7.1.1 角的推广-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第三册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦三角函数中角的推广，涵盖正角、负角、零角的概念，象限角及终边相同角的表示。通过小明调整闹钟的生活情境导入，衔接初中角的认知，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解角的旋转本质。 其亮点在于融合数学抽象与直观想象，如通过闹钟指针旋转抽象角的正负，结合终边相同角的集合图示培养空间观念。采用情境导学、例题变式及分层作业，小结分点梳理要点，助力学生提升数学思维，也为教师提供系统教学资源。

第七章 三角函数 7.1　任意角的概念与弧度制 7.1.1　角的推广 学习 任务 1．了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角．(数学抽象) 2．理解象限角的概念．(数学抽象) 3．掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置．(直观想象、数学运算) 7.1.1　角的推广 周日早晨，小明起床后发现自己的闹钟指针停在5：00这一时刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习． 问题　小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？ 必备知识·情境导学探新知 [提示]　时针转了－45°，分针转了－540°． 7.1.1　角的推广 知识点1　角的概念 (1)角：____________绕其端点______到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的______和______．射线的旋转有两个相反的方向：_______________和_______________． 一条射线 旋转 始边 终边 顺时针方向 逆时针方向 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 (2)角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按照_________方向旋转而成的角 负角 按照_________方向旋转而成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 逆时针 顺时针 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 提醒　上述定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 思考　1．正角、负角、零角是根据什么区分的？ [提示]　角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 知识点2　角的加减运算的几何意义 α＋β(β≥0)表示在角α的基础上，_________旋转β角度；α－β表示在角α的基础上，_________旋转β角度． 知识点3　象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上．这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为_______________．如果终边在坐标轴上，就认为这个角_________任何象限． 逆时针 顺时针 第几象限角 不属于 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 思考　2．把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否一定就是某一个象限角？请说明原因． [提示]　不一定．当角的顶点与原点重合，角的始边在x轴的正半轴上时，若角的终边在哪个象限，则该角为该象限角；当角的终边在坐标轴上时，则该角不属于任何象限． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 知识点4　终边相同的角 所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝______________________________，即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应元素为___． {β|β＝α＋k·360°，k∈Z} α 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)经过1小时，时针转过30°． (　　) (2)终边与始边重合的角是零角． (　　) (3)小于90°的角是锐角． (　　) × × × [提示]　(1)因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°． (2)终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)． (3)锐角是指大于0°且小于90°的角． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 2．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________． －25° 395° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 3．下列说法： ①第一象限角一定不是负角； ②第二象限角是钝角； ③小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中错误的序号为_______________．(把错误的序号都写上) ①②③　[由象限角定义可知①②③都不正确．] ①②③ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 关键能力·合作探究释疑难 类型1　任意角的概念 【例1】　(1)下列说法正确的是(　　) A．第一象限角一定是正角 B．三角形的内角不是锐角就是钝角 C．锐角小于90° D．第二象限角一定大于第一象限角 √ 7.1.1　角的推广 (2)期末考试，数学科目从上午8时30分开始，考了2小时．从考试开始到考试结束分针转过了(　　) A．360° B．720° C．－360° D．－720° √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 (1)C　(2)D　[(1)－355°是第一象限角，但不是正角，所以A错误；三角形的内角可能是90°，所以B错误；锐角小于90°，C正确；45°是第一象限角，－200°是第二象限角，但45°>－200°，所以D错误．故选C． (2)因为分针转一圈(即1小时)是－360°，所以从考试开始到考试结束分针转过了－720°．故选D．] 反思领悟　1．理解角的概念的三个“明确” 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 2．理解角的概念的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念． 常见角α的范围：锐角0°<α<90°，钝角90°<α<180°，直角90°，平角180°，周角360°． (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 [跟进训练] 1．设集合A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(　　) A．A＝B　 B．B＝C C．A＝C　 D．A＝D √ D　[集合A中锐角θ满足0°＜θ＜90°；而集合B中θ＜90°，可以为负角；集合C中θ满足k·360°＜θ＜k·360°＋90°，k∈Z；集合D中θ满足0°＜θ＜90°．故A＝D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 2．射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则∠AOD＝________________． －100° －100°　[如图，∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD ＝(－80°)＋250°＋(－270°)＝－100°．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 类型2　终边相同的角的表示及应用 【例2】　【链接教材P6例2】 (源自人教A版教材)写出终边在直线y＝x上的角的集合S．S中满足不等式－360°≤β＜720°的元素β有哪些？ [解]　如图，在直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°．因此，终边在直线y＝x上的角的集合S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β有 45°－2×180°＝－315°， 45°－1×180°＝－135°， 45°＋0×180°＝45°， 45°＋1×180°＝225°， 45°＋2×180°＝405°， 45°＋3×180°＝585°． 【教材原题·P6例2】 例2　分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式 －360°≤β＜720°的元素β写出来． (1)60°；　　　　(2)－21°． 解：(1)S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}． 解不等式－360°≤60°＋k·360°＜720°，得－1－≤k＜2－， 所以k可取－1，0或1．因此S中满足－360°≤β＜720°的元素是60°＋(－1)× 360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 (2)S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}． 解不等式－360°≤－21°＋k·360°＜720°，得 －1＋≤k＜2＋， 所以k可取0，1或2．因此S中满足－360°≤β＜720°的元素是 －21°＋0×360°＝－21°， －21°＋1×360°＝339°， －21°＋2×360°＝699°． 反思领悟　在某个范围内找与已知角终边相同的角的方法 求在某个范围内与已知角α终边相同的角时，首先将这样的角表示成k·360°＋α(k∈Z)的形式，然后由k·360°＋α(k∈Z)在限制范围内，建立不等式，通过求解不等式，确定k的值，求出满足条件的角．或者采用赋值法求解，看角是否在限制范围内，从而求出满足条件的角． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 [跟进训练] 3．已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最小的正角； (2)最大的负角； (3)－360°～720°之间的角． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 [解]　因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与 －45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝ －45°＋k·360°，k∈Z}． (1)最小的正角为315°． (2)最大的负角为－45°． (3)分别令k＝0，1，2， 得β＝－45°，315°，675°． 因此，在与α终边相同的角中，在－360°～720°之间的角是 －45°，315°，675°． 类型3　象限角及其应用 角度1　区间角 【例3】　【链接教材P6例3】 已知角β的终边在如图所示的阴影内，求角β的取值集合． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 [解]　角β在x轴上方部分的角的集合为A＝{β|k·360°＋60°≤β<k·360° ＋105°，k∈Z}＝{β|2m×180°＋60°≤β<2m×180°＋105°，m∈Z}． 角β在x轴下方部分的角的集合为B＝{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|k·360°＋180°＋60°≤β<k·360°＋180°＋105°，k∈Z}＝{β|(2m＋1)×180°＋60°≤β<(2m＋1)×180°＋105°，m∈Z}． 所以角β的取值集合是A∪B， 即A∪B＝{β|2m×180°＋60°≤β<2m×180°＋105°，m∈Z}∪{β|(2m＋1)×180°＋60°≤β<(2m＋1)×180°＋105°，m∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}． [母题探究] 1．(变条件)若将本例图形改为如图所示的图形，其他不变，如何求解？ [解]　由题图可知角β的取值集合为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 2．(变条件)若将本例图形改为如图所示的图形，其他不变，如何求解？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 [解]　图中阴影在第一、第三象限， 根据象限角的表示可知角β的取值集合是 {β|k·360°<β<k·360°＋90°，k∈Z} ∪{β|k·360°＋180°<β<k·360°＋270°，k∈Z} ＝{β|2k·180°<β<2k·180°＋90°，k∈Z} ∪{β|(2k＋1)·180°<β<(2k＋1)·180°＋90°，k∈Z} ＝{β|n·180°<β<n·180°＋90°，n∈Z}． 【教材原题·P6例3】 例3　写出终边在第一象限内的角的集合． 解：因为大于0°且小于90°的角的终边一定在第一象限，而且如果一个角的终边在第一象限，那么这个角的终边一定与大于0°且小于90°的某个角的终边相同，因此终边在第一象限内的角的集合为{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 反思领悟　表示区间角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． 第二步：按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的0°～360°范围内的角α和β，其中β－α<360°． 第三步：扇形区域起始、终止边界对应角α，β再加上k·360°(k∈Z)，即得区间角集合．对顶区域，再加上k·180°(k∈Z)即得区间角集合． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 角度2　nα或所在象限的判定 【例4】　已知α为第二象限角，判断下列角是第几象限角． (1)2α；(2)． [解]　(1)因为α是第二象限角， 所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z， 所以180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z， 所以2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的负半轴上的角． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 (2)法一：因为α是第二象限角， 所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)， 所以45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)． 当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，所以是第一象限角； 当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，所以是第三象限角．故是第一或第三象限角． 法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为的终边所在的区域，故为第一或第三象限角． [母题探究] (变结论)本例条件不变，试判断是第几象限角． [解]　因为α是第二象限角， 所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z， 所以30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z． 当k＝3n，n∈Z时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°，n∈Z，此时为第一象限角； 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 当k＝3n＋1，n∈Z时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°，n∈Z，此时为第二象限角； 当k＝3n＋2，n∈Z时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°，n∈Z，此时为第四象限角． 所以为第一、第二或第四象限角． 反思领悟　已知α范围，求的范围 (1)代数推导法：先表示角α所在的象限范围，再求出所在的范围，进一步由n值确定． (2)等分象限法：将各象限n等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1，2，3，4，循环下去，直到填满为止，则当α在第几象限时，就在几号区域．例如：当角α在第二象限时，在图n＝2时的2号区域，在图n＝3时的2号区域．但此规律有局限性，如在已知角α的范围 求角2α的范围时上述规律就不好用了，所以还 应该掌握求范围的一般方法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 [跟进训练] 4．的终边在第三象限，则θ的终边可能在(　　) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限或y轴正半轴 D．第三、四象限或y轴负半轴 √ C　[依题意，180°＋k·360°<<270°＋k·360°(k∈Z)， 所以，360°＋2k·360°<θ<540°＋2k·360°(k∈Z)， 因此，θ的终边可能在第一、二象限或y轴正半轴．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 学习效果·课堂评估夯基础 1．(教材P7练习AT3(1)改编)与－30°终边相同的角是(　　) A．－330°　　B．150°　　C．30°　　D．330° √ D　[因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°．] 7.1.1　角的推广 2．已知角α是锐角，则2α是(　　) A．小于180°的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或第二象限角 √ A　[因为α是锐角，所以0°<α<90°， 所以0°<2α<180°．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 3．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________________________________________________． {α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}　[观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．] {α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z} 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 4．给出下列说法： ①时钟经过两个小时，时针在旋转时所形成的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所形成的角是0°；④小于90°的角都是锐角． 其中所有错误说法的序号为________． ①③④ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 ①③④　[①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而时针在旋转时所形成的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所形成的角是360°，所以③不正确．④锐角θ的取值范围是0°<θ<90°，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．依据“旋转得角”，你认为理解角的概念应抓住哪几点？ [提示]　(1)从哪开始转——始边； (2)以什么方向转——正负角； (3)转了多少——角度； (4)转到哪个位置——终边． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 2．运用终边相同的角时应注意哪些问题？ [提示]　所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点： (1)k是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角． (3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z． (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 3．已知角α的象限范围确定的范围有哪些方法？ [提示]　(1)代数推导法．(2)等分象限法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．－870°角的终边所在的象限是(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 课时分层作业(一)　角的推广 √ C　[－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限角，故选C．] 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　) A．90°－α B．90°＋α C．360°－α D．180°＋α √ C　[因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 51 3．(多选)在－360°～200°范围内与角1 250°终边相同的角是 (　　) A．170° B．190° C．－190° D．－170° 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ AC　[与1 250°角的终边相同的角α＝170°＋k·360°，k∈Z，分别令k＝0，－1得α＝170°，－190°．故选AC．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 52 4．若角α的终边在y轴的非正半轴上，则角α－150°的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．y轴的非负半轴上 D．x轴的非正半轴上 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[因为角α的终边在y轴的非正半轴上，所以α＝k·360°＋270°(k∈Z)，所以α－150°＝k·360°＋270°－150°＝k·360°＋120°(k∈Z)，所以角α－150°的终边在第二象限．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 53 5．若角α是第三象限角，则角的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)(　　) A．③⑦ B．④⑧ C．②⑤⑧ D．①③⑤⑦ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[根据等分象限法可知选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 54 二、填空题 6．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 270° 270°　[由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°，k∈Z．又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 55 7．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－150°，则β＝______________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 k·360°＋30°(k∈Z)　[在0°～360°范围内与α＝－150°的终边互为反向延长线的角是30°角，所以β＝k·360°＋30°(k∈Z)．] k·360°＋30°(k∈Z) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 56 8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为_____________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 120°，300° 120°，300°　[与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z． ∵所求角在0°～360°范围内， ∴0°≤－60°＋k·180°<360°，解得≤k<，k∈Z， ∴k＝1或2，当k＝1时，β＝120°；当k＝2时，β＝300°．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 57 三、解答题 9．已知角α＝2 010°． (1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 58 [解]　(1)由2 010°除以360°，得商为5，余数为210°． ∴取k＝5，β＝210°，α＝5×360°＋210°． 又β＝210°是第三象限角，∴α为第三象限角． (2)与2 010°终边相同的角为k·360°＋210°(k∈Z)． 令－360°≤k·360°＋210°<720°(k∈Z)， 解得－1≤k<1(k∈Z)． ∴k＝－1，0，1． 将k的值代入k·360°＋210°中，得角θ的值为－150°，210°，570°． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 B　[令k＝0，得45°≤α≤90°，则B选项中的阴影部分区域符合题意．] A　　　　　　B 10．已知α∈则角α的终边落在的阴影部分是(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　　　　　　D 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 60 11．(多选)如果角α与角γ＋60°的终边相同，角β与角γ－60°的终边相同，那么α－β的可能值为(　　) A．120° B．360° C．1 200° D．3 600° 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 61 AC　[角α与角γ＋60°的终边相同， α＝m·360°＋γ＋60°，m∈Z， 角β与角γ－60°的终边相同， β＝n·360°＋γ－60°，n∈Z， ∴α－β＝m·360°＋γ＋60°－(n·360°＋γ－60°)＝(m－n)·360°＋120°，m，n∈Z， 即α－β与120°角终边相同，选项AC符合题意．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 62 {α|α＝60°＋n·180°，n∈Z} [如图所示，终边落在射线y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．所以终边落在直线y＝x上的角α的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪ {α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k· 180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°， k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．] 12．终边落在直线y＝x上的角α的集合为____________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 {α|α＝60°＋n·180°，n∈Z} 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 63 13．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第__________象限角． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一或三　[由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．] 一或三 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 64 14．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　由题意可知 α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z． ∵α，β为锐角，∴0°<α＋β<180°． 取k＝1，得α＋β＝80°，① α－β＝670°＋k·360°，k∈Z． ∵α，β为锐角，∴－90°<α－β<90°． 取k＝－2，得α－β＝－50°，② 由①②得α＝15°，β＝65°． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 65 15．如图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A出发，其中∠AOx＝45°，依逆时针方向等速沿圆周旋转．已知P在1秒钟内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又恰好回到出发点A．求θ，并判断θ所在象限． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1.1　角的推广 66 [解]　根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z，即θ＝，k∈Z． 又180°＜2θ＋45°＜270°，即67.5°＜θ＜112.5°， ∴67.5°＜＜112.5°，k∈Z， ∴k＝3或k＝4， ∴所求θ的值为或． ∵0°＜＜90°，90°＜＜180°， ∴θ在第一象限或第二象限． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 67 $