1.1 探究课1 空间直角坐标系中三角形面积的求法-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 探究课1　空间直角坐标系中 三角形面积的求法 1．△ABC的面积S＝||·||sin A，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S＝||||·sin A. 2．利用向量坐标表示求出||，||及cos A，进而求出sin A，得到面积． 探究课1　空间直角坐标系中三角形面积的求法 3．△ABC的面积公式的向量形式： (1)S△ABC＝||||sin A＝||||· ＝. (2)由＝||·||·cos A得||·||＝(A≠90°)， ∴S△ABC＝||·||·sin A ＝·sin A＝·tan A(A≠90°)． 探究课1　空间直角坐标系中三角形面积的求法 【典例】　已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．求以为邻边的平行四边形的面积． [解]　(法一)由题中条件可知， ＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)， 所以cos 〈〉＝＝＝， 探究课1　空间直角坐标系中三角形面积的求法 所以sin 〈〉＝， 所以以为邻边的平行四边形的面积 S＝||·||·sin 〈〉＝7. (法二)由条件知＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)， 所以||＝，||＝＝－2＋3＋6＝7， 所以以为邻边的平行四边形的面积 S＝＝＝7. 已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)，则△ABC的面积为__________；△ABC的边AB上的高为__________． 3 3 探究课1　空间直角坐标系中三角形面积的求法 3　3　[(法一)因为＝(1，－3，2)，＝(2，0，－8)，＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，且||＝，||＝2，所以cos 〈〉＝＝－，sin 〈〉＝，S△ABC＝||·||sin 〈〉＝×2＝3. 又因为||＝，设AB边上的高为h，则S△ABC＝||·h＝3，所以h＝3. (法二)由题意知，||＝，||＝2， ＝(1，－3，2)·(2，0，－8)＝2＋0－16＝－14， 所以S△ABC＝ ＝＝3. 又因为||＝，设AB边上的高为h，则S△ABC＝||·h＝3，所以h＝3.] $