2.1.1 等式的性质与方程的解集-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦等式性质、恒等式、十字相乘法及方程解集等核心知识点。通过“正方形剪拼面积相等”情境导学，从具体实例出发，衔接已学乘法公式，搭建从直观到抽象的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以情境问题激发“数学眼光”，通过十字相乘法步骤总结与因式分解“四步法”培养“数学思维”，用集合表示方程解集规范“数学语言”。如含参数方程分类讨论实例，提升学生推理与运算能力，为教师提供结构化教学资源，助力高效教学实施。

第二章 等式与不等式 2.1　等式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 学习任务 1．能够从具体实例中探索等式的性质并会应用．(逻辑推理) 2．理解恒等式的概念，会进行恒等变形．(数学运算) 3．会用十字相乘法分解因式，会求方程的解集．(数学运算) 2.1.1　等式的性质与方程的解集 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图①)，将余下的部分剪接拼成一个长方形(如图②)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证是你已经学习过的哪个等式？ 必备知识·情境导学探新知 2.1.1　等式的性质与方程的解集 知识点1　等式的性质 性质(1)：等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立． 用符号语言和量词表示为：如果a＝b，则对任意c，都有______________． 性质(2)：等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 用符号语言和量词表示为：如果a＝b，则对任意不为零的c，都有__________． a＋c＝b＋c ac＝bc 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 提醒　等式还具有如下性质： (1)对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a＝b，那么b＝a． (2)传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c(也叫等量代换)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 知识点2　恒等式 1．恒等式的含义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取________时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 2．常见的代数恒等式 (1)(a＋b)2＝_______________， (a－b)2＝a2－2ab＋b2． 任意实数 a2＋2ab＋b2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 (2)a2－b2＝____________________． (3)a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)， a3－b3＝____________________________． (4)(a＋b＋c)2＝__________________________________． (a＋b)(a－b) (a－b)(a2＋ab＋b2) a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 3．十字相乘法 (1)给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝____________________．为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：　　，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要______，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”． 代数式x2＋Cx＋D能进行因式分解的条件是C2－4D≥0． (x＋a)(x＋b) 等于C 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 (2)用“十字相乘法”分解因式： ①直接利用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行分解； ②利用公式acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)进行分解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 思考1．十字相乘法分解因式的关键是什么？ [提示]　把二次项和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 知识点3　方程的解集 1．方程的有关概念 方程 含有______的等式叫方程 方程的解(或根) 能使方程左右两边______的未知数的值叫方程的解 (或根) 方程的解集 把一个方程2所有解组成的____称为这个方程的解集 解方程 求方程的解的过程叫解方程 未知数 相等 集合 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 2．一元一次方程 一元一次方程 方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程 满足的条件 ①必须是整式方程； ②只含有一个未知数； ③未知数的次数都是1 表示形式 ax＋b＝0(a≠0)或ax＝b(a≠0) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 思考2．把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？ [提示]　把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若＝，则x＝y． (　　) (2)若x＝y，则＝． (　　) (3)若x＋a＝y－a，则x＝y． (　　) (4)若x＝y，则ax＝by． (　　) (5)若x－m＝y－m，则x＝y． (　　) × √ × × √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 (6)用因式分解法解方程时部分过程为： (x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2． (　　) (7)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25． (　　) (8)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)·(x－4)． (　　) × × × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 2．式子x2＋3x－18分解因式的结果是(　　) A．(x－6)(x＋3)　 B．(x＋6)(x－3) C．(x－2)(x＋9) D．(x＋2)(x－9) √ B　[因为6×(－3)＝－18，6＋(－3)＝3，所以x2＋3x－18＝(x＋6)(x－3)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 3．已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－17x＋66＝0的根，则第三边的长为________． 6　[由方程x2－17x＋66＝0得， (x－6)(x－11)＝0，解得x＝6或x＝11， 当x＝6时，三边长为4，6，7，符合题意； 当x＝11时，以4，7，11为三边构不成三角形，不合题意，舍去，则第三边长为6．] 6 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 类型1　恒等式的化简与求值 【例1】　【链接教材P46例1】 (1)(多选)若x2＋xy－2y2＝0，则的值可以为(　　) A．－　　　B．－　　　C．　　　D． 关键能力·合作探究释疑难 √ √ 2.1.1　等式的性质与方程的解集 (2)若多项式x2＋kx－24可以因式分解为(x－3)·(x＋8)，则实数k的值为(　　) A．5 B．－5 C．11 D．－11 (3)计算(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是(　　) A．8x2－8y2 B．8y2－8x2 C．8(x＋y)2 D．8(x－y)2 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 (1)BD　(2)A　(3)B　[(1)由x2＋xy－2y2＝0得(x＋2y)(x－y)＝0， 所以x＝－2y或x＝y．当x＝－2y时，＝＝－； 当x＝y时，＝＝． (2)由题意得x2＋kx－24＝(x－3)(x＋8)＝x2＋5x－24．故选A． (3)(法一)(x＋3y)2－(3x＋y)2 ＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2) ＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2． (法二)(x＋3y)2－(3x＋y)2 ＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)] ＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y) ＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y) ＝8y2－8x2．] 【教材原题·P46例1】 例1　化简(2x＋1)2－(x－1)2． [解]　(方法一)可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开， 然后合并同类项，即 (2x＋1)2－(x－1)2 ＝4x2＋4x＋1－(x2－2x＋1) ＝3x2＋6x． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 (方法二)可以将2x＋1和x－1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即 (2x＋1)2－(x－1)2 ＝[(2x＋1)＋(x－1)][(2x＋1)－(x－1)] ＝3x(x＋2) ＝3x2＋6x． 反思领悟　利用恒等式进行因式分解的步骤 一提：先看能否提公因式； 二套：再看能否套用公式； 三检查：再检查因式分解是否彻底； 四检验：最后用多项式乘法检验分解是否正确． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 [跟进训练] 1．(1)计算：(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)． (2)已知a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，求a2＋b2＋c2的值． [解]　(1)(法一)原式＝(x2－1)[(x2＋1)2－x2] ＝(x2－1)(x4＋x2＋1)＝x6－1． (法二)原式＝(x＋1)(x2－x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)＝(x3＋1)(x3－1)＝x6－1． (2)a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝8． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 类型2　十字相乘法分解因式 【例2】　十字相乘法分解因式： (1)x2－x－56；(2)x2－10x＋16；(3)6x2＋11x－7． [解]　(1)因为　　　　，所以原式＝(x＋7)(x－8)． (2)因为　　　　，所以原式＝(x－2)(x－8)． (3)因为　　　　，所以原式＝(2x－1)(3x＋7)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 反思领悟　十字相乘法分解因式的方法 (1)对于二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解． (2)尝试把某些二次三项式如ax2＋bx＋c分解因式，先把a分解成a＝a1a2，把c分解成c＝c1c2，并且排列如下： 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 这里按斜线交叉相乘的积的和就是a1c2＋a2c1，如果它正好等于二次三项式ax2＋bx＋c中一次项的系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1是图中上面一行的两个数，a2，c2是下面一行的两个数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 [跟进训练] 2．将y2－5y＋4因式分解的结果是(　　) A．(y＋1)(y＋4) B．(y＋1)(y－4) C．(y－1)(y＋4) D．(y－1)(y－4) √ D　[因式分解，可得y2－5y＋4＝(y－1)(y－4)，故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 类型3　求方程的解集 【例3】　【链接教材P48例2、例3】 求下列方程的解集． (1)x(x－2)＋x－2＝0； (2)关于x的方程ax2－(a＋1)x＋1＝0． [解]　(1)把方程左边因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0，从而，得x－2＝0或x＋1＝0，所以x1＝2，x2＝－1．所以方程的解集为{－1，2}． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 (2)当a＝0时，原方程可化为－x＋1＝0，所以x＝1． 当a≠0时，对于ax2－(a＋1)x＋1来说，因为a×1＝a，(－1)×(－1)＝1，a×(－1)＋1×(－1)＝－(a＋1)． 如图所示． 所以ax2－(a＋1)x＋1＝(ax－1)(x－1)， 所以原方程可化为(ax－1)(x－1)＝0， 所以ax－1＝0或x－1＝0，所以x＝或x＝1． 当a＝1时，＝1，综上，当a＝0或a＝1时，方程的解集为{1}； 当a≠0且a≠1时，方程的解集为． 【教材原题·P48例2、例3】 例2　求方程x2－5x＋6＝0的解集． [解]　因为x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，所以原方程可以化为(x－2)(x－3)＝0， 从而可知x－2＝0或x－3＝0，即x＝2或x＝3，因此所求解集为 {2，3}． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 例3　求关于x的方程ax＝2的解集，其中a是常数． [尝试与发现]　能直接在等式ax＝2的两边同时除以a，从而得到x＝吗？为什么？ [解]　当a≠0时，在等式ax＝2的两边同时乘以，得x＝，此时解集为． 当a＝0时，方程变为0x＝2，这个方程无解，此时解集为∅． 综上，当a≠0时，解集为；当a＝0时，解集为∅． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 发现规律　用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步骤 (1)移项，将一元二次方程的____化为0． (2)化积，利用提取公因式法、公式法等将一元二次方程的左边分解为两个一次因式的积． (3)转化，两个因式分别为_，转化为两个一元一次方程． (4)求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． (5)将其解写成____的形式． 右边 0 集合 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 [跟进训练] 3．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，则a的值为(　　) A．1或4 B．－1或－4 C．－1或4 D．1或－4 √ B　[∵x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，∴4＋5a＋a2＝0， ∴(a＋1)(a＋4)＝0，解得a＝－1或a＝－4．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 1．下列变形正确的是(　　) A．若ax＝bx，则a＝b B．若(a＋1)x＝a＋1，则x＝1 C．若x＝y，则x－5＝5－y D．若x＝y，则＝ 学习效果·课堂评估夯基础 √ 2.1.1　等式的性质与方程的解集 D　[C中，若x＝y，则x－5＝y－5．等式的性质中两边同除以一个不为0的数，等式成立，应找不为0的式子，A中x可能为0，B中a＋1可能为0，而D中a2＋1>0，故D正确．] 2．(多选)下列等式中，是恒等式的是(　　) A．(x－2)(x＋2)＝x2－4 B．(a＋b)c＝ac＋bc C．(－3＋m)(3＋m)＝m2－9 D．16x2－9＝24x √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 ABC　[A中，(x－2)(x＋2)＝x2－4，使用平方差公式化简，是恒等式；B中，(a＋b)c＝ac＋bc是恒等式；C中，(－3＋m)(3＋m)＝(m－3)(m＋3)＝m2－9，平方差公式化简，是恒等式；D中，16x2－9＝24x是方程，不是恒等式．] 3．方程2x－1＝0的解集是________． 　[由2x－1＝0，解得x＝，所以方程的解集是．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 4．(教材P48练习AT2改编)因式分解：(a－b)2＋11(a－b)＋28＝_________________． (a－b＋4)(a－b＋7)　[把a－b看作一个整体． 因为 ，所以原式＝(a－b＋4)(a－b＋7)．] (a－b＋4)(a－b＋7) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．用因式分解法解一元二次方程的步骤是怎样的？ [提示]　(1)将方程右边化为0． (2)将方程的左边分解为两个一次因式的积． (3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解． 提醒：①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应当移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根．②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 2．因式分解常用的方法有哪些？ [提示]　提取公因式法、公式法、分组法、十字相乘法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．如图，天平上的物体a，b，c使天平处于平衡状态(标有相同字母的物体质量相同)，则物体a与物体c的质量关系是(　　) 课时分层作业(十)　等式的性质与方程的解集 44 A．2a＝3c　　　 B．4a＝9c C．a＝2c D．a＝c 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[由题图可知，2a＝3b，2b＝3c，根据等式的性质得4a＝6b，6b＝9c，所以4a＝6b＝9c，即4a＝9c．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．(多选)下列属于恒等式的有(　　) A．＝|a| B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 C．4x＝2 024 D．(x－1)2＝0 AB　[A、B属于恒等式；只有当x＝506时，等式4x＝2 024才成立；只有当x＝1时，等式(x－1)2＝0才成立，所以C、D不是恒等式．故选AB．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 46 3．将4x2＋1分别加上下列各项，其中不能化成(a＋b)2形式的是(　　) A．4x　　　B．－4x　　　C．4x4　　　D．16x √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[对于A，4x2＋1＋4x＝(2x＋1)2，故此选项不符合题意； 对于B，4x2＋1－4x＝(2x－1)2，故此选项不符合题意； 对于C，4x4＋4x2＋1＝(2x2＋1)2，故此选项不符合题意； 对于D，4x2＋1＋16x，不能运用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 47 √ 4．代数式5x2－4xy＋y2＋6x＋25的最小值为(　　) A．－16　　　B．16　　　 C．－8 D．8 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[5x2－4xy＋y2＋6x＋25＝4x2－4xy＋y2＋x2＋6x＋9＋16＝(2x－y)2＋(x＋3)2＋16，而(2x－y)2＋(x＋3)2≥0， 所以代数式5x2－4xy＋y2＋6x＋25的最小值是16．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 48 √ 5．已知x2－3x＋1＝0，则x3＋＝(　　) A．－18 B．18 C．－9 D．9 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[因为x2－3x＋1＝0，所以x≠0，所以x＋＝3． 原式＝ ＝＝3(32－3)＝18．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 49 二、填空题 6．当x＝－7时，代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －6　[因为(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)＝2x2＋7x＋5－(x2－2x－3)＝x2＋9x＋8，又因为x＝－7， 所以原式＝(－7)2＋9×(－7)＋8＝－6．] －6 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 50 7．若2x2＋3x＋5＝a(2x＋1)(x＋1)＋b恒成立，则a＋b的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5　[因为2x2＋3x＋5＝a(2x＋1)(x＋1)＋b， 即2x2＋3x＋5＝2ax2＋3ax＋a＋b恒成立， 所以所以a＋b＝5．] 5　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 51 8．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a取值集合的真子集的个数为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7　[A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{3，5}，因为B⊆A，当B＝∅时，a＝0， 当B≠∅时，即a≠0时，由ax－1＝0，解得x＝， 则＝3或＝5，则对应实数a的值为，则实数a组成的集合的元素有3个， 所以实数a组成的集合的真子集个数有23－1＝7．] 7 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 52 三、解答题 9．分解因式： (1)8x3＋4x2－2x－1； (2)a3＋a2c＋b2c－abc＋b3． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 53 [解]　(1)原式＝8x3－1＋2x(2x－1)＝(2x－1)·(4x2＋2x＋1)＋2x(2x－1)＝(2x－1)(4x2＋4x＋1)＝(2x－1)(2x＋1)2． (2)原式＝a3＋b3＋c(a2－ab＋b2)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋c(a2－ab＋b2)＝(a2－ab＋b2)(a＋b＋c)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 √ 10．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y－●，怎么办呢？小明想了想便翻看了书后的答案，此方程的解是y＝－3，很快补好了这个常数，这个常数应是(　　) A．1 B．2　　　 C．3 D．4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 55 D　[设所缺的部分为x，则2y－1＝y－x，把y＝－3代入，求得x＝4． 故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 56 √ 11．(多选)已知集合M＝{x|12x2＋11x＋2＝0}，N＝{x|mx＝2}，且NM，则实数m的值可以是(　　) A．0 B．－3 C．－8 D．3 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 57 ABC　[M＝{x|12x2＋11x＋2＝0}＝． ∵NM， ∴当m＝0时，N＝∅，符合题意； 当m≠0时，N＝． 当＝－或＝－时， m＝－3或m＝－8．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 12．我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两．问：总是几人，每人各得几两？”其意思是：现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有________人，每个人分得________两银子． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 36 24 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 59 36　24　[设共有x人，则每人分得两银子， 因为每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二， 所以·2－x＝12，即x2＋12x－1 728＝0， 解得x＝36或x＝－48(舍去)， 所以一共有36人，每人分得24两银子．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 13．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线记成，定义＝ad－bc，上述记号就叫做2阶行列式．若＝12，则x＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3或－2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 61 3或－2　[由题意得(x－1)(x＋1)－(x－1)(1－x)＝12．整理得x2－x－6＝0，因式分解得(x－3)·(x＋2)＝0，所以x－3＝0或x＋2＝0，解得x＝3或x＝－2．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 62 14．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0． (1)若方程有实数根，求实数k的取值范围； (2)如果k是满足(1)的最大整数，且方程x2－4x＋2k＝0的根是一元二次方程x2－2mx＋3m－1＝0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 63 [解]　(1)由题意得Δ≥0，所以16－8k≥0，解得k≤2． (2)由(1)可知k＝2，所以方程x2－4x＋2k＝0的根x1＝x2＝2． 所以方程x2－2mx＋3m－1＝0的一个根为2， 所以4－4m＋3m－1＝0，解得m＝3． 所以方程x2－2mx＋3m－1＝0，即x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4．所以方程x2－2mx＋3m－1＝0的另一根为4． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 64 15．常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为： 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 65 x2－4y2－2x＋4y＝(x2－4y2)－(2x－4y) ＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y) ＝(x－2y)(x＋2y－2)． 这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式x2－2xy＋y2－25； (2)△ABC三边a，b，c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.1.1　等式的性质与方程的解集 [解]　(1)x2－2xy＋y2－25＝(x－y)2－25＝(x－y＋5)(x－y－5)． (2)因为a2－ab－ac＋bc＝0，所以a(a－b)－c(a－b)＝(a－b)(a－c)＝0，所以a＝b或a＝c，所以△ABC的形状为等腰三角形． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 67 $