精品解析：北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学练习

人大附中2025～2026学年度第一学期高一年级数学期中练习 数学 制卷人：吴文庆 杨良庆 审卷人：吴中才 成绩：________ 说明：本试卷共六道大题．26道小题．共6页，满分150分，考试时间120分钟； 请在密封线内填写个人信息. 第Ⅰ卷（共18题，满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法表示出集合A，B，再利用并集的定义求解作答. 【详解】集合，， 所以. 故选：C 2. 下列函数满足“对于定义域中的任意，”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合函数定义域以及函数解析式逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为的定义域为， 且不恒为0，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为， 且不恒为0，故B错误； 对于选项C：因为的定义域为， 且，故C正确； 对于选项D：因为的定义域为， 且，故D错误； 故选：C. 3. 若非零实数，，满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得且或且，即可判断A和C的正误；对于B和D，结合条件，利用作差法，即可求解. 【详解】对于A，由，得到，则且或且，所以A错误， 对于B，因为恒成立，所以，所以B正确， 对于C，由已知得，所以C错误， 对于D，因为，所以， 当时，，即，所以D错误， 故选：B. 4. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定函数的定义域，分析分母的取值范围，进而得值域． 【详解】函数的定义域为， 当时，，从而，则， 故函数的值域为． 故选：D． 5. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值 1 2 3 4 5 2025 11 8 则不一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据零点存在性定理判断各选项即可． 【详解】因为，，，且函数的图象是一条连续不断的曲线， 所以函数在区间，，上均有零点． 而，所以函数在区间上不一定有零点． 故选：A． 6. 2025年10月17日，中国人民大学附属中学举办了学校成立75周年的庆祝活动．2025是一个特殊的数字，它是完全平方数，若集合中最大数为，集合中最小数为，则（ ） A. 90 B. 100 C. 180 D. 4050 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出，即可得出答案. 【详解】因为集合中最大数为，集合中最小数为， 又， 所以，所以. 故选：A. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和函数的极限即可判断. 【详解】的定义域为，因为，所以为奇函数，排除BD； 当时，，排除C，故A正确. 故选：A 8. 设，，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由解出，再由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】， 所以，化简可得， 所以. 若且，则，所以充分性成立， 但，，，则也满足条件，所以必要性不成立； 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 9. 若函数存在最小值，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的性质结合二次函数的性质计算即可. 【详解】因为，所以，在时取得等号； 又，在时取得等号， 而时，无最小值， 所以由题意可知，即,又,所以, 则的最大值为4. 故选：D 10. 在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据速度差函数的定义，分四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图象. 【详解】由题意可得，当时，翼人做匀加速运动，，“速度差函数”可排除B项． 当时，翼人做匀减速运动，速度从160开始下降，一直降到． 当时，翼人做匀减速运动，从80开始下降，易得则． 当时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”，结合所给的图象，故D正确. 故选：D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 比大小：________（填“，或”） 【答案】 【解析】 【分析】可通过比较两个实数的平方进行大小比较. 【详解】因为，， 因为， 所以. 所以，所以. 故答案为：. 12. 函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的单调性和对称轴的联系求解即可. 【详解】函数的对称轴为， 在区间上是单调函数， 所以或者， 解得或者. 故答案为： 13. 杨振宁是享誉世界的物理学家，为中国科学教育事业发展做出了卓越的贡献．在杨振宁先生的研究中，“杨—巴克斯方程”描述了一种“交换结合”性质，某些操作改变顺序后不变．可以用函数模拟这个过程，给定一个函数和一种运算“”，定义，若满足，称函数具有“交换结合”性质，写出一个具有“交换结合”性质的函数________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】结合运算“*”的定义可得，，考虑取特殊函数，验证其是否满足关系，由此可得结论. 【详解】因为，所以， 所以， ， 设，则， ， 此时， 所以具有“交换结合”性质， 故答案为：（答案不唯一） 14. 用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于米），则菜地的面积最大值为________平方米．（答案用表示） 【答案】 【解析】 【分析】首先设矩形菜园与墙壁所在直线平行的边的长度为米，则另外一边的长为米，求解面积并利用二次函数的基本性质求解矩形菜园面积的最大值. 【详解】设矩形菜园与墙壁所在直线平行的边的长度为米，则另外一边的长为米， 由且，可得. 设矩形菜园的面积为，则. 当且仅当时，等号成立， 故矩形菜园面积的最大值为平方米. 故答案为：. 15. 已知函数，则方程的解集是________； 若，则的零点个数为________． 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】根据分段函数令解方程得解集即可；确定分段函数的解析式，结合函数单调性与零点存在定理判断函数在，，时的零点个数即可得结论. 【详解】①当时，令，解得， 当时，令，解得， 综上，方程的解集是 ； ②当时，， 当时，， 当时，， 综上得：， 所以， 由于当时，为增函数，且， 故存在唯一的使得； 当时，为减函数，且， 故存在唯一的使得； 又， 综上，的零点个数为3. 故答案为：. 三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 16. 已知函数，不等式的解集为，其中． （1）若，求的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为是方程的两个实数根，结合根与系数的关系，以及，即可求解. （2）根据题意，转化为方程的两个不相等的负实数根，结合一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 当时，函数， 因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根，可得， 则. 【小问2详解】 因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根， 又因为，即方程的两个不相等的负实数根， 则满足，解得且， 所以实数的取值范围为. 17. 设全集，，． （1）当时，求； （2）若对于任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式得集合A，根据补集与交集运算得答案即可； （2）根据已知可得，讨论当，，时满足列不等式即可得实数的取值范围． 【小问1详解】 ， 当，则， 所以，则； 【小问2详解】 对于任意，都有，则， 当时，，此时满足； 当时，， 要满足，则，解得； 当时，， 要满足，则，解得； 综上，实数的取值范围为. 18. 设是实数，函数． （1）若函数是奇函数，求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）已知函数，函数的定义域为，对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 设且， ， 即， ，∴函数在区间上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义可求解； （2）利用单调性的定义可证明函数在区间上单调递增； （3）对任意的使得成立，可得，进而计算可得结论. 【小问1详解】 函数是奇函数，定义域为． ，即，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题可知：，定义域为， 因为对任意的使得成立， ， 令，由（2）知函数在上单调递增， 同理可得在递增，在递减，在递减， ，， ， . 第Ⅱ卷（共8道题，满分50分） 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 19. 设函数的定义域为，则“是上的减函数”是“对于任意实数，函数无零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，由函数零点的定义及单调性的定义，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当时，， 若函数为上的减函数，则，所以， 函数无零点， 所以是上的减函数可推出对于任意实数，函数无零点， 若对于任意实数，函数无零点，则或恒成立， 所以可能是上的增函数， 即对于任意实数，函数无零点推不出是上的减函数， 所以“是上的减函数”是“对于任意实数，函数无零点”的充分不必要条件， 故选：A. 20. 已知非空集合A，B满足以下两个条件： （1），； （2）A的元素个数不是A中的元素，的元素个数不是中的元素． 则有序集合对的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，按集合中得元素个数进行分类讨论. 【详解】若集合A中只有1个元素，则集合中有3个元素，且，，所以，，此时有序集合对有1对；同理，若集合中只有1个元素，则集合A中有3个元素，此时有序集合对有1对；若集合A中有2个元素，则集合中有2个元素，且，，不满足题意．所以满足题意的有序集合对的个数为．故A，C，D错误. 故选：B． 21. 已知函数，，若方程在上有两个不等实根，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对的范围分类，即可将“方程在上有两个不等实根”转化为“在内有实数解，且方程的正根落在内”，记，结合函数零点存在性定理即可列不等式组，解得：，问题得解． 【详解】当时，可化为： 整理得： 当时，可化为： 整理得：，此方程必有一正、一负根. 要使得方程在上有两个不等实根， 则在内有实数解，且方程的正根落在内. 记， 则，即：，解得：. 故选C 【点睛】本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数零点存在性定理的应用，还考查了计算能力及分析能力，属于难题． 22. 已知函数，若对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数解析式画出函数图象，易知单调递增且关于对称，再将不等式转化为结合单调性求参数范围. 【详解】由题设，，图象如下： 所以， 又是R上的增函数，所以对恒成立， 所以，则，即． 故选：A． 二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．） 23. 对于，，代数式的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式进行化简，然后利用基本不等式的性质求出值域即可. 【详解】因为，所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以. 故答案为：. 24. 已知函数 （1）当时，不等式的解集为________． （2）若，不等式恒成立，则的取值集合为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由求根公式求得对应一元二次方程两根即可求解； （2），由在必须有相同零点，且在相同区间上同号，即可求解. 【详解】（1）当时， 由，可得：， 所以的解集为； （2）由（1）知，当时，不符合题意； 当时，设， 令得， 令， 得， 因为，舍去， 若，不等式恒成立， 则在必须有相同零点，且在相同区间上同号， 则， 解得：， 当时， 在有， 在有， 当时，， 符合，不等式恒成立， 所以的取值集合为， 故答案为：； 25. 若一个函数的图像上存在四个不同点，，，共圆，称这个函数是“圆的”，若该四个点同时满足且，称这个函数是“圆满的”，下列结论中，所有正确结论的序号是________． ①是“圆的”，但不是“圆满的”；②是“圆的”，但不是“圆满的”； ③是“圆的”，但不是“圆满的”；④是“圆的”，但不是“圆满的”． 【答案】③④ 【解析】 【分析】根据已知的新函数定义，结合各结论中函数的图像和性质，逐一分析判断各结论的正确性． 【详解】已知一个函数的图像上存在四个不同点，，，共圆，称这个函数是“圆的”， 若该四个点同时满足且，称这个函数是“圆满的”： 是直线，直线上任意4点不能共圆，不是“圆的”，故①错误； 抛物线的图像关于轴对称，如下图所示， 上存在4个点共圆，是“圆的”， 又若该四个点同时满足且，即该4个点在以为直径的圆上，则这个函数是“圆满的”， 当时，四点在以为直径的圆上，该圆的方程为：， 是“圆的”，也是“圆满的”，故②错误； 的图像关于轴对称，图像在拐点处互相垂直，如下图所示， 存在4个点共圆，即是“圆的”，但强制以为直径时，， 根据圆的性质，第3个交点即为点，此时与圆总共3个交点，不符合题意， 故不是“圆满的”， 是“圆的”，但不是“圆满的”，故③正确； 表示曲线在第一象限的一支，可以找到四点共圆，如下图所示， 是“圆的”，但强制以为直径定义圆时，交点只有两个，不满足四点共圆，故不是“圆满的”， 是“圆的”，但不是“圆满的”，故④正确， 正确结论的序号③④． 故答案为：③④． 三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 26. 已知，，的所有非空子集的所有元素和分别为，若互不相等，则称具有“和而不同”性质．此时记． （1）判断和是否具有“和而不同”性质，若具有，写出或； （2）若且具有“和而不同”性质，判断命题“中元素个数最大值为3”是否正确，并说明理由； （3）若集合，都具有“和而不同”性质，判断“”是不是“”的充分条件，并说明理由． 【答案】（1）集合具有“和而不同”性质，，集合不具有“和而不同”性质 （2）不正确，理由如下： 因为，例如， 则其非空子集分别为，， 则对应的所有元素和分别为，互不相等， 可知集合具有“和而不同”性质，但集合的元素个数为4， 所以命题“中元素个数最大值为3”不正确. （3）是，理由如下： 若，可知集合的元素个数相同， 设，，其中， 且，， 定义为非空数集中元素的最小值， 不妨设，， 可知，， 若，则，即； 设，，，且，， 则，， 假设集合中不包含的非空子集对应的所有元素和为， 集合中不包含的非空子集对应的所有元素和为， 可知集合的非空子集对应的所有元素和为， 则为集合中的不同元素，即集合的非空子集对应的元素和互不相等， 可知集合具有“和而不同”性质，且； 同理可得：集合具有“和而不同”性质，且； 因为，则集合，即， 可得，即； 依次类推，可得，所以. 【解析】 【分析】（1）对于集合：求其非空子集对应的所有元素和，进而判断，对于集合：举反例说明即可； （2）取反例，根据题意证明其具有“和而不同”性质即可； （3）根据题意从最小元素开始证明，逐步去掉最小元素，结合“和而不同”性质可得元素相等，进而可得集合相等. 【小问1详解】 对于集合，其非空子集为， 则对应的所有元素和分别为，互不相等， 所以集合具有“和而不同”性质，且； 对于集合，可知集合和为其非空子集， 但对于的所有元素和均为，所以集合不具有“和而不同”性质. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人大附中2025～2026学年度第一学期高一年级数学期中练习 数学 制卷人：吴文庆 杨良庆 审卷人：吴中才 成绩：________ 说明：本试卷共六道大题．26道小题．共6页，满分150分，考试时间120分钟； 请在密封线内填写个人信息. 第Ⅰ卷（共18题，满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数满足“对于定义域中的任意，”的是（ ） A. B. C. D. 3. 若非零实数，，满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值 1 2 3 4 5 2025 11 8 则不一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 2025年10月17日，中国人民大学附属中学举办了学校成立75周年的庆祝活动．2025是一个特殊的数字，它是完全平方数，若集合中最大数为，集合中最小数为，则（ ） A. 90 B. 100 C. 180 D. 4050 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 若函数存在最小值，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 比大小：________（填“，或”） 12. 函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是________________． 13. 杨振宁是享誉世界的物理学家，为中国科学教育事业发展做出了卓越的贡献．在杨振宁先生的研究中，“杨—巴克斯方程”描述了一种“交换结合”性质，某些操作改变顺序后不变．可以用函数模拟这个过程，给定一个函数和一种运算“”，定义，若满足，称函数具有“交换结合”性质，写出一个具有“交换结合”性质的函数________． 14. 用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于米），则菜地的面积最大值为________平方米．（答案用表示） 15. 已知函数，则方程的解集是________； 若，则的零点个数为________． 三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 16. 已知函数，不等式的解集为，其中． （1）若，求的值； （2）若，求实数的取值范围． 17. 设全集，，． （1）当时，求； （2）若对于任意，都有，求实数的取值范围． 18. 设是实数，函数． （1）若函数是奇函数，求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）已知函数，函数的定义域为，对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围． 第Ⅱ卷（共8道题，满分50分） 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 19. 设函数的定义域为，则“是上的减函数”是“对于任意实数，函数无零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 20. 已知非空集合A，B满足以下两个条件： （1），； （2）A的元素个数不是A中的元素，的元素个数不是中的元素． 则有序集合对的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 21. 已知函数，，若方程在上有两个不等实根，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 22. 已知函数，若对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．） 23. 对于，，代数式的取值范围是________． 24. 已知函数 （1）当时，不等式的解集为________． （2）若，不等式恒成立，则的取值集合为________． 25. 若一个函数的图像上存在四个不同点，，，共圆，称这个函数是“圆的”，若该四个点同时满足且，称这个函数是“圆满的”，下列结论中，所有正确结论的序号是________． ①是“圆的”，但不是“圆满的”；②是“圆的”，但不是“圆满的”； ③是“圆的”，但不是“圆满的”；④是“圆的”，但不是“圆满的”． 三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 26. 已知，，的所有非空子集的所有元素和分别为，若互不相等，则称具有“和而不同”性质．此时记． （1）判断和是否具有“和而不同”性质，若具有，写出或； （2）若且具有“和而不同”性质，判断命题“中元素个数最大值为3”是否正确，并说明理由； （3）若集合，都具有“和而不同”性质，判断“”是不是“”的充分条件，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $