专题02 解直角三角形之实际应用模型（几何模型讲义）数学浙教版九年级下册

专题02 解直角三角形重要模型之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.背靠背模型 4 模型2.母子模型 7 模型3.拥抱模型 12 15 解直角三角形在实际应用中的模型不仅具有严谨的数学逻辑，还蕴含许多有趣的工程故事与历史背景。 1）古埃及人测量金字塔高度时，利用日影长度与木桩构造直角三角形，通过相似三角形原理计算高度，堪称最早的“背靠背模型”实践‌。现代无人机航测中，该模型通过双观测点仰角数据，将不可达高度转化为三角函数关系，误差可控制在厘米级。 2）山区修建拦水坝时，工程师通过坡面铅直高度与水平宽度的比例关系，建立母子三角形同步推导坝体参数。某案例中，仅用两个观测点的数据便精准计算出倾斜角度，节省了30%的勘测成本。‌ 解直角三角形中的实际应用模型源于实际问题抽象为几何结构，培养数学建模能力，其思想在工程测绘、建筑设计中具有重要实践意义，并为中考动态几何题提供系统化框架‌。 （2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上）。(1)求两滑梯的高度差；(2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） （2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 1）背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 2）母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 3）拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 模型1.背靠背模型 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图①是一种常用于危险区域提示的告示牌，其主体由两片长度相等的支撑板组成，通过改变两片支撑板的夹角的度数可以调整告示牌的高度，图②是告示牌打开后的侧面示意图，经测量支撑板的长度，支撑板与地面的夹角，求点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 2．（2025·安徽淮南·一模）下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量合肥渡江战役纪念馆胜利塔高度”之后撰写的项目报告． 项目主题 测量合肥渡江战役纪念馆胜利塔高度 项目背景 合肥渡江战役纪念馆胜利塔作为重要的红色文化地标，其高度是一项关键数据．为了让大众更深入地了解胜利塔，某中学数学兴趣小组开展了测量胜利塔高度的实践活动 测量工具 测角仪 测量示意图      测量过程 1．在距离胜利塔底部一定距离的地面C处放置测角仪，测角仪高度为，测得胜利塔顶部A的仰角为 2．在与C处水平距离为的地面E处放置另一测角仪，测角仪EF高度同样为，测得胜利塔顶部A的仰角为 请根据表中的测量数据，计算胜利塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 3．（2026·湖北·模拟预测）武汉市“楚天之眼”摩天轮于2025年7月正式营业，该摩天轮采用独特的鱼鳍状大立架，突破传统摩天轮的造型局限．图①是武汉市“楚天之眼”摩天轮，图②是测量“楚天之眼”摩天轮高度的示意图．某数学兴趣小组利用所学知识开展“测量楚天之眼摩天轮高度”的综合实践活动，并写出如表报告，请完成任务． 课题 测量楚天之眼摩天轮高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量 示意图 测量过程 如图②，测量小组使用无人机在点C处竖直上升至点D处，在点D处测得摩天轮顶部A的仰角为，然后以的速度沿水平方向向左飞行至点E处，在点E处测得摩天轮顶部A的仰角为，底部B的俯角为． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点B，C在同一水平线上．（参考数据：，，，） 任务 求楚天之眼摩天轮的高度．（结果精确到） 4．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，先将两块含的三角板和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接，设． (1)当时，_______；当时，_______； (2)当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积； (3)如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 _______． 5．（2025·陕西·模拟预测）如图，数学活动实践课上，小浩所在的小组用无人机测量某栋教学楼的高度．测量方法如下：无人机从水平地面的中点处竖直上升26m到达点处，测得实验楼顶部的俯角为，教学楼顶部的俯角为．已知m，点在同一平面内，求教学楼的高度．（结果精确到m；参考数据：） 模型2.母子模型 6．（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）麦积山位于甘肃省天水市麦积区，是小陇山中的一座孤峰，因山形酷似麦垛而得名．麦积山石窟始建于年，存有座洞窟、身泥塑石雕、余平方米壁画，以其精美的泥塑艺术闻名世界，被誉为东方雕塑艺术陈列馆．某学习小组把测量本城市麦积山（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量麦积山最高点离地面的高度 示意图 说明 如图，麦积山的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点均在同一竖直平面内，点在同一条直线上． 测量数据 的度数 的度数 的长度 仪器（）的高度 米 米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出麦积山最高点离地面的高度．（参考数据 7．（2026九年级·贵州·专题练习）某数学兴趣小组测量一座塔的高度AB，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离塔底B点45m远的D处竖立一根高2.4m的标杆CD，小明站在距离标杆1m的点F处，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，，，，点B，D，F，M在同一直线上． 方案二：如图2，小华拿着一把长为22cm的直尺CD站在与塔AB距离45m的地方（即点E到AB的距离为45m），他把手臂向前伸，尺子竖直，，尺子两端恰好遮住塔AB（即A，C，E在一条直线上，B，D，E在一条直线上），已知点E到直尺CD的距离为30cm． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求塔的高度AB． 8．（2025九年级·全国·专题练习）如图，表示某小区一段长为20m的斜坡，坡角于点．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为．求： (1)该斜坡的高度． (2)改造后斜坡的长（结果精确到0.1m，参考数据：，，）． 9．（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，） 10．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1是某学校门口安装的一款体温测量门，当学生从校门外进入学校时，体温门的显示屏上会出现该学生的体温．如图2，当小明从校外走到点处时，测量门的显示屏上开始显示额头温度，此时，在额头处测得门顶端的仰角；当小明向前行进到点处时，测量门停止显示额头温度，此时在额头处测得门顶端的仰角．已知测量门顶端距离地面的高度为，小明的身高为，请求出小明的有效测温区间的长．（额头到地面的距离以身高计，结果精确到．，，，， 模型3.拥抱模型 例1（2024·河北·校考一模）如图，在一居民楼AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为38°．从距离楼底B点2米的P处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为28°．已知树高EF＝8米，求塔CD的高度．（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5） 例2（2024·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中，），具体操作如下：将平面镜水平放置于处，小茜站在处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端处（为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字底端处．测得，，点，，，在同一水平线上，点，，在同一铅垂线上．（参考数据：，，）(1)的高度为______，的长为______；(2)求“美”字的高度． 例3（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．(1)求点离水平地面的高度．(2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 11．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在一个坡角为的斜坡上有一棵树，高为，当太阳光线与水平线成角时，测得该树斜坡上的树影的长为，延长，交过点的水平线于点，求与树高（精确到），（已知，，，，，．供选用）． 13．（25-26九年级上·全国·期末）某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图①是悬挂巨大匾额的古塔，图②中的线段是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C，仰角，继续向前行走，从点E处看点B，仰角，且点D到点E走了2.2米．求匾额悬挂的高度．（参考数据：，，） 14．（2025·青海西宁·一模）今年年初西南五省的持续干旱，让许多网友感同身受、焦灼不安，更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水．功夫不负有心人，终于有人在山洞处发现了暗河（如图）．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着，两村庄，山洞位于村庄南偏东方向，且位于村庄南偏东方向．为方便，两村庄的村民取水，社会爱心人士准备尽快从山洞处向公路紧急修建一条最近的简易公路现已知，两村庄相距千米． (1)求这条最近的简易公路的长（保留3个有效数字）； (2)每修建千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用． 本题参考数据：， 15．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 16．（24-25八年级下·北京·期末）中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点处用高的测角仪测得塔尖的仰角为，向塔的方向前进到达处，在处测得塔尖的仰角为，请你求出中央电视塔的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，．） 17．（2024·湖北·模拟预测）塔在古代扮演了多种重要角色，从防御、交通到通信，再到文化和教育的象征，展现了人类智慧和文化的多样性．如图，小明在某公园的处仰望一座塔的塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进5米至处，测得塔顶的仰角为．已知小明眼睛到地面的距离为1.5米，在同一平面内，求该塔的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：） 18．（2015·浙江杭州·二模）如图，A，B两个城市相距，现计划在这两座城市之间修建一条笔直的高速公路，经测量森林保护区中心M在城市A的北偏东和B城市的北偏西30°的方向上，已知森林保护区的范围在以M为圆心，以为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿过该森林保护区，为什么？（参考数据：，）    19．热气球的探测器显示，从热气球看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66米． (1)求热气球所在的高度；（精确到1米） (2)如果，求这栋楼的高度．（精确到1米） 20．（2025·辽宁·模拟预测）某学校开展综合实践活动，如图，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到 E 点的距离为．楼房底层窗台P 处至地面C 处的高度为，在点P 处观察点B 的仰角为，底部C 距 F处距离为．图中所有点均在同一平面内，． (1)求山坡的垂直高度； (2)求楼房的高度．（参考数据：，，结果精确到） 21．（2024·湖南长沙·模拟预测）某次海上搜救行动中，搜救船正以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，搜救船匀速行驶小时后到达处，又测得小岛在它的北偏西方向．已知小岛上有火山喷发，对周围的搜救行动均有干扰作用，试判断该搜救船在航行过程中是否会受到干扰（参考数据：，．结果精确到）． 22．（25-26九年级上·上海·阶段练习）某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下： 【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度． 【测量方案】示意图如图所示： 1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角； 2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角； 3．测量之间的距离； 4．测量斜坡的坡角． 【测量数据】 1．在点处测得的仰角为； 2．在点处测得的仰角为； 3．； 4．斜坡的坡角为． 请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：， 23．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）渠县賨人谷是国家级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形，想法测出了尾部看头顶的仰角为，从前脚落地点看上嘴尖的仰角刚好．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是．请你算下： (1)的长度； (2)的长度．（结果精确到．参考数据：；） 24．（25-26九年级上·上海·阶段练习）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（，垂足为H），在B，C处与篮板连接（），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）． 已知，，，测得时，点C离地面的高度为.调节伸缩臂，将由调节到． 请判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：，．） 25．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）万佛塔（如图1），老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年，素有“浙江第一塔”之称，抗战期间被拆，2014年启动复建．如图2，是小明测量塔高的示意图．已知测角仪的高度为，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点D处看塔顶P的仰角为． (1)求点D与塔顶P的距离； (2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求塔的高度（参考数据：，，结果精确到0.1米）． 26．（24-25九年级下·海南海口·阶段练习）2025年4月29日，新一代运载火箭长征五号将中国航天器“天和”号核心舱送入预定轨道，标志着中国空间站时代即将开启，根据观测，运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得米，仰角为，经过3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为．已知C，D相距460米． (1) 米； (2)求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米，参考数据：，，）． 27．（2024·湖南·模拟预测）每年12月2日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为6米．现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，如图，汽车里司机A与斑马线前后两端的视角，的大小分别为和，司机与车头的水平距离为1米，与车顶的垂直距离为米． (1)旅游车高约多少米？ (2)为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得小于3米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？（E，D，C，B四点在平行于斑马线的同一直线上）（参考数据：，，，，） 28．（2024·山西·模拟预测）百团大战纪念碑（主碑）坐落于山西省阳泉市狮脑山主峰上，雄伟壮观，形如一把锋利的刺刀．某校项目学习小组的同学把“测量百团大战纪念碑（主碑）的高度”作为项目学习课题，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告：    项目课题 测量百团大战纪念碑（主碑）的高度 驱动问题 你如何用所学知识测量百团大战纪念碑（主碑）的高度？ 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 人员分工 测量组：×××    记录组：××× 测量方案 方案一：   说明：如图1，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测点，与点B在同一条水平直线上，且测得.，，，点，，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上 方案二：   说明：如图，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测得的长度和的度数，点，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点，在同一条直线上 方案论证 计算结果 交流展示 项目反思 请根据活动报告，完成下面的问题： (1)根据方案一所测数据，计算百团大战纪念碑（主碑）的高度，（结果精确到；参考数据：，） (2)根据方案二的测量过程，项目学习小组最终选择方案一进行测量和计算，请你说明他们这样选择的理由． 29．（2024·陕西·模拟预测）某数学兴趣小组测量校园内一棵古树（古树四周有栅栏）高度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量古树的高度（古树底部不能到达） 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据 （，为同一人眼睛到地面的距离，） 项目 第一次 第二次 平均值 步骤四：计算古树的高度 请结合以上信息解答下列问题： (1)表格中的值为____； (2)请完成步骤四：计算古树的高度．（参考数据： ，， ，，，） 30．（2024九年级下·天津河西·学业考试）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为（单位：）． ①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 31．（2025九年级·江西·专题练习）舞狮文化源远流长，其中舞狮（如图①）是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，是传承中国传统文化的重要载体．如图②，在舞狮表演中，梅花桩AB，CD，EF均垂直于地面，且B，D，F三点在一条直线上．测得，且AB桩与EF桩的高度差为，两桩的距离BF为． (1)舞狮人从点A跳跃到点C，随后再跳跃到点E，所成的角_________． (2)求桩AB与桩CD之间的距离BD的长（结果保留根号） 32．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）国庆假期，小明和小蓝怀着对革命历史的崇敬，从某红色景区入口．开启红色之旅．因参观的景点不同，两人决定各自沿不同路线参观，再到达位于入口A正东方向的景点处汇合．如图为路线平面示意图，小明从入口出发，沿北偏东方向走到达景点，参观24分钟，接着沿东南方向到达景点、小蓝从入口出发，沿北偏东方向到达景点，参观15分钟后，沿南偏西方向到达景点．（参考数据：，， (1)求入口与景点之间的距离；（结果精确到） (2)若小明步行的速度为，小蓝步行的速度为，且两人同时出发，请计算并说明小明和小蓝谁先到达景点？（结果精确到） 33．（24-25九年级下·全国·单元测试）图①是一台实物投影仪，图②是其侧面的抽象示意图，是支架的一部分，垂直于水平地面，投影仪可绕点A转动．投影光线与投影仪近似在同一直线上，且光斑E位于屏幕的正中心．经测量，，点F到水平地面的距离为． (1)若点D，F在同一水平线上，且两点之间的距离为，，求： ①与水平地面的夹角； ②光斑E到水平地面的距离． (2)在（1）的状态下，将投影仪后移，转动，使得投影光线的光斑仍在点E处．请判断投影仪与水平地面的夹角如何改变． （参考数据：） 34．（2024九年级下·全国·专题练习）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装扶梯，截面图如下图所示．底层与层平行，层高为9m，点之间的距离为6m，（参考数据：，，）． (1)身高1.9m的人在竖直站立的情况下搭乘扶梯，在处______碰到头（填“会”或“不会”）． (2)若采取中段平台设计（如折线所示），已知平台，且段和段的坡度．求平台的长度． 35．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解直角三角形重要模型之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.背靠背模型 4 模型2.母子模型 7 模型3.拥抱模型 12 15 解直角三角形在实际应用中的模型不仅具有严谨的数学逻辑，还蕴含许多有趣的工程故事与历史背景。 1）古埃及人测量金字塔高度时，利用日影长度与木桩构造直角三角形，通过相似三角形原理计算高度，堪称最早的“背靠背模型”实践‌。现代无人机航测中，该模型通过双观测点仰角数据，将不可达高度转化为三角函数关系，误差可控制在厘米级。 2）山区修建拦水坝时，工程师通过坡面铅直高度与水平宽度的比例关系，建立母子三角形同步推导坝体参数。某案例中，仅用两个观测点的数据便精准计算出倾斜角度，节省了30%的勘测成本。‌ 解直角三角形中的实际应用模型源于实际问题抽象为几何结构，培养数学建模能力，其思想在工程测绘、建筑设计中具有重要实践意义，并为中考动态几何题提供系统化框架‌。 （2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上）。(1)求两滑梯的高度差；(2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴，答：两滑梯高度差为 （2）解：在中 ，，，∴， 在中，，，∴， ∴答：长． （2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】世纪钟建筑的高度约为 【详解】解：如图，延长与相交于点，根据题意，可得， 有，，，，， 在Rt中，，，在中，，． ，．． ．答：世纪钟建筑的高度约为． 1）背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 2）母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 3）拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 模型1.背靠背模型 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图①是一种常用于危险区域提示的告示牌，其主体由两片长度相等的支撑板组成，通过改变两片支撑板的夹角的度数可以调整告示牌的高度，图②是告示牌打开后的侧面示意图，经测量支撑板的长度，支撑板与地面的夹角，求点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，结合正弦函数的应用解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，正弦函数的应用，熟练掌握性质和正弦函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，点处到地面的距离为， ∴于点D， ∵， ∴ 答：点到地面的距离为． 2．（2025·安徽淮南·一模）下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量合肥渡江战役纪念馆胜利塔高度”之后撰写的项目报告． 项目主题 测量合肥渡江战役纪念馆胜利塔高度 项目背景 合肥渡江战役纪念馆胜利塔作为重要的红色文化地标，其高度是一项关键数据．为了让大众更深入地了解胜利塔，某中学数学兴趣小组开展了测量胜利塔高度的实践活动 测量工具 测角仪 测量示意图      测量过程 1．在距离胜利塔底部一定距离的地面C处放置测角仪，测角仪高度为，测得胜利塔顶部A的仰角为 2．在与C处水平距离为的地面E处放置另一测角仪，测角仪EF高度同样为，测得胜利塔顶部A的仰角为 请根据表中的测量数据，计算胜利塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】胜利塔的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点D、F分别作的垂线，垂足分别为G、H，则四边形和四边形都是矩形，则可得到，即点G与点H重合，再解和求出的长，最后根据建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D、F分别作的垂线，垂足分别为G、H，则四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴，即点G与点H重合， 设， 在中，，则， 在中，，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：胜利塔的高度约为． 3．（2026·湖北·模拟预测）武汉市“楚天之眼”摩天轮于2025年7月正式营业，该摩天轮采用独特的鱼鳍状大立架，突破传统摩天轮的造型局限．图①是武汉市“楚天之眼”摩天轮，图②是测量“楚天之眼”摩天轮高度的示意图．某数学兴趣小组利用所学知识开展“测量楚天之眼摩天轮高度”的综合实践活动，并写出如表报告，请完成任务． 课题 测量楚天之眼摩天轮高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量 示意图 测量过程 如图②，测量小组使用无人机在点C处竖直上升至点D处，在点D处测得摩天轮顶部A的仰角为，然后以的速度沿水平方向向左飞行至点E处，在点E处测得摩天轮顶部A的仰角为，底部B的俯角为． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点B，C在同一水平线上．（参考数据：，，，） 任务 求楚天之眼摩天轮的高度．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，延长交于点F，设，得出四边形是矩形，然后在中，根据正切的定义求出，在中，根据正切的定义求出，在中，根据正切的定义求出，最后通过线段和差即可求解，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：延长交于点F，设， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 依题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：楚天之眼摩天轮的高度约为． 4．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，先将两块含的三角板和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接，设． (1)当时，_______；当时，_______； (2)当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积； (3)如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 _______． 【答案】(1)2，30或210 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形综合应用，涉及旋转变换，与圆有关的计算问题，解题的关键是读懂题意，画出图形，灵活应用旋转的性质． （1）当时，A，，B共线，A，D，C共线，可得是等边三角形，故；当时，过点A作于点H，分两种情况画出图形，可得答案； （2）画出图形，可得，，故，同理，从而两块三角板重叠部分图形的面积为； （3）连接，由，点F为的中点，知，故点F的运动轨迹是以为直径的圆，利用圆的周长公式即可得答案． 【详解】（1）解：如图， 则，， ∴， 当时，A，，B共线，A，D，C共线， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 当时，过点A作于点H，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图， 同理可得， ∴， ∴当时，或； 故答案为：2；30或210； （2）解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴两块三角板重叠部分图形的面积为； （3）解：连接，如图， ∵，F为中点， ∴， ∴点F的运动轨迹是以为直径的圆， ∴点F的运动路径长为， 故答案为：． 5．（2025·陕西·模拟预测）如图，数学活动实践课上，小浩所在的小组用无人机测量某栋教学楼的高度．测量方法如下：无人机从水平地面的中点处竖直上升26m到达点处，测得实验楼顶部的俯角为，教学楼顶部的俯角为．已知m，点在同一平面内，求教学楼的高度．（结果精确到m；参考数据：） 【答案】综合楼的高度约为米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，延长交于点，延长交于点，然后求出的长，在和中，利用正切的定义求出的长，即可求出的高解答即可． 【详解】解：如图：延长交于点，延长交于点, 由题意得：，,米， 米， (米), 在中，， (米), ∵点是的中点， 米， 在中， ， (米), (米), ∴综合楼的高度约为米． 模型2.母子模型 6．（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）麦积山位于甘肃省天水市麦积区，是小陇山中的一座孤峰，因山形酷似麦垛而得名．麦积山石窟始建于年，存有座洞窟、身泥塑石雕、余平方米壁画，以其精美的泥塑艺术闻名世界，被誉为东方雕塑艺术陈列馆．某学习小组把测量本城市麦积山（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量麦积山最高点离地面的高度 示意图 说明 如图，麦积山的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点均在同一竖直平面内，点在同一条直线上． 测量数据 的度数 的度数 的长度 仪器（）的高度 米 米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出麦积山最高点离地面的高度．（参考数据 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长，交于点，由四边形和四边形是矩形可得米，米，设米，分别解和可得米，米，进而由米得到，解方程求出的值即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，延长，交于点，则， 由题意可知，四边形和四边形均为矩形， ∴米，米， 设米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∵米， ∴， 解得， ∴米， 答：麦积山最高点离地面的高度为米． 7．（2026九年级·贵州·专题练习）某数学兴趣小组测量一座塔的高度AB，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离塔底B点45m远的D处竖立一根高2.4m的标杆CD，小明站在距离标杆1m的点F处，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，，，，点B，D，F，M在同一直线上． 方案二：如图2，小华拿着一把长为22cm的直尺CD站在与塔AB距离45m的地方（即点E到AB的距离为45m），他把手臂向前伸，尺子竖直，，尺子两端恰好遮住塔AB（即A，C，E在一条直线上，B，D，E在一条直线上），已知点E到直尺CD的距离为30cm． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求塔的高度AB． 【答案】选择方案一．塔的高度AB为33m．（答案不唯一，选择一种解答即可） 【分析】若选择方案一：过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：选择方案一． 如解图，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意，得，， ，． ， ． 又， ， ， ， ， ， 塔的高度为．（答案不唯一，选择一种解答即可） 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 8．（2025九年级·全国·专题练习）如图，表示某小区一段长为20m的斜坡，坡角于点．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为．求： (1)该斜坡的高度． (2)改造后斜坡的长（结果精确到0.1m，参考数据：，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，已知斜边和，可通过正弦函数求对边 ； （2）在中，已知和对边，可通过正弦函数求斜边． 【详解】（1）解：在中，， ． 故该斜坡的高度为． （2）解：在中，， ，解得． 故改造后斜坡的长约为． 【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系（三角函数的应用），解题关键是熟练掌握正弦函数的定义，能在直角三角形中根据已知角和边求出未知边． 9．（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点，则，在中，利用的三角函数可求，则可求，进而在中利用三角函数值可求， 则可求． 【详解】解：如解图，延长交于点，则， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 河宽约为． 10．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1是某学校门口安装的一款体温测量门，当学生从校门外进入学校时，体温门的显示屏上会出现该学生的体温．如图2，当小明从校外走到点处时，测量门的显示屏上开始显示额头温度，此时，在额头处测得门顶端的仰角；当小明向前行进到点处时，测量门停止显示额头温度，此时在额头处测得门顶端的仰角．已知测量门顶端距离地面的高度为，小明的身高为，请求出小明的有效测温区间的长．（额头到地面的距离以身高计，结果精确到．，，，， 【答案】长约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得：米，，，从而可得米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，则题目可解． 【详解】解：由题意得： 米，，， 米， （米， 在中，， （米， 在中，， （米， （米， 米， 小明的有效测温区间的长约为米． 模型3.拥抱模型 例1（2024·河北·校考一模）如图，在一居民楼AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为38°．从距离楼底B点2米的P处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为28°．已知树高EF＝8米，求塔CD的高度．（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5） 【答案】CD＝13（米）. 【详解】解：由题意知，∠EDF＝α＝38°，∴FD＝＝10（米）．EH＝8﹣2＝6（米） 在Rt△PEH中，∵．∴．∴BF＝12（米）PG＝BD＝BF+FD＝12+10＝22（米）． 在直角△PCG中，∵．∴CG＝PG•tanβ≈22×0.5＝11（米）．∴CD＝11+2＝13（米）． 例2（2024·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中，），具体操作如下：将平面镜水平放置于处，小茜站在处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端处（为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字底端处．测得，，点，，，在同一水平线上，点，，在同一铅垂线上．（参考数据：，，）(1)的高度为______，的长为______；(2)求“美”字的高度． 【答案】(1)，2(2) 【详解】（1）解：，， ，是等腰直角三角形，， 在中，，，， ；故答案为：，2； （2），，， 由题意可知， ，， 在中，， ，即“美”字的高度约为． 例3（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．(1)求点离水平地面的高度．(2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)；(2)电线塔的高度． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度，∴， ∵，∴，∵，∴； （2）解：作于点，则四边形是矩形，，，设， 在中，，∴， 在中，，在中，，， ∴，∴，∴， ∴，∴ 答：电线塔的高度． 11．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）直接解即可得到答案； （2）①分别在和中求出和的长，即可求解；②过点作，垂足为．则四边形是矩形．得出，可得．在中， 利用，列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴； 答：的长为； （2）解：①在中，， ． 在中，， ∴． ．即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， 四边形是矩形． ． ∴． 在中，， ， ∴． ． 答：塔的高度约为． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在一个坡角为的斜坡上有一棵树，高为，当太阳光线与水平线成角时，测得该树斜坡上的树影的长为，延长，交过点的水平线于点，求与树高（精确到），（已知，，，，，．供选用）． 【答案】，树高 【分析】本题考查的是直角三角形的三角函数应用，灵活运用三角函数的定义是解题的关键．通过分析图形中的两个直角三角形和，利用三角函数分别求出，，，进而通过线段的和差关系求出树高． 【详解】解：为水平线， ， 在中，，， ， ； 在中，，， ． ． 13．（25-26九年级上·全国·期末）某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图①是悬挂巨大匾额的古塔，图②中的线段是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C，仰角，继续向前行走，从点E处看点B，仰角，且点D到点E走了2.2米．求匾额悬挂的高度．（参考数据：，，） 【答案】匾额悬挂的高度约是3.2米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；过点C作于点F，过点C作于点H，由题意易得，（米），（米），然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：过点C作于点F，过点C作于点H，如图所示： 则四边形是矩形， 所以， 在中，米，， 所以（米），（米）， 在中，，所以， 所以， 在中，，所以， 因为，， 所以， 解得米； 答：匾额悬挂的高度约是3.2米． 14．（2025·青海西宁·一模）今年年初西南五省的持续干旱，让许多网友感同身受、焦灼不安，更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水．功夫不负有心人，终于有人在山洞处发现了暗河（如图）．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着，两村庄，山洞位于村庄南偏东方向，且位于村庄南偏东方向．为方便，两村庄的村民取水，社会爱心人士准备尽快从山洞处向公路紧急修建一条最近的简易公路现已知，两村庄相距千米． (1)求这条最近的简易公路的长（保留3个有效数字）； (2)每修建千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用． 本题参考数据：， 【答案】(1)这条最近的简易公路长为5.20千米 (2)修建简易公路的最低费用为83200元 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）过作于，根据垂线段最短得到为最近的简易公路，设，解直角三角形，求出的长，根据线段的和差关系列出方程进行求解即可； （2）用路长乘以单价，进行计算即可． 【详解】（1）解：如图：过作于，为最近的简易公路． 设，依题意得： 在中，，， ， ， 同理：． ， ， 解得：； 答：这条最近的简易公路长为5.20千米； （2）元． 答：修建简易公路的最低费用为元． 15．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 16．（24-25八年级下·北京·期末）中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点处用高的测角仪测得塔尖的仰角为，向塔的方向前进到达处，在处测得塔尖的仰角为，请你求出中央电视塔的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，．） 【答案】中央电视塔的高度为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 在中，中得出，根据，进而求得的长，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴ 在中，， ∴， ∴ ∵ ∴， 由图可知四边形是矩形，则 ∴（米）， 答：中央电视塔的高度为米． 17．（2024·湖北·模拟预测）塔在古代扮演了多种重要角色，从防御、交通到通信，再到文化和教育的象征，展现了人类智慧和文化的多样性．如图，小明在某公园的处仰望一座塔的塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进5米至处，测得塔顶的仰角为．已知小明眼睛到地面的距离为1.5米，在同一平面内，求该塔的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：） 【答案】13.3米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设的延长线与交于点，在中，根据正切的定义求出，在中，根据正切的定义得出，求出，即可求解． 【详解】解：如图，设的延长线与交于点， 由题意可得，米，米， 在中， ， 在中，， 解得，经检验，符合题意， 米． 答：该塔的高度约为13.3米． 18．（2015·浙江杭州·二模）如图，A，B两个城市相距，现计划在这两座城市之间修建一条笔直的高速公路，经测量森林保护区中心M在城市A的北偏东和B城市的北偏西30°的方向上，已知森林保护区的范围在以M为圆心，以为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿过该森林保护区，为什么？（参考数据：，）    【答案】这条高速公路不会穿过该森林保护区，见解析 【分析】本题考查了方位角问题(解直角三角形的应用)，含度角的直角三角形，解题关键是解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 过点M作垂直于，垂足为H．设，与都可以根据三角函数用表示出来．根据的长，得到一个关于x的方程求解．从而判断出这条高速公路会不会穿越森林保护区． 【详解】解：过点M作垂直于，垂足为H．    设， 在中，． 在中，，则， ∴， ∴， 解得：， ∴这条高速公路不会穿过该森林保护区． 19．热气球的探测器显示，从热气球看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66米． (1)求热气球所在的高度；（精确到1米） (2)如果，求这栋楼的高度．（精确到1米） 【答案】(1)米 (2)152米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形． （1）由和可利用三角函数求得； （2）由可得，根据三角函数关系可得出的值，进而求出楼高． 【详解】（1）解：在中，，，米， ∵， ∴（米）， 答：热气球所在的高度约等于114米； （2）解：∵，， ∴， ∴在中，，，米， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 答：这栋高楼高约等于152米． 20．（2025·辽宁·模拟预测）某学校开展综合实践活动，如图，为两栋楼房，山坡长为，，楼房位于山坡顶部平地上，底部A到 E 点的距离为．楼房底层窗台P 处至地面C 处的高度为，在点P 处观察点B 的仰角为，底部C 距 F处距离为．图中所有点均在同一平面内，． (1)求山坡的垂直高度； (2)求楼房的高度．（参考数据：，，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）直接解求出的长即可得到答案； （2）过点B 作交直线于点Q， 过点P 作于点G，则四边形和四边形都是矩形，由矩形的性质得到，，解得到，则可得到，解求出的长，进而可求出的长． 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ∴， ∴山坡的垂直高度约为； （2）解：如图所示，过点B 作交直线于点Q， 过点P 作于点G，则四边形和四边形都是矩形， ∴，， 由题意知， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：楼房的高度约为． 21．（2024·湖南长沙·模拟预测）某次海上搜救行动中，搜救船正以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，搜救船匀速行驶小时后到达处，又测得小岛在它的北偏西方向．已知小岛上有火山喷发，对周围的搜救行动均有干扰作用，试判断该搜救船在航行过程中是否会受到干扰（参考数据：，．结果精确到）． 【答案】该搜救船在航行过程中会受到干扰 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由题意得，，，，过作于，解直角三角形可得，，解方程即可求解． 【详解】解：由题意得，，，， 过作于， ， ，， ， ， 解得：， 该船在航行过程中与小岛的最近距离为， ∵， ∴该搜救船在航行过程中会受到干扰． 22．（25-26九年级上·上海·阶段练习）某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下： 【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度． 【测量方案】示意图如图所示： 1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角； 2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角； 3．测量之间的距离； 4．测量斜坡的坡角． 【测量数据】 1．在点处测得的仰角为； 2．在点处测得的仰角为； 3．； 4．斜坡的坡角为． 请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：， 【答案】大树的高度为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数关系分别表示出相关线段长度，再根据线段之间的关系列方程求解大树高度． 【详解】解：延长交于，则， ∵ 斜坡的坡角为， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即大树的高度为． 23．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）渠县賨人谷是国家级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形，想法测出了尾部看头顶的仰角为，从前脚落地点看上嘴尖的仰角刚好．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是．请你算下： (1)的长度； (2)的长度．（结果精确到．参考数据：；） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确作垂线，构造直角三角形是解题的关键． （1）解直角三角形即可； （2）过点作于点，过点作于点，解，求出，，则，那么，而，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， 答：的长度为； （2）解：过点作于点，过点作于点， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 答：的长度为． 24．（25-26九年级上·上海·阶段练习）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（，垂足为H），在B，C处与篮板连接（），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）． 已知，，，测得时，点C离地面的高度为.调节伸缩臂，将由调节到． 请判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：，．） 【答案】点离地面的高度升高了，升高了． 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案． 【详解】解：，， 如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形， ∴，    ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时，则， 此时，， ∴， 当时，则， ∴， 而，， ∴点离地面的高度升高了，升高了． 25．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）万佛塔（如图1），老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年，素有“浙江第一塔”之称，抗战期间被拆，2014年启动复建．如图2，是小明测量塔高的示意图．已知测角仪的高度为，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点D处看塔顶P的仰角为． (1)求点D与塔顶P的距离； (2)若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求塔的高度（参考数据：，，结果精确到0.1米）． 【答案】(1)点D与塔顶P的距离是140 (2)古塔的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，三角函数的定义， （1）根据，可得，利用等腰三角形的判定定理“等角对角边”即可得到，从而即可得到答案； （2）过点作的垂线，分别交的延长线于点，易得的长，在中，根据三角函数可得的长，进而即可得到的高度． 【详解】（1）解：如下图， 由题意得：， ， ， ； （2）解：过点作的垂线，分别交的延长线于点，如图， 则由题意得点P、F、N在同一直线上， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：古塔的高度为． 26．（24-25九年级下·海南海口·阶段练习）2025年4月29日，新一代运载火箭长征五号将中国航天器“天和”号核心舱送入预定轨道，标志着中国空间站时代即将开启，根据观测，运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得米，仰角为，经过3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为．已知C，D相距460米． (1) 米； (2)求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米，参考数据：，，）． 【答案】(1)1880 (2)402米/秒 【分析】（1）由直角三角形的性质可得出答案； （2）设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，解直角三角形的性质得出，则可得出答案． 本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 【详解】（1）解：在中，， （米）， 故答案为：1880； （2）解：设火箭从到处的平均速度为米／秒，根据题意可知：（米）， 米， （米）， 米， 米， 在中，， ， 米， ， 解得（米/秒）． 故火箭从到处的平均速度为402米/秒． 27．（2024·湖南·模拟预测）每年12月2日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为6米．现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，如图，汽车里司机A与斑马线前后两端的视角，的大小分别为和，司机与车头的水平距离为1米，与车顶的垂直距离为米． (1)旅游车高约多少米？ (2)为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得小于3米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？（E，D，C，B四点在平行于斑马线的同一直线上）（参考数据：，，，，） 【答案】(1)旅游车高约米． (2)该旅游车停车符合规定的安全标准． 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质． （1）证明，，可得，进一步求解可得答案． （2）先求解，再进一步分析即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴旅游车高约米． （2）解：在中，， ∵， ∴， 答：该旅游车停车符合规定的安全标准． 28．（2024·山西·模拟预测）百团大战纪念碑（主碑）坐落于山西省阳泉市狮脑山主峰上，雄伟壮观，形如一把锋利的刺刀．某校项目学习小组的同学把“测量百团大战纪念碑（主碑）的高度”作为项目学习课题，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告：    项目课题 测量百团大战纪念碑（主碑）的高度 驱动问题 你如何用所学知识测量百团大战纪念碑（主碑）的高度？ 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 人员分工 测量组：×××    记录组：××× 测量方案 方案一：   说明：如图1，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测点，与点B在同一条水平直线上，且测得.，，，点，，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上 方案二：   说明：如图，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测得的长度和的度数，点，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点，在同一条直线上 方案论证 计算结果 交流展示 项目反思 请根据活动报告，完成下面的问题： (1)根据方案一所测数据，计算百团大战纪念碑（主碑）的高度，（结果精确到；参考数据：，） (2)根据方案二的测量过程，项目学习小组最终选择方案一进行测量和计算，请你说明他们这样选择的理由． 【答案】(1)百团大战纪念碑主碑的高度约为； (2)纪念碑底部无法到达．（答案不唯一） 【分析】本题考查了解直角三角形——仰角俯角问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）延长交于点，则四边形和四边形都是矩形，所以，，，然后求出的长，再在中求出的长即可求解； （）答案不唯一，合理即可； 【详解】（1）解：如解，延长交于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：百团大战纪念碑主碑的高度约为； （2）解：理由：纪念碑底部无法到达．（答案不唯一） 29．（2024·陕西·模拟预测）某数学兴趣小组测量校园内一棵古树（古树四周有栅栏）高度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量古树的高度（古树底部不能到达） 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据 （，为同一人眼睛到地面的距离，） 项目 第一次 第二次 平均值 步骤四：计算古树的高度 请结合以上信息解答下列问题： (1)表格中的值为____； (2)请完成步骤四：计算古树的高度．（参考数据： ，， ，，，） 【答案】(1)； (2)这棵古树的高度约为． 【分析】本题考查了算术平均数，矩形的判定与性质，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据算术平均数定义即可求解； （）由题意可知，，，，则四边形和四边形均为矩形，所以，，设，则，所以，，列出方程，解得即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由题意可知，，，， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， ∴这棵古树的高度约为． 30．（2024九年级下·天津河西·学业考试）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为（单位：）． ①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）直接利用含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）①分别在和中求出和，即可求解；②过点作，垂足为．则四边形是矩形．得出，可得．在中， 利用，列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ．即的长为； （2）解：①在中，， ． 在中，由，得． ．即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， 四边形是矩形． ． 可得． 在中，， ，即． ． 答：塔的高度约为． 31．（2025九年级·江西·专题练习）舞狮文化源远流长，其中舞狮（如图①）是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，是传承中国传统文化的重要载体．如图②，在舞狮表演中，梅花桩AB，CD，EF均垂直于地面，且B，D，F三点在一条直线上．测得，且AB桩与EF桩的高度差为，两桩的距离BF为． (1)舞狮人从点A跳跃到点C，随后再跳跃到点E，所成的角_________． (2)求桩AB与桩CD之间的距离BD的长（结果保留根号） 【答案】(1) (2)桩AB与桩CD之间的距离BD的长约为 【分析】本题主要考查仰角与俯角，解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键． （1）过点作交于点，交于点，根据直角三角形的两个锐角互余，求出，再根据平角为即可求解； （2）四边形和四边形均是矩形，设，则，由三角函数算出，，根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作交于点，交于点，如图， ∵ ∴ 又∵， ∴ 故答案为：． （2）解：∵四边形和四边形均是矩形， ． 设， ， 在中， ． 同理，在中，， ， 解得， ， 桩与桩之间的距离的长约为． 32．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）国庆假期，小明和小蓝怀着对革命历史的崇敬，从某红色景区入口．开启红色之旅．因参观的景点不同，两人决定各自沿不同路线参观，再到达位于入口A正东方向的景点处汇合．如图为路线平面示意图，小明从入口出发，沿北偏东方向走到达景点，参观24分钟，接着沿东南方向到达景点、小蓝从入口出发，沿北偏东方向到达景点，参观15分钟后，沿南偏西方向到达景点．（参考数据：，， (1)求入口与景点之间的距离；（结果精确到） (2)若小明步行的速度为，小蓝步行的速度为，且两人同时出发，请计算并说明小明和小蓝谁先到达景点？（结果精确到） 【答案】(1) (2)小蓝先到 【分析】该题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，，，如图，过点作，求出，，再根据勾股定理即可求解． （2）如图，过点作交的延长线于点，则，根据，求出，从而求出，根据（1）可得，再分别算出小明和小蓝的步行时间，比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，，， 如图，过点作， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作交的延长线于点， 则， ∴， ∴， 解得：， ∴， 根据（1）可得， ∴小明步行时间， 小蓝步行时间， ， ∴小蓝先到． 33．（24-25九年级下·全国·单元测试）图①是一台实物投影仪，图②是其侧面的抽象示意图，是支架的一部分，垂直于水平地面，投影仪可绕点A转动．投影光线与投影仪近似在同一直线上，且光斑E位于屏幕的正中心．经测量，，点F到水平地面的距离为． (1)若点D，F在同一水平线上，且两点之间的距离为，，求： ①与水平地面的夹角； ②光斑E到水平地面的距离． (2)在（1）的状态下，将投影仪后移，转动，使得投影光线的光斑仍在点E处．请判断投影仪与水平地面的夹角如何改变． （参考数据：） 【答案】(1)①；②光斑E到水平地面的距离为． (2)投影仪与水平地面的夹角减小了约． 【分析】（1）①如图①，延长交水平地面于点K，则，通过三角函数即可得到与水平地面的夹角约为；②如图①，连接并延长交于点，先证明四边形是矩形，可求出、的长度，然后证明，通过相似三角形的性质可求出的长度，最后根据线段的和差关系即可求出光斑到水平地面的距离； （2）平移、调整投影仪前，平移、调整投影仪后，过点A作于点M，过点F作于点N，根据的正切值可求出其度数，即可判断投影仪与水平地面的夹角的改变． 【详解】（1）解：①如图①，延长交水平地面于点K，则， ， ， 与水平地面的夹角约为． ②如图①，连接并延长交于点． 由题意可知，， ，四边形是矩形， ， ． 由题意可知，， ， ，即， ． ， 光斑E到水平地面的距离为． （2）解：平移、调整投影仪前，如图①． 在中，， ． 平移、调整投影仪后，如图②，过点作于点，过点作于点，则． 易知四边形是矩形，． ， ， ． ， 投影仪与水平地面的夹角减小了约． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，矩形的判定与性质，解答本题的关键是添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 34．（2024九年级下·全国·专题练习）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装扶梯，截面图如下图所示．底层与层平行，层高为9m，点之间的距离为6m，（参考数据：，，）． (1)身高1.9m的人在竖直站立的情况下搭乘扶梯，在处______碰到头（填“会”或“不会”）． (2)若采取中段平台设计（如折线所示），已知平台，且段和段的坡度．求平台的长度． 【答案】(1)不会 (2)平台的长度约为7m 【分析】（1）连接，过点作，交于点，根据，底层与层平行，得出，再根据正切值求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案； （2）根据的长求出，再过点作于点，过点作于点,设，则，根据段和段的坡度，求出的长，最后根据，即可求出答案． 【详解】（1）解：连接，过点作，交于点， ∵，底层与层平行， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴不会碰到头部； 故答案为：不会； （2）解：在中，， ． 如图，过点作于点， 过点作于点． 设，则． 段和段的坡度， ， ， ． 答：平台的长度约为． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形． 35．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 【答案】（1）；（2），；（3）米 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）如图，，，在上截取，设，可得，进一步求解即可． （2）如图，作的角平分线，在上截取，设，则，可得，进一步求解即可．如图，在中，，设，，在上截取，设，则，设，利用，可得：，进一步求解即可． （3）如图，延长交于，结合题意可得：，，，，结合，，，设，，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图，，，在上截取， ∴， ∴， 设， ∴， ∴． （2）如图，作的角平分线，在上截取， ∴，， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在中，，设，， 在上截取， ∴，， ∵， ∴设，则，设， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）如图，延长交于， 结合题意可得：，，，， ∵， ∴， 同理：， ∵，，， 设，， ∴，，，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴，即树的高度为米． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $