3.1 椭圆 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 选修 第三章 圆锥曲线的方程 (一)椭圆 知识梳理 知识点1：椭圆的概念 在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于FF2D的点的轨迹（或集合）叫 这两定点叫做椭 圆的 两焦点间的距离叫做 0 集合P={MMF1+M2=2a},FF2=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数： (1)若，则集合P为椭圆； (2)若，则集合P为线段： (3)若 则集合P为空集. 知识点2：椭圆的标准方程和几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x2 y2 a+6=1(a>b>0 兰若-a6o 定义 MF+MF =2a(2a >2c) 范围 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a A(-a,0)、A2a,0 A0,-a、A20,a 顶点坐标 B,(0,-b)、B2(0,b) B,(-b,0)、B2b,0) 轴长 短轴的长=2b 长轴的长=2a 第1页共11页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 焦点 E(-c,0)、E(c,0) E(0,-c)、F2(0,cl 焦距 lEfl=2cc2=a2-b） a最大 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 离心率 b2 三三八二 (0<e<1）(e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁) ①cos0= 2b2 -1,0=∠FBF,(B为短轴的端点) 53 1 n0c|,焦点在x轴上 ②S5=sim8=an2{cxb焦点在)轴上 0=∠FPF2) P(Xo.Yo) 焦点三角形面积 当P点在长轴端点时，(r52)min=b 当P点在短轴端点时，(r5)max=a2 焦点三角形中一般要用到的关系是 |ME|+|ME=2a(2a>2c) Sss=2 sin∠FPE) FF=PF+PF-2 PFPF cos ZFPF 通径 2b2 a 【方法技巧与总结】 椭圆方程求解方法： (1)定义法：根据椭圆定义，确定α2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程 第2页共11页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出 a,b,c的方程组，解出a2,b2,从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B). ②与梢圆亡+上=1共焦点的椭圆可设为”+广 =1(k>-m,k>-n,m≠n). m n m+k n+k 云+尔一>6>0有相同离心本的椭圆，可设为若+号-长（传>0，焦点右X储上）成 ®与椭圆+ x2.y2 +京=k（k>0,焦点在y轴上) 考点突破 考点一 椭圆的定义及应用 例1.已知坐标平面上的两点A(-1,0)和B1,0),动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是( A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.线段 【答案】D【解析】由题意可得：A(-L,0)、B1,0)两点之间的距离为2， 又因为动点P到A、B两点距离之和为常数2，所以|AB曰AP|+|API,即动点P在线段AB上运动，所 以动点P的轨迹是线段.故选D. 变式1如图，一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合， 然后抹平纸片，折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是(A) D A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 第3页共11页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 考点二求椭圆的标准方程 例2-1若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为(C). A.x29+y216=1 B.x225+y216=1 C.x225+y216=1或x216+y225=1 D.以上都不对 例22经过40-).85，- )两点，求椭圆的标准方程。 1 设所求的椭圆方程为：亡+上=1m>0,>0,m≠n),代入已知两点可得： 4+2=1 一十 m n m乃，解得m=8, 3 2+4=1 m n n=1,故所求的椭圆方程为： x 8+2=1. 式21.与椭國+士有相同的焦点，且经过点山)的椭圆的标准方程 由已知椭圆方程可得焦点坐标为（±1,0），则可设所求的椭圆方程为：上+少 =1(m>1), m m-1 代入点山，解得m=4或}（舍），所以所求椭圆方程为：亡+二=1， 4 4 3 变式2-2.求与椭圆x24+y23=1有相同的离心率且经过点(2，一3)的椭圆方程 8+若=1或2 2 2 2 5+25=1 34 解析 由题意，当焦点在×轴上时，设所求椭圆的方程为 +号=e>0 2 随圆过点2，-V3土兰+上Y3=2 3 二椭圆标准方程为：+ 8+6=1. 当焦点在y轴上时，设方程为号+ 4+3=m(m>0), 25 椭圆过点(2，-V3),m=12, 2x2 ~椭圆标准方程为季十亨1 故所求据圆标准方程为专+苦-1或等+营-1 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 考点三椭圆的几何性质 例3-1.已知F1、F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△ PFF2的面积为9，则b= 解析由题意知PF1+PF,=2a,⊥，PF2+PF,P=E,F2=4C2, ..(PF+PF2D)2-2PFIlPF2=4c2,..2PFIPF2=4a2-4c2=462. .PF1lPF2=2b2,.S△PF1F2=12PF1lPF2=12×2b2=b2=9..b=3 例3-2.在平面直角坐标系x0y中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为2)2.过F1的直 线1交C于A,B两点，且△B那，的周长为16，那么C的方程为器+号=1一 变式1设P是椭图矿十。-1上的点，P到该椭圆左焦应的距离为2，则P到右焦点的距离为 259 【答案】8【解析】依题意a=5,而P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为5×2-2=8. 故答案为：8 变式32版R,店分别是猫国E手+芳=a6>0的东、右纯点，过有的直线交腿E于A,。 两点，AF=3EB,且|AB=4,△ABF的周长为16，则AF=· 【答案】5【解析】由AF=3EB,AB=4,得AF=3,FB=1.因为△ABF的周长为16.，所以 |AB|+AF+BF,=4a=16,解得a=4.又AF+AF,=2a=8,所以AF=5. 故答案为：5 变式3-3.如图把椭圆 二+兰=1的长轴AB分成8等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于， 2516 B,…,乃七个点，F是椭圆的左焦点，则PF+PF+…+P,F= 第5页共11页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ P P2 PA Ps P6 0 【答案】35【解析】由已知得a=5,如图， E是椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知FP=EP,FP=EP。,FP=EP引，又FP=5, PF+PF+PF+PF+PF+PF+PF =EP+EP+EP+5+FP+FP。+FP=2a+2a+2a+5=35.故答案为：35. 变式3-4.已知矩形ABCD中，AB=4,BC=3,以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率 为 【答案】号【解析1解：如图，根据题意得4-2,0)，B2,0),C2,3)设椭圆的方程为 49 a+6= 。+方=1(a>b>0),故根据题意得： c=2 ，解得 a2=b2+c2 0=4,b=2V5,c=2,所以离心率为e=C=2-1 日42，故答案为：1 第6页共11页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 考点四直线与椭圆 例4已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它的左焦点E作倾斜角为乃的直线交椭圆于 3 A,B两点，求弦AB的长. AB=V1+k2x,-x=V1+k2)[(x+x2)2-4xx2].因为a=6,b=3,所以c=3W3.因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为￡+上=1，左焦点F-35,0),从而直线方程为y=5x+9. 369 由直线方程与椭圆方程联立得：13x2+72√3x+36×8=0.设x1,x2为方程两根，所以 七+5-723 ，七6=36×8 ,k=V3, 从而 13 13 48-i+-=0-+-4-8 变式4已知P4,2》是直线1筱椭腿兰二+女-1所截得的线段的中点，求直线的方程 369 设所求直线方程为y-2=k(x-4).代入椭圆方程，整理得 (4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0① 设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x、x3是①的两根，.x+x2= 8k(4k-2) 4k2+1 :P4,2)为B中点，4=+无=4(4-2)，k= 24k2+1 2小所求宜线方程为x+2y-8=0. 分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题.通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x),得到关于 x(或y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x+x2,xx2(或y,+y2,y2)的值代入计 算即得.并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的. 第7页共11页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ ”课后巩固 1.己知△ABC的两个顶点A(5,0),B(-5,0),周长为22，则顶点C的轨迹方程是() A.￡+=1 B.+上=10≠0) 3611 3611 D.二+=10≠0) 916 【答案】B【解析】△ABC的两个顶点A(5,0),B(-5,0),周长为22，则顶点C的轨迹是椭圆， 可知c=5,2a=12,解得a=6,c=1.则顶点C的轨迹方程是： x+上=10y≠0).故选B. 3611 2若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距 离为√5，则这个椭圆的方程为() x2 B. + =1 129 912 9*121 D.以上都不对 【答案】C【解析】设短轴的一个端点为P,左右焦点分别为F、F, :△PF5为正三角形，OP卡51F51,可得b=5c,即V2-C=5e.…①又：椭圆的焦点到椭 2 圆上点的最短距离为√5，a-c=√5，②联解①②，可得a=25,c=√5，b=√a2-c2=3. 因此心=12且公=9，可得椭圆的标准方程为云+二=1或。+亡=1.故选c 129 912 第8页共11页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 3.F,B为椭圆二+二=1的两个焦点，点P在椭圆上，且满足∠FP5,=90,则三角形FP5的面积 十 10064 为 ； 【答案】64【解析】由椭圆文+二=1可得a=10,6=8,c=6F,E为椭圆的两个焦点，点P在椭圆 10064 上，可得PF+PF=20①，∠FPE=90°，.PF+PF=(2c2=144②， ①式平方可得PF'+PE'+2PEPE=144+2PEPF=400,整理得PFPF=128, S所=P听PF=64,放答案为：64 生定文：精圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭固C:若+芳=a>6>0)的焦距为 4√5，焦点三角形的周长为4√5+12，则椭圆C的方程是 【答案】。+上-1【解折】设椭圆的半焦距为C,由题意得，位5→5，所以6：4，放椭 3616 圆C的方程是 y2 一十 =1. 3616 5经过点M2作直线I交双曲线xI于4，B两点，且M为AB的中点，测直线1的方程为 【答案】4x-y-7=0【解析】设点A(xy),点B(x2,y2), Mx。y0),则2x2-=2,…①2x3-y3=2,…②①-②得 2(x+x(x-x)-(y+y(y-2=0,2×2x,-2,=业=0，所以8-2k=0,所以k=4,所 X1-X2 以y-1=4x-2),所以直线1的方程为4x-y-7=0.故答案为：4x-y-7=0 第9页共11页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 6已斥月是指因C号+茶=a>b>0的，看点。点P为C上点0为华长长点 △POF为正三角形，则C的离心率为 【答案】√3-1【解析】如图，因为POF为正三角形，所以|OE曰OP曰OE|, 所以△FPF是直角三角形.因为∠PF,E=60°，|F,F=2C,所以|PF=C,所以 PE=PF+|EF-2PFEF卧cos60,所以PFl=5c, 因为PE,+P5非2a,所以c+5e=2a,即=25-1，所以 aV3+1 e=√5-1故答案为：√5-1. 7已知椭号+若-a>60的右顶点为5,0，离心*为 ,过点BO,-2)及左焦点F的直线交 椭圆于C，,D两点，右焦点设为E· (1)求椭圆的方程； (2)求△CDE,的面积. 【答案】(1)由题意可得，a=2,又e=-S=5,c=1,则6=4-c2=1. a2=2 可得椭圆方程为号+y=1:2):5(1,0,:直线B5的方程为y=-2x-2, 2 y=-2x-2 由x2 2+2=1 ,得9x2+16x+6=0.:△=162-4×9×6=40>0，.直线与椭圆有两个公共点， 16 设为C(x,),D(x2,2),则 5+5-9,cpF+(2-x卡5+-4 2 Xx3=3 5-4×名02，又点E到直线B那的距离d=45, =5-9 39 5 第10页共11页将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 选修 第三章 圆锥曲线的方程 （一）椭 圆 知识点1：椭圆的概念 在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫________.这两定点叫做椭圆的__________，两焦点间的距离叫做_________。 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若_____，则集合P为椭圆； (2)若_____，则集合P为线段； (3)若________，则集合P为空集． 知识点2：椭圆的标准方程和几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 定义 范围 且 且 顶点坐标 、 、 、 、 轴长 短轴的长 长轴的长 焦点 、 、 焦距 a最大 对称性 关于轴、轴、原点对称 离心率 (e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁) 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 通径 【方法技巧与总结】 椭圆方程求解方法： （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 考点一 椭圆的定义及应用 例1.已知坐标平面上的两点和，动点到、两点距离之和为常数2，则动点的轨迹是　　 A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 变式1.如图，一圆形纸片的圆心为，是圆内一定点，是圆周上一动点，把纸片折叠使与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与交于点，则点的轨迹是　　 A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 考点二 求椭圆的标准方程 例2-1.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为(　 　)． A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1或＋＝1 D．以上都不对 例2-2.经过，，两点，求椭圆的标准方程。 变式2-1.与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程。 变式2-2.求与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，－)的椭圆方程。 考点三 椭圆的几何性质 例3-1.已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________. 例3-2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________． 变式3-1.设是椭圆上的点,到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为_____. 变式3-2.设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于A，B两点，，且的周长为16，则_____． 变式3-3.如图把椭圆的长轴分成等分,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，…，七个点，是椭圆的左焦点,则_________ . 变式3-4.已知矩形中，，，以、为焦点，且过、两点的椭圆的离心率为________. 考点四 直线与椭圆 例4.已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求弦的长． 变式4.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程． 1.已知的两个顶点，，周长为22，则顶点的轨迹方程是　　 A． B． C． D． 2.若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为　　 A． B． C．或 D．以上都不 3.为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则三角形的面积为_____________________； 4.已知椭圆的焦距为，焦点三角形的周长为，则椭圆的方程是__________． 5.经过点作直线交双曲线于两点，且为的中点，则直线的方程为__________. 6.已知､是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为__________. 7.已知椭圆的右顶点为，，离心率为，过点及左焦点的直线交椭圆于，两点，右焦点设为． （1）求椭圆的方程； （2）求的面积． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $