第12章 因式分解（单元测试·提升卷）数学沪教版五四制2024七年级上册

2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第12章 因式分解·能力提升·考试版 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．下列整式中，能用公式法进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，一个大正方形被分割成四部分的面积分别为、、、，则大正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 5．有一个因式分解的等式，则式子中的，对应的一组数字可以是（    ） A．16，2 B．16， C．， D．，2 6．已知，，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．因式分解： ． 8．因式分解 ． 9．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是 10．已知，，则 ．（填“”“ ”或“”） 11．计算： ． 12．在对二次三项式 进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为，乙同学因看错了常数项而将其分解为，试将此多项式进行正确的因式分 13．由多项式乘以多项式的法则可以得到： 即：，我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：，我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式： 14．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如： ，因此8，16，24都是“正巧数”． m、n为正整数，且，若 是“正巧数”，则的值为 ． 15．如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长 ． 16．多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ． 17．已知长方形周长8米，长方形的长和宽满足，则长方形面积为 平方米． 18．一个正整数如果加上50或减去31都是一个完全平方数，则这个正整数是 ． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分）因式分解：． 20．（4分）因式分解： 21．（6分）利用因式分解简便计算：． 22．（6分）已知，求的值． 23．（6分）已知a、b为整数，可以分解成三个一次因式的乘积，其中的两个因式为和，求的值．（待定系数法） 24．（10分）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 25．（10分）下面是对整式因式分解的部分过程． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） _____．（第四步） _____．（第五步） 阅读以上解题过程，解答下列问题： (1)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法） (2)在横线上继续完成对本题的因式分解． (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 26．（12分）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第12章 因式分解·能力提升·参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 B A A D B C 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. 8. 9.11 10. 11. 12. 13. 14 . 9 15. 16 . 或 17. 2 18 .31或175或1631 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分） 【详解】解：原式 ……（2分） ．……（2分） 20．（4分） 【详解】解： ……（1分） ……（2分） ……（4分） 21．（6分） 【详解】解： ……（2分） ……（3分） ……（4分） ……（5分） ．……（6分） 22．（6分） 【详解】解：∵， ∴，……（2分） ∴，……（3分） ∴，……（4分） ∴，……（5分） ∴．……（6分） 23．（6分） 【详解】解：设，……（1分） 则， ，……（3分） 解得，……（5分） ．……（6分） 24．（10分） 【详解】（1）解：∵式子相乘分解得：， ∴原式一定可以分解成的形式， 分别对与进行十字相乘分解，如图所示： ∴．……（5分） （2）解：将进行因式分解，如图所示： 或 ∴或 ∴或， 当时，无法用十字相乘法进行因式分解； 当时，可以用十字相乘法进行因式分解， 此时原式为，对，，用十字相乘法因式分解，如图所示： ∴此时， ∴时，符合题意．……（10分） 25．（10分） 【详解】（1）解：第二步用了分组分解法，第三步用了提公因式法，第四步运用公式法；……（2分） （2）解：原式（第四步） （第五步）……（6分） （3）解： ．……（10分） 26．（12分） 【详解】（1）解：， ∵， ∴（满足条件①）， 当时，（满足条件②）， ∴是的下确界；……（4分） （2）解：∵代数式的下确界是1， ∴可设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即：；……（8分） （3）解： ， ∵， ∴（满足条件①）， 当，即时，（满足条件②）， ∴6是的下确界……（12分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第12章 因式分解·能力提升·考试版 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．下列整式中，能用公式法进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，一个大正方形被分割成四部分的面积分别为、、、，则大正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 5．有一个因式分解的等式，则式子中的，对应的一组数字可以是（    ） A．16，2 B．16， C．， D．，2 6．已知，，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．因式分解： ． 8．因式分解 ． 9．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是 10．已知，，则 ．（填“”“ ”或“”） 11．计算： ． 12．在对二次三项式 进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为，乙同学因看错了常数项而将其分解为，试将此多项式进行正确的因式分 13．由多项式乘以多项式的法则可以得到： 即：，我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：，我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式： 14．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如： ，因此8，16，24都是“正巧数”． m、n为正整数，且，若 是“正巧数”，则的值为 ． 15．如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长 ． 16．多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ． 17．已知长方形周长8米，长方形的长和宽满足，则长方形面积为 平方米． 18．一个正整数如果加上50或减去31都是一个完全平方数，则这个正整数是 ． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分）因式分解：． 20．（4分）因式分解： 21．（6分）利用因式分解简便计算：． 22．（6分）已知，求的值． 23．（6分）已知a、b为整数，可以分解成三个一次因式的乘积，其中的两个因式为和，求的值．（待定系数法） 24．（10分）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 25．（10分）下面是对整式因式分解的部分过程． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） _____．（第四步） _____．（第五步） 阅读以上解题过程，解答下列问题： (1)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法） (2)在横线上继续完成对本题的因式分解． (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 26．（12分）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷 第12章 因式分解·能力提升 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A项：，是整式乘法，不是因式分解； B项：，右边是积的形式，且不可再分解，是因式分解； C项：，选项是把一个多项式化为几个整式的积的形式，但分解不彻底，不符合“分解到不能再分解为止”的要求，不符合题意； D项: ，右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； ∴ 从左到右的变形是因式分解的是选项B， ∴故选：B． 2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ，，故A正确． 故选：A． 3．下列整式中，能用公式法进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A：符合平方差公式，可分解为． B：是平方和，在实数范围内无法用公式分解． C：，若为完全平方，应满足，但实际中间项为，不符合． D：在实数范围内无法用公式分解． ∴只有选项A能用公式法因式分解． 故选：A． 4．如图，一个大正方形被分割成四部分的面积分别为、、、，则大正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 大正方形的边长为， 故选：D． 5．有一个因式分解的等式，则式子中的，对应的一组数字可以是（    ） A．16，2 B．16， C．， D．，2 【答案】B 【详解】解：由，得出， 则，则． 故选：B． 6．已知，，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，， ，，， ， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．因式分解： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 8．因式分解 ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 9．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是 【答案】11 【详解】由 ， ∴，， ∵、为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴这样的的最大值是11． 故答案为：11． 10．已知，，则 ．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【详解】解： ， ∴． 故答案为：． 11．计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 12．在对二次三项式 进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为，乙同学因看错了常数项而将其分解为，试将此多项式进行正确的因式分 【答案】 【详解】解：， ， ∴，， 由题意可知：原二次三项式为， ∴． 故答案为：． 13．由多项式乘以多项式的法则可以得到： 即：，我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：，我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式： 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 14．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如： ，因此8，16，24都是“正巧数”． m、n为正整数，且，若 是“正巧数”，则的值为 ． 【答案】9 【详解】解：， 是“正巧数”， ． 故答案为：9． 15．如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长 ． 【答案】 【详解】解：由题意得， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 16．多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴第一种情况，与一组， ∴ ； 第二种情况，与一组， ∴ ； 故答案为：或． 17．已知长方形周长8米，长方形的长和宽满足，则长方形面积为 平方米． 【详解】由周长公式得： 设，则，且 ， 代入方程： 故长方形面积为平方米。 故答案为：2． 18．一个正整数如果加上50或减去31都是一个完全平方数，则这个正整数是 ． 【答案】31或175或1631 【详解】解：设这个正整数为a，则，，， ， 对81因式分解，可以分解为3和27，或1和81，或9和9， 所以：，， 所以：, 由得：； 或，， 所以：, 由得：； 或，， 所以：, 由得：； 故答案为：31或175或1631． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分）因式分解：． 【详解】解：原式 ……（2分） ．……（2分） 20．（4分）因式分解： 【详解】解： ……（1分） ……（2分） ……（4分） 21．（6分）利用因式分解简便计算：． 【详解】解： ……（2分） ……（3分） ……（4分） ……（5分） ．……（6分） 22．（6分）已知，求的值． 【详解】解：∵， ∴，……（2分） ∴，……（3分） ∴，……（4分） ∴，……（5分） ∴．……（6分） 23．（6分）已知a、b为整数，可以分解成三个一次因式的乘积，其中的两个因式为和，求的值．（待定系数法） 【详解】解：设，……（1分） 则， ，……（3分） 解得，……（5分） ．……（6分） 24．（10分）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 【详解】（1）解：∵式子相乘分解得：， ∴原式一定可以分解成的形式， 分别对与进行十字相乘分解，如图所示： ∴．……（5分） （2）解：将进行因式分解，如图所示： 或 ∴或 ∴或， 当时，无法用十字相乘法进行因式分解； 当时，可以用十字相乘法进行因式分解， 此时原式为，对，，用十字相乘法因式分解，如图所示： ∴此时， ∴时，符合题意．……（10分） 25．（10分）下面是对整式因式分解的部分过程． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） _____．（第四步） _____．（第五步） 阅读以上解题过程，解答下列问题： (1)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法） (2)在横线上继续完成对本题的因式分解． (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 【详解】（1）解：第二步用了分组分解法，第三步用了提公因式法，第四步运用公式法；……（2分） （2）解：原式（第四步） （第五步）……（6分） （3）解： ．……（10分） 26．（12分）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 【详解】（1）解：， ∵， ∴（满足条件①）， 当时，（满足条件②）， ∴是的下确界；……（4分） （2）解：∵代数式的下确界是1， ∴可设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即：；……（8分） （3）解： ， ∵， ∴（满足条件①）， 当，即时，（满足条件②）， ∴6是的下确界……（12分） 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