7.2.4 第1课时 诱导公式①②③④-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦三角函数诱导公式①②③④，通过“南京眼”“生命之环”的对称情境导入，引导学生结合单位圆对称性探究±α、-α与α终边的对称关系，衔接任意角三角函数定义，搭建公式推导的学习支架。 其亮点在于以情境导学培养数学眼光，通过单位圆对称逻辑推理公式（如-α与α关于x轴对称推导公式②），结合“负化正、大化小”步骤培养数学思维。课堂小结概括“函数名不变，符号看象限”，实例丰富（如例1给角求值）。学生能深化公式本质理解，教师可高效落实逻辑推理与数学运算素养。

第七章 三角函数 7.2　任意角的三角函数 7.2.4　诱导公式 第1课时　诱导公式①②③④ 学习任务 1．借助圆的对称性理解诱导公式①②③④的推导过程． (逻辑推理) 2．掌握诱导公式①～④并能运用诱导公式进行求值、化简与证明．(数学运算、逻辑推理) 第1课时　诱导公式①②③④ “南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现和谐之美．而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系．圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形． 必备知识·情境导学探新知 “南京眼”的桥身的完美对称　　辽宁“生命之环”的完美对称 第1课时　诱导公式①②③④ 问题　你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与±α，－α有什么样的对称关系？ [提示]　＋α的终边与α的终边关于原点对称；－α的终边与α的终边关于y轴对称；－α的终边与α的终边关于x轴对称． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 知识点1　诱导公式① sin (α＋k·2)＝__________(k∈Z)， cos (α＋k·2)＝__________(k∈Z)， tan (α＋k·2)＝__________(k∈Z)． sin α cos α tan α 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 知识点2　角的旋转对称 如图，已知角α的终边为OA，将射线OA逆时针旋转θ到OB，顺时针旋转θ到OC，则射线OB是角_________的终边，射线OC是角_________的终边，所以角_________的终边和角_________的终边关于角α的终边所在的直线对称． α＋θ α－θ α＋θ α－θ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 思考　1．角的正负与旋转方向之间的关系是什么？ [提示]　将射线逆时针方向旋转得到正角，顺时针方向旋转得到负角． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 知识点3　诱导公式② sin (－α)＝________________， cos (－α)＝_______________， tan (－α)＝________________． －sin α cos α －tan α 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 思考　2．角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos (－α)，sin (－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？ [提示]　角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 知识点4　诱导公式③ sin (－α)＝_______________， cos (－α)＝__________________， tan (－α)＝__________________． sin α －cos α －tan α 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 思考　3．角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P3(cos (－α)，sin (－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？ [提示]　角－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 知识点5　诱导公式④ sin (＋α)＝__________________， cos (＋α)＝__________________， tan (＋α)＝_______________． －sin α －cos α tan α 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 思考　4．角＋α的终边与角α的终边有什么关系？角＋α的终边与单位圆的交点P4(cos (＋α)，sin (＋α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？ [提示]　角＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P4与P也关于原点对称． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 1．tan 390°的值等于(　　) A．－　　　B．　　　C．－　　　D． D　[＝tan 30°＝．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 2．tan ＝(　　) A．－1 B．1 C． D． √ B　[由诱导公式得tan ＝tan ＝tan ＝1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 3．已知sin ，则sin ＝(　　) A． B． C．－ D．－ √ C　[＝sin ＝sin ．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 4．化简sin ·cos ＝________． 　[·cos ＝sin cos ＝sin cos ＝sin cos ＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 关键能力·合作探究释疑难 类型1　给角求值问题 【例1】　(源自人教A版教材)利用公式求下列三角函数值： (1)cos 225°；(2)sin ；(3)sin ；(4)tan (－2 040°)． [解]　(1)cos 225°＝cos (180°＋45°)＝－cos 45°＝－． (2)sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝sin ． 第1课时　诱导公式①②③④ (3)sin ＝－sin ＝－sin ＝－． (4)tan (－2 040°)＝－tan 2 040°＝－tan (6×360°－120°) ＝tan 120°＝tan (180°－60°)＝－tan 60°＝－． 反思领悟　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式①或②来转化． (2)“大化小”：用公式①将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”：用公式③或④将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ [跟进训练] 1．(1)计算： ①sin 750°＝________； ②cos(－2 040°)＝________． (2)计算：sin －cos ＝________． － 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ (1)①　②－　(2)1　[(1)①sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝． ②cos(－2 040°)＝cos 2 040° ＝cos(5×360°＋240°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－． (2)原式＝－sin ＝sin＝1．] 类型2　给值(式)求值问题 【例2】　(1)已知，则cos 的值为(　　) A．－　　　B．－　　　C．　　　D． (2)已知cos ，则cos ＝________． √ － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ (1)A　(2)－　[(1)因为105°－α＝180°－，cos ， 所以cos ＝cos ＝－cos ． (2)cos ＝cos ＝－cos ．] [母题探究] 1．(变结论)若本例(2)中的条件不变，如何求cos ？ [解]　cos ＝cos ＝cos ＝cos ． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 2．(变结论)若本例(2)条件不变，求cos －sin2的值． [解]　因为cos＝cos ＝－cos ， sin2＝sin2＝1－cos2＝1－， 所以cos－sin2＝－． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 反思领悟　解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ [跟进训练] 2．已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值． [解]　∵cos (α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角， ∴α－75°是第三象限角． ∴sin (α－75°)＝－＝－， ∴sin(105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)] ＝－sin (α－75°)＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 类型3　三角函数式的化简 【例3】　【链接教材P31例5】 化简：(1)； (2)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ [解]　(1) ＝＝1． (2)原式＝ ＝＝－1． 【教材原题·P31例5】 例5　化简． 解：原式＝ ＝ ＝tan αtan α＝tan2α． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 反思领悟　三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ [跟进训练] 3．已知tan (5＋α)＝m，则的值为(　　) A．　　　　　 B． C．－1 D．1 A　[因为tan (5＋α)＝tan α＝m， 所以原式＝．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 4．化简：·tan (2－α)＝________． －1　[原式＝·tan (－α)＝·(－tan α)＝－·tan α＝－1．] －1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 学习效果·课堂评估夯基础 1．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是(　　) A．sin α＝sin β　　　　 B．sin(α－2)＝sin β C．cos α＝cos β D．cos(2－α)＝－cos β √ C　[由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2k(k∈Z)， 故cos α＝cos β．] 第1课时　诱导公式①②③④ 2．(教材P33练习AT3(1)改编)sin 225°＝(　　) A．－ B．－ C．　　　 D．1 √ B　[＝－sin 45°＝－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 3．已知sin (α－)＝－，α∈，则cos α＝(　　) A．－ B． C．± D．－ √ A　[因为sin ＝－sin α＝－， 所以sin α＝， 又因为α∈， 所以cos α＝－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 4．(教材P34练习AT5改编)＝________． 1　[] 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．你能概括一下诱导公式①～④的特征吗？ [提示]　诱导公式①～④可简要概括为“α＋k·2(k∈Z)，－α，±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”，或者简述为“函数名不变，符号看象限”． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 2．如何应用诱导公式①～④把任意角的三角函数转化为锐角三角函数？ [提示]　利用公式①～④可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行： 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．sin 690°的值为(　　) A．　　　B．　　　C．－　　　D．－ 课时分层作业(六)　诱导公式①②③④ √ C　[sin 690°＝sin (720°－30°)＝sin (2×360°－30°) ＝sin (－30°)＝－sin 30°＝－．故选C．] 41 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．若600°角的终边上有一点(－4，a)，则a的值是(　　) A．4 B．±4 C．－4 D． √ C　[由题意，得tan 600°＝，则a＝－4tan 600°＝－4tan (540°＋60°)＝－4tan 60°＝－4．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 42 3．若sin (＋α)＝，α∈，则tan (－α)＝(　　) A． B．－ C．－ D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 43 D　[∵sin (＋α)＝－sin α＝， ∴sin α＝－． ∵α∈， ∴cos α＝． ∴tanα＝． ∴tan (－α)＝－tan α＝．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 44 4．(多选)下列化简正确的是(　　) A．tan (＋1)＝tan 1 B．＝cos α C．＝tan α D．＝1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 45 AB　[由诱导公式可得tan (＋1)＝tan 1，故A正确； ＝cos α，故B正确； ＝－tan α，故C不正确； ＝－1，故D不正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 46 5．已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，则sin (180°＋α)· cos (180°－α)＝(　　) A． B． C． D．－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 47 A　[∵sin (α－360°)－cos (180°－α) ＝sin α＋cos α＝m， ∴sin (180°＋α)cos (180°－α)＝sin αcos α ＝． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 48 二、填空题 6．cos ＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －　[cos (－2 400°)＝cos 2 400° ＝cos (360°×6＋240°) ＝cos 240°＝cos ＝－cos 60°＝－．] － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 49 7．已知cos ，则cos ＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －　[因为＋θ＝，所以－θ＝－， 所以cos ＝cos ＝－cos ．] － 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 50 8．＝___________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －2　[原式＝ ＝ ＝－2．] －2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 51 三、解答题 9．(源自北师大版教材)求下列三角函数值： (1)sin ；(2)cos ；(3)sin ；(4)cos ． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)sin ＝－sin ＝－sin ＝sin ． (2)cos ＝cos ＝－cos ＝． (3)sin ＝sin ＝sin ＝－sin ． (4)cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝＝－cos ． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 52 10．(多选)在△ABC中，给出下列四个选项，结果为常数的是(　　) A．sin (A＋B)＋sin C B．cos (A＋B)＋cos C C．sin (2A＋2B)＋sin 2C D．cos (2A＋2B)＋cos 2C 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 53 BC　[对于A，sin (A＋B)＋sin C＝sin C＋sin C＝2sin C； 对于B，cos (A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0； 对于C，sin (2A＋2B)＋sin 2C＝sin [2(A＋B)]＋sin 2C ＝sin [2(－C)]＋sin 2C＝sin (2－2C)＋sin 2C ＝－sin 2C＋sin 2C＝0； 对于D，cos (2A＋2B)＋cos 2C＝cos [2(A＋B)]＋cos 2C ＝cos [2(－C)]＋cos 2C＝cos (2－2C)＋cos 2C ＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C．故选BC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 11．(多选)已知A＝(k∈Z)，则A的值是(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ BD　[当k为偶数时，A＝＝2；当k为奇数时，A＝ ＝－2．故选BD．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 55 12．已知a＝tan ，b＝cos ，c＝sin ，则a，b，c的大小关系是_______________．(用“>”连接) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 b>a>c　[因为a＝－tan ，b＝cos ＝cos ， c＝sin ＝－sin ， 所以b>a>c．] b>a>c 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 56 13．已知f (x)＝则f ＋的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 57 －2　[因为f ＝sin ＝sin ＝sin ； f ＝f －1＝f －2 ＝sin ． 所以f ＋f ＝－2．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 14．已知α是第三象限角，且 f (α)＝． (1)化简f (α)； (2)若tan (－α)＝－2，求f (α)的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 59 [解]　(1)因为f (α)＝ ＝＝＝－cos α， 所以f ＝－cos α． (2)因为tan ＝－tan α＝－2，所以tan α＝2，因为α是第三象限角，所以cos α<0， 所以解得cos α＝－，所以f ＝－cos α＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 15．在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别是． (1)求sin α，sin β的值； (2)求的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　诱导公式①②③④ 61 [解]　(1)因为点A，B是单位圆上的点，xA＝，且α，β为锐角，如图， 所以A，B两点的纵坐标分别为yA＝＝ ， 故由三角函数的定义可知sin α＝yA＝，sin β＝yB＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 62 (2)由三角函数的定义可得cos α＝xA＝，cos β＝xB＝，则tan β＝， 所以． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 63 $