数到的距离之和， ∴当，最小为数轴上到的距离之和加上到的距离之和，即； 故当便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是． 36．我们知道，一个数a的绝对值可理解为数轴上表示这个数的点到原点的距离，故可以写成．推广到一般情况，若两个数a，b分别对应数轴上两个点A，B，则即表示A，B两点之间的距离． (1)______，表示____________； (2)若，则____________； (3)对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由； (4)当x满足____________时，有最小值． 【答案】(1)，数轴上表示4的点与表示的点之间的距离是6 (2)或 (3)最小值为，理由见解析 (4) 【分析】本题主要考查了数轴及绝对值的应用，有理数的加法与减法，熟练掌握数轴及绝对值的几何意义进行求解是解决本题的关键． （1）的几何意义是数轴上表示4的点与表示的点之间的距离是6； （2）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离是5，解答即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，取得最小值； （4）同（3）的方法可得当时，有最小值． 【详解】（1）解：，表示数轴上表示4的点与表示的点之间的距离是6； 故答案为：，数轴上表示4的点与表示的点之间的距离是6； （2）解：，表示的点与表示的点之间的距离是5， ∴或； 故答案为：或． （3）解：最小值为，理由如下 的几何意义为数轴上表示的点与表示的点之间的距离与数轴上表示的点与表示的点之间的距离的和； ∴当时，取得最小值； （4）解：的几何意义为数轴上表示数的点到表示数的各点距离之和， ∴当时，有最小值 故答案为：． 覆盖训练17:数轴动点求t 37．[背景知识]数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返回B点，当点P到达终点后，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空：A、B两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当t为何值时，P、Q两点间距离为3； (3)若点M为的中点，点N为的中点，用含t的代数式表示的长度． 【答案】(1)10，1 (2)或或 (3)当时，；当时， 【分析】kkk本题考查数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式、动点问题： （1）利用数轴上两点间距离公式和中点公式直接计算； （2）分点Q向左运动和返回运动两种情况，根据两点间距离公式列方程求解； （3）分点向左运动和返回运动两种情况，先求出、表示的数，再利用距离公式计算MN的长度． 【详解】（1）解：表示的数为，点表示的数为6， 中点表示的数是 故答案为：10，1； （2）解：当点与点重合时，； 当点与点重合时，； 当点返回到点时，， 当时，点表示的数是，点表示的数是， ， 或， 解得或； 当时，点表示的数是，点表示的数是， ， 或， 解得或（不符合题意，舍去）， 综上所述，当或或时，两点间距离为3． （3）解：点为的中点，点为的中点， 当时，点表示的数是，点表示的数是， ∵，， ∴， ； 当时，点表示的数是，点表示的数是， ∵，， ∴， ． ∴当时，；当时，． 38．数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度； 【答案】(1)3 (2)，4.5 (3)为2时，、两点之间的距离为15个单位长度 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离． （1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再根据两点之间的距离求解； （3）根据题意，，点对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）解：∵折叠后数2对应的点与数对应的点重合， ∴对称中心是数对应的点， ∵数轴上、两点之间的距离为11（点在点的右侧）， ∴点到对称中心的距离为，且点在的左边，点到对称中心的距离为，且点在的右边， ∴点对应的数为，点对应的数为， 故答案为：，4.5； （3）解：根据题意，， 点对应的数为， ， 解得：， 答：为2时，、两点之间的距离为15个单位长度． 39．如图：在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为． 如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数．且，满足与互为相反数． 点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟后． (1)请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (2)探究：若点，向右运动，点向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)的值不会随着时间的变化而改变，其值为 (2)当时，的值会随着时间的变化而改变；当时，的值不会随着时间的变化而改变，其值为 【分析】（）根据负整数和相反数的定义可得点表示数，点表示数，点表示数，当运动秒钟后，得到，点表示的数为，点表示的数为，点表示数，即得到，，再根据整式的加减运算法则求出的值即可求解； （）由题意可得运动秒钟后，点表示的数为，点表示的数为，点表示数，即得，，再分和两种情况解答即可求解； 本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，整式加减的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数， ∴， 又∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴点表示数，点表示数，点表示数， 当运动秒钟后，点表示的数为，点表示的数为，点表示数， ∴，， ∴， ∴的值不会随着时间的变化而改变，其值为； （2）解：运动秒钟后，点表示的数为，点表示的数为，点表示数， ∴，， 当，即时，， 此时的值会随着时间的变化而改变； 当，即时，， 此时的值不会随着时间的变化而改变，其值为； 综上，当时，的值会随着时间的变化而改变；当时，的值不会随着时间的变化而改变，其值为． 覆盖训练18:数轴新定义 40．我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 【答案】(1)点M表示的数为50 (2)①当点Q运动40秒时，点Q追上点P．②点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点” 【分析】本题考查绝对值，数轴，数轴上两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）设点M表示的数为m，，根据题意，得到或，分别求解即可． （2）①追及问题中，Q追上P时两者位置相同，列出位置相等的方程，解得，即可解答； ②点A是P、Q的“快乐点”，分两种情况：A到P的距离是A到Q距离的3倍（），或A到Q的距离是A到P距离的3倍（），分类求解即可． 【详解】（1）解：设点M表示的数为m， ， 或， 或， 或， 或， 解得 或（舍去）， 答：点M表示的数为50． （2）①， ， ， ． 答：当点Q运动40秒时，点Q追上点P． ②点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点A是点P、Q的“快乐点”， ∴或 情况1：当时， 当时， ， 解得， 当时， ， 解得， 情况2：当时， 当时， ， 解得，不符合题意，舍去； 当时， ， 解得． 答：点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点”． 41．【知识准备】 若数轴上点对应的数为x，点对应的数为y，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． (1)在一条数轴上，O为原点，点对应的数为5，点对应的数为，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 (2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 (3)若数轴上点对应的数为x，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，是否存在使为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)17 (3)当时，，理由见解析 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）根据中点公式进行求解即可； （2）首先依题意求出点P和点Q所表示的数，然后根据的中点公式得，由此解出t即可； （3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，然后表示出，再根据绝对值的意义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点对应的数为5，点对应的数为， ∴的中点所对应的数为， 故答案为：． （2）解：由题意得，点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， 解得， ∴为17时，的中点所对应的数为10． （3）解：存在，当时，，理由如下： 根据题意，五等分点公式为：，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴， ∴表示数到数10和之间的距离之和， ∴当时，． 42．操作：将数轴上一点以每秒个单位长度，向右平移秒，称这样的操作为点的“飘移”．若点沿数轴水平方向，以每秒个单位长度，向左平移秒，称这样的操作为点“飘移”．点，在数轴上对应的数分别是，且满足． (1)①_______，______； ②将点进行“飘移”后与点重合，求运动时间． (2)数轴上长度为3，点表示的数为，且点在点左侧． ①将点进行“飘移”4秒到处，点进行“飘移”4秒到处，如果，求的值； ②将点进行“飘移”到点处，点进行“3飘移”到处，点和点分别进行“飘移”到点和处，在整个运动过程中，是否存在某段时间，使得点到点的距离与点到点的距离和是定值？若存在，求出和该定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①4；；② (2)①或；②存在；，定值为3 【分析】（1）①根据非负数的性质求出a、b的值即可； ②先求出，根据将点进行“飘移”后与点重合，列式计算即可； （2）①先求出点N表示的数为：，再得出点表示的数为，点表示的数为，求出，根据，得出，即可求出，再求出或，最后得出答案即可； ②先得出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，再求出点到点的距离与点到点的距离和为：，然后分情况讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， 解得：，； ②， ∵将点进行“飘移”后与点重合， ∴； （2）解：①∵数轴上长度为3，点表示的数为，且点在点左侧， ∴点N表示的数为：， ∵将点进行“飘移”4秒到处，点进行“飘移”4秒到处， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； ②∵将点进行“飘移”到点处，点进行“3飘移”到处， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵点和点分别进行“飘移”到点和处， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离和为： ， 即点到点的距离与点到点的距离和为： ， 当，时， ， ∴当时，为定值， ∵， ∴此时不符合题意； 当，时， ， ∴此时点到点的距离与点到点的距离和不可能为定值； 当，时， ， ∴此时点到点的距离与点到点的距离和不可能为定值； 当，时， ， ∴当，即时，为定值3； 综上分析可知：存在某段时间，使得点到点的距离与点到点的距离和是定值，此时，定值为3． 【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，数轴上两点间的距离，用数轴上的点表示有理数，绝对值的非负性，解题的关键是理解题意，熟练掌握数轴上两点间距离公式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:有理数的混合运算 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 覆盖训练02:数轴表示并比较大小 3．在数轴上标出下列各数，并用“”号连接下列各数：，2，0，， 4．把下列六个数：． (1)分别在数轴上表示出来； (2)用符号“<”把它们连接起来． 覆盖训练03:合并同类项与去括号化简 5．化简 (1) (2) 6．去括号，并合并同类项： (1) (2) 覆盖训练04:化简求值 7．先化简，再求值： ，其中，． 8．化简求值：，其中，． 覆盖训练05:三视图 9．如图是由8个相同的小立方体组成的一个几何体，请画出这个几何体从正面看、从左面看、从上面看到的图形．       10．如图，请分别画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的形状图． 覆盖训练06:代数式表示并计算 11．某纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，其余部分则需要铺设草皮，尺寸如图所示（单位：）． (1)用含x的代数式表示草皮部分的面积； (2)当时，草皮部分的面积是多少？（结果保留） 12．窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，整个窗户是铝合金窗框（包含内窗格、外窗框），内部全部安装玻璃，已知下部小正方形的边长是米，窗框的宽度、厚度不计． (1)求窗户的总面积； (2)计算窗户内外所有铝合金窗框的总长； (3)若窗户的玻璃每平方米100元，所有铝合金窗框平均每米50元，材料买好后交付工人制作费100元/个，当米时，求制作5个这种窗户成品需要总费用是多少元？（其中，取3） 覆盖训练07:有理数的实际应用 13．一出租车司机某天早上从点出发，在东西方向的公路上接送乘客（向东记为正），到下午送走最后一名乘客时，所走的路程记录如下：（单位：千米），，，，，，，，， (1)问下午送走最后一名乘客时，他在出发点的哪个方向？距离出发地有多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升，问从地出发到下午再回到地，共耗油多少升？ 14．某粮库10天内粮食进、出库的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）： (1)经过这10天，仓库的粮食是增加了还是减少了？ (2)这10天后，管理员结算时发现仓库里还存80吨，求10天前仓库里存量有多少吨？ (3)如果粮食进出的装卸费每吨5元，那么这10天要付多少装卸费？ 覆盖训练08:相反数、绝对值、倒数结合 15．已知有理数所表示的点与表示的点距离4个单位长度，互为相反数，互为倒数，求的值． 16．已知、互为相反数，且，、互为倒数，的绝对值等于3， (1)填空： ； (2)求的值． 覆盖训练09:解一元一次方程(选考) 17．解下列方程 (1) (2) 18．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 覆盖训练10:收费问题 19．某货运车的收费方案有2种． 方案一：以内的收费为180元，若超出，则超出的部分每千米收费15元． 方案二：每千米收费均为12元． 设货运车行驶的路程为千米． (1)请写出方案一的收费表达式及方案二的收费表达式； (2)当货运车行驶的路程为时，请问选取哪种收费方案比较划算． 20．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的，如表所示是该市自来水收费价格价目表： 价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 3元/ 超出但不超出的部分 5元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)填空：若某户居民2月份用水 5，则2月份应收水费 元；若该户居民3月份用水 10，则3月份应收水费 元； (2)若该户居民4月份用水量 (a 在6 至 10m3之间)，则应收水费包含两部分，一部分为用水量为 6，水费18元； 另外一部分用水量为 ，此部分应收水费 元； 则4月份总共应收水费________元．(用a 的整式表示并化简) (3)若该户居民5月份用水 xm3()，求该户居民5月份共交水费多少元？(用 x 的整式表示并化简) 覆盖训练11:阴影部分问题 21．综合与实践 现有三个边长分别为3，4，5的正方形卡片（如图1），分别记为，，，还有一个两边长分别为的长方形． 数学思考 （1）如图2，将放入长方形中，用含的代数式表示阴影部分的面积：___________．当，时，阴影部分的面积为___________． 深入探究 （2）将，两张卡片按图3所示的方式（和部分重叠）放置在长方形中，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． （3）将，，三张卡片按图4所示的方式（和II不重叠，和部分重叠，）放置在长方形中，求左上角阴影部分与右下角阴影部分周长的差，勤学小组成员认为缺少与的值无法计算，善思小组成员则认为不需要与的值也能计算，哪一个小组成员的说法正确？请说明理由． 22．如图，在长方形中，长为，宽为．除阴影部分M，N外，其余5块是全等的小长方形，小长方形的宽为． (1)求每个小长方形的长（用含x的代数式表示）； (2)分别用含x，y的代数式表示阴影M，N的面积； (3)若阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化，请求出x的值，并说明理由． 覆盖训练12:新定义运算 23．定义一种新运算，规定当时，；当时，． (1)填空：_________，_________； (2)求的值； (3)若，求的值． 24．定义新运算：，（等号右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_______．（请填序号）． ①；②，；③． (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．请你计算：． 覆盖训练13:代数式的规律 25．阅读探究：；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不化简）； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 26．某学校在布置食堂时，购置了一批餐桌和餐椅，现有以下两种摆放方式：    (1)当有4张餐桌时，方案一能摆_____把餐椅，方案二能摆_____把餐椅； (2)当有张餐桌时，方案一能摆_____把餐椅，方案二能摆_____把餐椅；（用含的代数式表示） (3)午休时有320名学生需要就餐，但学校只有150张这样的餐桌，如果只选择一种方案来摆放桌椅，应选择哪种方案？请说明理由． 27．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：    (1)在④后面的横线上写出相应的等式：①；②；③；④ ； (2)请猜想 ； (3)请用上述规律计算：． 覆盖训练14:日历问题 28．如图1见2024年12月份的日历，小胡在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为__________；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为__________； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则__________． 所以，（__________）__________． (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择__________题． A．在日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．在日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由． 29．在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题： 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （1）课上我们探究了“3×3”型框架问题，如图框住的九个数的和与正中间数的关系为 ； （2）我们还可以用如图所示的“X”字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系． 例如图中“”字型框架框住的五个数的和为： 2+4+10+16+18=50， 5+7+13+19+21=65； 设“”字型框架中正中间数为m，探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系，请利用所学知识说明理由； （3）如图所示的“”字型框架框住的五个数之和可以是120吗？如果可以，请写出正中间的数；如果不可以，请说明理由． 30．在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题： (1)我们用如图所示的“X”字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“X”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系． 例如图中“”字型框架框住的五个数和为：______，______；不难发现，“X”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系为______． (2)设“X”字型框架中位置上的数为，请利用所学知识对（1）中的规律加以证明； (3)如图的日历中，求“X”字型框架框住的5个数之和的最大值与最小值的差为______． 覆盖训练15:绝对值“1”与“-1”化简 31．阅读下面材料，并解决有关问题，在实数范围内我们知道：，当时，；当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面的问题： (1)已知是不为0的有理数，当，时，则的值是___________； (2)已知是不为0的有理数，当时，则的值是___________； (3)已知是有理数，当时，求的值； (4)已知是有理数，，求的值是___________． 32．我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题： (1)若都是有理数，，且，求的值； (2)若都是非零的有理数，且满足同号，求的值； (3)若都是有理数，且，则的值可能是多少？ 33．综合与实践 我们知道，在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，．现在请你利用这一思想解决下列问题． (1)________，________． (2)________，________（其中，）． (3)若，试求的所有可能的值． 覆盖训练16:绝对值的最值 34．【背景知识】数轴如图是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作． 【综合运用】 (1)填空：点，表示的数分别为，2，则 ；式子的几何意义是数轴上表示a的点与表示 的点之间的距离． (2)根据绝对值的几何意义，当时， ． (3)当表示的点在与5之间移动时，的值是否为固定值，如果是，求出固定值；如果不是，说明理由． (4)由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 35．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是______． (2)当取最小值时，x可以取整数______． (3)的最大值为______． (4)当x取何值时，的值最小？最小值为？ (5)【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧、左侧、右侧、右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短？最短路程是多少？ 36．我们知道，一个数a的绝对值可理解为数轴上表示这个数的点到原点的距离，故可以写成．推广到一般情况，若两个数a，b分别对应数轴上两个点A，B，则即表示A，B两点之间的距离． (1)______，表示____________； (2)若，则____________； (3)对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由； (4)当x满足____________时，有最小值． 覆盖训练17:数轴动点求t 37．[背景知识]数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返回B点，当点P到达终点后，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空：A、B两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当t为何值时，P、Q两点间距离为3； (3)若点M为的中点，点N为的中点，用含t的代数式表示的长度． 38．数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度； 39．如图：在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为． 如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数．且，满足与互为相反数． 点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟后． (1)请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (2)探究：若点，向右运动，点向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 覆盖训练18:数轴新定义 40．我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 41．【知识准备】 若数轴上点对应的数为x，点对应的数为y，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． (1)在一条数轴上，O为原点，点对应的数为5，点对应的数为，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 (2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 (3)若数轴上点对应的数为x，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，是否存在使为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 42．操作：将数轴上一点以每秒个单位长度，向右平移秒，称这样的操作为点的“飘移”．若点沿数轴水平方向，以每秒个单位长度，向左平移秒，称这样的操作为点“飘移”．点，在数轴上对应的数分别是，且满足． (1)①_______，______； ②将点进行“飘移”后与点重合，求运动时间． (2)数轴上长度为3，点表示的数为，且点在点左侧． ①将点进行“飘移”4秒到处，点进行“飘移”4秒到处，如果，求的值； ②将点进行“飘移”到点处，点进行“3飘移”到处，点和点分别进行“飘移”到点和处，在整个运动过程中，是否存在某段时间，使得点到点的距离与点到点的距离和是定值？若存在，求出和该定值，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $