第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末综合提升-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了一元二次函数、方程和不等式的核心知识，通过知识整合构建了包含基本概念、解法、应用及“三个二次”关系的知识网络，帮助学生形成完整的知识体系。 其亮点在于采用“巩固整合-题型探究-综合测评”分层模式，如通过不等式性质应用、基本不等式求最值等题型培养数学思维，结合实际问题应用发展数学眼光与建模能力。这种设计兼顾知识巩固与能力提升，便于教师实施分层教学，提升复习效率。

章末综合提升 第2章　一元二次函数、方程和不等式 巩固层·知识整合 章末综合提升 提升层·题型探究 类型1　不等式的性质及应用 本章主要学习了不等式的基本性质和基本事实．该知识点常与数式的大小比较、命题真假的判断及不等式的证明结合命题，求解时注意直接法和特值法的应用． 章末综合提升 【例1】　(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是 (　　) A．A≤B B．A≥B C．A<B或A>B D．A>B (2)如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定成立的是 (　　) A．ab＞ac B．c(b－a)＞0 C．cb2＜ab2 D．ac(a－c)＜0 √ √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 (2)c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0． 对于A：⇒ab＞ac，A正确． 对于B：⇒c(b－a)＞0，B正确． 对于C：⇒cb2≤ab2 cb2＜ab2，C错误，即C不一定成立． 对于D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D正确．故选C．] 类型2　基本不等式及其应用 基本不等式(a>0，b>0)常有两种变形：ab≤和a＋b≥2．其充分体现了利用两个正数和与积互化求最值的技巧，在应用该知识点解决最值时，务必把握“一正、二定、三相等”这一前提条件． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 【例2】　(1)已知x>0，y>0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________． (2)设x<－1，求y＝的最大值． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 (1)　[因为x>0，y>0，2x＋3y＝6， 所以xy＝(2x·3y)≤＝＝． 当且仅当2x＝3y， 即x＝，y＝1时，xy取到最大值．] (2)[解]　∵x<－1，∴x＋1<0． ∴－(x＋1)>0， ∴y＝＝＝＝(x＋1)＋＋5 ＝－＋5≤－2＋5＝1， 当 即x＝－3时，等号成立． ∴y＝的最大值为1． 类型3　一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解法充分体现了三个“二次”之间的内在联系，解此相关问题应把握三个关键点：一图象的开口方向，二是否有根，三根的大小关系．把握好以上三点，数形结合给出相应解集即可，对于由此知识点派生出的恒成立问题，数形结合求解便可． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 【例3】　(1)若不等式ax2＋3x＋2>0的解集为{x|b<x<1}，求a，b的值； (2)求关于x的不等式ax2＋3x＋2>－ax－1(其中a>0)的解集． [解]　(1)将x＝1代入ax2＋3x＋2＝0， 可得a＝－5， 所以不等式ax2＋3x＋2>0即为不等式－5x2＋3x＋2>0，可转化为(x－1)(5x＋2)<0， 所以原不等式的解集为，所以b＝－． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 (2)不等式ax2＋3x＋2>－ax－1可化为ax2＋(a＋3)x＋3>0，即(ax＋3)(x＋1)>0． 当－<－1，即0<a<3时，原不等式的解集为； 当－＝－1，即a＝3时，原不等式的解集为{x|x≠－1}； 当－>－1，即a>3时，原不等式的解集为． 综上所述，当0<a<3时，原不等式的解集为； 当a＝3时，原不等式的解集为{x|x≠－1}； 当a>3时，原不等式的解集为． 类型4　不等式在实际问题中的应用 不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题的关键． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 【例4】　某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)． (1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)， 写出公园ABCD所占面积S与x的关系式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1 的长和宽该如何设计？ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 [解]　(1)设休闲区的宽B1C1为a米，则长A1B1为ax米， 由a2x＝4 000， 得a＝． 则S＝(a＋8)(ax＋20) ＝a2x＋(8x＋20)a＋160 ＝4 000＋(8x＋20)·＋160 ＝80＋4 160(x>1)． (2)80＋4 160≥80×2＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760． 当且仅当2＝， 即x＝2.5时，等号成立， 此时a＝40，ax＝100． 所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米． (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A＝{x|x2－x－2<0}，集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B等于(　　) A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<1} C．{x|1<x<2} D．{x|2<x<3} 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 章末综合测评(二)　一元二次函数、方程和不等式 16 17 18 19 A　[A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，∴A∪B＝{x|－1<x<3}．故选A．] 17 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2．给定下列命题： ①a>b⇒a2>b2；②a2>b2⇒a>b；③a>b⇒<1；④a>b⇒<． 其中正确的命题个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 √ A　[取a＝0，b＝－1可知①③④均错误．取a＝－2，b＝1可知②错误，故①②③④均错误，故选A．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 18 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3．设m>1，P＝m＋，Q＝5，则P，Q的大小关系为(　　) A．P<Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q √ C　[∵m>1，∴P＝m＋＝m－1＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当m－1＝，即m＝3时，等号成立． ∴P≥Q，故选C．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 19 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4．不等式|x|(1－2x)＞0的解集为(　　) A． B． C． D． √ A　[当x≥0时，原不等式即为x(1－2x)＞0，所以0＜x＜；当x＜0时，原不等式即为－x(1－2x)＞0，所以x＜0，综上，原不等式的解集为，故选A．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 20 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5．已知＝1(x>0，y>0)，则x＋y的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 √ D　[∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)·＝4＋2≥4＋4＝8．当且仅当＝，即x＝y＝4，等号成立．] 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 21 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6．已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为(　　) A． B． C．{x|－2＜x＜1} D．{x|x＜－2或x＞1} √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 22 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A　[由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根． 由根与系数的关系得 ⇒ ∴不等式2x2＋bx＋a＜0，即2x2＋x－1＜0． 解得－1＜x＜．] 23 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．－1<a<1 B．0<a<2 C．－<a< D．－<a< √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 24 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C　[∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)， ∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1， 即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立， 所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0， 解得－<a<，故选C．] 25 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为(　　) A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间 √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 26 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C　[设销售价定为每件x元，利润为y元， 则y＝(x－8)[100－10(x－10)]， 依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320， 即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16， 所以每件销售价应为12元到16元之间．] 27 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知2<x<3，2<y<3，则(　　) A．6<2x＋y<9 B．2<2x－y<3 C．－1<x－y<1 D．4<xy<9 √ √ √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 28 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ACD　[∵2<x<3，2<y<3， ∴4<xy<9． ∴4<2x<6，6<2x＋y<9， ∴－3<－y<－2，－1<x－y<1，1<2x－y<4． 故选ACD．] 29 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10．小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b)，其全程的平均速度为v，则(　　) A．a<v< B．v＝ C．<v< D．v＝ √ √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 30 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 AD　[设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为，∴v＝＝． 由于b>a>0，由基本不等式可得<， ∴v＝<＝． 另一方面，v＝<＝，v－a＝－a＝>>0，∴v>a，故a<v<，故选AD．] 31 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是(　　) A．ab有最大值 B．有最小值 C．有最小值4 D．a2＋b2有最小值 √ √ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 32 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 AC　[∵a>0，b>0，且a＋b＝1， ∴1＝a＋b≥2， ∴ab≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立， ∴ab有最大值，∴A正确； ()2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋(a＋b)＝2，当且仅当a＝b＝时，等号成立， ∴0<，∴B错误； 33 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ＝＝≥4，当且仅当a＝b＝时，等号成立， ∴有最小值4，∴C正确； a2＋b2≥2ab，2ab≤， ∴a2＋b2的最小值不是，∴D错误． 故选AC．] 34 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．要使有意义，则x的取值范围为_________________． {x|－7＜x＜1}　[要使有意义，则7－6x－x2>0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1．] {x|－7＜x＜1} 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 35 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13．已知集合A＝{－5，－1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是____________________________． (x＋4)(x－6)>0(答案不唯一)　[由题意知写出的一元二次不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，不等式解集中的整数解只有一个在集合A中即可．故不等式可以是(x＋4)(x－6)>0，解集为{x|x>6或x<－4}，解集中只有－5在集合A中．] (x＋4)(x－6)>0(答案不唯一) 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 36 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示，总利润y为正数)，则营运年数的取值范围是__________________________；每辆客车营运________年时，年平均利润最大． {3，4，5，6，7，8，9} 5 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 37 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 {3，4，5，6，7，8，9}　5　[由题意可设二次函数解析式为：y＝a(x－6)2＋11，x∈N＋， 又函数图象过点(4，7)，故7＝a(4－6)2＋11， ∴a＝－1．∴y＝－(x－6)2＋11，x∈N＋． 由y>0得6－<x<6＋，又x∈N＋， ∴x＝3，4，5，6，7，8，9． 由＝＝－x－＋12≤－2·＋12＝－10＋12＝2可知，当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立．] 38 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0，0≤a≤1． [解]　由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0． 因为0≤a≤1， 所以①当1－a>a， 即0≤a<时，a<x<1－a； 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 39 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ②当1－a＝a，即a＝时，<0，不等式无解； ③当1－a<a，即<a≤1时，1－a<x<a． 综上所述，当0≤a<时，解集为{x|a＜x＜1－a}； 当a＝时，解集为∅； 当<a≤1时，解集为{x|1－a＜x＜a}． 40 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16．(本小题满分15分)(1)若正数x，y满足x＋y＋8＝xy，求xy的取值范围． (2)已知a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1．求证：≥10． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)xy＝x＋y＋8≥2＋8， 所以()2－2－8≥0， 所以(－4)(＋2)≥0， 所以≥4， 所以xy≥16(当且仅当x＝y＝4时取等号)， 所以xy的取值范围为[16，＋∞)． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)证明：＝＝4＋≥4＋2＋2＋2＝10， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 所以≥10． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．(本小题满分15分)已知关于x的不等式2kx2＋kx－<0，k≠0． (1)若不等式的解集为，求k的值； (2)若不等式的解集为R，求k的取值范围． [解]　(1)因为关于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集为， 所以－和1是方程2kx2＋kx－＝0的两个实数根，由根与系数的关系可得－×1＝，得k＝． 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)因为关于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集为R，k≠0， 所以解得－3<k<0． 故k的取值范围为{k|－3<k<0}． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(本小题满分17分)某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案如下，其中p＞q＞0，经过两次提价后，哪种方案提价幅度大？ 方案 第一次(提价) 第二次(提价) 甲 p% q% 乙 q% p% 丙 (p＋q)% (p＋q)% 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　设商品原价为a，设按甲、乙、丙三种方案两次提价后价格分别为N甲、N乙、N丙，则 N甲＝a(1＋p%)(1＋q%)， N乙＝a(1＋q%)(1＋p%)， N丙＝a＝a． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因此，只需比较a与a(1＋p%)(1＋q%)的大小． N甲－N丙＝a＝(2pq－p2－q2)＝－(p－q)2＜0． ∴N丙＞N甲， ∴按丙方案提价比甲、乙方案提价幅度大． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19．(本小题满分17分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(单位：千辆/时)与汽车的平均速度v(单位：千米/时)之间有函数关系：y＝(v>0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01) (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 章末综合测评 提升层 巩固层 章末综合提升 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [解]　(1)y＝＝＝≈11.08． 当且仅当v＝，即v＝(40千米/时)时，车流量最大，最大值约为11.08千辆/时． (2)据题意有：≥10， 化简得v2－89v＋1 600≤0， 即(v－25)(v－64)≤0，所以25≤v≤64． 所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64(千米/时)这个范围内． $