1.2 第1课时 子集、真子集-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“子集、真子集”核心知识点，从集合间包含关系切入，通过班级同学集合实例引出子集定义，系统讲解子集性质（自反性、传递性、空集性质），进而学习真子集概念及性质，结合例题与训练形成完整学习支架。 资料以生活实例培养数学抽象素养，通过{0}与∅关系辨析、含参数问题分类讨论提升逻辑推理能力，分层作业覆盖不同难度，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、弥补盲点。

1.2　子集、全集、补集 第1课时　子集、真子集 学习任务 核心素养 1．理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合间是否有包含关系．(重点) 2．能通过分析元素的特点判断集合间的关系．(难点) 3．能根据集合间的关系确定一些参数的取值．(难点、易错点) 1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养． 2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养． 如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F，你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？ 知识点1　子集的概念及其性质 (1)子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集 符号 表示 A⊆B(或B⊇A) 读法 集合A包含于集合B(或集合B包含集合A) 图示 (2)子集的性质 ①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集． ②∅⊆A，即空集是任何集合的子集． ③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具备传递性． (3)集合相等 若A⊆B且B⊆A，则A＝B． 1．(1)任何两个集合之间是否一定有包含关系？ (2)符号“∈”与“⊆”有何不同？ [提示]　(1)不一定，如集合A＝{1，2}与B＝{3，4}这两个集合之间没有包含关系． (2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系． 不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空集中只有元素0，而无其余元素． 　　) (2)任何一个集合都有子集． 　　) (3)若A＝B，则A⊆B且B⊆A． 　　) (4)若a∈A，则{a}⊆A． 　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 知识点2　真子集的概念与性质 (1)真子集的概念 如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”． (2)性质 ①∅是任一非空集合的真子集． ②若AB，BC，则AC． 2．{0}与∅相等吗？ [提示]　不相等．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅． 2．集合A＝{x|0≤x<2，x∈N}的真子集的个数为________． 3　[集合A＝{0，1}，其真子集分别为∅，{0}，{1}，共3个．] 类型1　确定集合的子集、真子集 【例1】【链接教材P9例2】 设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集与真子集． [解]　由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0， 解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4， 故集合A＝{－4，－1，4}． 由0个元素构成的子集为∅； 由1个元素构成的子集为{－4}，{－1}，{4}； 由2个元素构成的子集为{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}； 由3个元素构成的子集为{－4，－1，4}； 故集合A的子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，{－4，－1，4}，共8个． 真子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，共7个． 【教材原题·P9例2】 例2写出集合{a，b}的所有子集． 解：集合{a，b}的所有子集是∅，{a}，{b}，{a，b}． 　1．有限集的子集的确定问题的关键点 (1)确定所求集合； (2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合； (3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． 2．与子集、真子集个数有关的三个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集的个数为2n； (2)A的真子集的个数为2n－1； (3)A的非空真子集的个数为2n－2． [跟进训练] 1．已知集合M满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况． [解]　由题意可以确定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； 含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； 含有5个元素：{1，2，3，4，5}． 故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}． 类型2　集合关系的判断 【例2】指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{x|x2＝1，x∈N}； (2)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (3)P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，Q＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}； (4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}； (5)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}． [解]　(1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA． (2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系． (3)因为P表示3的整数倍少1的数构成的数集，Q表示3的整数倍多2的数构成的数集， 所以P＝Q． (4)等边三角形是三边相等的三角形，故AB． (5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可发现AB． 　判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或Venn图． 提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系． [跟进训练] 2．判断下列各组中集合之间的关系： (1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}； (2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}． [解]　(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB． (2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC． 类型3　集合之间的包含关系 【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若BA，求实数m的取值范围． [解]　(1)当B＝∅时， 由m＋1>2m－1，得m<2． (2)当B≠∅时，如图所示． ∴ 或 解这两个不等式组，得2≤m≤3． 综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}． [母题探究] 1．(变条件)若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围． [解]　(1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2． (2)当B≠∅时，如图所示， ∴解得 即2≤m<3， 综上可得，m的取值范围是{m|m<3}． 2．(变条件)若本例条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围． [解]　当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅． ∴即 ∴m不存在．即不存在实数m使A⊆B． 　1．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 2．两个易错点 (1)当B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论； (2)列不等关系式时，应注意等号是否成立． [跟进训练] 3．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}且B⊆A．求实数m的取值范围． [解]　∵B⊆A，∴可以分B＝∅和B≠∅讨论． (1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2． (2)当B≠∅时，有 解得－1≤m<2． 综上可得，m的取值范围是{m|m≥－1}． 1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是(　　) A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素 C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A C　[“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，不成立的含义是集合A中至少有一个元素不属于集合B，故选C．] 2．设集合M＝{1，2，3}，N＝{1}，则下列关系正确的是(　　) A．N∈M　　　　　 B．N∉M C．N⊇M D．N⊆M D　[∵1∈{1，2，3}，∴1∈M，又2∉N，∴N⊆M．] 3．集合A＝{x|x(x－2)＝0}，则集合A的子集的个数为________． 4　[由x(x－2)＝0得x＝0，或x＝2，所以A＝{0，2}．所以A的子集有∅，{0}，{2}，{0，2}，共4个．] 4．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________． BA　[B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA．] 5．已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x≥a}．若B⊆A，则实数a的取值范围为________． {a|a≥1}　[结合数轴(图略)知a≥1．] 回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．两个集合间的基本关系有哪些？如何判断两个集合间的关系？ [提示]　A⊆B或AB．从集合中元素入手，根据集合间关系的定义得出结论． 2．本节课中有哪些易错地方？ [提示]　(1)忽略对集合是否为空集的讨论．(2)忽视是否能够取到端点值． 3．本节课主要学习了哪些数学思想方法？ [提示]　分类讨论、数形结合． 罗素悖论与第三次数学危机 某村的理发师宣布了这样一个原则：他为且只为村里所有不给自己刮胡子的人刮胡子．那么，这个理发师是否应该为自己刮胡子呢？如果理发师不为自己刮胡子，那么他是不给自己刮胡子的人，所以按照他的原则，他必须为自己刮胡子；反之，如果他为自己刮胡子，因为他只为不给自己刮胡子的人刮胡子，所以他不应该为自己刮胡子． 看完上面这段话后是不是觉得有些困惑？这是数学上有名的“理发师困境”，是著名数学家罗素于20世纪初提出的“罗素悖论”的简化版本． 罗素悖论与集合论知识有关． 事实上，我们所学习的集合，也能以集合作为元素．例如，若记集合A＝{1，2}的所有子集组成的新集合为B，则 B＝{∅，{1}，{2}，{1，2}}，B中的元素都是集合(B一般称为类)． 以集合作为元素在直观上是容易理解的：如果把一个集合理解为一个袋子，元素理解为袋子里的东西，则以集合为元素的集合，就相当于袋子里的东西还是袋子．这也可以用电脑中的文件夹来理解，文件夹中可以是文件，也可以是文件夹，如图所示． 罗素认为，任何一个集合都可以考虑它是否属于自身的问题，有些集合属于它自身，有些集合不属于它自身． 随后，罗素构造了集合S：由所有不是自身元素的集合组成的集合． 问题是：S是否属于S？继续往下分析就会出现类似上述“理发师困境”的两难局面． 罗素悖论提出时，集合论的知识已经成为数学的基础．这一悖论的出现引发了人们对数学基础的质疑，从而导致了“第三次数学危机”．但是数学家们通过对集合论进行公理化成功地解决了这一危机，为了避免出现罗素悖论，公理中规定集合不能以它自身为元素．这跟我们的日常经验一致：一个袋子不能把自己装起来，一个文件夹也不能包括它自己． 感兴趣的同学，请自行查阅有关书籍和网络，了解悖论和第三次数学危机的更多内容吧！ 课时分层作业(三)　子集、真子集 一、选择题 1．下列命题中，正确的是(　　) A．空集是任何集合的真子集 B．若AB，BC，则AC C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 D．{0，1}⊆{(0，1)} B　[空集是任意非空集合的真子集，空集只有一个子集即它本身．{0，1}是数集，{(0，1)}是点集．] 2．集合{1，2}的子集个数有(　　) A．4个　　　 B．3个　　　 C．2个　　　 D．1个 A　[集合{1，2}的子集有∅，{1}，{2}，{1，2}，共4个．] 3．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0，1，2}，则集合M与N的关系是(　　) A．M＝N B．NM C．MN D．N⊆M C　[解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1，2}，因为1∈M且1∈N，2∈M且2∈N，所以M⊆N．又因为0∈N但0∉M，所以MN．] 4．(多选题)已知集合M＝{x|－<x<，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为(　　) A．P＝{－2，0，1} B．Q＝{－1，0，1，2} C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z} D．S＝{x||x|≤ ，x∈N} AD　[集合M＝{－2，－1，0，1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0，1}，集合Q中2∉M， 集合R中的元素－3∉M，A、D正确．] 5．已知集合P＝{4，5，6}，Q＝{1，2，3}，定义P－Q＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，则集合P－Q的所有真子集的个数为(　　) A．32 B．31 C．30 D．29 B　[由所定义的运算，知P－Q＝{1，2，3，4，5}．则P－Q的所有真子集的个数为25－1＝31．故选B．] 二、填空题 6．集合A＝{x|1<x<6}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围为________． {a|a≥6}　[∵A＝{x|1<x<6}，B＝{x|x<a}，由A⊆B，结合数轴可知a≥6． ] 7．已知集合A⊆{0，1，2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________． 6　[集合{0，1，2}的子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，其中含有偶数的集合有6个．] 8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若∅A，则实数a的取值范围为________．若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________． {a|－1≤a≤1}　{0，－1，1}　[因为∅A，所以A≠∅，所以ax2＋2x＋a＝0至少有一个根，则Δ＝4－4a2≥0，得－1≤a≤1．若集合A有且仅有2个子集，则A中仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0仅有一个根．当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，∅，符合题意．当a≠0时，Δ＝4－4a2＝0，得a＝±1，当a＝1时，集合A的两个子集为{－1}，∅，符合题意；当a＝－1时，集合A的两个子集为{1}，∅．所以a＝0或a＝±1．] 三、解答题 9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集． [解]　因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}， 所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}． 所以A的子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}． 10．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若AB，求实数a的取值范围； (2)若B⊆A，求实数a的取值范围． [解]　(1)若AB，由图可知，a>2． 故实数a的取值范围为{a|a>2}． (2)若B⊆A，由图可知，1≤a≤2． 故实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}． 11．设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C． D．－1 B　[依题意，有a－2＝0或2a－2＝0．当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B．所以a＝1，故选B．] 12．集合M＝，N＝，则(　　) A．M＝N　　　　　　　 B．MN C．MN D．M与N没有相同元素 C　[∵＝(2k＋1)，＝(k＋2)，当k∈Z时，2k＋1是奇数，k＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，∴MN．] 13．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________． SP＝M　[M中的x＝3k－2＝3(k－1)＋1∈P， ∴M⊆P， 同理P中的y＝3n＋1＝3(n＋1)－2∈M， ∴P⊆M， ∴M＝P． S中的z＝3×(2m)＋1， ∵2m为偶数，∴SP＝M．] 14．已知集合A＝{x|x2＋x＝0}，则集合A＝________．若集合B满足{0}B⊆A，则集合B＝________． {－1，0}　{－1，0}　[解方程x2＋x＝0，得x＝－1或x＝0， ∴集合A＝{x|x2＋x＝0}＝{－1，0}． ∵集合B满足{0}B⊆A， ∴集合B＝{－1，0}．] 15．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1，2，b}． (1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B？若存在，求出对应的a的值；若不存在，说明理由； (2)若A⊆B成立，求出对应的实数对(a，b)． [解]　(1)对于任意实数b都有A⊆B，当且仅当集合A中的元素为1，2． ∵A＝{a－4，a＋4}， ∴或 解方程组可知无解． ∴不存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B． (2)由(1)易知，若A⊆B， 则或 或或 解得或 或或 则所求实数对为(5，9)或(6，10)或(－3，－7)或(－2，－6)． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $