1.2.1 命题与量词-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦命题与量词这一核心知识点，从初中已学命题实例出发，通过问题驱动引导学生理解命题含义及真假判断方法，进而抽象出全称量词与存在量词的定义，构建从概念到命题形式及真假判断的完整学习支架。 资料以数学抽象和逻辑推理为核心素养导向，设计类型化例题与跟进训练，如通过例2辨析全称与存在量词命题的真假，帮助学生形成严谨逻辑思维。课中助力教师高效授课，课后分层作业及回顾问题可辅助学生查漏补缺，巩固知识应用能力。

1.2　常用逻辑用语 1.2.1　命题与量词 学习任务 1．理解命题的含义，并会判断其真假．(数学抽象、逻辑推理) 2．理解全称量词与全称量词命题的定义，理解存在量词与存在量词命题的定义．(数学抽象) 3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(逻辑推理) 我们在初中的时候就已经学习过数学中的命题．试判断下列语句是不是命题，若是命题，你会判断其真假吗？ (1)是无限循环小数； (2)若x是任意实数，则|x|≥0； (3)x2－4＝0； (4)存在实数x，使得x2－4＝0； (5)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？ (6)向雷锋同志学习！ 问题　上述是命题的语句中，哪些含有量词？分别是什么类型的量词？ 知识点1　命题 　 (1)我们把未能得到真假判断的命题称为猜想．疑问句、祈使句、感叹句一定不是命题． (2)要判定一个命题为真命题，需要经过严格的证明；要判定一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可． 知识点2　量词 全称量词 存在量词 量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题称为全称量词命题 含有存在量词的命题称为存在量词命题 命题形式 对集合M中所有元素x，r(x)，可用符号简记为∀x∈M，r(x) 存在集合M中的元素x，s(x)，可用符号简记为∃x∈M，s(x) “一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式． [提示]　是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使一元二次方程ax2＋2x＋1＝0”． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“三角形内角和是180°”是全称量词命题． (　　) (2)“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题． (　　) (3)“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题． (　　) (4)“∃x∈R，x2<0”是真命题． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× [提示]　(1)所有三角形的内角和都是180°． (2)含有存在量词“有些”． (3)∀x∈R，x2≥0，故x2＋1≥1． (4)不存在x2<0． 2．下列语句中是命题的有________；是真命题的有________．(只填序号) ①这幅画真漂亮！②求证是无理数；③矩形是平行四边形吗？④两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；⑤x2－1>0(x∈R)． ④⑤　④　[①感叹句，不是命题．②祈使句，不是命题．③疑问句，不是命题．④是数学中的公理，是真命题．⑤可以判断其真假，故它是命题，当x＝0时，该命题不成立，故它是假命题．] 类型1　命题及其真假的判断 【例1】　(1)下列语句是命题的是(　　) ①矩形的对角线相等；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤2025年央视春晚真精彩啊！ A．①②③　　　 B．①③④ C．①②⑤ D．②③⑤ (2)(多选)有下列命题，其中为真命题的是(　　) A．若x＋y>0，则x>0且y>0 B．3是方程x2－9＝0的一个根 C．若m≥1，则m＋3<4的解集是R D．若a＋7是无理数，则a是无理数 (1)A　(2)BD　[(1)①②③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④⑤不是命题． (2)对于A，x＝－1<0，y＝3>0有x＋y>0，是假命题． 对于B，3是方程x2－9＝0的一个根，是真命题． 对于C，m≥1，则m＋3≥4，故为假命题． 对于D，若a＋7是无理数，则a是无理数，是真命题．] 　判断命题真假的方法 (1)判断一个命题是真命题，可从公理或定理出发，用逻辑推理的方法证明． (2)判断一个命题是假命题，首先分清原命题的条件与结论，然后举反例说明这个命题是假命题，就是所举例子满足命题条件，而不满足结论． (3)注意：一个命题的真假与命题的背景有关，对其进行判断时，要注意命题的前提． [跟进训练] 1．(源自苏教版教材)判断下列命题的真假： (1)若a＝b，则a2＝b2； (2)若a2＝b2，则a＝b； (3)全等三角形的面积相等； (4)面积相等的三角形全等． [解]　(1)当a＝b时，显然有a2＝b2． 所以命题为真． (2)当a＝1，b＝－1时，a2＝b2＝1， 即由a2＝b2，不能推出a＝b． 所以命题为假． (3)由全等三角形的定义可知，当两个三角形全等时，这两个三角形的面积一定相等． 所以命题为真． (4)如图，直角三角形ABC与等腰三角形A′BC同底等高，这两个三角形的面积相等，但这两个三角形不全等． 所以命题为假． 类型2　全称量词命题与存在量词命题的辨析及真假判断 【例2】　【链接教材P26例】 (1)(多选)下列四个命题，正确的是(　　) A．∀x∈R，x2－x＋≥0 B．不存在实数x，使x3＋1＝0 C．∀n∈R，n2≥n D．至少有一个实数x，使得x3＋1＝0 (2)(源自湘教版教材)判断下列命题的真假： ①∀x∈R，x2＋2>0； ②∀x∈N，x4≥1； ③∃a∈Z，a2＝3a－2； ④∃a≥3，a2＝3a－2； ⑤设A，B，C是平面上不在同一直线上的三点，在平面上存在某个点P使得PA＝PB＝PC． (1)AD　[A选项，x2－x＋＝≥0， 当x＝时等号成立，A正确． BD选项，当x＝－1时，x3＋1＝0，B错误，D正确． C选项，当n＝时，n2<n，C错误．] (2)[解]　①因为∀x∈R，x2≥0，从而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0．因此①是真命题． ②因为0∈N，但当x＝0时，x4≥1不成立，因此②是假命题． ③因为1∈Z且12＝3×1－2，因此③是真命题． ④因为a2＝3a－2只有两个实数根a＝1或a＝2，所以当a≥3时a2≠3a－2．因此④是假命题． ⑤A，B，C三点构成一个三角形，三角形总有外接圆．设P是△ABC外接圆的圆心，则PA＝PB＝PC．因此⑤是真命题． 【教材原题P26例】 例　判断下列命题的真假： (1)∀x∈R，x2＋1>0； (2)∀x∈N，≥1； (3)∃x∈Z，x3<1； (4)∃x∈Q，x2＝3． [解]　(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有 x2＋1≥1>0． 因此命题“∀x∈R，x2＋1>0”是真命题． (2)由于0∈N，而且当x＝0时，≥1不成立． 因此命题“∀x∈N，≥1”是假命题． (3)由于－1∈Z，而且当x＝－1时，有(－1)3<1． 因此命题“∃x∈Z，x3<1”是真命题． (4)由于使x2＝3成立的数只有和－，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3． 因此命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题． 　判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路 [跟进训练] 2．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)∃x，y∈Z，使3x－4y＝20； (4)任何数的0次方都等于1． [解]　(1)全称量词命题．在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题． (2)存在量词命题．存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． (3)存在量词命题．取x＝0，y＝－5时，3×0－4×(－5)＝20成立，所以该命题是真命题． (4)全称量词命题．0的0次方无意义，所以该命题是假命题． 类型3　依据含量词命题的真假求参数取值范围 【例3】　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}且B≠∅． (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． [解]　(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，又B≠∅， 所以解得2≤m≤3． 即m的取值范围是{m|2≤m≤3}． (2)q为真，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以m≥2． 所以 解得2≤m≤4． 即m的取值范围是{m|2≤m≤4}． 　依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解策略 (1)理解：根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意． (2)转化：根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围． [跟进训练] 3．设p：≥0，q：关于x的方程x2＋2ax－a＝0有实数根．若p是真命题，q是假命题，求实数a的取值范围． [解]　由≥0，解得a≥－．若关于x的方程x2＋2ax－a＝0有实数根，则Δ＝(2a)2＋4a≥0， ∴a≤－1或a≥0． ∵p是真命题，q是假命题， ∴a≥－，且－1<a<0，即－≤a<0， ∴实数a的取值范围为． 1．下列语句不是命题的个数有(　　) ①若a>b，b>c，则a>c；②5x－1＝4；③3<7． A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个 B　[①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②不能判断真假，不是命题．故选B．] 2．下列命题是存在量词命题的是(　　) A．对顶角相等 B．正方形都是四边形 C．所有的质数都是奇数 D．存在实数大于等于1 D　[选项D中含有存在量词“存在”，所以根据存在量词命题的定义知选D．] 3．(多选)下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是(　　) A．至少有一个x∈Z，使得x2<3成立 B．对任意a，b∈R，都有a2＋b2≥2(a＋b－1) C．平行四边形的对角线互相平分 D．菱形的两条对角线长度相等 BC　[选项A：因为02<3，0∈Z，所以至少有一个x∈Z，使得x2<3成立，是真命题，但不是所有的x∈Z，都有x2<3成立，不是全称量词命题； 选项B：因为a2＋b2－2(a＋b－1)＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以本命题是真命题，又因为a，b∈R都使命题成立，故本命题符合题意； 选项C：是真命题，是全称量词命题； 选项D：并不是所有的菱形对角线长度都相等，故本命题是假命题．故选BC．] 4．已知命题p：“∃x∈R，关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根”是真命题，则实数m的取值范围是________． (－∞，3]　[因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根， 所以Δ＝(－2)2－4m≥0，解得m≤3，所以实数m的取值范围是(－∞，3]．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题？ [提示]　判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，但可以根据命题涉及的意义去判断． 2．怎样判断全称量词命题的真假？ [提示]　要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题． 3．怎样判断存在量词命题的真假？ [提示]　要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题． 课时分层作业(六)　命题与量词 一、选择题 1．下列语句是命题的是(　　) A．101 000是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C．y＝kx＋b(k≠0)是一次函数吗？ D．a≤15 B　[A，D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题．故选B．] 2．“存在集合A，使∅⊆A”，对这个命题，下列说法中正确的是(　　) A．全称量词命题，真命题 B．全称量词命题，假命题 C．存在量词命题，真命题 D．存在量词命题，假命题 C　[当A≠∅时，∅⊆ A，是存在量词命题，且为真命题．故选C．] 3．在下列给出的四个命题中，为真命题的是(　　) A．∀a∈R，∃b∈Q，使a2＋b2＝0 B．∀n∈Z，∃m∈Z，使nm＝m C．∀n∈Z，∃m∈Z，使n>m2 D．∀a∈R，∃b∈Q，使a2－b2＝1 B　[若a＝2，则a2＋b2＝0不成立，故A是假命题．当m＝0时，nm＝m恒成立，故B是真命题．当n＝－1时，n>m2不成立，故C是假命题．若a＝2，由a2－b2＝1，得b＝±∉Q，故D是假命题．故选B．] 二、填空题 4．已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________． (4，＋∞)　[因为p是假命题，所以方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，所以实数a的取值范围是(4，＋∞)．] 5．若命题“∃x∈(0，＋∞)，x2＋mx＋1＝0”是真命题，则实数m的取值范围是________． (－∞，－2]　[该命题为真命题，等价于方程x2＋mx＋1＝0有正根，又因为x1x2＝1＞0， 所以即m≤－2， 所以m的取值范围是(－∞，－2]．] 三、解答题 6．(源自苏教版教材)判断下列命题的真假： (1)∃x∈R，x2>x； (2)∀x∈R，x2>x； (3)∃x∈Q，x2－8＝0； (4)∀x∈R，x2＋2>0． [解]　(1)因为当x＝2时，x2>x成立， 所以，“∃x∈R，x2>x”是真命题． (2)因为当x＝0时，x2>x不成立， 所以，“∀x∈R，x2>x”是假命题． (3)因为使x2－8＝0成立的x的值只有x＝2与x＝－2，但它们都不是有理数， 所以，“∃x∈Q，x2－8＝0”是假命题． (4)因为对任意实数x，都有x2≥0， 所以，对任意实数x，都有x2＋2≥2>0， 即对任意实数x，都有x2＋2>0成立， 因此，“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题． 7．若存在x0∈R，使＋2x0＋a<0，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1)　B．(－∞，1]　C．(－1，1)　D．(－1，1] A　[当a≤0时，显然存在x0∈R，使＋2x0＋a<0； 当a>0时，由Δ＝4－4a2>0， 解得－1<a<1，故0<a<1． 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．] 8．关于x的方程x2＋ax＋b＝0，给出下列结论：①x＝1是该方程的根；②x＝3是该方程的根；③该方程两根之和为2；④该方程两根异号．以上四个结论有且仅有一个结论是错误的，则2a＋3b＝________． －13　[若②是假命题，则其余三个是真命题，则x1＝1，x2＝1，两根不异号，不符合．若③是假命题，则其余三个是真命题，则两根不异号，不符合．若④是假命题，则其余三个是真命题，则两根和不为2，不符合．若①是假命题，则其余三个是真命题，则x1＝3，x2＝－1，符合．此时a＝－2，b＝－3，所以2a＋3b＝－13．] 9．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论： ①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合； ②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合； ③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合． 其中正确结论的序号是________． ②　[①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确；②中设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③令A1＝{n|n＝5k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $