7.3.4 正切函数的性质与图象-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦正切函数的性质与图象这一核心知识点，通过“两小儿辩日”情境引入，类比正弦、余弦函数的研究方法，系统梳理正切函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、零点等性质，以及正切型函数的图象与应用，构建从具体到抽象的知识支架。 资料以情境激发兴趣，用类比推理引导学生探究，通过“三点两线法”作图培养直观想象，结合例题与对比表格提升逻辑推理和数学运算能力。课中辅助教师高效授课，课后分层作业帮助学生巩固知识，查漏补缺，体现数学思维与应用意识的培养。

7.3.4　正切函数的性质与图象 学习任务 1．掌握正切函数的定义域、值域．(数学运算) 2．掌握正切函数的奇偶性、周期性、单调性及零点等性质．(逻辑推理) 3．会画正切函数的图象，并能运用图象解决不等式问题．(直观想象、逻辑推理) 4．掌握正切型函数的性质及简单应用．(逻辑推理、数学运算) 孔子东游，见两小儿辩斗，问其故．一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题． 那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？ 问题　类比y＝sin x，y＝cos x的图象与性质． (1)y＝tan x是周期函数吗？有最大(小)值吗？ (2)正切函数的图象是连续的吗？ [提示]　(1)y＝tan x是周期函数，且T＝π，无最大值，也无最小值． (2)正切函数的图象在定义域上不是连续的． 知识点1　正切函数及其性质 1．正切函数的定义 对于任意一个角x，只要x≠＋kπ，k∈Z，就有唯一确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数． 2．正切函数的性质 定义域与值域 定义域为值域为 R 奇偶性 奇函数 周期 π 单调性 单调递增区间 (k∈Z) 零点 kπ，k∈Z 1．(1)正切函数在定义域上是单调递增函数吗？ (2)函数y＝A tan (ωx＋φ)的周期是多少？ [提示]　(1)不是．正切函数在每一个区间(k∈Z)上都是单调递增函数，但是不能说在定义域上是增函数． (2)T＝． 知识点2　正切函数的图象 (1)正切函数的图象 y＝tan x的图象如图． (2)正切函数的图象叫做正切曲线． (3)正切函数的图象特征 正切曲线是中心对称图形，其对称中心为(k∈Z)，且过点． 2．函数y＝sin x，y＝cos x的图象均可利用“五点法”作出其图象简图，那么正切函数y＝tan x是否也有特殊点？你能利用特殊点，作出函数y＝tan x，x∈上的图象吗？ [提示]　正切函数图象可用“三点两线法”画出，三点为(kπ，0)，， 两线为x＝kπ＋，x＝kπ－，k∈Z． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数既没有最大值也没有最小值． (　　) (2)正切函数的对称中心是(kπ，0)，k∈Z． (　　) (3)函数y＝tan 2x的周期是2π． (　　) [提示]　(1)正切函数的值域为R，既没有最大值也没有最小值． (2)正切函数的对称中心是，k∈Z． (3)函数y＝tan 2x的周期是． [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．函数f＝－2tan 的定义域是(　　) A． B． C． D． D　[令2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠，所以函数f＝－2tan 的定义域为．] 3．函数f＝tan 的单调递增区间为(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z C　[令－＋kπ<<kπ＋，k∈Z， 解得－＋2k<x<2k＋，k∈Z， 所以函数f的单调递增区间为，k∈Z．] 4．函数y＝3tan 的图象的一个对称中心是(　　) A．　　　　 B． C． D． C　[令3x－，k∈Z，解得x＝，k∈Z，令k＝－2，得函数y＝3tan 图象的一个对称中心是．] 类型1　正切函数的定义域、值域 【例1】　【链接教材P58例1】 (1)函数y＝ ＋ 的定义域为(　　) A． B． C． D． (2)函数y＝tan ，x∈的值域为________． (3)函数y＝－2tan2x＋3tanx－1，x∈的值域为________． (1)C　(2)(0，＋∞)　(3)　[(1)由题意可得 即 得 得 解得－2≤x≤－或－<x≤， 因此，函数y＝的定义域为∪． (2)设z＝x＋，因为x∈，可得z∈， 因为正切函数y＝tan z在上的值域为， 故函数y＝tan 在的值域为． (3)因为x∈，所以tan x∈， y＝－2tan2x＋3tanx－1＝－2， 则当tan x＝时，ymax＝， 当tan x＝－1时，ymin＝－6， 所以函数的值域为．] 【教材原题·P58例1】 例1　求函数y＝tan 的定义域． 解：令u＝x－，则y＝tan 可以化成y＝tan u． 因为y＝tan u中，u≠＋kπ，k∈Z，所以 x－≠＋kπ，k∈Z，即x≠＋kπ，k∈Z， 所以函数y＝tan 的定义域为． 　1．求与正切函数有关的函数定义域的方法及求值域的注意点 (1)求与正切函数有关的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z． (2)求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围． 2．解正切不等式的两种方法 (1)图象法：先画出函数图象，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合． (2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域． [跟进训练] 1．已知f (x)＝tan ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为，则ω＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． A　[因为 x∈，0<ω<1， 所以0≤ωx≤＜， 所以f (x)max＝tan＝tan ， 所以．] 类型2　与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性 【例2】　【链接教材P58例2】 (1)若f (x)＝tan ωx(ω＞0)的周期为1，则的值为(　　) A．－ B．－ C． D． (2)关于x的函数f (x)＝tan (x＋φ)有以下说法：①对任意的φ，f (x)都是非奇非偶函数；②f (x)的图象关于点对称；③f (x)的图象关于点(π－φ，0)对称；④f (x)是以π为最小正周期的周期函数． 其中正确说法的序号是________． (1)D　(2)②③④　[(1)∵f (x)＝tan ωx(ω＞0)的周期为＝1，∴ω＝π，即f (x)＝tan πx， 则f ＝tan ． (2)①若取φ＝kπ(k∈Z)，则f (x)＝tan x， 此时，f (x)为奇函数，所以①错误； 观察正切函数y＝tan x的图象， 可知y＝tan x的图象关于点(k∈Z)对称， 令x＋φ＝(k∈Z)，得x＝－φ(k∈Z)， 分别令k＝1，2，可得x＝－φ，π－φ， 故②③正确；④显然正确．] 【教材原题·P58例2】 例2　求函数y＝tan 3x的周期． 解：令u＝3x，则y＝tan 3x可以化成y＝tan u． 由y＝tan u的周期为π可知，对任意u，当它增加到且至少要增加到u＋π时，对应的函数值才重复出现，因为u＋π＝3x＋π＝3， 这说明对任意x，当它增加到且至少要增加到x＋时，y＝tan 3x的函数值才重复出现，这就说明y＝tan 3x的周期为． 　1．函数f (x)＝A tan (ωx＋φ)周期的求解方法 (1)定义法． (2)公式法：函数f (x)＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝． (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． 2．判断与正切函数有关的函数奇偶性的方法 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x)与f (x)的关系． [跟进训练] 2．(1)若函数f ＝tan 的最小正周期是，则ω的取值可以是________． (2)函数f ＝lg 的奇偶性是________． (1)2或－2　(2)奇函数　[(1)由题知，T＝，即＝2，解得ω＝±2． (2)由>0，得tan x>1或tan x<－1， ∴函数定义域为，k∈Z，关于原点对称． 又f ＝lg ＋lg ＝lg ＝lg 1＝0， ∴f ，∴f 是奇函数．] 类型3　正切函数的单调性 【例3】　(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________． (2)函数y＝tan 的单调递增区间为________． (1)tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1　(2)，k∈Z　[(1)因为y＝tan x在区间上单调递增， 且tan 1＝tan(π＋1)， 又＜2＜3＜4＜π＋1＜， 所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1． (2)由－＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z， 解得－＋2k＜x＜＋2k，k∈Z． 因此，函数的单调递增区间为，k∈Z．] 　1．求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A>0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可． (2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 2．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． [跟进训练] 3．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则ω的取值范围为(　　) A． B． C． D． B　[由函数y＝tan ωx在内是减函数，可得ω<0，由x∈， 可得ωx∈， 则所以－1≤ω<0．] 类型4　正切函数图象与性质的综合应用 【例4】　已知函数y＝tan ． (1)作出此函数在一个周期的开区间内的简图； (2)求出此函数的定义域、周期和单调区间； (3)写出此函数图象所有对称中心的坐标． [解]　(1)函数y＝tan 在一个周期开区间内，列表如下： 0 x y 不存在 0 不存在 函数y＝tan 在一个周期的开区间内的图象如图． (2)由x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠2kπ＋，k∈Z，所以函数的定义域为，函数的周期T＝＝2π， 由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，所以函数的单调递增区间为(k∈Z)． (3)由x－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z， 所以所有对称中心的坐标为(k∈Z)． 　解答正切函数图象与性质问题应注意的两点 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴． (2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的． [跟进训练] 4．利用正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x的集合： (1)tan x≥；(2)1＋tan x≤0. [解]　(1)在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线y＝，如图，显然在上，x＝满足tan x＝.由图可知在上，使不等式成立的x的取值范围是≤x＜.故使不等式成立的x的集合为 . (2)不等式1＋tan x≤0即tan x≤－1，在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线y＝－1，如图，显然在上，x＝－满足tan x＝－1.由图可知在上，使不等式成立的x的取值范围是－＜x≤－.故使不等式成立的x的集合为. 1．函数y＝tan 的最小正周期为(　　) A．2π　 　B．π　 　C．　 　D． C　[] 2．已知点(a，0)(a＞0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A． B． C． D． B　[令x－，k∈Z，得x＝，k∈Z， 故y＝2tan 的图象的对称中心为，k∈Z．因为a＞0，所以当k＝0时，a取得最小值．故选B．] 3．函数y＝tan ，x∈的值域为(　　) A． B． C． D． A　[设z＝x－，因为x∈，所以z∈． 因为正切函数y＝tan z在上单调递增，且tan ，tan ＝1，所以tan z∈．] 4．已知函数f ＝tan 的图象关于点中心对称，则φ的一个值可以是________． －(答案不唯一)　[因为f 的图象关于点中心对称，所以，k∈Z，所以φ＝－，k∈Z．当k＝0时，φ＝－．] 5．(教材P59练习BT5改编)函数y＝tan 的定义域为________，单调递增区间为________． (k∈Z)　[由2x＋≠＋kπ(k∈Z)，解得x≠(k∈Z)，由－＋kπ<2x＋<＋kπ(k∈Z)，解得－<x<(k∈Z)， 所以y＝tan 的单调递增区间为(k∈Z)．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 你能归纳比较正切函数与正弦函数、余弦函数的性质吗？ [提示]　 性质 正切函数(y＝tan x) 正弦函数(y＝sin x)、余弦函数(y＝cos x) 定义域 R 值域 R [－1，1] 最值 无 最大值为1 最小值为－1 单调性 仅有单调递增区间，不存在单调递减区间 单调递增区间、单调递减区间均存在 奇偶性 奇函数 正弦函数是奇函数 余弦函数是偶函数 周期性 T＝π T＝2π 对称性 有无数个对称中心，不存在对称轴 对称中心和对称轴均有无数个 课时分层作业(十一)　正切函数的性质与图象 一、选择题 1．函数y＝的最小正周期为(　　) A．　　　B．2π　　　C．π　　　D．3π C　[函数y＝的最小正周期就是函数y＝tan x的最小正周期，为π，故选C．] 2．已知函数y＝tan ，则其定义域是(　　) A． B． C． D． C　[由≠kπ＋(k∈Z)，得x≠2kπ＋(k∈Z)， 因此函数y＝tan 的定义域为．故选C．] 3．函数y＝tan2x－tanx＋2，x∈的值域为　(　　) A．　　 　　 B． C． D．[2，4] C　[函数y＝tan2x－tanx＋2＝， 因为x∈，则tan x∈[－1，1]， 所以函数的值域为．故选C．] 4．函数f (x)＝lg A．是奇函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 A　[∵≥－tan x， ∴f (x)的定义域为，关于原点对称， 又f (－x)＋f (x)＝lg＋＝lg 1＝0， ∴f (x)为奇函数，故选A．] 5．(多选)下列关于函数y＝tan 的说法正确的是(　　) A．最小正周期为π B．图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．图象关于直线x＝－对称 BC　[函数y＝tan ＝－tan ， 当x＝时，2×，所以图象关于点对称，选项B正确； 函数的最小正周期为T＝，所以A错误； 当x∈时，2x－∈，所以函数在上单调递减，所以C正确； 正切函数不是轴对称函数，所以D错误．] 二、填空题 6．函数y＝lg 的定义域为________． 　[由题可知，－tan x>0，∴tan x<，∴－＋kπ<x<＋kπ，k∈Z，∴函数的定义域是．] 7．函数y＝tan 的单调递增区间是________． ，k∈Z　[令－＋kπ<3x－<＋kπ，k∈Z， 得－ ＋ < x < ＋ ，k∈Z， 所以函数y＝tan 的单调递增区间是，k∈Z．] 8．已知函数f (x)＝tan (x＋φ)的图象的一个对称中心为，则φ的值为________． －或　[因为函数f (x)的图象的一个对称中心为， 所以，k∈Z， 则φ＝－，k∈Z． 又，取k＝0，得φ＝－；取k＝1，得φ＝，所以φ的值为－或．] 三、解答题 9．已知函数f (x)＝3tan ． (1)求f (x)的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较f (π)与f 的大小． [解]　(1)因为f (x)＝3tan ＝－3tan ， 所以T＝＝4π． 由kπ－＜＜kπ＋(k∈Z)， 得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)． 故函数f (x)的最小正周期为4π，单调递减区间为(k∈Z)． (2)f (π)＝3tan ＝3tan ＝－3tan ， f ＝3tan ＝3tan ＝－3tan ， 因为0<＜<，且y＝tan x在上单调递增，所以tan ＜tan ，所以f (π)＞f ． 10．已知a，b是不等于1的正数，θ∈，若atan θ＞btan θ＞1，则下列关系式成立的是(　　) A．a＞b＞1　　　　　 B．a＜b＜1 C．b＜a＜1 D．b＞a＞1 B　[因为θ∈，所以tan θ＜0，－tan θ＞0． 由atan θ＞btanθ＞1， 即＞＞1，知＞＞1，所以a＜b＜1．故选B．] 11．函数y＝tan x＋sin x－内的图象是(　　) A　　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　　D D　[当＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0； 当x＝π时，y＝0； 当π＜x＜时，tan x＞sin x，y＝2sin x．故选D．] 12．若直线x＝与函数y＝tan 的图象不相交，则k＝________． 或－　[直线x＝＋nπ，n∈Z与函数y＝tan x的图象不相交， 由题意可知，2×＋nπ，n∈Z， 得到k＝n＋≤1，故n＝0或－1， 所以k＝或k＝－．] 13．已知函数f (x)＝2tan (ωx)，ω>0，若f (x)在区间上的最大值是2，则ω＝________；若区间上单调递增，则ω的取值范围是________． 1　　[因为x∈，且在此区间上的最大值是2，所以0≤ωx≤<． 因为f (x)max＝2tan ，所以tan ，即ω＝1． 由kπ－<ωx<kπ＋，k∈Z，得<x<，k∈Z． 令k＝0，得－<x<，即f (x)在区间上单调递增． 又因为f (x)在区间上单调递增，所以<，即0<ω<． 所以ω的取值范围是．] 14．设函数f (x)＝tan (ωx＋φ)，已知函数y＝f (x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称． (1)求f (x)的解析式； (2)求f (x)的单调区间； (3)求不等式－1≤f (x)≤的解集． [解]　(1)由题意知，函数f (x)的最小正周期为T＝，即，因为ω>0，所以ω＝2，从而f (x)＝tan (2x＋φ)．因为函数y＝f (x)的图象关于点 所以2×，k∈Z，即φ＝，k∈Z． 因为0<φ<，所以φ＝，故f (x)＝tan ． (2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得－<x<，k∈Z， 所以函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间． (3)由(1)知，f (x)＝tan ． 由－1≤tan ，得－＋kπ≤2x＋＋kπ，k∈Z，即－，k∈Z，所以不等式－1≤f (x)≤的解集为 ． 15．已知f (x)＝． (1)判断f (x)的奇偶性； (2)当x∈[－π，π]，且x≠±时，画出f (x)的简图，并指出函数的单调区间． [解]　(1)由函数f (x)＝的解析式可得函数的定义域为，关于原点对称，又因为f (x)＝， 所以f (－x)＝＝－f (x)， 所以函数f (x)＝为奇函数． (2)由(1)可得 f (x)＝ 其图象如图所示， 由图象可知单调递增区间为， 单调递减区间为． 17/17 学科网（北京）股份有限公司 $