3.1 探究课1 几种常见排列问题的解法-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦重排、多排、错位重排、环排四种常见排列问题，构建从基础到特殊的知识支架。重排问题明确元素可重复的排列数计算，多排问题转化为一排分段处理，错位重排通过原理与结论结合解决元素不回原位问题，环排问题区分人员与可翻转物体的不同解法。 资料通过典例解析与多样解法培养核心素养，以牌照排列（典例1）、座位安排（典例2）等现实情境，引导学生用数学眼光发现数量关系，借助直接法与间接法（典例2）、分步分类推理（典例3）发展逻辑思维，结合婚宴座位（练习题4）等生活问题提升应用意识。课中辅助教师突破难点，课后练习题助力学生查漏补缺，强化知识应用。

　几种常见排列问题的解法 1．重排问题 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地，n个不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为mn. 2．多排问题 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理． 3．错位重排问题 所谓的“错位”问题，可以理解为：已经坐在n个座位上的n个人站起来重新坐下，每个人都不坐在自己原来的座位上．解决“错位”问题的计数时，通常有三种方法： (1)直接列举出所有可能的结果，然后得出所求的方法数． (2)利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解． (3)利用常见的错位重排数快速求解，其中1～5个元素的错位重排数分别为0，1，2，9，44． 4．环排问题 (1)n个人站成一圈，不同的站法一共有＝＝(n－1)！(种)． (2)如果排成一圈的不是人，而是某种可翻转的物体(如珍珠，无正反面)，那么围成的圆圈就是可以翻转的，而翻转过后，圆圈上的顺时针就会变为逆时针，打开时对应的排列数就要乘以2．因此，这时求排列数，需要用正常情况下的圆排列数再除以2，即不同的排法一共有(种)(这种排列问题可称为项链排列)． 【典例1】　某地汽车牌照由4个数字(可以重复)和2个字母(可以重复，O，I除外)构成，这6个字符可按任何顺序呈现，但2个字母必须相邻，则可以形成的不同的牌照的种数为(　　) A．6×104×242 B．5×104×242 C．102×244 D．104×242 B　[首先排4个数字共有104种，再将2个字母看成一个整体插在5个空内，共有5×242种，所以形成的不同的牌照的种数为5×104×242．] 【典例2】　有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同坐法的种数是(　　) A．342 B．346 C．432 D．428 B　[(法一：直接法)若2人都在前排左面4个座位，且不左右相邻，则有6种坐法，若2人都在前排右面4个座位，且不左右相邻，则有6种坐法，若2人分别在前排中间3个座位的左面和右面，则有4×4×2＝32(种)坐法，故2人都在前排，且不左右相邻，共有6＋6＋32＝44(种)坐法．若2人都在后排，且不左右相邻，则有＝110(种)坐法．若2人分别在前后两排，则有×12×8＝192(种)坐法．故共有44＋110＋192＝346(种)坐法． (法二：间接法)可坐的座位一共有20个，2个人坐的方法数为，还需排除2人左右相邻的情况，把可坐的20个座位排成一排，将其中两个相邻座位看成一个整体，则相邻的坐法有，还应再加上，所以不同坐法的种数为－＝346．] 【典例3】　相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位中． (1)若要求有3辆车不得停在原来的车位中，则有________种不同的停法； (2)若要求所有车都不得停在原来的车位中，则有________种不同的停法． (1)8　(2)9　[(1)可分成两步完成：第一步，先选出停在原来车位的那辆车，有种情况； 第二步，停放剩下的3辆车，有2种停法． 根据分步乘法计数原理，共有4×2＝8(种)停法． (2)将4辆车分别编号为A，B，C，D，将4个停车位分别编号为一、二、三、四．不妨设A车先选停车位，此时有3种停法，若A车选了二号停车位，那么B车再选，有3种停法，剩下的C车和D车都只有1种停法，综上，共有3×3＝9(种)停法．] 【典例4】　5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有________种．(填数字) 86 400　[(法一)因为任意2个女孩中间至少站1个男孩，所以先把6个男孩排成一个圈，这是一个圆形排列，因此排法共有＝(6－1)！＝5！(种)；6个男孩形成6个空，5个女生插入到这6个空中，共有种排法．综上，不同的排法共有5！＝86 400(种). (法二)“环状排列，化环为直”，经旋转可重合的排队应认为是同一种排法，故可考虑让某个女孩A固定不动，将圆圈按顺时针的方向拉成一直排，以a，b分别表示剩下的女孩与男孩．先从6个男孩中选5个与5个女孩组成1组“Ab”和4组“ab”，共有种排法，再把剩下的1个男孩与除“Ab”外的4组“ab”视为5组进行排列，有种排法．因此，不同的排法有＝86 400(种)．] 1．将5封不同的信分别投入到4个信箱中，则不同的投送方式的种数为(　　) A．45 B．54 C．120 D．24 A　[完成“5封信放信箱中”这件事需分五步，每步放一封信，放每封信时都有4个信箱可选，即每封信都有4种不同放法，根据分步乘法计数原理，不同的投送方式有4×4×4×4×4＝45(种)．] 2．8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有________种排法． 5 760　[先排甲、乙，有种排法，再排丙，有种排法，其余5人有种排法，故不同排法共有＝5 760(种)．] 3．将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第i个数为ai(i＝1，2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1<a3<a5，则不同的排列方法有________种． 30　[由于a1≠1，且在a1，a3，a5中a1最小，所以a1只能取2，3，4三个数，故可以按a1的取值进行分类． 第一类，a1＝2时，a3可以取数字4或5，不管a3取何值，a5只能取数字6，其他位置不受限制，有种排列方法，故当a1＝2时，排列方法有＝12(种)． 第二类，a1＝3时，a3可以取数字4或5，不管a3取何值，a5只能取数字6，其他位置不受限制，有种排列方法，故当a1＝3时，排列方法有＝12(种)． 第三类，a1＝4时，a3只能取数字5，a5只能取数字6，其他位置不受限制，有种排列方法，故当a1＝4时，排列方法有＝6(种)． 根据分类加法计数原理可得，满足题意的排列方法共有12＋12＋6＝30(种)．] 4．有5对夫妇和A，B共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐(旋转之后相同算一种坐法)． (1)若5对夫妇都相邻而坐，A，B相邻而坐，共有多少种坐法？ (2)5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，A，B不相邻，共有多少种坐法？ [解]　(1)若5对夫妇都相邻，A，B相邻，可将每对夫妇划分为1组，A，B划分为1组，再将这6组人围坐成一圈，共有种坐法．考虑到组内两人还有顺序问题，故共有×26＝7 680(种)坐法． (2)分成三步来完成：第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法，甲、乙二人的座位也随之确定； 第二步，排其余3对夫妇的座位，有种坐法； 第三步，排A，B二人的座位，有种坐法． 根据分步乘法计数原理，共有＝1 152(种)坐法． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $