3.2 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦函数零点存在定理及二分法求近似值，以价格竞猜情境导入，引导学生从生活问题抽象数学思想，衔接函数与方程关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于情境导学培养数学眼光，通过实例辨析零点存在条件和二分法适用范围，结合列表法和分层作业，发展逻辑推理与数学运算素养，帮助学生系统掌握方法，教师可高效实施分层教学。

第三章 函数 3.2　函数与方程、不等式之间的关系 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 学习任务 1．掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数．(数学抽象) 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法求函数零点近似解的步骤．(数学运算) 3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．(逻辑推理) 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 必备知识·情境导学探新知 某电视台有一个价格竞猜类的节目．节目中主持人给竞猜者展示一件新式产品，让竞猜者去猜物品的价格，主持人会提示价格“高了”还是“低了”，然后竞猜者继续猜．怎样用最少的次数猜出物品的价格呢？ 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 知识点1　函数零点存在定理 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是________的，并且____________(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f (x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f (x0)＝0． 连续不断 f (a)f (b)<0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 提醒　(1)函数零点存在定理必须同时满足：①函数f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f (a)f (b)<0．这两个条件缺一不可．可从函数y＝来理解，易知f (－1)f (1)＝－1×1<0，但显然y＝在[－1，1]内没有零点． (2)函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点，不一定有f (a)f (b)<0．例如：函数f (x)＝|x－1|在区间(0，2)内有1个零点，而f (0)f (2)＝1>0． (3)注意基本性质中对问题研究不考虑闭区间[a，b]的端点处，而是考虑开区间(a，b)内有无零点问题，若f (a)＝0或f (b)＝0，则a或b也是函数零点，但不是零点性质研究的内容． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 思考利用函数零点存在定理能确定零点个数吗？ [提示]　不能．只能判断零点是否存在，不能确定零点的个数．如图①②，虽然都有f (a)f (b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 知识点2　求函数零点的近似值的一种计算方法——二分法 1．二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且_______________________的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到__________的方法称为二分法． f (a)f (b)<0 一分为二 零点近似值 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 提醒　(1)二分法只能求函数的变号零点(函数图象通过零点时穿过x轴，这样的零点称为变号零点)的近似值． (2)二分法的解题原理是函数零点存在定理，它是一种求近似解的具体方法，是考查“极端”“无限分割”“化整为零”“无限逼近”等数学思想方法的具体体现． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 2．用二分法求函数零点近似值的步骤 给定近似的精确度ε，用二分法求函数f (x)在[a，b]上的零点近似值的步骤是： 第一步　检查|b－a|≤2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步． 第二步　计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f ＝0，取x1＝，计算结束；若f ≠0，转到第三步． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 第三步　若f (a)f ＜0，将的值赋给__，回到第一步；否则必有f f (b)＜0，将的值赋给__，回到第一步． b a 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 × 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数y＝f (x)在[a，b]上图象连续，且f (a)f (b)＞0，则y＝f (x)在(a，b)内一定没有零点． (　　) (2)若函数y＝f (x)在区间(a，b)内有且只有一个零点，则f (a)f (b)<0． (　　) (3)若函数f (x)在[a，b]上是单调函数，则f (x)在[a，b]上至多有一个零点． (　　) √ × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 2．下列函数不宜用二分法求零点的是(　　) A．f (x)＝x3－1 B．f (x)＝2x3＋x－5 C．f (x)＝x2＋2x＋2 D．f (x)＝－x2＋4x－1 √ C　[因为f (x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是(　　) A．ε越大，零点的精确度越高 B．ε越大，零点的精确度越低 C．重复计算次数就是ε D．重复计算次数与ε无关 √ B　[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 关键能力·合作探究释疑难 类型1　判断函数零点个数或所在区间 【例1】　(1)已知函数y＝f (x)的图象是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 √ 则下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f (x)在区间[1，6]上有3个零点 B．函数y＝f (x)在区间[1，6]上至少有3个零点 C．函数y＝f (x)在区间[1，6]上至多有3个零点 D．函数y＝f (x)在区间[1，2]上无零点 (2)若a<b<c，则函数f (x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 (1)B　(2)A　[(1)由表可知，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)· f (5)<0． 由函数零点存在定理知，函数y＝f (x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别至少存在一个零点， 所以函数y＝f (x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．虽然f (1)· f (2)>0，但函数y＝f (x)在[1，2]上也有可能存在一个或多个零点． (2)因为f (x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)， 所以f (a)＝(a－b)(a－c)，f (b)＝(b－c)(b－a)，f (c)＝(c－a)(c－b)，因为a<b<c， 所以f (a)>0，f (b)<0，f (c)>0， 所以f (a)f (b)<0，f (b)f (c)<0，故∃x1∈(a，b)，x2∈(b，c)，f (x1)＝0，f (x2)＝0， 所以f (x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．] 发现规律　判断函数零点所在区间的3个步骤 (1)代入：将__________代入函数解析式求出相应的函数值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行____判断． (3)结论：若符号为__且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为__且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 区间端点值 符号 正 负 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 √ [跟进训练] 1．(1)函数f (x)＝x3－9的零点所在的一个区间是(　　) A．(－1，0)　　B．(0，1)　　C．(1，2)　　D．(2，3) (2)若函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是(　　) A．若f (a)f (b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)使得f (c)＝0 B．若f (a)f (b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f (c)＝0 C．若f (a)f (b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)使得f (c)＝0 D．若f (a)f (b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f (c)＝0 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 (1)D　(2)C　[(1)因为函数f (x)＝x3－9的图象是连续不断的， f (2)＝8－9＝－1＜0，f (3)＝27－9＝18＞0， 所以根据函数零点存在定理， 可得函数f (x)＝x3－9的零点所在的一个区间是(2，3)． (2)对于A选项，可能存在，如y＝x2； 对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．] √ 类型2　对二分法概念的理解 【例2】　下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D B　[利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 反思领悟　二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是函数零点的存在性．对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图象是连续的即可． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 √ [跟进训练] 2．(1)(多选)用二分法求如图所示函数f (x)的零点时，能求出的零点是(　　) A．x1　　　B．x2　　　C．x3　　　D．x4 (2)用二分法求函数f (x)在区间[0，2]上零点的近似解，若f (0)· f (2)<0，取区间中点x1＝1，计算得f (0)·f (x1)<0，则此时可以判定零点x0∈________(填区间)． √ √ (0，1)　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 (1)ABD　(2)(0，1)　[(1)观察题图可知：零点x3的附近两边的函数值都为负值，所以零点x3不能用二分法求出． (2)由二分法的定义，根据f (0)f (2)<0，f (0)·f (x1)<0，x1＝1，故零点所在区间可以为(0，1)．] 类型3　用二分法求函数零点的近似值 【例3】　求函数f (x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确度0.1)． [解]　由于f (1)＝－6<0，f (2)＝4>0， 可取区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间 a0＝1，b0＝2 f (1)＝－6，f (2)＝4 [1，2] x0＝＝1.5 f (x0)＝－2.625<0 [1.5，2] x1＝＝1.75 f (x1)≈0.234 4>0 [1.5，1.75] x2＝＝1.625 f (x2)≈－1.302 7<0 [1.625，1.75] x3＝＝1.687 5 f (x3)≈－0.561 8<0 [1.687 5，1.75] 由于|1.75－1.625|＝0.125<0.2， 故可取＝1.687 5作为所求函数的一个正数零点的近似值，故函数f (x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点的近似值为1.687 5． [母题探究] (变结论)本例条件不变，请问是否存在负数零点？若存在，请求出一个负数零点． [解]　由于f (－2)＝(－2)3＋2×(－2)2－3×(－2)－6＝0， 所以函数f (x)＝x3＋2x2－3x－6的一个负数零点是－2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 反思领悟　利用二分法求函数零点的关注点 (1)要选好计算的初始区间，这个区间要包含函数的零点，其长度要尽量小． (2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间． (3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 [跟进训练] 3．求函数f (x)＝x2－5的负零点(精确度为0.1)． [解]　由于f (－2)＝－1<0，f (－3)＝4>0， 故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 用二分法逐次计算，列表如下： 区间 中点的值 中点函数近似值 (－3，－2) －2.5 1.25 (－2.5，－2) －2.25 0.062 5 (－2.25，－2) －2.125 －0.484 4 (－2.25，－2.125) －2.187 5 －0.214 8 由于|－2.25－(－2.125)|＝0.125<0.2， 所以函数的一个近似负零点可取＝－2.187 5． √ 类型4　一元二次方程根的分布问题 【例4】　【链接教材P123例7】 已知关于x的方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围为(　　) A．(－4，－2)　　　 B．(－3，－2) C．(－4，0) D．(－3，1) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 A　[设函数f (x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，则由题意可画出函数f (x)的草图如图所示， 由图可得解得－4＜m＜－2． 故实数m的取值范围为(－4，－2)．] 【教材原题·P123例7】 例7　已知函数f (x)＝x2＋ax＋1有两个零点，在区间(－1，1)上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数a的取值范围． [解]　因为函数f (x)的图象是开口向上的抛物线，因此满足条件的函数图象的示意图如图3－2－8(1)(2)所示． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 不管哪种情况，都可以归结为f (－1)f (1)<0且≥1，因此(2－a)(a＋2)<0且|a|≥2， 解得a<－2或a>2． 反思领悟　解一元二次方程根的分布问题一般从4个方面考虑 (1)抛物线开口方向． (2)一元二次方程根的判别式． (3)对应区间端点函数值的符号． (4)抛物线的对称轴与区间端点的位置关系． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 [跟进训练] 4．关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有实数解，求实数m的取值范围． [解]　设f (x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0，2]， ①若f (x)＝0在区间[0，2]上有一个实数解， ∵f (0)＝1＞0，∴f (2)＜0或 又f (2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m＜－． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 ②若f (x)＝0在区间[0，2]上有两个实数解， 则即 ∴∴－≤m≤－1． 综上，实数m的取值范围为{m|m≤－1}． 学习效果·课堂评估夯基础 1．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3，5]上(　　) A．没有零点 B．有一个零点 C．有两个零点 D．有无数个零点 √ B　[令－x2＋8x－16＝0，得x＝4，故函数y＝－x2＋8x－16在[3，5]上有一个零点．故选B．] 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 2．已知函数f (x)＝3ax－1－2a在区间(－1，1)上存在零点，则(　　) A．＜a＜1 B．a＞ C．a＜－或a＞1 D．a＜－ √ C　[∵f (x)＝3ax－1－2a在区间(－1，1)上单调且存在零点， ∴f (－1)·f (1)＝(－3a－1－2a)·(3a－1－2a) ＝(－5a－1)·(a－1)＜0， ∴a＞1或a＜－．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 3．用二分法求方程的近似解，求得f (x)＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示： √ x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f (x) －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为(　　) A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 C　[∵f (1.75)·f (1.812 5)<0， ∴方程x3＋2x－9＝0的近似解为x≈＝1.781 25≈1.8，故选C．] 4．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断： ①在(－2，－1)内有实数根； ②在(－1，0)内有实数根； ③在(1，2)内有实数根； ④在(－∞，＋∞)内没有实数根． 其中正确的有________．(填序号) ①②③ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 ①②③　[(法一)设f (x)＝x3＋x2－2x－1， 则f (－2)＝－1<0，f (－1)＝1＞0，f (0)＝－1<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7＞0， 所以f (－2)·f (－1)<0，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0， 所以∃x1∈(－2，－1)，x2∈(－1，0)，x3∈(1，2)，f (x1)＝0，f (x2)＝0，f (x3)＝0． 则f (x)在(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内均有零点，即①②③正确． (法二)因为x＝0不是方程x3＋x2－2x－1＝0的根， 所以原方程可化为 x2＋x－2－＝0， 即x2＋x－2＝． 令f (x)＝x2＋x－2，g(x)＝， 所以原方程的根即为f (x)与g(x)图象交点的横坐标，其图象如图． 由图象知①②③正确．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．判断函数是否存在零点有哪些方法？ [提示]　(1)方程法：若方程f (x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数． (2)图象法：由f (x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 2．根据函数零点个数求参数值(范围)有哪些方法？ [提示]　已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 3．用二分法求函数零点的近似值应遵循怎样的原则？ [提示]　(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)． (2)取区间端点的中点c，计算f (c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 4．二分法求函数零点需满足什么条件？ [提示]　并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： (1)在区间[a，b]上的图象连续不断． (2)f (a)·f (b)<0， 上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业(二十五)　零点的存在性及其近似值的求法 一、选择题 1．用二分法求函数f (x)＝－x3－3x＋5的零点取的初始区间可以是 (　　) A．(－2，0) B．(－2，1) C．(0，1) D．(1，2) √ 50 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[由函数f (x)＝－x3－3x＋5的图象连续不断， 且f (－2)＝19，f (0)＝5，f (1)＝1，f (2)＝－9，故f (1)·f (2)<0， 故函数f (x)＝－x3－3x＋5的零点可以取的初始区间是(1，2)，故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．若函数f (x)＝x＋(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是 (　　) A．－2 B．0 C．1 D．3 A　[f (x)＝x＋(a∈R)的图象在(1，2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝2－1＝1>0．故 f (x)在区间(1，2)上有零点，同理，其他选项不符合．故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 52 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3．已知f (x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是 (　　) A．9 B．8 C．7 D．6 A　[f (x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出， 则x2＋6x＋c＝0有两个相等的实数根， 则Δ＝36－4c＝0，解得c＝9．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．若函数f (x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1，1) D．[0，1) √ B　[由题意知f (0)·f (1)＜0， 即 (－1)·(2a－2)＜0，∴a＞1．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5．若函数f (x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： √ f (1)＝－2 f (1.5)＝0.625 f (1.25)≈－0.984 f (1.375)≈－0.260 f (1.437 5)≈0.162 f (1.406 25)≈－0.054 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为(　　) A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.406 25 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[由参考数据知，f (1.375)≈－0.260，f (1.437 5)≈0.162，即 f (1.375)·f (1.437 5)<0，且|1.437 5－1.375|＝0.062 5<0.08，所以方程的一个近似解可取为＝1.406 25．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．用“二分法”求方程x3＋x－4＝0在区间(1，2)内的实根，首先取区间中点x＝1.5进行判断，那么下一个取的点是x＝ ________． 1.25　[设函数f (x)＝x3＋x－4，易知函数为增函数， ∵f (1)＝－2<0，f (2)＝6>0，f (1.5)＝1.53＋1.5－4＝0.875>0， ∴下一个有根区间是(1，1.5)， 那么下一个取的点是x＝＝1.25．] 1.25 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 57 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．已知函数f (x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________． 3　0　[因为函数f (x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f (0)＝0． 又因为f (－2)＝0， 所以f (2)＝－f (－2)＝0， 故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0．] 3 0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 58 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币． 4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 59 4　[将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．求证：函数f (x)＝x3＋x2＋1在区间[－2，－1]上存在零点． [证明]　因为f (－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3＜0， f (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1＞0， 所以f (－2)·f (－1)＜0． 又函数f (x)的图象在区间[－2，－1]上是连续不间断的，所以函数 f (x)在区间[－2，－1]上存在零点． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 61 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．已知函数f (x)＝若方程f (x)－2x＝0恰有三个不同的实根，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，1) B．[－1，2) C．[－2，2) D．[0，2] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 62 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[令g(x)＝f (x)－2x，则由题意可得函数g(x)＝恰有三个零点．如图，作出函数y＝－x＋2与y＝x2＋3x＋2的图象，结合函数y＝－x＋2与y＝x2＋3x＋2的图象可知，当－1≤a<2时，函数g(x)有三个零点，故选B． ] 63 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．已知函数f (x)＝|x－1|·(x＋1)，若关于x的方程f (x)＝k有两个不同的实数解，则实数k的值为(　　) A．－1 B．1 C．0和－1 D．0和1 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 64 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[f (x)＝ 关于x的方程f (x)＝k有两个不同的实数解，则y＝f (x)，y＝k的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出y＝f (x)，y＝k的图象如图： 且f (0)＝1，f (1)＝0，由图象可知， 当k＝0或k＝1时， y＝f (x)与y＝k的图象有两个不同的交点， 所以k＝0或k＝1．] 65 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．设f (x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f (x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f (x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f (x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围是___________． 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 66 　[由题意可得函数y＝f (x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有两个不同的零点，函数图象的对称轴为直线x＝，函数的最小值为－－m． 当x＝0时，y＝4－m，当x＝3时，y＝－2－m<4－m， 所以解得－<m≤－2．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是________． 2　[∵a>0，∴a2＋1>1．y＝|x2－2x|和y＝a2＋1的图象如图所示， ∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1(a>0)的图象总有2个交点．即方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)有两解．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 68 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．已知函数f (x)＝2x3－x2－3x＋1． (1)求证：f (x)在区间(1，2)上存在零点； (2)若f (x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f (x)＝0的一个近似解(精确度为0.1)． x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75 f (x)的近似值 －1 1 －0.406 25 0.183 59 －0.138 18 0.015 81 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 69 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)证明：因为f (x)＝2x3－x2－3x＋1， 所以f (1)＝－1<0，f (2)＝7＞0， 所以f (1)·f (2)＝－7<0， 且函数f (x)＝2x3－x2－3x＋1的图象在(1，2)内是连续的， 因此∃x0∈(1，2)，f (x0)＝0， 所以f (x)在区间(1，2)上存在零点． 70 (2)由(1)知，f (x)＝2x3－x2－3x＋1在(1，2)内存在零点，由表知， f (1)＝－1，f (1.5)＝1，所以f (1)·f (1.5)<0， 所以f (x)的零点在(1，1.5)内，因为f (1.25)＝－0.406 25， 所以f (1.25)·f (1.5)<0，所以f (x)的零点在(1.25，1.5)内， 因为f (1.375)＝0.183 59，所以f (1.25)·f (1.375)<0， 所以f (x)的零点在(1.25，1.375)内， 因为1.375－1.25＝0.125<0.2， 故f (x)＝0的一个近似解为＝1.312 5． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．已知二次函数f (x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围． (1)零点均大于1； (2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　零点的存在性及其近似值的求法 72 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)f (x)的零点均大于1，则由f (x)图象知， 解得2≤a<， 所以实数a的取值范围为． 73 (2)f (x)的一个零点大于1，一个零点小于1， 则由f (x)图象可知，f (1)<0，即5－2a<0， 解得a>， 所以实数a的取值范围为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (3)f (x)的一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内，则由f (x)图象可知， 解得<a<， 所以实数a的取值范围为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 $