3.1椭圆（2）专项训练 2025-2026学年高二上学期《数学期中专项训练卷》

2025-2026学年高二上学期期中专项复习 椭圆专项训练卷（2） 一、单选题 1．已知点是椭圆上的动点，则点到该椭圆的两个焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 2．椭圆上有一点P到一个焦点的距离是4，则点P到另一个焦点的距离是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 3．设为椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，则的周长为（    ）． A．16 B．18 C．20 D．22 4．已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．长轴长是3，一个焦点为 B．一个焦点为，离心率是 C．焦距是，短轴长是4 D．对称轴是坐标轴，一个顶点为 5．设为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是（    ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 6．过椭圆的左焦点的直线交椭圆于M，N两点，且，为右焦点，则的值为（    ） A．10 B．14 C．16 D．20 7．椭圆上一点P到焦点的距离为4，点M是的中点，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知椭圆上一点到两焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 9．已知椭圆的焦点在x轴上，离心率为，且椭圆上任意一点到两个焦点的之间的距离为8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 10．若椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D．不能确定 11．椭圆的一个焦点，那么的值是（    ） A． B． C． D． 12．若椭圆的焦距为2，则m的值为（ ） A．5 B．3 C．5或3 D．8 13． 为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（   ） A．2 B． C．4 D． 14．已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 15．方程表示的曲线是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 16．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于（    ） A．4 B．8 C．4或8 D．12 18．椭圆焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则实数（   ） A． B． C．2 D．4 19．与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 20．已知椭圆与，则两个椭圆（ ） A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 二、填空题 21．已知椭圆的两个焦点为，P是该椭圆上的一点，且构成等差数列，则该椭圆的标准方程是 ． 22．已知点A是椭圆与双曲线的一个交点，点是椭圆的两个焦点，则 23．已知一个椭圆的方程为，则该椭圆的短轴长为 24．已知椭圆的长轴长与短轴长比是3∶2，则该椭圆的离心率为 ． 25．如图，为椭圆的右焦点，是椭圆上的点，若是正三角形，则椭圆的长轴长为 ． 三、解答题 26．已知椭圆上任一点到两个焦点的距离之和是8，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点M为椭圆上一点，、为椭圆的左右焦点，且，求的面积. 27．已知椭圆的两个焦点，，A为椭圆上一点，且，的面积为6，求： (1)的周长；(2)此椭圆的标准方程． 28．已知椭圆的焦点在轴上，其焦距为4，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过左焦点，作轴的垂线与椭圆在第二象限的交点为P.求的周长和面积. 29．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴在轴上，长轴的长为12，离心率为； (2)经过点和. 30．求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程． 31．求以椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点的椭圆方程． 32．回答下面两个题 (1)求经过点和点的椭圆的标准方程； (2)如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，求水面的宽度    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期中专项复习 椭圆专项训练卷（2） 一、单选题 1．已知点是椭圆上的动点，则点到该椭圆的两个焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程和定义求解. 【详解】由椭圆标准方程可知，∴． 根据椭圆的定义可得点到该椭圆的两个焦点的距离之和为． 故选：B. 2．椭圆上有一点P到一个焦点的距离是4，则点P到另一个焦点的距离是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由椭圆求出，再利用椭圆的定义求解即可. 【详解】因为椭圆，则， 不妨设其中一个焦点为，则，另一个焦点为， 由椭圆定义．则， 所以点P到另一个焦点的距离是. 故选：C. 3．设为椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，则的周长为（    ）． A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可知周长等于即可得解. 【详解】根据题意，∴， ∴，∴. 由椭圆的定义可知，，， ∴的周长为. 故选：. 4．已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．长轴长是3，一个焦点为 B．一个焦点为，离心率是 C．焦距是，短轴长是4 D．对称轴是坐标轴，一个顶点为 【答案】C 【分析】由椭圆的标准方程可求解a，b，c的值，再由椭圆的性质即可判断选项. 【详解】因为椭圆方程为，焦点在轴上， 可得，， 所以， A：长轴长是，焦点为和，故A错误； B：焦点为和，离心率是，故B错误； C：焦距是，短轴长是，故C正确； D：椭圆的对称轴是坐标轴，顶点为，，，，故D错误. 故选：C. 5．设为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是（    ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义分析即可解得. 【详解】由题，动点满足， 则点的轨迹为以为焦点的椭圆. 故选：A 6．过椭圆的左焦点的直线交椭圆于M，N两点，且，为右焦点，则的值为（    ） A．10 B．14 C．16 D．20 【答案】B 【分析】由椭圆的定义得，据此求解的值. 【详解】由椭圆可得， 椭圆中左焦点的直线交椭圆于M，N两点，且，为右焦点， 由椭圆的定义得，即， 故. 故选：B 7．椭圆上一点P到焦点的距离为4，点M是的中点，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由题可知：，解得的值，在中为中位线，即可求得的长. 【详解】解：由题可知：， ． 在，M为中点，O为中点， . 故选：A. 8．已知椭圆上一点到两焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义结合题目条件求椭圆的标准方程即可. 【详解】由焦点坐标知椭圆焦点在y轴，且， 由椭圆定义知，则，所以， 所以椭圆方程为. 故选：D. 9．已知椭圆的焦点在x轴上，离心率为，且椭圆上任意一点到两个焦点的之间的距离为8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义结合离心率，的关系即可求解. 【详解】由题意得，设椭圆的标准方程为：. 设椭圆上任意点，焦点.则. 解得.因为离心率为，所以. 则.则椭圆的标准方程为：. 故选：C. 10．若椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】画出图形，根据三角形为正三角形建立等式，再由椭圆中的，可得a与b之间的关系，即可求解离心率. 【详解】如图，   为正三角形．， 在直角三角形中，， 即由椭圆定义知， 由为正三角形，，即， 则椭圆的离心率． 故选:B. 11．椭圆的一个焦点，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程化成标准方程求解. 【详解】由题意，椭圆焦点在轴上，原方程可化为：， 所以，， 解得. 故选：. 12．若椭圆的焦距为2，则m的值为（ ） A．5 B．3 C．5或3 D．8 【答案】C 【分析】结合椭圆性质，分焦点在轴、轴上计算即可得. 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，有，故， 当椭圆的焦点在轴上时，有，故. 故选：C. 13．已知 分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质和椭圆方程求解即可解得. 【详解】由题，为椭圆方程，又知为椭圆上的一点， 则，当为的延长线与椭圆的交点时， 取得最大值，， 则，故最大值为. 故选：B 14．已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，利用求得和，进而利用椭圆定义建立等式，求得和的关系，然后求得离心率． 【详解】根据题意可知，因为， 所以在中，，， 根据椭圆定义， 所以有， 于是椭圆的离心率. 故选：B. 15．方程表示的曲线是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义即可求解. 【详解】由题方程的几何意义为平面上一点到和的距离为3， 因为，符合椭圆的基本定义. 所以方程表示的曲线是椭圆. 故选：B. 16．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用焦点在轴上的椭圆标准方程的特征列不等式组可求. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 则有，，解得， 即的范围是， 故选：C. 17．椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于（    ） A．4 B．8 C．4或8 D．12 【答案】C 【分析】由椭圆的定义及性质即可得解. 【详解】因为为椭圆. 所以解得. 若椭圆的焦点在轴上,则. 所以. 解得符合题意. 若椭圆的焦点在轴上,则. 所以. 解得符合题意. 综上所述:或. 故选:. 18．椭圆焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则实数（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程，结合题意即可求解. 【详解】因为椭圆方程为，即， 所以， 又椭圆焦点在轴上，且长轴长是短轴长的两倍， 所以，即， 所以， 即， 所以. 故选：A. 19．与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程确定焦点坐标，再由短轴长可得，再由求出的值，最后写出椭圆方程即可. 【详解】设椭圆方程为， 则双曲线中的， 所以椭圆的焦点坐标为， 又短轴长为2，故，解得：， 则，故椭圆方程为. 故选：C. 20．已知椭圆与，则两个椭圆（ ） A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 【答案】D 【分析】将椭圆方程化为标准形式，再根据长轴、短轴、焦距、焦点和离心率定义判断即可. 【详解】将椭圆方程整理得，其焦点在轴上，，， 则，所以． 故椭圆方程的长轴长为，短轴长为、焦距为、焦点、离心率为； 将椭圆方程整理得，其焦点在轴上，，， 则，所以， 故椭圆方程的长轴长为，短轴长为、焦距为、焦点、离心率为； 则两个椭圆长轴不同、短轴不同、焦距不同、焦点不同、离心率相同，故A、B、C错误，D正确. 故选：D． 二、填空题 21．已知椭圆的两个焦点为，P是该椭圆上的一点，且构成等差数列，则该椭圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】由等差中项结合椭圆的定义，求出，进而求出椭圆的标准方程. 【详解】因为成等差数列， 则，即，其中， 则， 则椭圆方程为. 故答案为：. 22．已知点A是椭圆与双曲线的一个交点，点是椭圆的两个焦点，则 【答案】21 【分析】根据椭圆与双曲线的定义即可求解. 【详解】因为点A是椭圆与双曲线的一个交点， 由椭圆与双曲线的方程可得，，故二者的焦点相同，都是点， 且椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 不妨设点A是椭圆与双曲线在第一象限的交点， 则，解得, 故. 故答案为：21. 23．已知一个椭圆的方程为，则该椭圆的短轴长为 【答案】 【分析】将椭圆的方程化为标准方程，进而求得，从而得解. 【详解】因为椭圆方程，可化为， 所以，则， 则短轴长. 故答案为：. 24．已知椭圆的长轴长与短轴长比是3∶2，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据椭圆的性质即可求解. 【详解】已知椭圆的长轴长与短轴长比是， 则有， 则， 则该椭圆的离心率为. 故答案为：. 25．如图，为椭圆的右焦点，是椭圆上的点，若是正三角形，则椭圆的长轴长为 ． 【答案】 【分析】根据是正三角形，得到的坐标，再结合，即可求得值，得到椭圆的长轴长. 【详解】设椭圆方程为，椭圆的右焦点为，即． ∵为正三角形，而，∴时，， 而在椭圆上，代入椭圆方程. 又∵， ∴，解得， ∴椭圆的长轴长． 故答案为：. 三、解答题 26．已知椭圆上任一点到两个焦点的距离之和是8，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点M为椭圆上一点，、为椭圆的左右焦点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的定义求得，再将点代入椭圆方程求得，从而得解； （2），利用椭圆的定义，结合勾股定理求得的值，进而求得的面积，从而得解. 【详解】（1）因为椭圆上任一点到两个焦点的距离之和是8， 所以，即，则椭圆方程为， 又椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆方程为. （2）由（1）知，，所以，即， 因为点M为椭圆上一点，、为椭圆的左右焦点， 设，则， 因为，又， 所以， 所以，即， 所以的面积为. 27．已知椭圆的两个焦点，，A为椭圆上一点，且，的面积为6，求： (1)的周长； (2)此椭圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由勾股定理得到，再根据面积为，即可求解. （2）根据椭圆的定义得到，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的两个焦点，，所以，， 又， 所以， 又，所以， 即，得到， 所以的周长为. （2）根据椭圆的定义有，所以， 即， 又椭圆焦点在轴上， 所以椭圆的标准方程为. 28．已知椭圆的焦点在轴上，其焦距为4，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过左焦点，作轴的垂线与椭圆在第二象限的交点为P.求的周长和面积. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的标准方程和性质即可求解； （2）先求出点P的坐标，结合椭圆的定义和三角形的面积即可求周长和面积. 【详解】（1）由题知， ， ， ， 又椭圆的焦点在轴上， 椭圆的标准方程为 . （2）由（1）知， ， 由题意，过左焦点，作轴的垂线与椭圆在第二象限的交点为P. 轴， 将代入椭圆方程有，即， 解得，所以， 所以的周长为， 面积为 . 29．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴在轴上，长轴的长为12，离心率为； (2)经过点和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的长轴长及离心率求，进而可求椭圆的标准方程. （2）由椭圆的性质可知，点和是椭圆的两个顶点，即可求解． 【详解】（1）由已知，，，得：，， 从而， 所以椭圆的标准方程为. （2）由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点， 所以点，分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有，； 又短轴、长轴分别在轴和轴上，所以椭圆的标准方程为. 30．求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程． 【答案】 【分析】根据共焦点，可求解c的值，根据过点，可求解b的值，即可求解椭圆的方程. 【详解】椭圆可化为， 可知焦点在y轴，所以， 所以可设椭圆方程为， 因为过点，所以可知点是椭圆短轴的顶点， 所以， 所以， 所以椭圆的方程为． 31．求以椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点的椭圆方程． 【答案】 【分析】先求出原椭圆的长轴端点，即可知b的值，再将点代入椭圆的方程即可求解. 【详解】因为椭圆为，长轴端点为， 设椭圆方程为， 又由椭圆过，得， 所以椭圆的方程为:. 32．回答下面两个题 (1)求经过点和点的椭圆的标准方程； (2)如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，求水面的宽度    【答案】(1)； (2) 【分析】（1）首先设椭圆的一般方程，代入两个点，即可求解； （2）首先建立坐标系，求解椭圆方程，再根据水面上升后的值求的值，即可求解. 【详解】（1）设椭圆方程为， 将点和点代入可知，得， 所以椭圆的标准方程为：； （2）    以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：， 当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 把代入椭圆方程可得：， 所以当水位上升时，水面的宽度为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $