全等三角形：倍长中线模型、旋转模型、垂线模型专项训练-2025-2026学年 人教版八年级数学上册

全等三角形：倍长中线模型、旋转模型、垂线模型专项训练 全等三角形：倍长中线模型、旋转模型、垂线模型专项训练 考点目录 全等三角形：倍长中线模型 全等三角形：旋转模型 全等三角形：垂线模型 考点一 全等三角形：倍长中线模型 例1.(25-26八年级上贵州黔东南期中)综合与实践： 【问题提出】某中学数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=8,AC=6 ,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围. 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,连接BE,依据 “SAS”可以证明：△ADC≌△EDB,这样AD的取值范围迎刃而解. 图1 图2 (I)请写出△ADC≌aEDB的推理过程； (2)探究得出AD的取值范围是 【问题拓展】 (3)如图2，△ABC中，∠B=90°，AB=3,AD是△ABC的中线，CE1BC,垂足为C,CE=6,且∠ADE=90°， 求AE的长 【答案】(1)见解析；(2)1<AD<7;(3)9. 【详解】(I)证明：延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, B ,:D是BC的中点， D :CD=BD, 在△ADC和△EDB中， 全等三角形：倍长中线模型、旋转模型、垂线模型专项训练 AD=ED ∠ADC=∠EDB, CD=BD △ADC≌△EDB(SAS; (2)解：：△ADC≌△EDB, .BE=AC=6, 8-6<AE<8+6, 1<AD<7, 故答案为：1<AD<7; (3)解：如图，延长AD交EC的延长线于点F, :LB=90°，CE⊥BC, D ∠ABC=∠DCF=90°， :AD是△ABC的中线， :BD CD, 在△ABD和△FCD中， ∠ABC=∠DCF BD=DC ∠ADB=∠FDC △ABD≌△FCD(ASA, CF=AB=3,AD=DF, :∠ADE=90°， .DE垂直平分AF, :AE FE, AE=CE+CF=6+3=9. 例2.(25-26七年级上山东济宁·阶段练习)【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下 的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考： 2 全等三角形：倍长中线模型、旋转模型、垂线模型专项训练 B 图1 (1)由已知和作图能得到ADC≌EDB的理由是_ A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)求得AD的取值范围是-· A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论 集合到同一个三角形中. 【问题解决】 (3)如图2，AD是ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,∠BAC=∠BCA,求证：AE=2AD. B E D 图2 【答案】(1)B;(2)C;(3)详见解析 【详解】解：(I)延长AD到点E,使DE=AD, ~AD是ABC的中线， :BD=CD, 在△ACD和△EBD中， BD=CD,∠ADC=∠EDB,DE=AD, △ADC≌AEDB(SAS): 故选：B (2)ADC≌EDB, ..BE =AC=6, 在△ABE中， AB=8,AB-BE<AE<AB+BE, 全等三角形：倍长中线模型、旋转模型、垂线模型专项训练 8-6<2AD<8+6, 21<AD<7; 故选：C (3)延长AD至M,使DM=AD, B EAD是ABC的中线， M :DB=CD, ~∠ADB=LMDC,AD=DM, △ABD≌AMCD(SAS, ∴.MC=AB,∠B=∠MCD, AB=CE, .CM=CE, :∠BAC=∠BCA, .LB+∠BAC=LACB+∠MCD,即∠ACE=∠ACM, 在△ACM和△ACE中， AC=AC ∠ACM=∠ACE CM=CE, ,△ACM≌△ACE(SAS), :AE =AM, AM =2AD, :AE =2AD. 例3.(25-26八年级上山东聊城阶段练习)数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在ABC 中，AB=8,AC=I0,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围. 4 全等三角形：倍长中线模型、旋转模型、垂线模型专项训练 E、 B D 图1 图2 图3 【方法探索】 (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.根据 SAS可以判定△ADC≌△EDB,得出AC=BE.这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三 边的关系，即可得出中线AD的取值范围是 ；(提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方 向不变，例如：若3x<6,则x<2) 【问题解决】 (2)由第(1)问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中 线，CD=AB,∠BDA=∠BAD,试说明：AC=2AE; 【问题拓展】 (3)如图3，AD是ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC,使得AE=AB,AF=AC,判断线段 EF与AD的数量关系与位置关系，并说明理由. 【答案】(1)1<AD<9;(2)见解析；(3)EF=2AD,EF⊥AD,理由见解析. 【详解】解：如图1，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE. D B CD是BC的中点， 图1 :BD =CD :∠ADC=∠EDB, △ADC≌△EDB(SAS), .BE=AC=10, 在△ABE中，10-8<AE<10+8, 全等三角形：倍长中线模型、旋转模型、垂线模型专项训练 2<2AD<18, .1<AD<9: (2)如图2，延长AE至点F,使得EF=AE,连接DF,则AF=EF+AE=2AE, D E :E是BD中点， 6 A 图2 :DE=BE, 在△EDF和△EBA中， DE=BE ∠DEF=∠BEA, EF=EA △EDF≌△EBA(SAS), DF=AB=CD,∠B=∠EDF,∠F=∠EAB, LCDA=LB+LBAD,∠ADF=∠BDA+∠EDF,∠BDA=∠BAD, LADC=∠ADF, 在△AFD和△ACD中， CD=DF ∠ADC=∠ADF, AD=AD AFD≌△ACD(SAS, :AC=AF, :AC=2AE; (3)EF=2AD,EF L AD,理由如下： 如图3，延长DA交EF于点P,延长AD到M,使得DM=AD,连接BM, 6 全等三角形：倍长中线模型、旋转模型、垂线模型专项训练 B D M 图3 同(1)可知，△BDM≌△CDA(SAS), BM=AC,∠M=LCAD, .AC=AF, :BM AF, AC∥BM, .∠BAC+∠ABM=180°， :AE⊥AB,AF⊥AC, .LBAE=∠FAC=90°， .∠BAC+∠EAF=180°， ,.∠ABM=∠EAF, 在△ABM和△EAF中， AB=EA ∠ABM=∠EAF, BM=AF △ABM≌△EAF(SAS), .AM=EF,∠BAM=∠E, :AD=DM .AM=2AD, :EF 2AD, :∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠E+∠APE, .∠APE=∠BAE=90°， .EF⊥AD. 例4.(25-26八年级上·四川自贡·阶段练习)在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线 > 全等三角形：倍长中线模型、旋转模型、垂线模型专项训练 法 D B M E 图1 图2 (I)如图1，在ABC中，AB>AC,AD是中线，延长AD至点E,使DE=DA,可得ADC≌EDB,请你说明理 由. (2)如图2，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,M为BC中点，求证：DE=2AM· 【答案】（①）见解析 (2)见解析 【详解】1)解：AD是中线， BD=CD· 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠ADC=∠EDB, DA=DE △ADC≌△EDB(SAS). (2)解：延长AM到N,使MN=AM,连接BN. D ◇A M为BC中点， B M N 图2 :CM =BM. 在△AMC和△NMB中， AM=NM ∠AMC=∠NMB, CM=BM .△AMC≌△NMB(SAS). 全等三角形：倍长中线模型、旋转模型、垂线模型专项训练 AC=NB,∠C=∠NBM. AD=AC, :AD NB :AB⊥AE,AD⊥AC, :∠EAB=∠DAC=90°. ∠EAD+∠BAC=180°. 又：∠ABN+∠BAC=∠ABC+∠NBM+∠BAC=∠ABC+∠C+∠BAC=180°， .∠EAD=∠ABN. 在ADE和△NAB中， AE=AB ∠EAD=∠ABN, AD=BN AADE≌△NAB(SAS. :DE AN. AN =2AM, .DE =2AM. 变式1.(25-26八年级上江苏徐州阶段练习)【探究与发现】如图1，AD是ABC的中线，且AB>AC,延长 AD至点E,使ED=AD,连接BE,可证得ADC≌EDB,其中判定两个三角形全等的依据为 A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 【变式与应用】如图2，EP是aDEF的中线，若EF=8,DE=6,则EP的取值范围是 A.6<EP<8B.6≤EP≤8C.1<EP<7D.1≤EP≤7 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的己知条件和所求 证的结论转化到同一个三角形中. 【问题拓展】如图3，OA=OB,OC=OD,∠AOB+∠COD=180°，连接AC、BD,E是AC的中点，试说明： OE=1BD: 2 B 图1 图2 图3 全等三角形：倍长中线模型、旋转模型、垂线模型专项训练 【答案】[探究与发现]B;[变式与应用]C;[问题拓展]见详解 【详解】[探究与发现]解：延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,如图1所示： B D 图1 ~AD是ABC的中线， :CD=BD, 在△4DC和△EDB中， CD=BD ∠ADC=∠EDB, ED=AD △ADC≌△EDB(SAS), 故选：B; [变式与应用] 解：延长EP到H,使HP=EP,连接HF,如图2所示： F H.s5----------- E 图2 ∴EH=HP+EP=2EP, 同(1)证明：△EPD≌△HPF(SAS), ED HF, EF=8,DE=6, HF=DE=6, 在△EFH中，由三角形三边之间的关系得：EF-HF<EH<EF+HF, ∴.8-6<2EP<8+6, 2<2EP<14, 1<EP<7, 10全等三角形：倍长中线模型、旋转模型、垂线模型专项训练 全等三角形：倍长中线模型、旋转模型、垂线模型专项训练 考点目录 全等三角形：倍长中线模型 全等三角形：旋转模型 全等三角形：垂线模型 考点一 全等三角形：倍长中线模型 例1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）综合与实践： 【问题提出】某中学数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在 中 ，，，是 的中点，求边上的中线 的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．依据“”可以证明：， 这样 的取值范围迎刃而解． (1)请写出 的推理过程； (2)探究得出 的取值范围是_______； 【问题拓展】 (3)如图2，中，，，是的中线，，垂足为，，且，求的长． 例2．（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点 E，使，请根据小明的方法思考： （1） 由已知和作图能得到的理由是 ． A．   B．     C．     D． （2）求得的取值范围是 ． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3） 如图2，是的中线，点E在的延长线上，，求证：． 例3．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________；（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，例如：若，则） 【问题解决】 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】 （3）如图，是的中线，过点分别向外作、，使得，，判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由． 例4．（25-26八年级上·四川自贡·阶段练习）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法． (1)如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． (2)如图，，，，，为中点，求证：． 变式1．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）【探究与发现】如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________． A． B． C． D． 【变式与应用】如图2，是的中线，若，则的取值范围是___________． A． B． C． D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】如图3，，连接是的中点，试说明：； 变式2．（25-26八年级上·吉林延边·期中）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如 下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到 M，使，连接． 【探究发现】∶（1）图①中，判断与的数量关系和位置关系并证明． 【初步应用】∶（2）如图②，在中，若，求边上的中线的取值范围． 【探究提升】∶（3）如图③，是的中线，过点A 分别向外作，使得，延长交于点P，直接写出线段与的数量关系． 变式3．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．           B．            C．             D． （2）求得的取值范围是（  ） A．      B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证： 变式4．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，在中，为边上的中线，．求证：； （2）如图2，在中，为边上的中线，，设，则的取值范围为___________； （3）如图3，已知D为的边上一点，，，是的中线，求证：． 考点二 全等三角形：旋转模型 例1．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 例2．（24-25九年级上·山东济宁·期中）综合与实践 【问题重现】 义务教育教科书数学八年级上册《第十一章三角形》中我们学过了三角形中线的定义、画法、性质等．下面是一道关于三角形的中线有关问题： 如图1，是的中线，，，求的取值范围． 问题解决思路：延长到，使得，连接，可证（相当于将绕点顺时针旋转得到，把，，变换到中，利用三角形的三边关系可得，所以．根据上面信息，解决下面问题． 【问题变式】 如图2，点，，分别在的边，，上，是边上的中点，，连接． （1）求证：； （2）当时，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 【问题拓展】 （3）如图3，四边形中，，，，点，分别在四边形的边，上，且，连接．探索线段，，之间的数量关系并证明．          变式1．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      变式2．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图①，E，F分别是正方形的边，上的动点，且满足．    (1)试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在正方形中，，连接，分别交，于点M，N，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 考点三 全等三角形：垂线模型 例1．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 例2．（25-26八年级上·山东日照·阶段练习）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 例3．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 变式1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 变式2．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 变式3．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $