7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦弧度制概念、角度与弧度互化及弧长扇形面积公式，通过“身高体重不同单位制”情境问题导入，类比引出角的弧度制，衔接角度制旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其特色是融合数学抽象与数学运算素养，情境导学激发兴趣，思考辨析深化概念理解，母题探究与分层作业提升推理能力。学生在问题解决中发展数学思维，教师可借助系统资源实施精准教学，提高课堂效率。

第七章 三角函数 7.1　任意角的概念与弧度制 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 学习任务 1．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． (数学抽象) 2．掌握弧度与角度的互化．(数学运算) 3．掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(数学运算) 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 小华身高1.8米，体重80千克，我们也可以用不同的单位制来度量他的身高和体重，如他的身高5.9英尺，体重176.4磅．在不同的情境下使用不同的单位制能给解决问题带来便利． 问题　角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角度的大小呢？ 必备知识·情境导学探新知 [提示]　能，可以用弧度制来度量角度的大小． 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 知识点1　弧度制 1．角度制与弧度制的概念 (1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制．角度制规定____分等于1度，____秒等于1分． 即1°＝60′，1′＝_______． 60 60 60″ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 (2)弧度制 ①定义：以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制． ②1弧度的角：长度等于_________的圆弧所对的_________为1弧度的角． ③表示方法：1弧度记作1 rad． 半径长 圆心角 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 2．角的弧度数的计算 在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝__． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 思考　1．公式α＝与所取的圆的半径大小是否有关？ [提示]　一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 知识点2　弧度制与角度制的换算 设一个角的角度数为n，弧度数为α，则＝． 一些特殊角的度数与弧度数的对应表： 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 ___ ___ ___ ___ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 知识点3　扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝______． (2)扇形面积公式：S＝ _________ ＝ __________ ． αr 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 思考　2．我们初中学过的半径为r，圆心角为n°的扇形弧长、面积公式分别是什么？ [提示]　半径为r，圆心角为n°的扇形弧长公式为l＝，扇形面积公式为S扇＝． 提醒　在应用公式l＝αr和S＝αr2时，要注意α的单位是弧度． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的单位． (　　) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关． (　　) (3)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的． (　　) (4)1 rad的角比1°的角要大． (　　) × √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 2．(1)18°＝________ rad．(2)＝________． (1)　(2)54°　[(1)18°＝18×．(2)×180°＝54°．] 54° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 3．半径为2，圆心角为的扇形的面积是________． 　[由扇形的面积公式可得，此扇形的面积是．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 关键能力·合作探究释疑难 类型1　弧度制的概念 【例1】　下列说法正确的是(　　) A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 √ 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 A　[对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．] 发现规律　弧度制与角度制的区别与联系 区别 ①单位不同，弧度制以“______”为度量单位，角度制以“___”为度量单位． ②定义不同 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的______大小无关的定值 弧度 度 半径 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 [跟进训练] 1．下列叙述中，正确的是(　　) A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径的弧 C．1弧度是1度的弧与1度的角的和 D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 √ D　[根据弧度的定义，可知D正确．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 类型2　角度制与弧度制的转换 【例2】　【链接教材P10例1、例2】 (1)下列结论错误的是(　　) A．－150°化成弧度是－rad B．－rad 化成度是－600° C．67°30′化成弧度是rad D．rad化成度是15° √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 (2)将下列各角化成0到2的角加上2k(k∈Z)的形式． ①；②－315°． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 (1)A　[对于A，－150°＝－150×，A错误； 对于B，－＝－600°，B正确； 对于C，67°30′＝67.5×，C正确； 对于D，＝15°，D正确．] (2)[解]　①＝6＋． ②－315°＝－＝－2＋． 【教材原题·P10例1、例2】 例1　把30°，45°，60°化成弧度(用表示)，并在平面直角坐标系中作出它们的终边． 解：设30°角的弧度数为α，则，所以α＝， 即30°＝，对应的角的终边为图7-1-10中的射线OA． 类似地，有45°＝，60°＝， 它们的终边分别为图7-1-10中的射线OB，OC． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 例2　把化成角度数． 解：设＝n°，则，因此n＝180×＝288，即＝288°． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 反思领悟　角度制与弧度制的转换中的注意点 (1)在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 rad＝180°是关键． (2)熟记特殊角的弧度数与角度数的对应值． (3)在同一个式子中，角度与弧度不能混合使用，必须保持单位统一，如α＝2k＋30°，k∈Z是不正确的写法． (4)判断角α终边所在的象限时，若α∈[－2，2]，应首先把α表示成α＝2k＋β，β∈[0，2](k∈Z)的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 [跟进训练] 2．将下列角度与弧度进行互化． (1)－15°；(2)－． [解]　(1)－15°＝－． (2)－×180°＝－396°． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 3．将－1 125°写成α＋2k(k∈Z)的形式，其中0≤α<2． (1)判断它是第几象限角； (2)在[－4，4]范围内找出与α终边相同的角的集合． [解]　(1)－1 125°＝－1 125×＝－8＋．其中<<2，所以是第四象限角，所以－1 125°是第四象限角． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 (2)依题意与α终边相同的角为＋2k，k∈Z， 由－4≤＋2k≤4，k∈Z， 知k＝－2，－1，0，1， 所以所求角的集合为． 类型3　弧长公式与扇形面积公式 【例3】　(1)已知某扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为10，则该扇形的周长为(　　) A．　　B．　　C．　　D． (2)(源自苏教版教材)已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，求该扇形的面积． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 [思路导引]　(1)取弦中点，构造直角三角形，在直角三角形中先求出半径，进而求出弧长即可． (2)根据条件列出半径r和弧长l的方程组，求出弧长l和半径r． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 (1)D　[由题意得，扇形的半径r＝，则该扇形的弧长l＝2r＝， ∴该扇形的周长为l＋2r＝．] (2)[解]　设扇形的半径为r，弧长为l，则有 解得 故扇形的面积为S＝rl＝4(cm2)． [母题探究] (变条件，变结论)若将本例(2)改为已知扇形的周长为8 cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时的弧长． [解]　设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2)，弧长为l，半径为r，面积为S，由l＋2r＝8得l＝8－2r，S＝(8－2r)·r≤ 取得最大值时的弧长为4 cm． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 反思领悟　弧度制下解决扇形相关问题的步骤 (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝α·r，S＝S＝lr(这里α必须是弧度制下的角)． (2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 [跟进训练] 4．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R． (1)若α＝60°，R＝10，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积； (2)若扇形的周长是定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积最大？ [解]　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓， ∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝，S弓＝S扇－S△＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 (2)∵扇形周长C＝2R＋l，∴l＝C－2R， ∴S扇＝R(C－2R) ＝－R2＋， ∴当R＝时，S扇有最大值且为， 此时l＝C－2R＝＝2． 故α＝2时，该扇形的面积最大． 学习效果·课堂评估夯基础 1．(教材P12练习BT1改编)将210°化为弧度制的结果是(　　) A．　　　B．　　　C．－　　　D． √ B　[] 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 2．(教材P12练习AT5改编)在直径为4的圆中，36°圆心角所对的弧长为(　　) A． B． C． D． √ B　[因为圆的直径为4，所以圆的半径r＝2， 因为36°＝36×， 所以36°圆心角所对的弧长为．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 3．(教材P12练习BT2改编)若α＝－2，则α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ C　[因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 4．(教材P12练习BT6改编)已知扇形的圆心角为2 rad，扇形的半径长为10 cm，则扇形的面积为________cm2． 100　[因为扇形的圆心角为2 rad，扇形的半径长为10 cm， 所以扇形弧长为l＝2×10＝20(cm)， 则扇形的面积S＝×20×10＝100(cm2)．] 100 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．在弧度制的定义中，角的弧度数与圆的半径大小有关吗？ [提示]　无关． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 2．角度制与弧度制怎么互化？ [提示]　解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝ rad”这一关系式． 易知：角度数× rad＝弧度数，弧度数×＝角度数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 3．角度制和弧度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？ [提示]　   角度制 弧度制 弧长 l＝ l＝αr 面积 S＝ S＝ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 4．角度制与弧度制能否混用？ [提示]　不能． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．－660°＝(　　) A．－ rad　　　　 B．－ rad C．－ rad D．－ rad 课时分层作业(二)　弧度制及其与角度制的换算 √ C　[ rad＝－ rad．] 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．若θ＝－5，则角θ的终边所在的象限是(　　) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 √ D　[因为－2＜－5＜－，所以角θ的终边所在的象限是第一象限．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 43 3．在[0，2)范围内，与角－终边相同的角是(　　) A．　　B．　　C．　　D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[与角－终边相同的角是2k－，k∈Z，令k＝1可得与角－终边相同的角是．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 44 4．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为(　　) A． B． C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[因为150°＝150×，故与150°角的终边相同的角的集合为．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 45 5．已知扇形的周长为6 cm，半径是2 cm，则扇形的圆心角的弧度数是(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[设扇形的圆心角为α rad，半径为R cm，则解得α＝1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 46 二、填空题 6．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[因为A＋B＋C＝， 又A∶B∶C＝3∶5∶7， 所以A＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 47 7．若圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[如图，设圆的半径为R，则圆内接正三角形ABC的边长为R，所以圆弧长度为R，其所对圆心角的弧度数α＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 48 8．已知扇形OAB的圆心角为，周长为5＋14，则扇形OAB的半径为________，面积为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7　　[设扇形的半径为r，∵圆心角为，∴弧长l＝r． ∵扇形的周长为5＋14，∴r＋2r＝5＋14， 解得r＝7，由扇形的面积公式得S＝．] 7 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 49 三、解答题 9．已知扇形的面积为4 cm2，求该扇形的周长的最小值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　设扇形所在圆的半径为r，弧所对的圆心角为α，弧长为l，面积为S， 则l＝αr，S＝αr2＝4，即αr2＝8， 所以扇形的周长C＝2r＋l＝2r＋αr≥2＝8，当且仅当α＝2时取等号， 所以扇形的周长的最小值为8 cm． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 50 10．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约 m，肩宽约为 m，“弓”所在圆的半径约为 m，则掷铁饼者双手 之间的距离约为(参考数据：≈1.414，≈1.732)(　　) A．1.012 m　　　　　 B．2.043 m C．1.768 m D．2.945 m 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 51 C　[弓形所在的扇形如图所示，则的长度为 (m)，故扇形的圆心角为，故AB＝≈1.414×≈1.768(m)．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 11．(多选)小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘(图1)产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示．在扇形OAB中，∠AOB＝，OB＝OA＝2，则(　　) A．∠AOB＝30° B． C．扇形OAB的周长为＋4 D．扇形OAB的面积为 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 53 BC　[＝60°，所以A错误； ，所以B正确； 扇形OAB的周长为＋4，所以C正确； 面积为S＝，所以D错误．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 12．扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为________；弦AB的长为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2　2sin 1　[设扇形所在圆半径为r， 则×2×r＝1，所以r＝1，所以α＝＝2． 如图所示，取AB的中点D，连接OD，则OD⊥AB，且∠BOD＝∠AOD＝1， 在Rt△ODB中，DB＝OB·sin ∠BOD＝sin 1， 所以AB＝2DB＝2sin 1．] 2 2sin 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 55 13．在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为∶1，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观．如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为S1，圆面剩余部分的面积为S2，当时，扇面较为美观．那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为____________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 56 2　[设扇子圆心角为α，则圆面剩余部分的圆心角为2－α，圆的半径为r，则S1＝r2，因为，即，即2－α＝α， 所以α＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 57 14．已知半径为2的圆O中，弦AB的长为4． (1)求弦AB所对的圆心角α的大小； (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)因为圆O的半径为2，弦AB的长为4，所以OA＝OB＝2，AB＝4，所以OA2＋OB2＝AB2，故△OAB为直角三角形，且∠AOB为直角， 所以弦AB所对圆心角α为． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 58 (2)由弧长公式得，l＝αr＝， 扇形的面积S1＝×2＝2， 又S△AOB＝＝4，所以S＝S1－S△AOB＝2－4，即弧所在的弓形的面积S＝2－4． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 15．如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，求点A走过的路程及走过的弧所对应的扇形的总面积． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 60 [解]　所在的圆的半径是2 dm，所对的圆心角为所在的圆的半径是1 dm，所对的圆心角为所在的圆的半径是 dm，所对的圆心角是．点A走过的路程是3段圆弧长之和， 即2×(dm)； 3段弧所对应的扇形总面积为×2×＋(dm2)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 $