专题05 指数函数、对数函数和反函数（讲义）-2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及山东省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为指数函数、对数函数和反函数。 2026版山东省（春季高考） 《数学考纲专题练》 专题05 指数函数、对数函数和反函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 1. 幂函数和二次函数 · 幂函数和二次函数的定义式 · 二次函数的对称轴、根 2. 指数函数 · 指数函数的定义式 · 指数函数与幂函数、对数函数的关系 3. 对数函数 · 对数函数图像 · 对数的运算公式、性质 4. 反函数 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 选择题 10 对数函数不等式 3 （1）题型：选择题、解答题。 （2）分值：每年都有涉及，分值占3-10分。 （3）内容：对数函数不等式、指对幂函数的单调性、指对幂函数的图像、二次函数求解析式。 解答题 26 二次函数求解析式 7 2024 解答题 26 对数函数（求参数的值、一元二次不等式恒成立问题） 7 2025 选择题 5 对数函数单调性及一次函数的图像 3 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年山东省春季高考有2道题，分别是选择题和解答题，考查指数函数、对数函数、二次函数，分值占10分。 具体考点可能涉及如下内容： · 指数、对数函数图像 · 运用指数、对数公式比较大小 · 二次函数求解析式 四、知识梳理 （一）指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝a(注意aⁿ必须使有意义)． ②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是a＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a－＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． 3．有理指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 4．指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 （二）对数函数 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) logaN 常用对数 底数为10 lgN 自然对数 底数为e lnN 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝0； ②logaa＝1(其中a>0且a≠1)； ③logaab＝b(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式 alogaN＝N(其中a>0且a≠1，N>0)． (3)对数的换底公式 logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：(－∞，＋∞) 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为 增函数 在(0，＋∞)上为 减函数 （三）幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪ _(0，＋∞)__ 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪ _(0，＋∞)__ 奇偶性 奇 函数 偶 函数 奇 函数 非奇非偶 函数 奇 函数 单调性 在R上单 调递增 在(－∞，0) 上单调递减， 在(0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上单调递减 公共点 (1,1) （四）二次函数 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. 2．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增，在上单调递减 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时为偶函数 对称轴 函数的图象关于直线x＝－成轴对称 五、10分钟小测验 1．设，则下列代数式值最小的一项是（    ） A． B． C． D． 2．集合，，则 （    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，为自然对数的底数，若，则可能是（    ） A． B．1 C．2 D．3 7．函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．幂函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 10．下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案解析】 1．C 【分析】运用指数幂运算性质计算和比较即可. 【详解】因为， 所以对于AB，， 对于D，， 所以C选项的代数式值最小. 故选：C. 2．D 【分析】先根据指数函数的单调性求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， 所以. 故选：D. 3．C 【分析】先求集合B，再求两个集合的交集即可. 【详解】由指数函数在上单调递增，且，得，所以. 根据数轴求集合的运算如图： 所以. 故选：C. 4．B 【分析】利用对数函数的单调性即可求得函数的值域 【详解】因函数在时为增函数， 故，即， 故的取值范围是. 故选：B. 5．D 【分析】先解一元二次不等式的解法得到集合，再根据对数函数的单调性得到集合，进而根据集合的交集运算即可求解． 【详解】由，解得或，则， 又，解得，则， 所以． 故选：D． 6．D 【分析】由题可得，再根据元素与集合的关系判断即可. 【详解】由题知，， 所以，则. 故选：D. 7．C 【分析】由反函数的定义求解即可. 【详解】由题意令，解得. 故选：C. 8．B 【分析】利用反函数的定义求得，可求的值. 【详解】已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以，所以． 故选：B． 9．B 【分析】根据幂函数有意义可直接得到结果. 【详解】，，即的定义域为. 故选：B. 10．C 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【详解】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 六、经典例题解析 【考试题型1】幂函数和二次函数 例1.（24山东真题）函数是偶函数的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质易得答案. 【详解】因为函数是偶函数， 所以充要条件是， 所以. 故选：A. 例2.（22山东真题）已知函数图像的对称轴为.则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数图像的对称轴为， 所以，解得， 所以函数为， 不等式即为， 因式分解得， 解得， 所以不等式的解集是. 故选:C. 例3.（20山东真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可根据图像得出结果. 【详解】结合图像易知， 不等式的解集， 故选：A. 【考试题型2】指数函数 例1.（21山东真题）已知点在函数的图像上，这三个点的横坐标依次构成公差为1的等差数列，若点的横坐标为的面积为，把表示为以为自变量的函数，则该函数的解析式是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作图，并根据题型用割补法求S的表达式即可. 【详解】∵点A，B，C的横坐标成公差为1的等差数列，且点A的横坐标为m， ∴点B的横坐标为，同理，点C的横坐标为， 即点A，B为，C为， 过点C作轴于点M，过点A作于点F，过点B作于点E， 即可知，， 利用割补法知的面积为， 因为 所以， 因为， 所以， 因为， ， 故. 故答案为：. 例2.（18山东真题）若、是实数，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】根据是增函数可得出. 【详解】因为是增函数，所以是的充要条件. 故选：C. 【考试题型3】对数函数 例1.（23山东真题）不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的单调性解不等式和解含绝对值的不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 由得， 且， 所以或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C. 例2.（20山东真题）若，则实数的值是 . 【答案】 【分析】根据对数运算化简为，求解的值. 【详解】， 即，解得：. 故答案为： 例3.（15山东真题）已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在函数的图象上代入可得，再利用向量的模长公式求解即可. 【详解】∵点在函数的图象上， ∴，， ∴点坐标为，，． 故选：D 【考试题型4】反函数 例1.已知函数，则它的反函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中解出，可得出该函数的反函数的解析式，并求出该函数的值域，作为反函数的定义域，由此可得出该函数的反函数及其定义域. 【详解】由，得，，的反函数为， 原函数中，，， 反函数的定义域为，因此，该函数的反函数为. 故选D． 例2.若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原函数与反函数的图象关于y=x对称，直接求出（1，5）的对称点，就是函数y=f（x）的图象必过点． 解：根据反函数定义知反函数图象过（1，5）， 原函数与反函数的图象关于y=x对称， （1，5）的对称点为（5，1）， 就是说原函数图象过点（5，1）， 故选C. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1幂函数和二次函数】 1.幂函数单独考察较少，通常以二次函数的形式展现出来。 2.牢记二次函数的对称轴公式、图像性质。 【专题内容总结2指数函数】 3.指数函数的变化率是最快的，图像也是最陡的。 4.指数函数根据底数的取值不同，增减性也有所不同。 【专题内容总结3对数函数】 5.对数的运算公式常用来比较大小、判断单调性。 6.对数函数与指数函数是反函数的关系 【专题内容总结4反函数】 6.只需要将和位置互换，就可求得反函数。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $