专题07 三角函数与解三角形（期末真题汇编，江苏专用）高三数学上学期

专题07 三角函数与解三角形 10大高频考点概览 考点01 三角函数的概念 考点02 同角三角函数关系与诱导公式 考点03 三角函数图像性质 考点04 三角函数图像变换与性质 考点05 和差角公式与辅助角公式 考点06 二倍角与降幂公式 考点07 三角函数综合应用 考点08 正弦定理解三角形 考点09 余弦定理解三角形 考点10解三角形实际应用 地 城 考点01 三角函数的概念 1．（2023·江苏泰州·期末）欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 地 城 考点02 同角三角函数关系与诱导公式 2．（23-24高三上·江苏淮安·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023高三·江苏南通·期末）函数的最小值 ． 地 城 考点03 三角函数图像与性质 4．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B．S C．T D．R 地 城 考点04 三角函数图像变换与性质 5．（23-24高三上·江苏淮安·期中）（多选）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C． D．是的一个零点 6．（23-24高三上·江苏·期末）（多选）设M，N，P为函数图象上三点，其中，，，已知M，N是函数的图象与x轴相邻的两个交点，P是图象在M，N之间的最高点，若，的面积是，M点的坐标是，则（    ） A． B． C． D．函数在M，N间的图象上存在点Q，使得 7．（23-24高三上·江苏盐城·期末）（多选）关于函数有下列4个结论： ①函数的最小正周期为； ②函数的图象经过点； ③函数的图象关于点对称； ④函数的图象关于直线对称 若这4个结论中恰有3个是正确的，则这3个结论的序号可以是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知函数，若的最小值为，则 ． 9．（23-24高三上·江苏扬州·期末）（多选）已知，若，且是的必要条件，则可能为（    ） A．的最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．在上单调递增 D．在上没有零点 10．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 11．（23-24高三上·江苏·期末）（多选）已知函数（，），且，，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在上单调递减 D．为奇函数 12．（24-25高三上·江苏·期末）设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·江苏南京·期末）已知，函数，若，则（    ） A． B． C． D． 14．（2023·江苏镇江·期末）（多选）已知点是函数的图象的一个对称中心，则（    ） A．是奇函数 B．， C．若在区间上有且仅有条对称轴，则 D．若在区间上单调递减，则或 地 城 考点05 和差角公式与辅助角公式 15．（23-24高三·江苏盐城·期末）的值为 . 16．（江苏省常州市金坛区金沙高级中学2023-2024学年高三上学期期末质量监测数学试卷（艺术类））（多选）下列四个选项中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24江苏南京高三期末数学试题）已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 18．（23-24高三上·江苏扬州·期末）（多选）已知函数满足，其图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则（    ） A． B．函数的图象关于对称 C．可以等于5 D．的最小值为2 19．（2024·江苏常州·期末）已知． (1)当时，求的最小正周期以及单调递减区间； (2)当时，求的值域． 20．（23-24高三上·江苏盐城·期末）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的“曼哈顿距离”为，已知动点在圆上，定点，则两点的“曼哈顿距离”的最大值为 . 21．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知，则（    ） A．0 B． C． D．1 22．（24-25高三上·江苏无锡·期末）在中，内角所对的边分别为（）.已知，则的最大值是 . 23．（23-24高三上·江苏·期末）已知，则（    ） A．3 B． C． D．2 地 城 考点06 二倍角与降幂公式 24．（2024高三·江苏常州·期末）已知角满足，则 25．（24-25高三上·江苏·期末）若函数有零点，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 26．（22-23高三上·江苏无锡·期末）若，，则（    ）． A． B． C． D． 27．（23-24高三上·江苏·期末）若角的终边经过点，则 ． 28．（24-25高三上·江苏镇江·期末）（多选）函数，，的最小正周期为，且方程在上有两个不相等的实数根，则下列说法正确的是（   ） A． B．把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 C． D． 29．（2024·江苏扬州·期末）已知函数，，若有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高三上·江苏苏州·期末）若是函数的一个零点，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 地 城 考点07 三角函数综合应用 31．（2023·江苏南通·期末）（多选）若函数，则（    ） A．的最小正周期为π B．的图像关于直线对称 C．的最小值为-1 D．的单调递减区间为 32．（23-24高三上·江苏泰州·期末）函数，若恰有6个不同实数解，正实数的范围为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高三上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，设都是锐角，若的始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与圆交于点，且满足，则当最大时，的值为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高三上·江苏南通·期末）某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高三上·江苏常州·期末）（多选）对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度（单位：）与时间（单位：）近似地满足函数关系，其中．已知当天开始计时时的温度为，第二天凌晨3：00时温度最低为，则（   ） A． B．当天下午3：00温度最高 C．温度为是当天晚上7：00 D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于 36．（23-24高三上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，若正方形的一边为圆的一条弦，则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 地 城 考点08 正弦定理解三角形 37．（2023·江苏连云港·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求证：； (2)若的角平分线交BC于，且，求面积的取值范围． 38．（23-24高三上·江苏淮安·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，，求. 39．（23-24高三上·江苏扬州·期末）在中，角所对的边分别为. (1)求： (2)若，求的面积. 40．（23-24高三上·江苏无锡·期末）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，且， （1）若，求A及tanC的值； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 41．（2023·江苏扬州·期末）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若的面积为，，点为边的中点，求的长． 42．（2023·江苏盐城·期末）已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)若角，求角； (2)若，求的最大值 43．（23-24高三上·江苏南京·期末）在中，，且的面积为1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 44．（2023·江苏泰州·期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)求的大小； (2)若，求. 45．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知△的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求证：； (2)若的面积为，且，求． 46．（23-24高三上·江苏·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)求角B的大小； (2)若点D在边AC上，BD平分，，求BD长的最大值. 47．（23-24高三上·江苏苏州·期末）在中，角的对边分别为，已知. (1)求证：； (2)若点在边上，且，求的面积. 48．（23-24高三上·江苏南通·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求A和c； (2)若点D在边上，且，求． 49．（23-24高三上·江苏·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，，求； (2)点D在边上，，若，，求a． 50．（23-24高三上·江苏常州·期末）记的内角，，的对边分别为，，，边上的高为，已知． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 51．（24-25高三上·江苏镇江·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 52．（24-25高三上·江苏·期末）在中，，． (1)若，求的值； (2)若为锐角三角形，，求的面积． 地 城 考点09 余弦定理解三角形 53．（2024·江苏镇江·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若D是BC边上一点，AD是的平分线，且，，求的面积. 54．（23-24高三上·江苏扬州·期末）在中，角所对的边分别为，已知，且． (1)求的值； (2)若的面积，求的值． 55．（23-24高三上·江苏泰州·期末）（多选）在中，角、、的对边分别为、、，且，，则以下四个命题中正确的是（    ） A．满足条件的不可能是直角三角形 B．面积的最大值为 C．当时，的内切圆的半径为 D．若为锐角三角形，则 地 城 考点10 解三角形实际应用 56．（23-24高三上·江苏·期末）图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面与平面的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 57．（2023·江苏泰州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为 . 58．（2024·江苏南京·期末）在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是 ，它的外接球表面积的最小值为 . 59．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，设P，Q是E上位于x轴上方的两点，且直线．若则E的离心率为 ． 60．（2024·江苏镇江·期末）如图所示，在平面四边形ABCD中，若，，为正三角形，则面积的最大值为 ． 61．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，求的大小； (3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角函数与解三角形 10大高频考点概览 考点01 三角函数的概念 考点02 同角三角函数关系与诱导公式 考点03 三角函数图像性质 考点04 三角函数图像变换与性质 考点05 和差角公式与辅助角公式 考点06 二倍角与降幂公式 考点07 三角函数综合应用 考点08 正弦定理解三角形 考点09 余弦定理解三角形 考点10解三角形实际应用 地 城 考点01 三角函数的概念 1．（2023·江苏泰州·期末）欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断 【详解】由题意可得：对应的点为， ∵，则， 故位于第二象限. 故选：B. 地 城 考点02 同角三角函数关系与诱导公式 2．（23-24高三上·江苏淮安·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式结合同角三角函数的基本关系可得，，然后根据两角差的正切公式，展开代入，即可得出答案. 【详解】由可得，， 所以，， 所以，. 故选：D. 3．（2023高三·江苏南通·期末）函数的最小值 ． 【答案】/ 【分析】借助三角函数基本关系与基本不等式计算即可得. 【详解】由， 故 ， 由，故、， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 地 城 考点03 三角函数图像与性质 4．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B．S C．T D．R 【答案】C 【分析】根据正弦函数性质求值域得出集合，最后根据并集的定义计算即可. 【详解】因为集合，又集合， 所以. 故选：C 地 城 考点04 三角函数图像变换与性质 5．（23-24高三上·江苏淮安·期中）（多选）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C． D．是的一个零点 【答案】ABC 【分析】根据图像求出函数解析式，然后逐项判断即可. 【详解】由图像可知， 设函数周期为，则由图像知，所以A正确； 则，所以， 由图像知为函数的一个最小值，所以， 得， 所以，所以， 由，得直线为的图象对称轴，B正确； ，所以D错误； ，C正确； 故选：ABC 6．（23-24高三上·江苏·期末）（多选）设M，N，P为函数图象上三点，其中，，，已知M，N是函数的图象与x轴相邻的两个交点，P是图象在M，N之间的最高点，若，的面积是，M点的坐标是，则（    ） A． B． C． D．函数在M，N间的图象上存在点Q，使得 【答案】BCD 【分析】根据三角函数的性质，结合向量的数量积运算即可得，，，进而可判断AB,根据在图象上可得，根据圆的性质即可求解D. 【详解】， 而，故，，，A错误、B正确； ，（），而，故，C正确； 显然，函数的图象有一部分位于以为直径的圆内，当位于以为直径的圆内时，，D正确， 故选:BCD. 7．（23-24高三上·江苏盐城·期末）（多选）关于函数有下列4个结论： ①函数的最小正周期为； ②函数的图象经过点； ③函数的图象关于点对称； ④函数的图象关于直线对称 若这4个结论中恰有3个是正确的，则这3个结论的序号可以是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】AB 【分析】利用二倍角降幂公式结合余弦函数的图象与性质一一分析即可. 【详解】 ①正确，则； ②正确，则，因为，则，则或，则或； ③正确，则； ④正确，则 若①②③正确，则，④不成立，满足条件，A要选； 若①②④正确，则，③不成立，满足条件，B要选； 若①③④正确，则不可能成立，C不选. 若②③④正确，则 或，D不可能， 故选：AB. 8．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知函数，若的最小值为，则 ． 【答案】 【分析】由题意得或，结合题意可得，然后代入求值即可. 【详解】，， 所以，或， ， 所以． 故答案为：. 9．（23-24高三上·江苏扬州·期末）（多选）已知，若，且是的必要条件，则可能为（    ） A．的最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．在上单调递增 D．在上没有零点 【答案】AC 【分析】将各项作为条件，应用正弦型函数的性质求参数，再由必要性定义判断是否满足题设即可. 【详解】A：为的最小正周期为，则，此时是的必要条件，符合； B：为是图象的一条对称轴，则， 所以且，则，此时不是的必要条件，不符合； C：为在上单调递增，则有递增， 所以，即，此时是的必要条件，符合； D：为在上没有零点，则有没有零点， 所以且，则或，此时不是的必要条件，不符合； 故选：AC 10．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由周期公式求得，结合换元法即可求得最大值. 【详解】由题意，解得，所以， 当时，， 所以在区间上的最大值为，当且仅当时等号成立. 故选：C. 11．（23-24高三上·江苏·期末）（多选）已知函数（，），且，，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在上单调递减 D．为奇函数 【答案】BC 【分析】根据，，求得，再逐项判断. 【详解】解：因为函数（，），且， 所以，又，所以，故A错误； ，则， 则， 又，则，所以，故B正确； ，因为，所以，故C正确； ，为偶函数，故D错误， 故选：BC 12．（24-25高三上·江苏·期末）设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的图象经过的点及范围求出，再根据x的范围得，结合正弦函数的性质，列出相应不等式，即可求得范围，即可得答案. 【详解】因为的图象经过点，所以，又，所以， 则函数，当时，， 因为在上恰有2个零点， 所以，所以，即实数ω的取值范围是. 故选：B. 13．（2024·江苏南京·期末）已知，函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得，，从而利用即可求解. 【详解】解：令，，则或， 令，，则， 又，， 所以，，，， 因为，， 所以，， 所以， 故选：B. 14．（2023·江苏镇江·期末）（多选）已知点是函数的图象的一个对称中心，则（    ） A．是奇函数 B．， C．若在区间上有且仅有条对称轴，则 D．若在区间上单调递减，则或 【答案】BC 【分析】根据的对称中心求得，根据奇偶性、对称性、单调性等知识确定正确答案. 【详解】依题意，点是函数的图象的一个对称中心， 所以，且①，B选项正确. 则， 所以 ， 由于是奇数，所以是偶函数， A选项错误. C选项，， 将代入得： ， 整理得， 由于在区间上有且仅有条对称轴， 所以，解得，由于，所以， 对应，所以C选项正确. D选项，在区间上单调递减， ， 将代入得： ， 整理得， 则，解得，而，所以或， 时，，符合单调性， 时，，不符合单调性，所以舍去 所以，所以D选项错误. 故选：BC 地 城 考点05 和差角公式与辅助角公式 15．（23-24高三·江苏盐城·期末）的值为 . 【答案】-2 【分析】将所给式中正切化成正余弦，再借助二倍角公式计算即得. 【详解】 故答案为：-2 16．（江苏省常州市金坛区金沙高级中学2023-2024学年高三上学期期末质量监测数学试卷（艺术类））（多选）下列四个选项中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用拆角与和角公式即可判断A项；逆用两角差的余弦公式即可判断B,C两项；运用诱导公式五先转化部分三角函数式，再逆用公式即可判断D项. 【详解】对于A项, ，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，故D项正确. 故选：BCD. 17．（23-24江苏南京高三期末数学试题）已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，又，可得，解得，可求的值. 【详解】， ，由． ， 又， 所以 所以， 故选：B. 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式应用，通过和差公式凑角解出所求角的三角函数值是此类题常用方法，属于中等题. 18．（23-24高三上·江苏扬州·期末）（多选）已知函数满足，其图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则（    ） A． B．函数的图象关于对称 C．可以等于5 D．的最小值为2 【答案】BCD 【分析】对于A，先由，利用辅助角公式化简，从而得到，由此得解；对于B，利用代入检验法即可；对于C，利用正弦函数的单调性，结合数轴法得到关于的不等式组，结合与即可得到的一个取值为，由此判断即可；对于D，结合选项C中的结论，分析的取值范围即可求得的最小值. 【详解】对于A，因为， ， 所以， 则，又，故，故A错误； 对于B，由选项A得， 所以，故是的一个对称中心，故B正确； 对于C，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则， 因为在上单调递减， 所以，解得， 当时，，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，则，又，故， 当时，，可知，故D正确. 故选：BCD. 19．（2024·江苏常州·期末）已知． (1)当时，求的最小正周期以及单调递减区间； (2)当时，求的值域． 【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）应用辅助角公式化简函数，应用公式求得，应用整体代入法即可求单调区间； （2）应用换元法，设，则函数转化为，，即可求解. 【详解】（1）当时，，， 令，，得，， 所以函数的最小正周期为，单调递减区间为． （2）当，， 设，则， 令，，又， 故当时，取得最大值，当时，取得最小值， 所以的值域为． 20．（23-24高三上·江苏盐城·期末）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的“曼哈顿距离”为，已知动点在圆上，定点，则两点的“曼哈顿距离”的最大值为 . 【答案】 【分析】设点，根据曼哈顿距离公式结合三角函数的性质即可得出答案. 【详解】由题意，设点，则两点的曼哈顿距离为， 当且仅当，时等号成立， 所以两点的曼哈顿距离最大值为. 故答案为：. 21．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知，则（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】由两角和与差的三角函数，结合求解. 【详解】已知， 则， ， ，， 则，， 则 . 故选：A. 22．（24-25高三上·江苏无锡·期末）在中，内角所对的边分别为（）.已知，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】根据条件，利用正弦定理边转角得到，，从而有，构造函数，，利用导数，求出的单调区间，即可求解. 【详解】由，则由正弦定理可得，， 所以或，而，且，即， 所以，且，即， ， 令，则，所以， 当时，，则在上递增； 当时，，则在上递减； 所以. 故答案为：. 23．（23-24高三上·江苏·期末）已知，则（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用辅助角公式结合同角关系式结合条件可得，然后利用诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以，故. 故选：A 地 城 考点06 二倍角与降幂公式 24．（2024高三·江苏常州·期末）已知角满足，则 【答案】 【分析】根据诱导公式，结合余弦的二倍角公式进行求解即可. 【详解】因为，所以有： 故答案为：. 25．（24-25高三上·江苏·期末）若函数有零点，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二次函数有零点求出，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】函数有零点，则，解得， 而，因此，， 所以的取值集合为. 故选：D 26．（22-23高三上·江苏无锡·期末）若，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据确定得到，根据得到，得到答案. 【详解】，即，，故， ，故，故，故， ，，故． 故选：D 27．（23-24高三上·江苏·期末）若角的终边经过点，则 ． 【答案】/-0.96 【分析】利用任意角三角函数定义求出的三角函数值，利用两角差的余弦公式求出，最后利用二倍角公式得出答案即可. 【详解】由任意角三角函数定义得，， 故， 由二倍角公式得. 故答案为： 28．（24-25高三上·江苏镇江·期末）（多选）函数，，的最小正周期为，且方程在上有两个不相等的实数根，则下列说法正确的是（   ） A． B．把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，求出解析式并结合图象变换判断AB；由给定实根计算判断CD. 【详解】依题意，函数， 由的最小正周期为，得，解得， 对于A，，A错误； 对于B，把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得， 则，B正确； 对于C，当时，，而正弦函数在上的图象关于直线对称， 依题意，，解得，C正确； 对于D，由，得，解得， 由选项C知，，因此，D正确. 故选：BCD 29．（2024·江苏扬州·期末）已知函数，，若有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义，结合余弦函数的性质求出，再逐项计算判断即得. 【详解】由，得，而，则，， ，因此，解得， 由，得或，于是， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用余弦函数的性质，结合零点的意义求出两个零点是解题之关键. 30．（23-24高三上·江苏苏州·期末）若是函数的一个零点，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】由利用正余弦的二倍角公式计算可得，再由得，根据求出，代入即可. 【详解】因为， 所以 ， 可得，， 即，解得， 由， 可得，即， ， 因为，所以，解得， . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的解题的关键点是根据利用正余弦的二倍角公式求出的值. 地 城 考点07 三角函数综合应用 31．（2023·江苏南通·期末）（多选）若函数，则（    ） A．的最小正周期为π B．的图像关于直线对称 C．的最小值为-1 D．的单调递减区间为 【答案】BCD 【分析】先求出的定义域，再对四个选项一一验证：对于A：利用定义法判断出的最小正周期；对于B：由，即可判断；对于C：设，得到利用导数求出，即可判断；对于D：利用复合函数单调性法则直接判断. 【详解】由得的定义域为. 对于A：当时，不在定义域内，故不成立，易知的最小正周期为，故选项错误； 对于B：又，所以的图像关于直线对称，所以选项正确； 对于C：因为，设，所以函数转化为， 由得，.得.所以在上单调递减，在上单调递增，故，即，故选项正确； 对于D：因为在上单调递减，在上单调递增，由，令得，又的定义域为，解得， 因为在上单调递增，所以的单调递减区间为， 同理函数的递增区间为，所以选项D正确. 故选：BCD. 32．（23-24高三上·江苏泰州·期末）函数，若恰有6个不同实数解，正实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求出参数范围即可. 【详解】由题知， 的实数解可转化为或的实数解，即， 当时， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 如图所示： 所以时有最大值： 所以时，由图可知， 当时，因为，， 所以， 令，则 则有且，如图所示： 因为时，已有两个交点， 所以只需保证与及与有四个交点即可， 所以只需，解得． 故选：D 33．（23-24高三上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，设都是锐角，若的始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与圆交于点，且满足，则当最大时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义，由，有，利用两角差的正弦公式化简得，由两角差的正切公式结合基本不等式求的最大值，再由倍角公式求的值. 【详解】由，有，即， 则有，得， ，当且仅当时等号成立， 是锐角，所以当最大时，， 则. 故选：B. 34．（23-24高三上·江苏南通·期末）某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知作图如图所示，设，利用三角函数表示各边长，借助三角函数性质计算可得结果. 【详解】如图所示，， 令，则，则， ，则 周长 ， 故选：D． 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用三角函数的定义表示出所求周长，再利用三角恒等变换即可得解. 35．（23-24高三上·江苏常州·期末）（多选）对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度（单位：）与时间（单位：）近似地满足函数关系，其中．已知当天开始计时时的温度为，第二天凌晨3：00时温度最低为，则（   ） A． B．当天下午3：00温度最高 C．温度为是当天晚上7：00 D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于 【答案】ABD 【分析】A选项，根据题意得到时，，时温度最低，为，然后带入解析式得到；BCD选项，根据三角函数的性质判断. 【详解】时，，， 第二天凌晨3：00最低为，此时， ∴，∴，A对． ，令即时取最大值，对应下午3：00，B对． ，或10，上午11：00或下午7：00，C错． 时，，D对. 故选：ABD． 36．（23-24高三上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，若正方形的一边为圆的一条弦，则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】令，利用对称性及数形结合有最大则，在中应用余弦定理及倍角正余弦公式、辅助角公式得，结合正弦型函数性质求最大值. 【详解】令且，，要使最大有， 如下图示，在中， 所以 ， 当且仅当时， 所以的最大值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：令，应用所设参数表示出为关键. 地 城 考点08 正弦定理解三角形 37．（2023·江苏连云港·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求证：； (2)若的角平分线交BC于，且，求面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理，结合正弦函数的单调性进行求解即可； （2）根据正弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得 又，所以 因为为锐角三角形，所以，， 又在上单调递增，所以，即； （2）由（1）可知，，所以在中，， 由正弦定理得：，所以， 所以． 又因为为锐角三角形，所以，，，解得， 所以，即面积的取值范围为． 38．（23-24高三上·江苏淮安·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可结合和差角公式化简求解， （2）根据同角关系以及正弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理及条件得： ∵为的内角， ∴,∴，， 又,所以 （2）由（1）知：， ∵，且， ∴， 由正弦定理得，且， ∴，∴ 39．（23-24高三上·江苏扬州·期末）在中，角所对的边分别为. (1)求： (2)若，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用正弦边角关系及已知得 ，由和角正弦公式化简、三角形内角和性质求即可； （2）法一：应用余弦定理求得，再应用三角形面积公式及已知求面积；法二：根据（1）结论及同角三角函数关系得，再由正弦定理得，最后应用三角形面积公式及已知求面积. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 又，所以， 又，所以， 所以，，所以，故， 所以. （2）法一：在中，由余弦定理得， 又，所以，解得， 所以. 法二：由（1）知，又，解得. 在中，由正弦定理得，所以， 所以. 40．（23-24高三上·江苏无锡·期末）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，且， （1）若，求A及tanC的值； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】（1）A=；tanC=；（2）. 【详解】（1）因为，所以，由余弦定理可得：，而，所以, 所以. （2）由正弦定理得， 所以，则 , 因为ABC是锐角三角形，所以，则， 所以，所以三角形周长. 41．（2023·江苏扬州·期末）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若的面积为，，点为边的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得到，再利用余弦定理求出； （2）在第一问的基础上，结合，利用三角恒等变换求出，进而由三角形面积得到，由余弦定理求出答案. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得， 又，所以． （2）因为， 所以， 即， 又，则，所以， 所以，， 所以， 所以，故，， 故在中，由余弦定理可得， 则． 42．（2023·江苏盐城·期末）已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)若角，求角； (2)若，求的最大值 【答案】(1) (2)最大值为 【分析】（1）运用两角和差的正余弦公式进行化简即可； （2）根据（1）中结论运用正弦定理得到，然后把表示为的函数，再利用降次公式化简，结合内角取值范围及求解. 【详解】（1）由题意知. 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 由角，所以. （2）由（1）知，所以，， 因为，所以， 由正弦定理得：，所以， 因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，且，则有，得，所以， 由二次函数的性质可得，当时，取得最大值， 所以的最大值为. 43．（23-24高三上·江苏南京·期末）在中，，且的面积为1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知利用三角形面积公式可得，由余弦定理可求得，利用辅助角公式和正弦函数的性质运算即可得解. 【详解】解：∵的面积为1，且， ∴， ∴， ∵根据余弦定理得： ， 即，可得：， ∴，， 则，∵， ∴，解得：， ∴的最小值为. 故选：B. 44．（2023·江苏泰州·期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)求的大小； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简得，从而求出角； （2）利用同角三角函数关系及两角和公式求解，然后利用正弦定理求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 即，所以， 因为，所以，所以， 又，所以. （2）因为，所以. 因为， 所以. 45．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知△的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求证：； (2)若的面积为，且，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：利用余弦定理化角为边，再结合余弦定理及二倍角的余弦公式即可得解； 方法二：利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式即可得解； （2）方法一：由（1）结合余弦定理及平方关系求出，再根据三角形的面积公式即可得解. 方法二：利用正弦定理结合（1）中结论求出，再根据求出，根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）证明：（方法一）由余弦定理，得， 又∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，∴； （方法二）由正弦定理，得， ∴， ∵，，为△的内角，∴， ∴， ∴， 即， 又∵，∴； （2）（方法一）由（1）可知， ∵，∴，即， ∴， ∵，∴ ，， ∴， ∴． （方法二）由正弦定理，得，即， ∴，又∵，∴， ∴， ∴，∴， ∴， ∴， ∴． 46．（23-24高三上·江苏·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)求角B的大小； (2)若点D在边AC上，BD平分，，求BD长的最大值. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据同角的三角函数关系式中的商关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可； （2）根据三角形内角平分线的性质，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 由得， 所以，即. 因为，所以.又， 所以.因为，所以. （2） 由， 得， 所以，在中，由余弦定理得， 所以， 从而，当且仅当取等号. 则， 当且仅当取等号，则长的最大值为3. 47．（23-24高三上·江苏苏州·期末）在中，角的对边分别为，已知. (1)求证：； (2)若点在边上，且，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和正弦公式以及诱导公式即可得证. （2）首先在和中，运用两次余弦定理，得，，结合平方关系、三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）因为，由正弦定理知， 所以， 所以3， 即， 因为， 所以，所以. （2）在中，， 在中，， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以. 48．（23-24高三上·江苏南通·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求A和c； (2)若点D在边上，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两角和正切得，进一步得，结合正弦定理即可求解. （2）由结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）， 且，， 在中，． （2）设， ， 或14， ，，即． 49．（23-24高三上·江苏·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，，求； (2)点D在边上，，若，，求a． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求出，再利用正弦定理求出； （2）在，中分别利用余弦定理列式可得，再由条件切化弦，根据正、余弦定理化简得，运算求得. 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得，即，所以． ， 由正弦定理，得，所以． （2）因为，，所以，． 在中，由余弦定理得，即， 在中，由余弦定理得，即， 所以，即① 因为，所以．又，由正弦定理得， ，即，则② 联立①②可得，所以． 50．（23-24高三上·江苏常州·期末）记的内角，，的对边分别为，，，边上的高为，已知． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或2 (2) 【分析】（1）由余弦定理和面积公式，结合条件即可得出答案； （2）由面积公式和正弦定理化简求出A，即可得出答案. 【详解】（1）余弦定理得， ，又，所以，代入， ，或2． （2） 由正弦定理得，又， ， ， ，， ， ，， ，， ． 51．（24-25高三上·江苏镇江·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由正余弦定理得，接着切化弦得，从而求得即可得解. （2）先由余弦定理得，接着由平方得，由正弦定理边化角结合三角恒等变换公式计算化简得，再结合角B的取值范围即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正余弦定理得， 又， 所以，又是锐角三角形，所以， 所以，所以， 又，所以. （2）由余弦定理可得，即， 又， 所以， 又由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由题意得，解得，则， 所以，所以， 所以，所以线段长的取值范围为. 52．（24-25高三上·江苏·期末）在中，，． (1)若，求的值； (2)若为锐角三角形，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式以及正弦定理即可求得结果. （2）利用同角三角函数的平方关系先求出的值，再正弦定理即可求得， 进而求得,利用三角形的面积公式即可求的结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以，在中，由正弦定理得， 而，，所以． 因为，所以． （2）在中，因为，所以， 由正弦定理得，所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以 ， 所以的面积． 地 城 考点09 余弦定理解三角形 53．（2024·江苏镇江·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若D是BC边上一点，AD是的平分线，且，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知等式利用二倍角公式和诱导公式化简，再用正弦定理角化边，用余弦定理求得，可得角. （2）由，由三角形面积公式和余弦定理，求出，可求的面积. 【详解】（1）因为， 由二倍角公式和诱导公式可得， 整理得， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 又，所以. （2）如图所示，， D是BC边上一点，AD是的平分线，且，， 由于，则， 得，又，所以， 解得或（舍去）， 所以. 54．（23-24高三上·江苏扬州·期末）在中，角所对的边分别为，已知，且． (1)求的值； (2)若的面积，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合余弦定理，化简整理得到的值. （2）先利用三角形面积公式得的值，再结合题意利用余弦定理得，进而列方程组得到的值. 【详解】（1）由题意，将 代入， ，即，所以． 故. （2）由于， 又为锐角，即. ，. 所以，结合解得. 故. 55．（23-24高三上·江苏泰州·期末）（多选）在中，角、、的对边分别为、、，且，，则以下四个命题中正确的是（    ） A．满足条件的不可能是直角三角形 B．面积的最大值为 C．当时，的内切圆的半径为 D．若为锐角三角形，则 【答案】BC 【分析】确定，举反例得到A错误，设，则，根据余弦定理结合面积公式计算，B正确，确定，根据等面积法计算得到C正确，计算得到，D错误，得到答案. 【详解】，则， 对选项A：取，则，，故，是直角三角形，错误； 对选项B：设，则，，， ，当时，最大为，正确； 对选项C：时，，， ， ，故，设内切圆的半径为， 则，解得，正确； 对选项D：为锐角三角形，则，即，解得， 且，即，解得，故，错误； 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握余弦定理，从而得解. 地 城 考点10 解三角形实际应用 56．（23-24高三上·江苏·期末）图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面与平面的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接相交于点，取的中点，可得即为平面与平面的夹角，设，在中由余弦定理可得答案. 【详解】连接相交于点，连接，平面， 取的中点，连接， 因为，所以， 所以即为平面与平面的夹角，即， 设，则，所以， ， 在，由余弦定理得. 故选：C. 57．（2023·江苏泰州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可. 【详解】 因为倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点， 可知直线的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角， 即， 设，则，根据可知， 在中，由余弦定理可知， 即， 则， 故 故答案为： 58．（2024·江苏南京·期末）在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是 ，它的外接球表面积的最小值为 . 【答案】 【分析】根据余弦定理以及不等式可得，进而可求解面积的最大值，进而根据，即可求解高的最大值，进而可求解体积，根据正弦定理求解外接圆半径，即可根据球的性质求解球半径的最小值，即可由表面积公式求解. 【详解】由余弦定理可得, 故，所以， 当且仅当时取等号，故， 故面积的最大值为， ， 由于，所以点在以为直径的球上（不包括平面），故当平面平面时，此时最大为半径， 故， 由正弦定理可得：，为外接圆的半径， 设四面体外接球半径为,则,其中分别为球心和外接圆的圆心，故当时，此时最小， 故外接球的表面积为, 故答案为：,    59．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，设P，Q是E上位于x轴上方的两点，且直线．若则E的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆定义用表示，再利用余弦定理可解. 【详解】设，则，又 由椭圆定义，得， 所以 又因为，所以， 所以． 故答案为：. 60．（2024·江苏镇江·期末）如图所示，在平面四边形ABCD中，若，，为正三角形，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题首先可以先设、，然后通过余弦定理得出以及，再然后通过正弦定理得出，最后根据解三角形面积公式即可得出结果． 【详解】设，， 由余弦定理可得，， 由正弦定理可得，即， 所以， ， 故当时，面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查解三角形的相关公式的使用，考查推理能力与计算能力，考查化归与转化思想，体现了基础性和综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题． 61．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，求的大小； (3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则双曲线方程可知； （2）根据双曲线的定义求解出，在中利用余弦定理求解出的值，则的大小可知； （3）当的斜率不存在时，直接分析即可，当的斜率存在时，设出的方程并与双曲线方程联立，得到横坐标的韦达定理形式，根据进行化简计算，从而判断出是否存在. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 所以双曲线的方程为：； （2）因为，所以，且， 所以， 所以的大小为； （3）假设存在满足要求， 当的斜率不存在时，，由解得， 所以，所以不垂直，故不满足要求； 当的斜率存在时，因为与双曲线有两个交点，所以，即， 设，， 联立可得， 且，即， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 所以也不满足要求， 故假设不成立，即不存在直线，使得点在以为直径的圆上. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键在于：将“以为直径的圆过点”转化为“”，从而转化为坐标之间的运算. 试卷第1页，共3页 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $