专题01 解直角三角形之新定义模型（几何模型讲义）数学浙教版九年级下册

专题01 解直角三角形模型之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.新定义模型 5 17 该模型通过初中几何方法诠释高中三角函数定理（如正弦定理、余弦定理等），将复杂三角关系转化为可操作的几何结构‌。例如，通过作高将任意三角形拆分为直角三角形，利用边长比例关系推导正弦定理，揭示三角形边角统一性‌。中考命题者将高中数学概念（如向量、解析几何）初中化处理，通过“知识包装”形式设计试题，既保留初中数学特点，又融入高中思维深度‌。典型如将坐标系与三角函数结合，构建跨学段解题逻。 （2025·四川凉山·模拟预测）【特例猜想】小明同学在学习了锐角三角函数和圆的相关知识后发现，如图1，在中，以为直径作圆O，设其半径为r，三边长分别为a，b，c，由锐角三角函数定义知道：，，，经变形可得：，，，因此，这正是高中数学将要学习的正弦定理． (1)【一般推广】如图2，把改为，是的外接圆，结论还成立吗？若成立，请你利用已学知识进行证明；若不成立，请说明理由． (2)【实际应用】如图3，在中，为钝角，，，，，求的面积． 【答案】(1)成立，见解析 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程就是解直角三角形，准确进行计算是解此题的关键． （1）连接并延长，交于点，连接，在中，，由圆周角定理得，推出，推出，同理可得，，即可得出结论； （2）由（1）中结论代入数据计算即可． 【详解】（1）解：结论成立．理由如下： 如图1，连接并延长，交于点，连接， ∵为直径， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴，即结论成立． （2）解：由（1）得， ∴． 如图2，过点作，则． ． 新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 图1 图2 图3 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2， 则，，∴，∴， 同理，，，∴； 2）正弦面积公式：如图1，. 证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在中，，∴，∴， 在中，，∴．∴． 同理可得．因此有． 3）余弦定理：如图2， ． 证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点， 则，即，于是． 在中，，在中，， ，整理得。 同理：；。 图4 图5 4）同角三角函数的基本关系式:，。 证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。 又∵，，∴；。 5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）： ; （已证）. ; . （已证）. 证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。 如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则， 利用锐角三角函数在中表示，。 ∵（等面积），即； 在中，，则。 模型1.新定义模型 例1（24-25九年级下·贵州黔南·期末）如图1，在直角三角形中，．定义的对边与斜边的比叫作的正弦，记作，即定义的邻边与斜边的比叫作的余弦，记作，即如图2，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，1为半径作圆，A为圆O上的一点，且位于第一象限，连接与x轴的正半轴的夹角为α，则点A的坐标可表示为（   ） A．（） B．（） C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了新定义．根据新定义得到，进一步即可得到答案． 【详解】解：过点A作轴于点H， 根据定义可知，， ∵以点O为圆心，1为半径作圆，A为圆O上的一点，且位于第一象限， ∴ ∴ 故选：B 例2（24-25九年级上·四川眉山·期末）定义一种运算，，例如：当，时，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的锐角函数值计算、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【详解】解：由题意得， ， 故选：B． 例3（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点C关于直线的对称点不在外，且此时，则称点C是弦的“点”．如图，已知点，点，在点，，中，点 是弦的“点”；若点是弦的“点”，则点的横坐标的最大值为 ． 【答案】 【分析】取点，连接，先求出与关于直线对称，则点都在的圆内或圆上，点都在的圆内或圆上，再求出的长，与半径2的大小进行比较即可得；作等边的外接圆，连接，交于点，过点作轴于点，过点作，交延长线于点，连接，，先根据等边三角形的性质和外接圆的性质可得点的横坐标和的半径，再证出点的对称点一定不在外，满足题意，然后根据当轴时，点的横坐标最大，由此即可得． 【详解】解：如图，取点，连接， ∵点，点， ∴， ∴点都在以点为圆心、2为半径的上， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴点和点关于直线对称， ∴与关于直线对称， ∵若点关于直线的对称点不在外，且此时，则称点是弦的“点”， ∴点都在的圆内或圆上，点都在的圆内或圆上， ∵，，，， ∴，，， ∴点在上，点，都在外， ∴点是弦的“点”． 要使点的横坐标最大，则点应该在直线的上方， 如图，在直线的上方作等边的外接圆，连接，交于点，过点作轴于点，过点作，交延长线于点，连接，， 则垂直平分，为的角平分线，， ∴，即，， ∴， ∵， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴在中，，， ∴等边的外接圆的半径为， ∴在内， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴点的横坐标为， ∵点是弦的“点”， ∴， ∴如图，点在上， 又∵在内，与关于直线对称， ∴点的对称点一定不在外，满足题意， 由圆的性质可知，当轴时，点的横坐标最大，最大值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、两点之间的距离公式、正方形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握三角形的外接圆的性质是解题关键． 例4（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是_______． A．        B．        C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且点是的相似心，． ①求的度数． ②直接写出的值． 【答案】(1)A (2)①；② 【分析】（1）取格点、，连接、、、，，，，由勾股定理求得，，则，而，即可证明，求得，由，，可知与不相似，与不相似，于是得到问题的答案． （2）①由题意得，由得，，，结合三角形的内角和定理即可求解；②由可得，由相似三角形的性质得，则，，进而得到，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，取格点、，连接、、、， 在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， ，，， ，，， ，，， ， ， ， 与中的最大角，与中的最大角， 与不相似，与不相似， 故答案为：A； （2）解：①在中，，， ， 点是的相似心，， ，，， ， ； ②， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，新定义问题，三角函数，灵活运用相关知识是解题的关键． 例5（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）【定义】如图1，在中，点在射线上，若满足，则称为的“等腰线”． 【探索】（1）如图2，为的“等腰线”，连接，若平分，则是什么特殊图形？试猜想并证明你的结论； 【应用】（2）如图3，若，是的“等腰线”，交直线于点，试在图3中用尺规作图画出点E、F，并求的长； 【拓展】（3）在中，．若是的“等腰线”，交直线于点，且，请直接写出__________． 【答案】（1）是菱形，证明见解析；（2）画图见解析，；（3）． 【分析】（1）根据等腰线的定义得到，然后就等量代换得到，推出，得到，即可证明出是菱形； （2）以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点E，连接交于点，勾股定理求出，然后由平行四边形得到，，证明出是等腰直角三角形，解直角三角形求解即可； （3）如图所示，过点A作于点G，设，，，则，得到，勾股定理得到，代入求出，得到，，证明出，得到，求出，，进而求解即可． 【详解】（1）∵为的“等腰线”， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）如图所示，过点A作于点G， ∵在中，， ∴设，，，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”，若等腰是“倍长三角形”，则底角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，当时，不能组成三角形；当时，能组成三角形，过点A作于点D，即可得出，再根据勾股定理表示出，然后根据正切的定义解答即可． 【详解】解：∵等腰是“倍长三角形”，设， 当时，，不能组成三角形； 当时，能组成三角形， 过点A作于点D， ∴， ∴． 在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，勾股定理，正切，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 2．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，点按变换后得到点的坐标为，则点按变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，再根据题意将点绕原点按逆时针方向旋转，得到，，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点， ∴，， ∴，， ∴， 根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转， ∴， 作轴于点， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故选：A． 3．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要求的值，想到构造直角三角形，根据已知可得的补角为，所以过点B作，交的延长线于点D，分别在和中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过点B作，交的延长线于点D，    ∵， ∴设，， ，互为半余角， ， ， 在中，，， ， ， 在中， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4．（2025·湖南娄底·一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可以计算出的值． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 5．（2025九年级·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，的半径为1，A，B为外两点，．给出如下定义：平移线段，得到的弦（，分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”，若点A，B都在直线上，记线段到的“平移距离”为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，设直线交y轴于点D，交x轴于点C，则，，设交y轴于点，在y轴的左侧作等边，过点作于点A，求出的长，可得结论． 【详解】解：如图，设直线交y轴于点D，交x轴于点C，则，， ∴，， ∴， ∴， 设交y轴于点，在y轴的左侧作等边，过点作于点A， ∵， ∴， ∴线段到的“平移距离”的最小值， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．在“等对角四边形”中，，对角线的长 ． 【答案】或 【分析】根据“等对角四边形”定义，分两种情况作图：当时；当时；结合矩形性质、勾股定理及解直角三角形求解即可得到答案． 【详解】解：当时，延长相交于点，如图所示： ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴； 当时，过点作于点于点，如图所示： 则，四边形是矩形， ， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了新定义“等对角四边形”、矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握新定义“等对角四边形”、矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形并作出合理的辅助线是解题的关键． 7．（2025·河南漯河·三模）定义：若一个钝角三角形中，两个锐角的内角满足其中一个角的2倍与另一个角互余，则我们称这个三角形为“奋进三角形”．如图，在中，，，，点为上一个动点，若为“奋进三角形”，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，，在上取一点D，连接，使得，过点D作于E，可证明，则可证明，利用勾股定理求出，则，进而得到，设，则，， 由勾股定理得，解方程即可得到答案；当时，可证明平分，过点P作于H，则，设，则，解直角三角形可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当时， 如图，在上取一点D，连接，使得，过点D作于E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴在中，， 设， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图所示，当时， ∵， ∴， ∴平分， 如图所示，过点P作于H，则， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 8．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线．如图，已知抛物线，顶点为A，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果，（是锐角）则m的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、解直角三角形，由题意可得，再分两种情况：当直线在点的左侧时，当直线在点的右侧时，再结合轴对称的性质、解直角三角形，计算即可得解，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 当直线在点的左侧时， ∵该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B， ∴点的纵坐标为， 连接交轴于点，如图： ， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当直线在点的右侧时，同理可得：， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 9．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）定义：在中，，我们把的对边与的对边的比，叫做的邻弦，记作．解决问题：在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据新定义得出，如图所示，过点作于点，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 如图所示，过点作于点，设，则 ∴， 在中， ∴ 解得： 故答案为：． 10．（2025九年级下·江西·专题练习）创新考法结合新定义考查多解题定义：若三角形一边上的高与这边的边长相等，则称此三角形为“完美三角形”．如图，在 中，，，，点P是边上一动点，若是“完美三角形”，则的长为 ． 【答案】4.8或6或7.5 【分析】首先利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后根据题意分三种情况讨论：①如图（1），当时，②如图（2），过点B作于点E，当时，设，，得到，然后证明出，得到，代入表示出，然后利用勾股定理求解即可；③如图（3），过点P作于点F，当时，解直角三角形求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 过点A 作于点 D， ∴，即 ∴， 分三种情况讨论： ①如图（1），当时，为“完美三角形”； ②如图（2），过点B作于点E，当时，是“完美三角形”． 设，， ∵ ∴此时点P在点D右侧， ∴， ∵，， ∴， ，即 在中，∵ 整理得， 解得， ∴； ③如图（3），过点P作于点F，当时，是“完美三角形”． ，即 ∴． 综上所述，的长为4.8或6或7.5． 故答案为：4.8或6或7.5． 【点睛】此题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 11．（24-25九年级上·湖南永州·期末）我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是（   ） A．   B．   C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且． ①求证：点是的相似心； ②求的值． 【答案】(1)A (2)①见解析；② 【分析】（1）取格点、，连接、、、，则，，由勾股定理求得，，则，而，即可证明，求得，由，，可知与不相似，与不相似，于是得到问题的答案． （2）①由，，得，由，求得，由，，可知与不相似，与不相似，推导出，进而证明，然后问题可求证． ②因为，所以，由相似三角形的性质得，则，所以，然后问题可求解． 【详解】（1）解：如图1，取格点、，连接、、、， ∵在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， ∴，，， ，， ，， ∴， ∴， ， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， 故答案为：A． （2）解：①证明：如图2，∵，， ， ∵， ∴， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， ， ∴， ∴， ∴点是的相似心． ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴的值为． 【点睛】此题重点考查勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、新定义问题的求角等知识与方法，适当选择相似三角形的判定定理证明图1中的及图2中的是解题的关键． 12．（2025·河南南阳·模拟预测）定义：在凸四边形中，如果只有一组对角相等，我们把这类四边形叫作“奋进四边形”． (1)操作判断： 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“奋进四边形”的有______（填序号）； (2)性质探究： ①如图2，四边形是“奋进四边形”，，，，则的度数为______，的度数为______； ②如图3，四边形是“奋进四边形”，，，求证：； (3)四边形是“奋进四边形”，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)②④ (2)①，；②证明见解析 (3) 【分析】本题考查了“奋进四边形”的定义，三角板中角度的计算，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线解决问题． （1）根据含有和角的直角三角形的角度，即可解决问题； （2）①根据四边形是“奋进四边形”，，得，根据四边形内角和定理即可解决问题； ②连接，根据等腰三角形的性质即可解决问题； （3）分两种情况讨论解答即可解决问题． 【详解】（1）解：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的个四边形，其中是“奋进四边形”的有②④， 故答案为：②④； （2）①解：∵四边形是“奋进四边形”，， ∴， ， ， 故答案为：，； ②证明：如图3，连接， 四边形是“奋进四边形”，， ， ， ， ； （3）①如图1-1，时，延长，交于点， ， ， 又，， ，，则， ②如图2-1中，时，过分别作于，于点，则四边形是矩形， ， 又，， ， 综上所述，的长为 13．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： (1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； (2)若角的终边与直线重合，求的值； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】（1）由题意可得，，，然后依据定义进行判断即可； （2）设点，则，然后分为和两种情况求解即可； （3）根据角是钝角，且点是角终边上一点，得出点在第二象限，过点P作轴于点，根据三角函数定义得出，求出，得出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：如图1， ， 点在第四象限， ，， ， ，，， 、、中的正值是， 故答案为：． （2）解：直线经过原点和第一、第三象限，且角的终边与直线重合， 点在第一象限或第三象限，且可以表示为，作轴于点． 如图2，点在第一象限，则，， ， ； 如图3，点在第三象限，则，， ， ； 综上所述，的值为或． （3）解：如图4， 角是钝角，且点是角终边上一点， 点在第二象限， 作轴于点， ，且， ， 解得：， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质、三角函数的定义，两点间距离公式，理解三角函数的定义是解题的关键． 14．（2025·浙江杭州·一模）定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”，内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用表示．如图，菱形和菱形是组合菱形，其中与共线，且满足． (1)组合比___________； (2)若，求的长； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、菱形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据组合比的定义进行解答即可； （2）求出，根据菱形的性质即可得到； （3）证明．则，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵． ∴组合比 故答案为： （2）连接交于点 四边形为菱形，四边形为菱形 ， 又即 ，即， 又 在中： （3）四边形为菱形，四边形为菱形 又 在和中 ． ∴， 不妨设，则，，可得 ． 15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． (1)概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接、，求证：是等高底三角形． (2)问题探究：如图2，是“等高底”三角形，是“等底”，且，是边上的高，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，理解新定义是解题的关键． （1）先证四边形是矩形，可得，即可求解； （2）由锐角三角函数可求，设，，，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】（1）证明：作于则， 四边形是正方形， 四边形是矩形． 四边形是正方形， ， ． 是等高底三角形． （2）解：作 于点， ，， ， ， ， ， 设， ，， ， 在 中，，， ， ， ， 设，，，则， 在中由勾股定理得：， 解得， ． 16．（2025·广东河源·模拟预测）定义：在直角梯形中，若斜腰与梯形的一条底边相等，则此直角梯形被称为“斜腰等底直角梯形”． (1)如图1所示，直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，，，，连接，求证：平分； (2)如图2所示，在矩形中，折叠矩形，使点，重合，折痕为，点的对应点为，当时，求证：四边形为“斜腰等底直角梯形”； (3)如图3所示，在中，，，，若以，为边画四边形，当四边形是“斜腰等底直角梯形”时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的长为或或或 【分析】（1）根据得出，根据得出，从而，即可得出结论； （2）先根据矩形和折叠的性质证明四边形为直角梯形，再证明得，进而可得为等边三角形，再得，从而得出结论； （3）分四种情形：①如答1图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点，由勾股定理求出，，再由推出即，可得，再由勾股定理可求；②如答2图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，由勾股定理求出，再由可求；③如答3图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，由勾股定理求出，再由可求；④如答4图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点，过点作，垂足为点，则四边形为矩形，设，则，在中，由勾股定理得，即，解方程即可求出． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 平分； （2）证明：在矩形中，，， 由折叠知，，，， ，，， 且与不平行， 四边形为直角梯形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 四边形为“斜腰等底直角梯形”； （3）解： 分以下四种情况： ①如答1图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点， 则，， 直角梯形为“斜腰等底直角梯形”， 在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如答2图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点， 则，， 直角梯形为“斜腰等底直角梯形”， 过点作，垂足为点，则四边形为矩形， 在中，，， ， ； ③如答3图所示，过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点， 则，， 直角梯形为“斜腰等底直角梯形”， 过点作，垂足为点，则四边形为矩形， 在中，，， ， ； ④如答4图所示，作的垂直平分线，交于点，过点作的平行线，交于点， 则，， 直角梯形为“斜腰等底直角梯形”， 过点作，垂足为点，则四边形为矩形， ，， 设，则， 在中，，，，， ， ， 解得， ． 综上所述：的长为或或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 17．（2025·江苏宿迁·二模）我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）在图2，图3中，是的“旋补中心”，是的“旋补中心”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为； ②如图3，当时，则长为_____________． 猜想论证： （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 拓展应用： （3）如图4，在四边形中，，．在四边形内部是否存在点，使是的“旋补中心”？若存在，给予证明，并求的“旋补中心”长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②4；（2），见解析；（3）存在，见解析；． 【分析】（1）①首先证明是含有是直角三角形，可得即可解决问题；②首先证明，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题； （2）结论：．如图1中，延长到，使得，连接，，首先证明四边形是平行四边形，再证明，即可解决问题； （3）存在．如图4中，延长交的延长线于，作于，作线段的垂直平分线交于，交于，连接、、，作的中线．连接交于．想办法证明，，再证明即可． 【详解】（1）解：①如图2中，   是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为． ②如图3中，   ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为9． （2）结论：． 理由：如图1中，延长到，使得，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ． （3）解：存在．理由： 如图4中，延长交的延长线于，作于，作线段的垂直平分线交于，交于，连接、、，作的中线． 连接交于．   ， ， 在中，，，， ，，， 在中，，，， ， ， ∵ ， ， ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是的“旋补三角形”， 在中，，，， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 18．（2024·海南海口·模拟预测）建立模型为了求得角的正切值，王老师带领同学们设计了如下的数学模型： 如图， 先画一个含角的，使得，，则，延长到，使得，连接，则根据正切的定义，则有：． 模型运用河南省标志性建筑中原福塔是世界最高的全钢结构塔，塔高达米地面至桅杆顶端，整个建筑分塔座、塔身、塔楼、桅杆四个部分为了测量中原福塔最上端桅杆天线部分的高度，李老师带领同学们在距离地面米的建筑物上测得塔楼层处的仰角为往前移动米，在距离地面米的建筑物上测得塔楼层处的仰角为． 请您运用所学知识，求出桅杆天线的高度精确到米可能用到的数据：， 【答案】桅杆天线的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：米，米，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：米，米， 设米， 在中，， 米， 米， 在中，， ， ， 解得：， 米， 塔高达米， 米， 桅杆天线的高度约为米． 19．（24-25九年级上·全国·随堂练习）阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： ，，则________；① ，，则________；② ，，则________；③ …… 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有________．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想． （2）已知为锐角，且，求的值． 【答案】1，1，1，1；（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． ①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； ④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角，都有； （1）过点作于，则．利用锐角三角函数的定义得出，，则，再根据勾股定理得到，从而证明； （2）利用关系式，结合已知条件且，进行求解． 【详解】解：，， ；① ，， ；② ，， ．③ 观察上述等式，猜想：对任意锐角，都有．④ （1）如图，过点作于，则． ，， ， ， ， ． （2），，为锐角， ． 20．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“佳点”．如图1，中，点E是边上一点，连接，若，则称点E是中边上的“佳点”． (1)如图2，已知，在四边形中，平分于点E，，求证：点E是中边上的“佳点”； (2)关于直角三角形斜边上的“佳点”个数有______（填写正确的序号）． ①1个；②2个；③1个或2个；④1个或2个或3个． (3)如图③，中，，点D是边上的“佳点”，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)③ (3)或 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，本题要结合已知“佳点”的定义求解是关键． （1）证明，然后得到，再根据中点的定义即可得到结论； （2）根据“佳点”的定义利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半和直角三角形斜边上的高把该三角形分成了两个相似的直角三角形的性质即可判断直角三角形的“佳点”个数； （3）根据三角函数，转化为边的比例，求出 ，结合点的位置分类讨论，利用已知定义建立方程即可求解. 【详解】（1）证明：∵平分于点E， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴点E是中边上的“佳点”； （2）若直角三角形为非等腰直角三角形， 则斜边上的中线与斜边的交点和斜边上的高与斜边的交点都是直角三角形有一个“佳点”，共两个， 若直角三角形为等腰直角三角形，则斜边上的高与中线重合，故只有一个“佳点”， ∴若直角三角形为等腰直角三角形有一个“佳点”，若直角三角形为非等腰直角三角形，则有两个“佳点”，故直角三角形有或者个“佳点”， 故答案为：③； （3）作 于, ， ， 设 则， ， ， 解得， ， 设， 如图①，当点在点左侧时， 由点是边上的“佳点”有 ， 解得：或(舍去)， ， 如图②，当点在点右侧时， ， ， 解得：或(舍)， ， 综上：的长为或 ． 21．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）【知识迁移】：对于钝角α，定义它的三角函数值如下：，． (1)求，，的值； (2)若一个三角形的三个内角的比是，和是这个三角形的两个内角，且、是方程的两个不相等的实数根，求和的度数及m的值． 【答案】(1)；； (2)， 【分析】此题考查了解直角三角形，一元二次方程根与系数的关系，以及特殊角的三角函数值，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）仿照已知定义将各式变形，利用特殊角的三角函数值求出值即可； （2）先求出三个内角，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； （2）解：∵一个三角形的三个内角的比是， ∴三个内角分别为：， ∵、是方程的两个不相等的实数根， ∴， 当，则、， ∴，解得：； 当，则、， 不满足，故舍； 当，则、， 不满足，故舍， 综上所述：，． 22．（2025·上海杨浦·一模）定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 【答案】(1)的长是10米 (2)不同意，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角． （1）连接，由题意得，，，设为，则为，根据点H恰好是屏幕的最佳视野点列方程求出x即可解答； （2）作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，分别求出，，，计算得出，从而判断点不是屏幕的最佳视野点． 【详解】（1）解：如图，连接，    由题意得，，，， 设，则，， ∵点恰好是屏幕的最佳视野点， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴（米）， ∴（米）， ∴的长是10米； （2）解：不同意．理由如下： 作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，    由题意，可得：，， ∵自动扶梯的坡度是， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点不是自动扶梯上的最佳视野点． 23．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为8． ①求的长． ②如图2，在四边形中，若平分，试求四边形面积的最大值． (3)在（1）的条件下，如图3，若是的直径，请用等式表示线段、之间的数量关系______．（直接写答案） 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）利用圆美四边形和美角的定义解答即可； （2）①作出的直径，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理解答即可； ②延长至点，使，连接，利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质和全等三角形的判定与性质得到，则为等边三角形；利用，求出△的面积的最大值即可得出结论； （3）延长交的延长线于点，利用圆周角定理，含角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解： 四边形是圆美四边形， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， ． （2）①作直径．连接，如图， 为圆的直径， ， 由（1）知：， ， 的半径为8， ． ． ②延长至点，使，连接，如图， 由（1）知：， ， 平分， ． ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， ． 在△和△中， ， ， ， ， 为等边三角形． ，， ． 的面积最大时，四边形面积最大． 当取得最大值时，的面积最大， 当为圆的直径时，四边形面积最大． 即时，四边形面积取得最大值的面积的最大值， 四边形面积的最大值． （3）．理由： 延长交的延长线于点，如图， 是的直径， ， ． 由（1）知：， ， ， ． ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解新定义并熟练应用，连接直径所对的圆周角是解题的关键 24．（24-25九年级下·山东日照·开学考试）【图形定义】有两边之比为的三角形称为智慧三角形例如，在图的中，若，就称为智慧三角形． 【灵活运用】如图，是智慧三角形，，是边上的中线，求的值． 【拓展延伸】如图，是的内接三角形，是直径，过的中点作，垂足为，交于点，连接交于点． （1）求证：是智慧三角形； （2）若，则的值为______ ． 【答案】【灵活运用】；【拓展延伸】（1）详见解析；（2） 【分析】灵活运用：通过证明∽，可得； 拓展延伸：（1）通过证明，可得，可得，由智慧三角形的定义可求解； （2）由勾股定理可求，的长，由锐角三角函数可求的长，通过证明，可得，即可求解． 【详解】灵活运用： 解：是的中线， ， ， ， ， ∽， ； 拓展延伸： （1）证明：点是的中点， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 是智慧三角形； （2）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用参数表示线段的长是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 解直角三角形模型之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.新定义模型 5 17 该模型通过初中几何方法诠释高中三角函数定理（如正弦定理、余弦定理等），将复杂三角关系转化为可操作的几何结构‌。例如，通过作高将任意三角形拆分为直角三角形，利用边长比例关系推导正弦定理，揭示三角形边角统一性‌。中考命题者将高中数学概念（如向量、解析几何）初中化处理，通过“知识包装”形式设计试题，既保留初中数学特点，又融入高中思维深度‌。典型如将坐标系与三角函数结合，构建跨学段解题逻。 （2025·四川凉山·模拟预测）【特例猜想】小明同学在学习了锐角三角函数和圆的相关知识后发现，如图1，在中，以为直径作圆O，设其半径为r，三边长分别为a，b，c，由锐角三角函数定义知道：，，，经变形可得：，，，因此，这正是高中数学将要学习的正弦定理． (1)【一般推广】如图2，把改为，是的外接圆，结论还成立吗？若成立，请你利用已学知识进行证明；若不成立，请说明理由． (2)【实际应用】如图3，在中，为钝角，，，，，求的面积． 新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 图1 图2 图3 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2， 则，，∴，∴， 同理，，，∴； 2）正弦面积公式：如图1，. 证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在中，，∴，∴， 在中，，∴．∴． 同理可得．因此有． 3）余弦定理：如图2， ． 证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点， 则，即，于是． 在中，，在中，， ，整理得。 同理：；。 图4 图5 4）同角三角函数的基本关系式:，。 证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。 又∵，，∴；。 5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）： ; （已证）. ; . （已证）. 证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。 如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则， 利用锐角三角函数在中表示，。 ∵（等面积），即； 在中，，则。 模型1.新定义模型 例1（24-25九年级下·贵州黔南·期末）如图1，在直角三角形中，．定义的对边与斜边的比叫作的正弦，记作，即定义的邻边与斜边的比叫作的余弦，记作，即如图2，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，1为半径作圆，A为圆O上的一点，且位于第一象限，连接与x轴的正半轴的夹角为α，则点A的坐标可表示为（   ） A．（） B．（） C． D． 例2（24-25九年级上·四川眉山·期末）定义一种运算，，例如：当，时，，则的值是（    ） A． B． C． D． 例3（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点C关于直线的对称点不在外，且此时，则称点C是弦的“点”．如图，已知点，点，在点，，中，点 是弦的“点”；若点是弦的“点”，则点的横坐标的最大值为 ． 例4（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是_______． A．        B．        C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且点是的相似心，． ①求的度数． ②直接写出的值． 例5（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）【定义】如图1，在中，点在射线上，若满足，则称为的“等腰线”． 【探索】（1）如图2，为的“等腰线”，连接，若平分，则是什么特殊图形？试猜想并证明你的结论； 【应用】（2）如图3，若，是的“等腰线”，交直线于点，试在图3中用尺规作图画出点E、F，并求的长； 【拓展】（3）在中，．若是的“等腰线”，交直线于点，且，请直接写出__________． 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”，若等腰是“倍长三角形”，则底角的正切值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，点按变换后得到点的坐标为，则点按变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 4．（2025·湖南娄底·一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为(　　) A． B． C． D． 5．（2025九年级·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，的半径为1，A，B为外两点，．给出如下定义：平移线段，得到的弦（，分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”，若点A，B都在直线上，记线段到的“平移距离”为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．在“等对角四边形”中，，对角线的长 ． 7．（2025·河南漯河·三模）定义：若一个钝角三角形中，两个锐角的内角满足其中一个角的2倍与另一个角互余，则我们称这个三角形为“奋进三角形”．如图，在中，，，，点为上一个动点，若为“奋进三角形”，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线．如图，已知抛物线，顶点为A，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果，（是锐角）则m的值是 ． 9．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）定义：在中，，我们把的对边与的对边的比，叫做的邻弦，记作．解决问题：在中，，，，则 ． 10．（2025九年级下·江西·专题练习）创新考法结合新定义考查多解题定义：若三角形一边上的高与这边的边长相等，则称此三角形为“完美三角形”．如图，在 中，，，，点P是边上一动点，若是“完美三角形”，则的长为 ． 11．（24-25九年级上·湖南永州·期末）我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是（   ） A．   B．   C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且． ①求证：点是的相似心； ②求的值． 12．（2025·河南南阳·模拟预测）定义：在凸四边形中，如果只有一组对角相等，我们把这类四边形叫作“奋进四边形”． (1)操作判断： 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“奋进四边形”的有______（填序号）； (2)性质探究： ①如图2，四边形是“奋进四边形”，，，，则的度数为______，的度数为______； ②如图3，四边形是“奋进四边形”，，，求证：； (3)四边形是“奋进四边形”，，，，，请直接写出的长． 13．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： (1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； (2)若角的终边与直线重合，求的值； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 14．（2025·浙江杭州·一模）定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”，内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用表示．如图，菱形和菱形是组合菱形，其中与共线，且满足． (1)组合比___________； (2)若，求的长； (3)若，求证：． 15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． (1)概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接、，求证：是等高底三角形． (2)问题探究：如图2，是“等高底”三角形，是“等底”，且，是边上的高，求的值． 16．（2025·广东河源·模拟预测）定义：在直角梯形中，若斜腰与梯形的一条底边相等，则此直角梯形被称为“斜腰等底直角梯形”． (1)如图1所示，直角梯形为“斜腰等底直角梯形”，，，，连接，求证：平分； (2)如图2所示，在矩形中，折叠矩形，使点，重合，折痕为，点的对应点为，当时，求证：四边形为“斜腰等底直角梯形”； (3)如图3所示，在中，，，，若以，为边画四边形，当四边形是“斜腰等底直角梯形”时，直接写出的长． 17．（2025·江苏宿迁·二模）我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）在图2，图3中，是的“旋补中心”，是的“旋补中心”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为； ②如图3，当时，则长为_____________． 猜想论证： （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 拓展应用： （3）如图4，在四边形中，，．在四边形内部是否存在点，使是的“旋补中心”？若存在，给予证明，并求的“旋补中心”长；若不存在，说明理由． 18．（2024·海南海口·模拟预测）建立模型为了求得角的正切值，王老师带领同学们设计了如下的数学模型： 如图， 先画一个含角的，使得，，则，延长到，使得，连接，则根据正切的定义，则有：． 模型运用河南省标志性建筑中原福塔是世界最高的全钢结构塔，塔高达米地面至桅杆顶端，整个建筑分塔座、塔身、塔楼、桅杆四个部分为了测量中原福塔最上端桅杆天线部分的高度，李老师带领同学们在距离地面米的建筑物上测得塔楼层处的仰角为往前移动米，在距离地面米的建筑物上测得塔楼层处的仰角为． 请您运用所学知识，求出桅杆天线的高度精确到米可能用到的数据：， 19．（24-25九年级上·全国·随堂练习）阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： ，，则________；① ，，则________；② ，，则________；③ …… 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有________．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想． （2）已知为锐角，且，求的值． 20．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“佳点”．如图1，中，点E是边上一点，连接，若，则称点E是中边上的“佳点”． (1)如图2，已知，在四边形中，平分于点E，，求证：点E是中边上的“佳点”； (2)关于直角三角形斜边上的“佳点”个数有______（填写正确的序号）． ①1个；②2个；③1个或2个；④1个或2个或3个． (3)如图③，中，，点D是边上的“佳点”，求线段的长． 21．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）【知识迁移】：对于钝角α，定义它的三角函数值如下：，． (1)求，，的值； (2)若一个三角形的三个内角的比是，和是这个三角形的两个内角，且、是方程的两个不相等的实数根，求和的度数及m的值． 22．（2025·上海杨浦·一模）定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 23．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为8． ①求的长． ②如图2，在四边形中，若平分，试求四边形面积的最大值． (3)在（1）的条件下，如图3，若是的直径，请用等式表示线段、之间的数量关系______．（直接写答案） 24．（24-25九年级下·山东日照·开学考试）【图形定义】有两边之比为的三角形称为智慧三角形例如，在图的中，若，就称为智慧三角形． 【灵活运用】如图，是智慧三角形，，是边上的中线，求的值． 【拓展延伸】如图，是的内接三角形，是直径，过的中点作，垂足为，交于点，连接交于点． （1）求证：是智慧三角形； （2）若，则的值为______ ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $