3.1.3 第2课时 函数奇偶性的应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的应用，系统涵盖利用奇偶性求解析式、比较大小、求参数范围及抽象函数对称性等内容。课堂导入通过补全奇偶函数图象、分析对称区间单调性等情境问题，引导学生从图象观察过渡到性质应用，搭建从奇偶性定义到综合应用的学习支架。 其亮点在于结构化呈现知识，如总结奇偶性与单调性关系、函数运算奇偶性表格，结合逻辑推理（解不等式推导）和数学运算（解析式求解）培养学生思维。例题详解后附反思步骤，分层作业满足不同需求，学生能系统掌握方法，教师可借助此资料提升教学效率，落实直观想象与数学建模素养。

第三章 函数 3.1　函数的概念与性质 3.1.3　函数的奇偶性 第2课时　函数奇偶性的应用 学习任务 1．会根据函数奇偶性求函数值或解析式．(逻辑推理) 2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题．(数学运算、逻辑推理) 第2课时　函数奇偶性的应用 必备知识·情境导学探新知 (1)图①和图②分别是偶函数和奇函数的一部分图象，你能结合奇、偶函数图象的特征画出相应图象的另一部分吗？ 图①　　　　图② 第2课时　函数奇偶性的应用 (2)就图①而言，函数在区间(－∞，－2]与[2，＋∞)上的单调性是否相同？就图②而言，函数在区间与上的单调性是否相同？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 知识点1　函数的单调性与奇偶性 (1)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f (x)在[－b，－a]上为______(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性____． (2)若f (x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f (x)在[－b，－a]上为______(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性____． 增函数 相同 减函数 相反 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 知识点2　函数f (x)，g(x)在公共定义域上有下列结论 f (x) g(x) f (x)＋g(x) f (x)－g(x) f (x)g(x) f (g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 注意：f (g(x))中，t＝g(x)与y＝f (t)的定义域可以不同． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 1．定义在R上的偶函数f (x)在(0，＋∞)上是增函数，则f (－4)， f (－π)，f (3)的大小关系为___________________．(用“<”表示) f (3)＜f (－π)＜f (－4)　[∵f (x)是定义在R上的偶函数， ∴f (－π)＝f (π)，f (－4)＝f (4)， 又f (x)在(0，＋∞)上是增函数，0＜3＜π＜4， ∴f (3)＜f (π)＜f (4)， 即f (3)＜f (－π)＜f (－4)．] f (3)＜f (－π)＜f (－4) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 2．已知偶函数f (x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f (x)·g(x)<0的解集是__________________． (－4，－2)∪(0，2) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 (－4，－2)∪(0，2)　[设h(x)＝f (x)g(x)， 则h(－x)＝f (－x)g(－x)＝－f (x)g(x)＝－h(x)， 所以h(x)是奇函数， 由题图可知：当－4<x<－2时，f (x)>0，g(x)<0，即h(x)<0， 当0<x<2时，f (x)<0，g(x)>0，即h(x)<0， 所以h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0，2)．] 关键能力·合作探究释疑难 类型1　利用函数奇偶性求解析式 【例1】　(1)函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f (x)＝－x＋1，求f (x)的解析式． (2)设f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝，求函数 f (x)，g(x)的解析式． 第2课时　函数奇偶性的应用 [解]　(1)设x<0，则－x>0， ∴f (－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 又∵函数f (x)是定义域为R的奇函数， ∴f (－x)＝－f (x)＝x＋1， ∴当x<0时，f (x)＝－x－1． 又x＝0时，f (0)＝0， ∴f (x)＝ (2)∵f (x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)． 由f (x)＋g(x)＝，① 得f (－x)＋g(－x)＝， ∴f (x)－g(x)＝，② (①＋②)÷2，得f (x)＝； (①－②)÷2，得g(x)＝． 反思领悟　利用函数奇偶性求函数解析式的步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式． (3)利用f (x)的奇偶性写出－f (x)或f (－x)，从而解出f (x)． 提醒：若函数f (x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0，但若为偶函数，未必有f (0)＝0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 [跟进训练] 1．已知函数f (x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f (x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝________． －x－x4　[当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)， ∴f (－x)＝－x－(－x)4＝－x－x4， 又∵f (x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴f (x)＝f (－x)＝－x－x4．] －x－x4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 √ 类型2　利用单调性与奇偶性比较大小 【例2】　已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x－4)＝－f (x)，且在区间[0，2]上单调递增，则(　　) A．f (－1)<f (3)<f (4) B．f (4)<f (3)<f (－1) C．f (3)<f (4)<f (－1) D．f (－1)<f (4)<f (3) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 D　[因为f (x)满足f (x－4)＝－f (x)， 所以f (－4)＝－f (0)． 又f (x)在R上是奇函数，所以f (0)＝0， 故f (－4)＝－f (0)＝0，所以f (4)＝－f (－4)＝0． 由f (x)＝－f (－x)且f (x－4)＝－f (x)，得f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)．又f (x)在区间[0，2]上单调递增，所以f (1)>f (0)，即f (1)>0，所以f (3)＝f (1)>0，f (－1)＝－f (1)<0，于是f (－1)<f (4)<f (3)．] 反思领悟　比较大小的求解策略 看自变量是否在同一单调区间上： (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 √ [跟进训练] 2．定义在R上的偶函数f (x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)·[f (x2)－f (x1)]>0，则当n∈N＋时，有(　　) A．f (－n)<f (n－1)<f (n＋1) B．f (n＋1)<f (－n)<f (n－1) C．f (n－1)<f (－n)<f (n＋1) D．f (n＋1)<f (n－1)<f (－n) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 B　[∵对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)， 有(x2－x1)[f (x2)－f (x1)]>0， ∴若x2－x1>0，则f (x2)－f (x1)>0，即若x2>x1，则f (x2)>f (x1)， 若x2－x1<0，则f (x2)－f (x1)<0，即若x2<x1，则f (x2)<f (x1)， ∴函数在(－∞，0]上单调递增． ∵f (x)在R上是偶函数，∴函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减， f (－n)＝f (n)． ∵n∈N＋，∴n＋1>n>n－1≥0，∴f (n＋1)<f (n)<f (n－1)， 即f (n＋1)<f (－n)<f (n－1)，故选B．] 类型3　利用单调性与奇偶性求参数范围 【例3】　已知定义在[－2，2]上的奇函数f (x)在区间[0，2]上是减函数，若f (1－m)<f (m)，求实数m的取值范围． [解]　因为f (x)在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上是减函数，所以f (x)在[－2，2]上为减函数． 又f (1－m)<f (m)，所以 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 即解得－1≤m<． 故实数m的取值范围是． 反思领悟　解有关奇函数f (x)的不等式f (a)＋f (b)<0，先将f (a)＋ f (b)<0变形为f (a)<－f (b)＝f (－b)，再利用f (x)的单调性去掉“f ”，化为关于a，b的不等式．另外，要特别注意函数的定义域．(易漏点) 由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f (x)＝f (|x|)＝f (－|x|)将f (g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 √ [跟进训练] 3．函数f (x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f (3)<f (2a＋1)，则a的取值范围是(　　) A．a>1　　　　　 B．a<－2 C．a>1或a<－2 D．－1<a<2 C　[因为函数f (x)在实数集上是偶函数，且f (3)<f (2a＋1)，所以 f (3)<f (|2a＋1|)，又函数f (x)在[0，＋∞)上是增函数，所以3<|2a＋1|，解得a>1或a<－2．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 类型4　抽象函数的奇偶性与对称性 【例4】　对于定义在R上的函数f (x)，有下述结论： ①若f (x)是奇函数，则f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称； ②若f (x＋1)＝f (x－1)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称； ③若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f (x)为偶函数； ④函数f (1＋x)与函数f (1－x)的图象关于直线x＝1对称； ⑤若f (x)＋f (x＋2)＝0，且f (4－x)＝f (x)，则f (x)的图象关于坐标原点对称． 其中正确结论的序号为________． ①③ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 ①③　[∵f (x)为奇函数， ∴f (x)的图象关于原点对称，而f (x－1)的图象是将f (x)的图象向右平移1个单位长度得到的， ∴f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称，故①正确． 令t＝x－1，则由f (x＋1)＝f (x－1)可知， f (t)＝f (t＋2)， 即f (x)＝f (x＋2)，其图象不一定关于直线x＝1对称． 例如，函数f (x)＝(其中[x]表示不超过x的最大整数)， 其图象如图所示， 满足f (x＋1)＝f (x－1)， 但其图象不关于直线x＝1对称，故②不正确． 若g(x)＝f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，则有g(x＋1)＝g(－x＋1)，即f (x)＝f (－x)，∴③正确． 易知函数y＝f (x＋1)的图象与函数y＝f (1－x)的图象关于y轴对称，∴④不正确． ⑤∵f (x)＝－f (x＋2)， ∴－f (x＋2)＝f (x＋4)， ∴f (x)＝f (x＋4)． 又f (4－x)＝f (x)， ∴f (4＋x)＝f (－x)， ∴f (x)＝f (4＋x)＝f (－x)，从而f (x)为偶函数，可知f (x)的图象关于y轴对称，故⑤不正确．] 反思领悟　1．函数f (x)的图象关于直线对称 若函数f (x)对定义域内任一x，都有 (1)f (a－x)＝f (a＋x)⇔y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称． (2)f (x)＝f (a－x)⇔y＝f (x)的图象关于直线x＝对称． (3)f (a＋x)＝f (b－x)⇔y＝f (x)的图象关于直线x＝对称． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 2．函数f (x)的图象关于点对称 若函数f (x)对定义域内任一x，都有 (1)f (a－x)＝－f (a＋x)⇔y＝f (x)的图象关于点(a，0)对称． (2)f (x)＝－f (a－x)⇔y＝f (x)的图象关于点对称． (3)f (a＋x)＝－f (b－x)⇔y＝f (x)的图象关于点对称． (4)f (a＋x)＋f (a－x)＝2b⇔f (x)的图象关于点(a，b)对称． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 √ [跟进训练] 4．已知定义在R上的函数f (x)满足f (2－x)为奇函数，函数f (x＋3)关于直线x＝1对称，则下列式子一定成立的是(　　) A．f (x－2)＝f (x)　　　 B．f (x－2)＝f (x＋6) C．f (x－2)·f (x＋2)＝1 D．f (－x)＋f (x＋1)＝0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 B　[令F (x)＝f (2－x)， ∵f (2－x)为奇函数， ∴F (－x)＝－F (x)，即f (2＋x)＝－f (2－x)， ∴f (x)的图象关于点(2，0)对称， 令G(x)＝f (x＋3)，G(x)图象关于直线x＝1对称， 即G(1＋x)＝G(1－x)，即f ((1＋x)＋3)＝f ((1－x)＋3)，f (4＋x)＝f (4－x)， ∴f (x)的图象关于直线x＝4对称， f (x)＝f (4＋(x－4)) ＝f (4－(x－4))＝f (8－x)， 用x＋6换表达式中的x，可得f (2－x)＝f (x＋6)， 又－f (2＋x)＝f (2－x)， 即－f (2＋x)＝f (x＋6)， ∴－f (x)＝f (x＋4)，用x＋4换表达式中的x， 则－f (x＋4)＝f (x＋8)＝－(－f (x))＝f (x)， 即f (x)＝f (x＋8)， ∴f (x－2)＝f (x＋6)，故选B．] 学习效果·课堂评估夯基础 1．若奇函数f (x)在[1，3]上为增函数，且有最小值0，则它在[－3，－1]上(　　) A．是减函数，有最小值0 B．是增函数，有最小值0 C．是减函数，有最大值0 D．是增函数，有最大值0 √ 第2课时　函数奇偶性的应用 D　[因为奇函数f (x)在[1，3]上为增函数，且有最小值0，所以f (x)在[－3，－1]上是增函数，且有最大值0．] 2．f (x)是定义域为R的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足f (1－x)>f (1)的x的取值范围是(　　) A．(0，2)　　　 B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，2) √ A　[因为f (x)是定义域为R的偶函数， 所以f (－x)＝f (x)，又f (x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以f (x)在(－∞，0)上单调递增， 若f (1－x)>f (1)，则|1－x|<1，即－1<1－x<1，故0<x<2．故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 3．已知f (x)是R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝－x(1＋x)，当x<0时，f (x)＝________． x(x－1)　[当x<0时，－x>0，则f (－x)＝x(1－x)． 又f (x)是R上的奇函数， 所以当x<0时，f (x)＝－f (－x)＝－x(1－x)＝x(x－1)．] x(x－1) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 4．函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝ －1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围是________． [1，3]　[∵函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1， 由－1≤f (x－2)≤1，得－1≤x－2≤1， ∴1≤x≤3．] [1，3] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．怎样利用函数奇偶性求函数解析式？ [提示]　已知函数f (x)的奇偶性及函数f (x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：①求哪个区间上的解析式，x就设在哪个区间上；②把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；③利用f (x)的奇偶性将f (－x)用－f (x)或f (x)表示，从而求出f (x)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 2．具有奇偶性的函数的单调性有怎样的特点？ [提示]　(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性． (2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性． (3)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x1)>f (x2)或f (x1)<f (x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业(二十三)　函数奇偶性的应用 一、选择题 1．已知f (x)为奇函数，其局部图象如图所示，那么(　　) A．f (2)＝－2 B．f (2)＝2 C．f (2)<－2 D．f (2)>－2 √ 40 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[由题图可知f (－2)<2， 因为函数是奇函数， 所以f (－2)＝－f (2)，即－f (2)<2， 所以f (2)>－2．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．已知函数y＝f (x)为奇函数，且当x>0时，f (x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f (x)的解析式是(　　) A．f (x)＝－x2＋2x－3　 B．f (x)＝－x2－2x－3 C．f (x)＝x2－2x＋3 D．f (x)＝－x2－2x＋3 B　[若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f (x)＝x2－2x＋3，所以f (－x)＝x2＋2x＋3，因为函数f (x)是奇函数，所以f (－x)＝x2＋2x＋3＝ －f (x)，所以f (x)＝－x2－2x－3，所以x<0时，f (x)＝－x2－2x－3．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 42 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3．若函数f (x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f (x)的单调递增区间为(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞) A　[因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数为f (x)＝－2x2＋1，所以函数f (x)在(－∞，0]上单调递增．故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．(多选)设函数f (x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论不成立的是(　　) A．|f (x)|－g(x)是奇函数 B．|f (x)|＋g(x)是偶函数 C．f (x)－|g(x)|是奇函数 D．f (x)＋|g(x)|是偶函数 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 44 ABC　[根据题意有f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)，所以f (－x)＋|g(－x)|＝f (x)＋|－g(x)|＝f (x)＋|g(x)|，所以f (x)＋|g(x)|是偶函数．同理，易知选项A，B中的函数既不是奇函数也不是偶函数，选项C中的函数是偶函数．故选ABC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5．已知偶函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x－1)< f 的x的取值范围是(　　) A． B． C． D． √ A　[由题意得|2x－1|<⇒－<2x－1<⇒<2x<⇒<x<．故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．函数f (x)在R上为偶函数，且x＞0时，f (x)＝＋1，则当x＜0时，f (x)＝________． ＋1　[∵f (x)为偶函数，x＞0时，f (x)＝＋1， ∴当x＜0时，－x＞0，f (x)＝f (－x)＝＋1， 即x＜0时，f (x)＝＋1．] ＋1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f (－3)＝0，则<0的解集为___________________． {x|－3<x<0或x>3} 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 48 {x|－3<x<0或x>3}　[∵f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数， ∴f (x)在区间(0，＋∞)上是减函数， ∴f (3)＝f (－3)＝0． 当x>0时，令f (x)<0，解得x>3； 当x<0时，令f (x)>0，解得－3<x<0． ∴<0的解集为{x|－3<x<0或x>3}．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．已知奇函数g(x)是R上的减函数，且f (x)＝g(x)＋2．若f (m)＋f (m－2)＞4，则实数m的取值范围是__________． (－∞，1)　[由题知f (x)＝g(x)＋2， 若f (m)＋f (m－2)＞4， 即g(m)＋2＋g(m－2)＋2＞4， 则有g(m)＞－g(m－2)． 又g(x)为奇函数，且在R上为减函数，则g(m)＞g(2－m)，则m＜2－m，解得m＜1，即m的取值范围为(－∞，1)．] (－∞，1) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．已知函数f (x)＝x2＋2ax－1． (1)若f (1)＝2，求实数a的值，并求此时函数f (x)的最小值； (2)若f (x)为偶函数，求实数a的值； (3)若f (x)在(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)由题意可知，f (1)＝1＋2a－1＝2，即a＝1， 此时函数f (x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2， 故当x＝－1时，函数f (x)min＝－2． (2)若f (x)为偶函数，则对任意x∈R， f (－x)＝(－x)2＋2a(－x)－1＝f (x)＝x2＋2ax－1，化简得，4ax＝0，故a＝0． (3)函数f (x)＝x2＋2ax－1的单调递减区间是(－∞，－a]，而f (x)在(－∞，4]上单调递减，所以4≤－a，即a≤－4， 故实数a的取值范围为(－∞，－4]． 52 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．已知函数y＝f (x)的定义域为R，f (x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，f (3)＝0，且对任意的x1，x2∈(－∞，0)，x1≠x2，满足<0，则不等式(x－1)f (x＋1)≥0的解集是(　　) A．(－∞，1]∪[2，＋∞) B．[－4，－1]∪[0，1] C．[－4，－1]∪[1，2] D．[－4，－1]∪[2，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[由f (x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，可知f (x)图象关于点(0，0)对称，即函数f (x)是定义在R上的奇函数，由<0可知f (x)在(－∞，0)上单调递减，f (3)＝0，所以f (x)在(0，＋∞)上也单调递减，且f (－3)＝0，f (0)＝0，所以当x∈(－∞，－3)∪(0，3)时，f (x)>0； 当x∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，f (x)<0，所以由(x－1)f (x＋1)≥0， 可得或或x－1＝0， 解得－4≤x≤－1或者1≤x≤2，即不等式的解集为[－4，－1]∪[1，2]．故选C．] 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．(多选)已知函数f (x)＝＋|x－2a|，其中a>0，则(　　) A．f (x)≥2 B．f (x)图象的对称轴是直线x＝a＋ C．f (x)图象在直线y＝x的上方 D．当f (3)<5时，<a< √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 AC　[当x≤－时，f (x)＝－2x－＋2a； 当－<x<2a时，f (x)＝＋2a； 当x≥2a时，f (x)＝2x＋－2a，函数图象如图， 当－<x<2a时，函数f (x)＝＋|x－2a|取最小值， 即f (x)min＝2a＋≥2，当且仅当a＝时取等号， 故f (x)≥2，A正确． 56 函数对称轴为x＝＝a－，B错误． 当x＝2a时，y＝x＝2a，且a>0，所以2a＋>2a，所以f (x)图象在直线y＝x的上方，C正确． 当3<2a时，即a>时，f (3)＝＋2a<5，解得<a<， 故<a<； 当3≥2a时，即0<a≤时，f (3)＝6＋－2a<5， 解得a>1或a<－，故1<a≤； 综上，1<a<，D错误．故选AC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．如果函数g(x)＝是奇函数，则f (x)＝________． 2x＋3　[当x<0时，－x>0， 故g(x)＝－g(－x)＝－(－2x－3)＝2x＋3， 所以f (x)＝2x＋3．] 2x＋3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 58 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．若函数f (x)满足在定义域内存在非零实数x，使得f (－x)＝f (x)，则称函数f (x)为“有偶函数”．若函数f (x)＝是在 R上的“有偶函数”，则实数a的取值范围是__________． 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 59 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[因为f (x)为R上的“有偶函数”，故存在非零实数x，使得f (－x)＝f (x)．若x<0，则－x>0，故方程－x－1＝ax2－x有解，即a＝－在 (－∞，0)上有解．而y＝－＝－＋，又<0，故y＝－的值域为，即a≤．若x>0，则－x<0，故方程x－1＝ax2＋x有解，即a＝在(0，＋∞)上有解．而y＝＝－＋，又>0，故y＝的值域为，即a≤．综上，实数a的取值范围是．] 60 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．设函数y＝f (x)(x∈R且x≠0)，对任意实数x1，x2满足f (x1)＋f (x2)＝f (x1x2)． (1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求证：y＝f (x)为偶函数； (3)若y＝f (x)在(0，＋∞)上为减函数，试求满足不等式f (2x－1)>f (1)的x的取值范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 61 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)当x1＝x2＝1时，f (1)＋f (1)＝f (1)， 得f (1)＝0，当x1＝x2＝－1时， f (－1)＋f (－1)＝f (－1×(－1))＝f (1)＝0， 所以2f (－1)＝0，所以f (－1)＝0． (2)证明：当x2＝－1时，f (x1)＋f (－1)＝f (－x1)， 又f (－1)＝0，所以f (x1)＝f (－x1)， 又x∈R且x≠0，f (x)的定义域关于原点对称， 所以f (x)是偶函数． 62 (3)因为f (x)在(0，＋∞)上为减函数，且f (x)是偶函数， 所以f (x)在(－∞，0)上为增函数， 又f (2x－1)>f (1)， 即0<|2x－1|<1， 解得x∈． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．给出关于函数f (x)的一些限制条件：①在(0，＋∞)上是减函数；②在 (－∞，0)上是增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤f (0)＝0．在这些条件中，选择必需的条件，补充在下面的问题中： 定义在R上的函数f (x)，若满足________(填写你选定条件的序号)，且f (－1)＝0，求不等式f (x－1)>0的解集． (1)若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由； (2)若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号(不必说明理由)； (3)求解问题(2)中选定条件下不等式的解集． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　函数奇偶性的应用 64 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)若不等式f (x－1)>0的解集为空集，即f (x－1)≤0恒成立．因为f (－1)＝0，所以函数f (x)不可能单调递增或单调递减，所以①，②都不能选．选③④时，f (x)的表达式为f (x)＝0，不等式f (x－1)>0的解集为空集．所以选③④． (2)若不等式f (x－1)>0的解集是非空集合，可选择条件：①③；①④⑤；②③；②④⑤． 65 (3)若选择①③．由f (x)是奇函数，所以f (0)＝0，又f (－1)＝0， 则f (1)＝0． 又f (x)在(0，＋∞)上是减函数，则f (x)在(－∞，0)上是减函数，因为f (x－1)>0，则x－1<－1或0<x－1<1，解得x<0或1<x<2，所以不等式f (x－1)>0的解集为(－∞，0)∪(1，2)． 若选择①④⑤．由f (x)是偶函数，及f (－1)＝0，得f (1)＝0． 又f (x)在(0，＋∞)上是减函数，则f (x)在(－∞，0)上是增函数． 由f (x－1)>0，得－1<x－1<0或0<x－1<1，解得0<x<1或1<x<2，所以不等式f (x－1)>0的解集为(0，1)∪(1，2)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 若选择②③．因为f (x)是奇函数，所以f (0)＝0，又f (－1)＝0，则 f (1)＝0．又f (x)在(－∞，0)上是增函数，则f (x)在(0，＋∞)上是增函数．由f (x－1)>0，得－1<x－1<0或x－1>1，解得0<x<1或x>2，所以不等式f (x－1)>0的解集为(0，1)∪(2，＋∞)． 若选择②④⑤．因为f (x)是偶函数，f (－1)＝0，则f (1)＝0． 又f (x)在(－∞，0)上是增函数，则f (x)在(0，＋∞)上是减函数．由 f (x－1)>0，得－1<x－1<0或0<x－1<1， 解得0<x<1或1<x<2， 所以不等式f (x－1)>0的解集为(0，1)∪(1，2)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 $