第1卷 集合与充要条件 2026年江苏省（职教高考）《数学真题同源卷》（教师讲解卷）

编写说明：2026年江苏省职教高考《数学真题同源卷》专辑。立足江苏省职教高考数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年江苏省职教高考数学专业《数学真题同源卷》 第1卷 集合与充要条件 （教师讲解卷） 一、集合 【概念回顾】 1.集合的基本概念与运算 （1）集合之间的关系 子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集，记作A⊆B。 真子集：如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B。 相等：集合A与集合B中的所有元素都相同，记作A＝B。 （2）特殊集合：空集 ∅（一切集合的子集）、全集 U （3）集合运算：交集、并集、补集 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 【真题精讲】 1.（江苏省·2025年高考真题）下列对象不能组成集合的是（ ） A. 乖巧听话的孩子 B. 中国古代四大发明 C. 小于30的正整数 D. 26个小写英文字母 2.（江苏省·2024年高考真题）设集合，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 3.（江苏省·2023年高考真题）已知集合，则集合中的元素个数为（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【举一反三】 1.（2022江苏省高考真题）已知集合 M={1，2，3，4}，N = {2，3，5}，则等于等于（ ） A.{1，3} . {2，3} C.{1，2，3，4} D. {1，2，3，4，5} 2.（2021江苏省高考真题）已知集合M＝{1，3}，N＝{1﹣a，3}，若M∪N＝{1，2，3}，则a的值是（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 3.（2020江苏省高考真题）已知集合M=｛1,4｝，N=｛1,2,3｝，则M∪ N等于（ ） A.｛1｝ B.｛2,3｝ C.｛2,3,4｝ D.｛1,2,3,4｝ 4．（山东省·2025年高考真题）已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 5（内蒙古·2025年高考真题）若集合则满足条件的实数x的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【拓展提升】 一、选择题 1．下图中的阴影部分，可用集合符号表示为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题 1．已知集合，，则 . 【点睛】本题考查解一元二次不等式，集合的补集、交集运算，属于简单题. 2．已知，，若，则实数的取值范围 . 三、解答题 1．已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 二、充要条件 【概念回顾】 充要条件 充分条件：p ⇒ q（有 p 必有 q） 必要条件：q ⇒ p（无 p 必无 q） 充要条件：p ⇔ q（p 与 q 等价） 【真题精讲】 1.（江苏省·2025年高考真题）已知是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【举一反三】 1．（山东省·2025年高考真题）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（安徽省·2025年高考真题）已知且，“指数函数为增函数”是“一次函数为减函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（河南省·2025年高考真题）在中，“”是“”的（ ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【拓展提升】 一、选择题 1．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知集合，，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 3．若，是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年江苏省职教高考《数学真题同源卷》专辑。立足江苏省职教高考数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2026年江苏省职教高考数学专业《数学真题同源卷》 第1卷 集合与充要条件 （教师讲解卷） 一、集合 【概念回顾】 1.集合的基本概念与运算 （1）集合之间的关系 子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集，记作A⊆B。 真子集：如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B。 相等：集合A与集合B中的所有元素都相同，记作A＝B。 （2）特殊集合：空集 ∅（一切集合的子集）、全集 U （3）集合运算：交集、并集、补集 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 【真题精讲】 1.（江苏省·2025年高考真题）下列对象不能组成集合的是（ ） A. 乖巧听话的孩子 B. 中国古代四大发明 C. 小于30的正整数 D. 26个小写英文字母 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合中元素的特征，即可求解. 【详解】集合中的元素具有确定性、互异性、无序性． 对于A：“乖巧听话”没有明确的、客观的界定标准，不满足元素的确定性，所以不能组成集合，所以A符合题意； 对于B：“中国古代四大发明”(造纸术、印刷术、火药、指南针)是明确的、确定的，可以组成集合，所以B不符合题意； 对于C：“小于30的正整数”，这些数是明确可确定的，能组成集合，所以C不符合题意； 对于D：“26个小写英文字母”是确定的，也能组成集合，所以D不符合题意. 故选：A. 2.（江苏省·2024年高考真题）设集合，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用元素与集合之间的关系，结合常用数集的定义即可得解. 【详解】对于AB，因为元素与集合之间不能比较大小，故AB错误； 对于CD，因为，且，所以，故C错误，D正确. 故选：D. 3.（江苏省·2023年高考真题）已知集合，则集合中的元素个数为（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】B 【解析】 【分析】考查的知识点：集合的表示方法（描述法）、元素的互异性 【详解】要确定集合B的元素个数，需先根据集合B的描述法求出其所有元素。 已知A={-2, -1, 0, 1, 2}，B = {x| x =, }，即对于A中的每个元素a，计算a^2的值： 当a = -2时，x = = 4； 当a = -1时，x = = 1； 当a = 0时，x = = 0； 当a = 1时，x == 1； 当a = 2时，x == 4。 根据集合元素的互异性（集合中的元素互不相同），集合B ={0, 1, 4}，所以集合B中的元素个数为3个。 故选：B。 【举一反三】 1.（2022江苏省高考真题）已知集合 M={1，2，3，4}，N = {2，3，5}，则等于等于（ ） A.{1，3} . {2，3} C.{1，2，3，4} D. {1，2，3，4，5} 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查集合的交集运算，交集是指由所有既属于集合M又属于集合N的元素所组成的集合。 【详解】 已知集合M ={1, 2, 3, 4}，N ={2, 3, 5}， 则是由同时在M和N中的元素组成，即{2, 3}。 所以，答案选 B. 2.（2021江苏省高考真题）已知集合M＝{1，3}，N＝{1﹣a，3}，若M∪N＝{1，2，3}，则a的值是（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查集合的并集运算，根据并集的结果确定集合\(N\)中的元素，进而求解a的值。 【详解】 ∵M＝{1，3}，N＝{1﹣a，3}，M∪N＝{1，2，3}， ∴1﹣a＝2，解得a＝﹣1． 故选：B. 3.（2020江苏省高考真题）已知集合M=｛1,4｝，N=｛1,2,3｝，则M∪ N等于（ ） A.｛1｝ B.｛2,3｝ C.｛2,3,4｝ D.｛1,2,3,4｝ 【答案】D 【解析】 【分析】考察集合的并集的定义。 【详解】由题可知的定义知，集合的所有元素为1,2,3,4, 则=， 故选：D 4．（山东省·2025年高考真题）已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的运算定义计算即可. 【详解】∵集合，集合， ∴. 故选：C. 5（内蒙古·2025年高考真题）若集合则满足条件的实数x的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的并集得到集合的包含关系，进而求解即可. 【详解】因为集合. 所以. 所以或. 当时，，满足题意. 当时，或（舍去）， 故满足条件的实数有3个. 故选：C. 【拓展提升】 一、选择题 1．下图中的阴影部分，可用集合符号表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】图中阴影部分是集合A与集合B的补集的交集. 【详解】图中阴影部分是集合A与集合B的补集的交集，所以图中阴影部分，可以用表示. 【点睛】本题考查了用韦恩图表示集合间的关系，考查了学生概念理解，数形结合的能力，属于基础题. 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】由已知联立方程组，可得两个集合的交集． 【详解】，， 则， 故选：B 二、填空题 1．已知集合，，则 . 【答案】 【解析】 【分析】对集合进行化简，先求出，根据集合的交集运算，得到答案. 【详解】集合 因为集合 所以 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查解一元二次不等式，集合的补集、交集运算，属于简单题. 2．已知，，若，则实数的取值范围 . 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及集合的包含关系列不等式求参数范围即可. 【详解】由题设，知集合为非空集合，且，则. 故答案为： 三、解答题 1．已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由集合A可得，利用列出不等式组，求出实数的取值范围； （2）若，则，分和两种情况，分别列不等式可得实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以或． 又且， 所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）若（补集思想），则． 当时，，解得； 当时，，即， 要使，则，得． 综上，知时，， 所以时，实数的取值范围是． 二、充要条件 【概念回顾】 充要条件 充分条件：p ⇒ q（有 p 必有 q） 必要条件：q ⇒ p（无 p 必无 q） 充要条件：p ⇔ q（p 与 q 等价） 【真题精讲】 1.（江苏省·2025年高考真题）已知是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充要条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，比如，不能推出． 当成立，那么一定有成立，即由“”能推出“”； 所以“”是“”的必要而不充分条件， 故选：B． 【举一反三】 1．（山东省·2025年高考真题）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合充分性和必要性的概念，即可判断求解. 【详解】若，则一定成立，故充分性成立； 若，则，故必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（安徽省·2025年高考真题）已知且，“指数函数为增函数”是“一次函数为减函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出的范围，再由充要条件的定义即可判断. 【详解】由“指数函数为增函数”可得； 由“一次函数为减函数”可得，即； 所以由“指数函数为增函数”可推得“一次函数为减函数”, 由“一次函数为减函数”可推得“指数函数为增函数”, 即“指数函数为增函数”是“一次函数为减函数”的充要条件. 故选：C. 3．（河南省·2025年高考真题）在中，“”是“”的（ ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】由充要条件的定义及正弦定理即可得解. 【详解】在中，若成立，根据正弦定理，可得. 在三角形中，大边对大角，所以等价于， 所以 . 因为等价于，且，， 所以 . 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 【拓展提升】 一、选择题 1．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及充分条件和必要条件的定义判断． 【详解】当时，成立，故充分性满足， 当时，如，则，故必要性不满足， 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 2．已知集合，，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的子集运算结合充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，，成立； 当时，由集合元素的互异性可知， 又，所以的取值可以是. 因此由不能推出. 所以是的充分不必要条件. 故选：B. 二、填空题 3．若，是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的概念进行求解即可. 【详解】，化简得，解得. 因为，是的必要不充分条件， 说明，推不出. 或，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $