5.1.2 数据的数字特征-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦数据的数字特征，系统讲解最值、平均数、中位数等集中趋势指标及极差、方差等离散程度指标。以射击比赛成绩为情境导入，通过问题链衔接统计基础，搭建“情境—问题—知识点—例题—训练”的学习支架。 其亮点在于以真实数据案例驱动教学，如创业公司奖金分析、射击成绩比较，培养学生用数学眼光观察现实、用数据分析思维解决问题的能力。分层作业设计满足不同需求，学生提升运算与分析素养，教师可高效实施差异化教学。

第五章 统计与概率 5.1　统计 5.1.2　数据的数字特征 学习任务 1．会求样本的最值、平均数、中位数、百分位数、众数、方差等数据的数字特征值．(数学运算) 2．理解上述数字特征的意义，并能解决与之相关的实际问题．(数据分析) 5.1.2　数据的数字特征 2025年全国射击冠军赛于2月24日在南宁落下帷幕．这次总决赛中有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶十次，每次命中的环数如下： 甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4 乙：9　5　7　8　7　6　8　6　 7　7 必备知识·情境导学探新知 5.1.2　数据的数字特征 问题：(1)如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？ (2)如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ (3)两人射击的平均成绩是一样的，那么两个人的水平就没有什么差异吗？ (4)什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？ (5)什么样的指标能反映一组数据与其平均值的离散程度？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 [提示]　(1)平均成绩一样，乙比甲成绩稳定． (2)选乙． (3)有． (4)极差． (5)方差(标准差)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 知识点1　数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数 1．最值 一组数据的最值指的是其中的____值与____值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用______表示，最小值用______表示． 最大 最小 max min 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 2．平均数 (1)公式：指样本数据的平均数， 即＝______________________＝ 一般地，利用平均数的计算公式可知，如果x1，x2，…，xn的平均数为，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为________． (x1＋x2＋…＋xn) a＋b 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 (2)求和符号∑的性质 ＝；＝；＝____． 提醒　平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值．很多情况下，为了避免过于极端的值影响结果太大等，会去掉最低分与最高分后再计算平均数． xi nt 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 3．中位数 一般地，有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称________为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数． xn+1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 4．百分位数 (1)定义 直观来说，一组数的p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于____位置的数．中位数就是一个50%分位数． (2)意义 一组数的p%(p∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据______该值，且至少有_______________的数据不小于该值． p% 不大于 (100－p)% 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 (3)确定p%分位数的方法 特别地，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 提醒　(1)按照定义可知，p%分位数可能不唯一，也正因为如此，各种统计软件所得出的p%分位数可能会有差异． (2)实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数(简称为第一四分位数)与75%分位数(简称为第三四分位数)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 5．众数 一组数据中，某个数据出现的____称为这个数据的频数，出现次数____的数据称为这组数据的众数． 次数 最多 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 提醒　 (1)一组数据的平均数、中位数都是唯一的． (2)众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有．在一组数据中，如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数． (3)众数一定是原数据中的数，平均数和中位数都不一定是原数据中的数． (4)实际问题中，求平均数要比求中位数和众数计算烦琐． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 知识点2　极差、方差、标准差 1．极差 一组数的极差指的是这组数的最__值减去最__值所得的差． 提醒　极差反映了一组数据变化的范围，描述了这组数的离散程度，它对一组数据中的极端值非常敏感．极差只考虑了两个极端值，而没有考虑中间的数据，可靠性较差． 大 小 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 2．方差 如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为s2＝． 此时，如果a，b为常数，则 ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为________． 3．标准差 方差的__________称为标准差． 注：数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述． (xi－)2 a2s2 算术平方根 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 思考　方差与标准差的大小与样本数据有什么关系？ [提示]　标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)描述一组数据极端情况的数字特征是最值． (　　) (2)描述一组数据集中趋势的数字特征可以是平均数、中位数和众数． (　　) (3)百分位数可用于了解数据的分布特点． (　　) √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 2．某同学10次数学检测成绩统计如下：95，97，94，93，95，97，97，96，94，93，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 D　[将这组数据按从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是95，95，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是95，故b的值为95； 根据平均数的定义，可求得这组数据的平均数a＝＝95.1；众数是一组数据中出现次数最多的数，所以c＝97．所以c>a>b，故选D．] 3．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的是(　　) A．中位数可以准确地反映出总体的情况 B．平均数可以准确地反映出总体的情况 C．众数可以准确地反映出总体的情况 D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 D　[中位数不受少数极端值的影响，对极端值的不敏感也会成为缺点，故A错误；平均数可以较好地反映样本数据全体的信息，但是样本数据质量较差时，使用平均数描述数据的中心位置就可能会与实际情况产生较大差异，故B错误；众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽略使得无法客观反映总体特征，故C错误；综上可知，D正确．] 4．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7，8，7，9，5，4，9，10，7，4． 则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________． (1)7　(2)2　[(1)＝＝7． (2)s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2．] 7 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 类型1　最值、平均数、中位数、众数的比较 【例1】　(源自湘教版教材)某创业公司全体职工某月的奖金如下： 关键能力·合作探究释疑难 奖金/元 18 000 12 000 8 000 6 000 4 000 2 500 2 000 1 500 1 200 人数 1 (总经理) 2 (副总 经理) 3 4 10 20 22 12 6 5.1.2　数据的数字特征 (1)试求出该公司该月奖金数据中的众数、中位数和平均数． (2)你认为用平均数、中位数或众数中的哪一个更能反映该公司的月奖金水平？ (3)能用该公司的月奖金数据估计全国该类创业公司的月奖金水平吗？说说你的理由． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 [解]　(1)在题干80个数据中，2 000出现了22次，出现的次数最多，因此这组数据的众数是2 000． 把这80个数据按从小到大的顺序排列后，位于中间的数是2 000， 2 500，因此这组数据的中位数是＝2 250． 这组数据的平均数为 ＝＝＝3 115． (2)由于大多数员工的月奖金达不到平均数3 115，显然用平均数作为该公司员工月奖金的代表值并不合适；众数2 000及中位数2 250在一定程度上代表了大多数人的月奖金水平，较能反映月奖金水平的实际情况． (3)由于全国各地的月奖金差异性较大，因而不能用一个公司的数据估计全国该类公司的月奖金水平． 反思领悟　1．最值和众数的求法 在样本数据中出现次数最多的数据即为众数，最大的数是最大值，最小的数是最小值． 2．求平均数的步骤 (1)求和：数据x1，x2，…，xn的和为x1＋x2＋…＋xn． (2)求平均数：和除以数据的个数n，即x1，x2，…，xn的平均数为(x1＋x2＋…＋xn)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 [跟进训练] 1．(1)已知一组数据4，2a，3－a，5，6的平均数为4，则a的值是________． (2)某校在一次学生演讲比赛中，共有7个评委，学生最后得分为去掉一个最高分和一个最低分的平均分．某学生所得分数为9.6，9.4，9.6，9.7，9.7，9.5，9.6，这组数据的众数是________，该学生最后得分为________． 2 9.6 9.6 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 (1)2　(2)9.6　9.6　[(1)由＝4可知a＝2． (2)根据题意，得这组数据的众数为9.6，平均数为＝9.6，故最后得分为9.6．] 类型2　中位数、百分位数的计算 【例2】　(1)为了解某种轮胎的性能，随机抽取了8个进行测试，其最远里程数(单位：km)为96，112，97，108，99，104，86，98，则它们的中位数是(　　) A．100 km B．99 km C．98.5 km D．98 km (2)求1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的25%分位数，75%分位数，90%分位数． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 (1)C　[从小到大排列此数据为86，96，97，98，99，104，108，112，中间两个数是98，99，所以中位数为(98＋99)÷2＝98.5(km)．] (2)[解]　当p%＝25%时，i＝10p%＝10×25%＝2.5，所以25%分位数为3． 当p%＝75%时，i＝10p%＝10×75%＝7.5， 所以75%分位数为8． 当p%＝90%时，i＝10p%＝10×90%＝9， 所以90%分位数为＝9.5． 反思领悟　中位数、百分位数反映了一组数据的“中等水平”，“少数水平”或“多数水平”，我们需根据实际需要选择使用． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 [跟进训练] 2．小明同学统计了他最近10次的数学考试成绩，得到的数据分别为92，85，87，91，95，90，88，83，98，96，则这组数据的60%分位数是(　　) A．92 B．91.5 C．91 D．90 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 B　[将10次的数学考试成绩由小到大排序依次为：83，85，87，88，90，91，92，95，96，98，因为10×0.6＝6，因此，这组数据的60%分位数是＝91.5．故选B．] 类型3　极差、方差和标准差的计算和应用 【例3】　【链接教材P68例2】 从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下： 甲：7，8，6，9，6，5，9，9，7，4． 乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7． (1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数； (2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差； (3)比较两人的成绩，然后决定选择哪一个人参赛． (参考数值：≈0.836 7，≈0.547 7) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 [解]　(1)对于甲：极差是9－4＝5，众数是9，中位数是7； 对于乙：极差是9－5＝4，众数是7，中位数是7． (2)＝＝7， ＝×[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝2.8， s甲＝＝≈1.673 4． ＝＝7， ＝×[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]＝1.2， s乙＝＝≈1.095 4． (3)因为＝，s甲＞s乙，所以甲、乙两人的平均成绩相等，乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以选择乙参赛． 【教材原题·P68例2】 例2　计算下列各组数的平均数与方差： (1)18.9，19.5，19.5，19.2，19，18.8，19.5； (2)2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，5，6，6． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 [解]　(1)将每一个数乘以10，再减去190，可得 －1，5，5，2，0，－2，5． 这组新数的平均数为 ×(－1＋5＋5＋2＋0－2＋5)＝2， 方差为 ×[(－1－2)2＋(5－2)2＋(5－2)2＋(2－2)2＋(0－2)2＋(－2－2)2＋(5－2)2]＝8． 由此可知，所求平均数为19.2，方差为8×＝0.08． (2)可将数据整理为 x 2 3 4 5 6 频数 3 4 5 6 2 每一个数都减去4可得 x－4 －2 －1 0 1 2 频数 3 4 5 6 2 这组数的平均数与方差分别为 ×[(－2)×3＋(－1)×4＋0×5＋1×6＋2×2]＝0， ×[(－2)2×3＋(－1)2×4＋02×5＋12×6＋22×2]＝． 因此，所求平均数为4，方差为． 反思领悟　1．计算标准差的五个步骤 (1)算出样本数据的平均数． (2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差：xi－(i＝1，2，3，…，n)． (3)算出(2)中xi－(i＝1，2，3，…，n)的平方． (4)算出(3)中n个平方数的平均数，即为样本方差． (5)算出(4)中方差的算术平方根，即为样本标准差． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 2．标准差(方差)的两个作用 (1)标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小． (2)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策．在平均值相等的情况下，比较方差或标准差来确定稳定性． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 [跟进训练] 3．(多选)已知一组样本数据x1，x2，…，xn(x1＜x2＜…＜xn)，现有一组新的样本数据，…，，则与原样本数据相比，新的样本数据(　　) A．平均数不变 B．中位数不变 C．极差变小 D．方差变小 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 ACD　[对于A，新数据的总和为：＋…＋＝x1＋x2＋…＋xn，与原数据总和相等，且数据个数都是n，因此平均数不变，A正确； 对于B，不妨设原数据为：1，2.5，3，中位数为2.5，则新数据为：1.75，2.75，2，中位数为2，B错误；对于C，原数据极差为：xn－x1，新数据极差为：，而－(xn－x1)＝＜0，即极差变小了，C正确； 对于D，由于两组数据的平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，因此方差变小，D正确．故选ACD．] 1．(2025·全国二卷)样本数据2，8，14，16，20的平均数为(　　) A．8 B．9 C．12 D．18 学习效果·课堂评估夯基础 √ C　[(2＋8＋14＋16＋20)＝12，故选C．] 5.1.2　数据的数字特征 2．(多选)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 BD　[对于选项A：设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，…，x6的平均数为n，则n－m＝＝，因为2(x1＋x6)与x2＋x3＋x4＋x5的大小关系不确定，所以无法判断m，n的大小，故A错误； 对于选项B：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6， 可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数，均为，故B正确； 对于选项C：因为x1是最小值，x6是最大值， 则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，故C错误； 对于选项D：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6， 则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确，故选BD．] 3．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为(　　) A．9.4，0.484　　　　　　　 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016 √ D　[＝＝9.5， s2＝×(0.12×4＋0.22)＝0.016．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 4．(教材P70习题AT2改编)某地一年之内12个月的降水量分别为：71，66，64，58，56，56，56，53，53，51，48，46，则该地区的月降水量75%分位数为(　　) A．61 B．53 C．58 D．64 √ A　[将降水量从小到大排列：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，i＝12×75%＝9，该地区的月降水量75%分位数为＝61，故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．你是怎样理解平均数的？ [提示]　平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值．很多情况下，为了避免过于极端的值影响结果太大，会去掉样本数据中的最低分与最高分后再计算平均数．但是，计算总分与计算平均分不会有本质区别． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 2．众数、中位数、平均数有怎样的意义？ [提示]　(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的集中趋势，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大． (2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其中心位置． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 3．如何理解方差、标准差？ [提示]　(1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小． (2)标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动幅度和离散性． (3)标准差的大小不会超过极差． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．在某次考试中，10名同学得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95，则这一组数据的众数和中位数分别是(　　) A．84，68　 B．84，78　 C．84，81　 D．78，81 课时分层作业(十三)　数据的数字特征 56 C　[显然，在样本容量为10的这组数据中，众数是84，将这10个数据按由小到大的顺序排列：68，70，77，78，79，83，84，84，85，95，所以中位数是＝81．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．若数据x1，x2，…，xn的平均数为5，方差为5，则3x1＋4，3x2＋4，…，3xn＋4的平均数和方差分别为(　　) A．5，5 B．15，15 C．19，19 D．19，45 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 58 D　[由题意得：＝5，＝5，设3x1＋4，3x2＋4，…，3xn＋4的平均数和方差分别为＝＝3×＝3×5＋4＝19， s2＝＝＝9×＝9×5＝45， 所以3x1＋4，3x2＋4，…，3xn＋4的平均数和方差分别为19，45，故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 3．某学习小组在一次数学测试中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　) A．85，85，85　　　　　　　 B．87，85，86 C．87，85，85 D．87，85，90 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[平均数为(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87．由众数的定义可知众数为85，中位数为85．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 60 √ 4．在一次数学测试中，高一(5)班50名学生的平均分为83.78，其中女生有22人，女生的平均分比男生的平均分多1分，则男生的平均分为(　　) A．82.34 B．83.34 C．83.36 D．84.36 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[依题意，设男生平均分为x，则女生平均分为x＋1， 所以22(x＋1)＋(50－22)x＝50×83.78，得x＝83.34，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 61 √ 5．一组数据按从小到大的顺序排列为2，3，4，x，7，8(其中x≠7)，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的60%分位数是 (　　) A．4 B．4.5 C．5 D．6 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 62 D　[由题意知，中位数是，极差为6，由已知得＝6× ，解得x＝6， 又6×60%＝3.6，则第60百分位数是6，故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 63 二、填空题 6．从观测所得到的数据中取出m个a，n个b，p个c组成一个样本，那么这个样本的平均数是__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　　[样本中个体数为m＋n＋p，数据总和为ma＋nb＋pc，故平均数为．] 　　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 64 7．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x，23，27，28，31，中位数为22，则x＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 21　[由题意知＝22，则x＝21．] 21 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 65 8．甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩如下： 甲：68　69　70　71　72 乙：63　68　69　69　71 则平均分数较高的是________，成绩较为稳定的是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 甲　甲　[＝70，＝＝×(22＋12＋12＋22)＝＝×(52＋12＋12＋32)＝7.2．] 甲 甲 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 66 三、解答题 9．(源自北师大版教材)某赛季篮球运动员甲每场比赛的得分(单位：分)情况如表． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 比赛场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 得分 12 24 31 15 36 25 50 35 31 44 39 41 36 求在该赛季比赛中，这名运动员得分情况的平均数、中位数、众数、极差、方差和标准差． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 67 [解]　平均数＝＝≈32.23(分)； 中位数：35分； 众数：31分，36分； 极差：50－12＝38(分)； 方差s2＝ ＝≈110.95； 标准差s≈10.53分． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 68 √ 10．(多选)已知某班10名男生引体向上的测试成绩统计如下表所示： 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 成绩 10 9 8 7 人数 1 4 3 2 则下列说法正确的有(　　) A．这10名男生引体向上测试成绩的平均数为7.4 B．这10名男生引体向上的测试成绩没有众数 C．这10名男生引体向上测试成绩的中位数为8.5 D．这10名男生引体向上测试成绩的20%分位数为7.5 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 69 CD　[对于A，10名男生引体向上测试成绩的平均数为(10＋4×9＋3×8＋2×7)＝8.4，所以A错误； 对于B，这10名男生引体向上的测试成绩的众数为9，所以B错误； 对于C，这10名男生引体向上测试成绩的中位数为＝8.5，所以C正确； 对于D，这10名男生引体向上测试成绩的20%分位数为＝7.5，所以D正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 70 11．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200) 频数 6 12 18 30 24 10 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 71 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 C　[对于A，根据频数分布表可知，6＋12＋18＝36<50， 所以亩产量的中位数不小于1 050 kg，故A错误； 对于B，亩产量不低于1 100 kg的频数为24＋10＝34， 所以低于1 100 kg的稻田占比为＝66%，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为1 200－900＝300，最小为1 150－950＝200，故C正确； 对于D，平均值为×(6×925＋12×975＋18×1 025＋30×1 075＋24×1 125＋10×1 175)＝1 067，故D错误．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 73 12．已知30个数据的60%分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8.6　[由于30×60%＝18，设第19个数据为x，则＝8.2，解得x＝8.6，即第19个数据是8.6．] 8.6 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 74 13．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均数为1，则样本的方差为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2　[由题意可得＝1， 解得a＝－1． 所以样本方差s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 75 14．某旅游网考察景区酒店A，B，依据服务质量给酒店综合评分，下表是考察组给出酒店A，B的评分(满分100分)，记A，B两个酒店得分的平均数分别为和，方差分别为和． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A/分 60 75 65 80 65 75 85 70 55 70 B/分 75 70 65 80 80 50 80 70 60 70 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 76 (1)分别求这两个酒店得分的极差和中位数； (2)求； (3)若要推荐A，B酒店中的一家，依据以上计算的结果分析推荐哪一家酒店，并说明理由． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)酒店A的得分从小到大排列为：55，60，65，65，70，70，75，75，80，85，酒店B的得分从小到大排列为：50，60，65，70，70，70，75，80，80，80， 所以酒店A得分的极差为85－55＝30，酒店B得分的极差为80－50＝30，酒店A得分的中位数为70，酒店B得分的中位数为70． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 (2)酒店A的得分平均数为＝×(55＋60＋2×65＋2×70＋2×75＋80＋85)＝70，方差＝×[(55－70)2＋(60－70)2＋2×(65－70)2＋2×(70－70)2＋2×(75－70)2＋(80－70)2＋(85－70)2]＝75， 酒店B得分的平均数为＝×(50＋60＋65＋3×70＋75＋3×80)＝70， 方差为＝×[(50－70)2＋(60－70)2＋(65－70)2＋3×(70－70)2＋(75－70)2＋3×(80－70)2]＝85． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 78 (3)因为A，B两个酒店得分的平均数相同，而酒店A得分的方差小于酒店B得分的方差，所以酒店A的得分比较稳定，所以选择酒店A． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．(多选)某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被统计成23万，更正后重新计算，得到标准差为s1，则(　　) A．两次统计总人数不变 B．两次统计旅游人数的平均数不变 C．s>s1 D．s与s1的大小关系无法确定 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.2　数据的数字特征 80 ABC　[由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为，则s＝ ， s1＝． 若比较s与s1的大小，只需比较(15－)2＋(23－)2与(20－)2＋(18－)2的大小即可．而(15－)2＋(23－)2＝754－76＋2，(20－)2＋(18－)2＝724－76＋2，所以．从而s＞s1．故选ABC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 81 $