专题27.2.2 相似三角形的性质及应用（高效培优讲义）数学人教版九年级下册

专题27.2.2相似三角形的性质及应用 教学目标 1. 能利用相似三角形的性质，解决有关的计算或者证明问题 2. 能运用相似三角形的有关知识，解决简单的实际问题 教学重难点 重点：掌握相似三角形的性质及常见实际问题 难点：注意理解面积之比和相似比的关系；会从实际问题重分离出相似图形 知识点01  相似三角形的性质 性质1.相似三角形__________，对应边____________． 如图， ，则有 ， ， ； （ 为相似比）． 【即学即练】 1.如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 性质2 . 相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． ①如图， ， 是 中 边上的中线， 是 中 边上的中线，则有 （ 为相似比）． ②如图， ， 是 中 边上的高线， 是 中 边上的高线，则有 （ 为相似比）． ③如图， ， 是 中 的角平分线， 是 中 的角平分线，则有 （ 为相似比）． 【即学即练1】若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的周长比为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【即学即练3】顺次连接三角形三边的中点，所围成的三角形与原三角形的对应高的比是（    ）． A． B． C． D． 性质3. 相似三角形周长的比等于相似比． 如图， ，则 有 ； 【即学即练】已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为 ． 性质4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图， ，则有 【即学即练】如图，在梯形中，，对角线和相交于点的面积为1平方厘米，则的面积为 平方厘米． 知识点02  相似三角形的应用 【方法】分离出几何图形，利用角角或者平行得相似这两个判定找到相似三角形，根据对应边成比例列出方程，求解得出所求。【用到得相似图形】     【即学即练1】8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值） (1)嘉嘉发现当米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔的高度． (2)依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【即学即练2】如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 米． 【即学即练3】我国的雅鲁藏布大峡谷是地球上最大、最深的峡谷．为了研究在峡谷上架设桥梁的可行性，需要测量大峡谷某处的宽度．研究人员在对面的岩石上观察到一个特殊明显的标志点，再在他们所在的这一侧选三个点，，（点，，，在同一平面内），使得，，然后从点处观察点，确定视线与的交点为点（如图）．测得，，，则 研究人员可算出峡谷的宽为 ． 题型01 利用三角形对应边之比等于相似比求线段长 【典例1】如图，，，那么与的相似比为 ．    【变式1】如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】已知CD是Rt△ABC斜边上的高，则下列各式中不正确的是(    ) A．BC2＝BD•AB B．CD2＝BD•AD C．AC2＝AD•AB D．BC•AD＝AC•BD 【变式3】如图，中，点在线段上，且，则下列结论一定正确的是（       ） A． B． C． D． 【变式4】如图，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为(　　) A．2：1 B．3：1 C．4：3 D．3：2 题型02 利用三角形高，中线，角平分之比等于相似比求线段长度 【典例1】在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP、DQ是中线，若AP＝2，则DQ的长为（  ） A．2 B．4 C．1 D． 【变式1】若,顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且，则这两个三角形的对应中线之比为（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【变式3】如图所示，在中，，平分，交于点P，如果，，，那么的长是 ． 题型03 利用相似三角形周长之比等于相似比求线段或周长 【典例1】两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应边上的高的比为（    ） A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．不同的对应边上的高的比不同 【变式1】16．如果一个三角形保持形状不变，但周长扩大为原来的倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（ ） A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 【变式2】两个相似三角形的相似比是，周长的差为，则它们的周长分别为 ． 【变式3】如图，在平行四边形MNPQ中，点E是NP边的中点，连接ME交对角线NQ于点O，则△MNO与四边形EPQO的面积之比为 ． 【变式4】两个相似三角形的一对对应边长分别为，，它们的周长差为，则这两个三角形的周长分别是 ____， ______ ． 题型04 利用相似三角形面积之比等于相似比的平方求面积 【典例1】如图，正方形OABC的边长为6，顶点A，C在坐标轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，，则点Q的坐标为 ． 【变式1】如图，在平行四边形中，E为CD上一点．连接AE，BD，且AE，BD交于点F，，则 ． 【变式2】如图，在中，D为边的四等分点（即），，F为中点，若的面积为1，则四边形的面积为（    ）． A．10 B． C．4 D．12 【变式3】如图，△ABC∽△DEF，AM和DN分别是边BC和EF上的高，若S△ABC：S△DEF＝1：4，AM＝3，则DN＝ ． 【变式4】如图，已知，，，，则 ，和的面积之比为 ． 题型05 应用--- 测量高度 【典例1】在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． (1)第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度； (2)如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点在一条直线上，，根据以上测量数据，求出树的高度． 【变式1】国际会议中心是亚洲最大的单体木制结构建筑．小明利用硬纸板自制测量国际会议中心的高度，他们通过调整位置，使斜边与点B在同一直线上 （如图所示），另一条直角边与会议中心顶点A在同一直线上，目测点到地面的距离米，到会议中心的水平距离米．已知米，米，求会议中心的高度． 【变式2】某校初三学生开展主题为“测量校园凉亭高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内凉亭的高度（凉亭顶端M与底部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺． 实践活动 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向凉亭顶端M，调整人到凉亭的距离，使得点M与点C，A恰好在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如示意图所示． 示意图 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离，． 解决问题 利用得到的数据求出凉亭的高度． 【变式3】如图，在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为，留在墙上的影长，则旗杆的高度为 ． 题型06 应用--- 测量河宽 【典例1】下表是某次实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河的宽度为（   ） 题目 测量小河的宽度 测量目标示意图 相关数据 ，，米，米，米 A．4米 B．米 C．米 D．20米 【变式1】为了测量池塘两端、的距离，选择了平地上、、三个点，点、分别在、上，现测得米，米，米，米，米．求的长． 【变式2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线与河垂直，接着再过点S且与垂直的直线a上选择适当的点T，确定与过点Q且垂直的直线b的交点R．如果测得，，，求河的宽度． ​ 题型07 应用--- 小孔成像问题 【典例1】我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距OD为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜焦距的长（精确到1厘米）． 【变式2】据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验．小孔成像示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 ． 题型08 应用--- 三角形中矩形问题 【典例1】小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子， 的长度和为，那么灯泡离地面的高度为 ． 【变式1】如图，正方形EFGH内接于，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．则正方形EFGH的边长是 ． 【变式2】 如图是一块三角形钢材，其中边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是 cm 1． 选择题 1.如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（    ） A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2 2．如图，在平行四边形中，，且，那么（   ） A．9 B．12 C．16 D．20 3．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中错误的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，雨后操场有一洼积水，小明在B处站定后，通过水洼P点正好观察到操场旗杆顶部C，小明的眼睛离地面高度为米，他离P点的距离为2米，旗杆底端D离P点12米，点B、P、D在同一水平直线上，则旗杆的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．9米 D．12米 5．阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高为，则小孔到的距离为（   ） A． B． C． D． 2． 填空题 6．两个相似三角形对应中线之比是，它们的面积差是，则较大三角形的面积是 ． 7．如果两个相似三角形面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为 ． 8．如图，的面积为36,边cm，矩形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上，若，则 cm. 9． 已知△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，若AB:DE＝1:2，△ABC的周长是5cm，则△DEF的周长是 cm． 10．如图，甲、乙两建筑物在太阳光线下的影子的端点重合在地面上的点处，已知点、、在一条直线上，若，，乙建筑物的高度，则甲建筑物的高度为 ． 11．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则，和的周长之比为 ． 12．同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏之间距离的一半，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的火焰的高度为 ． 13．如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是，则实像的高是 ． 14．如图，某人与一座建筑物的距离，他站在A处，将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，若此时眼睛到食指的距离约为，食指的长约，则该建筑物的高度约是 ． 3． 简答题 15．如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 16．如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 17．如图在中，，高，它的内接矩形（点在边上，点、在边上，点在边上），与边之比为，求的长． 18．为了测量学校旗杆上旗帜的宽度，如图，点P、G．C、A在同一水平直线上，，小红在C处竖立一根标杆，地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上（N在上），米，米，米；小明手持自制直角三角纸板（），其中米，米，使长直角边与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，，米，米，请你根据上述信息求出旗帜的宽度． 19．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 8．如图，点是河对岸上一点，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，且，．若米，米，米，求河的宽度． 20．如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆在地面上的影长为，在墙面上的影为．同一时刻，直立于地面长的标杆的影长为，求旗杆的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.2.2相似三角形的性质及应用 教学目标 1. 能利用相似三角形的性质，解决有关的计算或者证明问题 2. 能运用相似三角形的有关知识，解决简单的实际问题 教学重难点 重点：掌握相似三角形的性质及常见实际问题 难点：注意理解面积之比和相似比的关系；会从实际问题重分离出相似图形 知识点01  相似三角形的性质 性质1.相似三角形对应角相等，对应边成比例． 如图， ，则有 ， ， ； （ 为相似比）． 【即学即练】 1.如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可． 【详解】解：， ， ， A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 性质2 . 相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． ①如图， ， 是 中 边上的中线， 是 中 边上的中线，则有 （ 为相似比）． ②如图， ， 是 中 边上的高线， 是 中 边上的高线，则有 （ 为相似比）． ③如图， ， 是 中 的角平分线， 是 中 的角平分线，则有 （ 为相似比）． 【即学即练1】若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 【即学即练2】两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的周长比为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】两个相似三角形的对应边的比，对应角平分线的比，对应中线的比，对应高线的比，周长的比都等于相似比． 【详解】两个相似三角形的对应角平分线的比为， 两个相似三角形的相似比为， 周长的比为． 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用． 【即学即练3】顺次连接三角形三边的中点，所围成的三角形与原三角形的对应高的比是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“相似三角形的对应高的比等于相似比”求解即可． 【详解】∵顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形相似，且相似三角形对应高的比等于相似比． 又∵顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形的三边的长等于原三角形对应边的一半， ∴顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应高的比是 12． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、三角形中位线定理，解题的关键是掌握相似三角形的对应边上的高的比等于相似比． 性质3. 相似三角形周长的比等于相似比． 如图， ，则 有 ； 【即学即练】 5．已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据对应中线的比是，可得这两个三角形的相似比是，由于相似三角形的周长比等于相似比，由此可求出结果． 【详解】解：∵与相似且对应中线的比为， ∴的周长为的周长， ∴的周长， ∴的周长， 故答案为：． 性质4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图， ，则有 【即学即练1】如图，在梯形中，，对角线和相交于点的面积为1平方厘米，则的面积为 平方厘米． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可得，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 知识点02   相似三角形的应用 【方法】分离出几何图形，利用角角或者平行得相似这两个判定找到相似三角形，根据对应边成比例列出方程，求解得出所求。【用到得相似图形】     【即学即练1】8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值） (1)嘉嘉发现当米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔的高度． (2)依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】(1)飞虹塔的高度是 (2)飞虹塔的大致高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用； （1）根据题意证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解；‘’ （2）设，依据题意得：，证明，根据相似三角形的性质列出比例式得出，进而证明，根据相似三角形的性质列出比例式，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， 解得：，经检验，符合题意， 答：飞虹塔的高度是； （2）解：设，依据题意得：， ， ， ， ， ， 即， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， ，经检验，符合题意， 答：飞虹塔的大致高度为． 【即学即练2】如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 解得：， 故答案为：． 米． 【即学即练3】我国的雅鲁藏布大峡谷是地球上最大、最深的峡谷．为了研究在峡谷上架设桥梁的可行性，需要测量大峡谷某处的宽度．研究人员在对面的岩石上观察到一个特殊明显的标志点，再在他们所在的这一侧选三个点，，（点，，，在同一平面内），使得，，然后从点处观察点，确定视线与的交点为点（如图）．测得，，，则 研究人员可算出峡谷的宽为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用了相似三角形对应边成比例的性质，构造出相似三角形是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， 又（对顶角相等）， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 即峡谷的宽是． 故答案为：． 题型01 利用三角形对应边之比等于相似比求线段长 【典例1】如图，，，那么与的相似比为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合已知求出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为相似比， ∵， ∴，即相似比为， 故答案为：． 【变式1】如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A，B，C正确,D错误 故选：D． 【变式2】已知CD是Rt△ABC斜边上的高，则下列各式中不正确的是(    ) A．BC2＝BD•AB B．CD2＝BD•AD C．AC2＝AD•AB D．BC•AD＝AC•BD 【答案】D 【分析】根据①直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项,进行判断即可. 【详解】解: 根据射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项可得:A、C都正确. 根据直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项可得B选项正确; 综上可得:A, B、C选项都正确. 故选D. 【点睛】本题考查射影定理的知识,属于基础题,注意掌握射影定理的内容并灵活运用. 【变式3】如图，中，点在线段上，且，则下列结论一定正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明△BAD∽△BCA，则利用相似的性质得AB：BC=BD：AB，然后根据比例性质得到AB2=BC•BD． 【详解】∵∠BAD=∠C， 而∠ABD=∠CBA， ∴△BAD∽△BCA， ∴AB:BC=BD:AB， ∴AB2=BC⋅BD. 故选C. 【点睛】本题考查三角形中线段的比列关系，解题的关键是应用射影定理. 【变式4】如图，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为(　　) A．2：1 B．3：1 C．4：3 D．3：2 【答案】A 【分析】通过观查图形可知∠C和∠F是对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，即可得出结论． 【详解】解：观查图形可知∠C和∠F是对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，∵BC＝12，EF＝6，∴． 故选A. 【点睛】此题重点考查学生对相似三角形性质的理解，掌握相似三角形性质是解题的关键. 题型02 利用三角形高，中线，角平分之比等于相似比求线段长度 【典例1】在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP、DQ是中线，若AP＝2，则DQ的长为（  ） A．2 B．4 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据已知可证△ABC∽△DEF，且△ABC和△DEF的相似比为2，再根据相似三角形对应边的比等于相似比，即可求出DQ． 【详解】解：因为在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF， ∴ ， 又∵∠A=∠D， ∴△ABC∽△DEF，且△ABC和△DEF的相似比为2， ∵AP、DQ是中线，若AP＝2， ∴ ∴DQ＝1． 故答案为C． 【点睛】本题难度中等，考查相似三角形的判定和性质，相似三角形对应边的比等于相似比. 【变式1】若,顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且，则这两个三角形的对应中线之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质，对应中线之比等于相似比得到结果. 【详解】,、、分别与、、对应，且 ∴对应中线之比=. 故选B. 【点睛】本题考查相似三角形的性质，对应线段之比都等于相似比. 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 【变式3】如图所示，在中，，平分，交于点P，如果，，，那么的长是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据得出，由相似三角形的性质得出，再由得出，从而可求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 题型03 利用相似三角形周长之比等于相似比求线段或周长 【典例1】两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应边上的高的比为（    ） A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．不同的对应边上的高的比不同 【答案】A 【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4， ∴它们的对应边上的高比为1：4． 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解答此题的关键． 【变式1】16．如果一个三角形保持形状不变，但周长扩大为原来的倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（ ） A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 【答案】B 【分析】根据相似三角形的周长比等于三角形的相似比即可解题. 【详解】∵三角形保持形状不变， ∴扩大后的三角形与原三角形相似,而周长扩大到原来的4倍, ∴这个三角形的边长扩大到原来的4倍, 故选B. 【点睛】本题考查了相似三角形的相似比和周长比之间的关系,属于简单题,熟练掌握相似三角形的性质是解题关键. 【变式2】两个相似三角形的相似比是，周长的差为，则它们的周长分别为 ． 【答案】， 【分析】由两个相似三角形相似之比为，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可得它们的周长比为，又由周长之差为，即可求得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们的周长比为， 设它们的周长分别为，， ∵周长的差为， ∴ 解得：， ∴它们的周长分别为，， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，此题比较简单，注意掌握相似三角形的周长比等于相似比是解此题的关键． 【变式3】如图，在平行四边形MNPQ中，点E是NP边的中点，连接ME交对角线NQ于点O，则△MNO与四边形EPQO的面积之比为 ． 【答案】2：5 【分析】证明△ONE∽△OQM，由相似三角形的性质得出，可得出 ， ，设S△ONE=x，则S△OQM=4x，得出S△MNO=S△OQM=2x，四边形EPQO的面积=5x，则可求出答案 . 【详解】解：∵四边形MNPQ是平行四边形， ∴MQ＝NP，MQ∥NE， ∵E为NP的中点， ∴EN＝EP＝NP＝MQ， ∵EN∥MQ， ∴△ONE∽△OQM， ∴， ∴＝＝，， 设S△ONE＝x，则S△OQM＝4x， ∴S△MNO＝＝2x， ∴S△NMQ＝S△MNO+S△OQM＝6x， ∵S△NMQ＝S△NPQ＝6x， ∴四边形EPQO的面积＝5x， ∴△MNO与四边形EPQO的面积比＝2：5， 故答案为：2：5． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键. 【变式4】两个相似三角形的一对对应边长分别为，，它们的周长差为，则这两个三角形的周长分别是 ， ． 【答案】 126cm 132cm 【分析】根据相似三角形的一对对应边的长，可得出相似比，再根据周长的比等于相似比，即可求出两个三角形的周长． 【详解】解：∵三角形的对应边的比是21：22，周长的比等于相似比， ∴可以设一个三角形的周长是21x，则另一个三角形的周长是22x， ∵周长相差6cm，得到22x-21x=6， 解得：x=6， ∴21×6=126（cm）， ∴22×6=132（cm）， ∴这两个三角形的周长分别为126cm，132cm． 故答案为126cm，132cm． 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比． 题型04 利用相似三角形面积之比等于相似比的平方求面积 【典例1】如图，正方形OABC的边长为6，顶点A，C在坐标轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，，则点Q的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作，垂足为，交于点，可知，根据面积比，可知，可求得点Q的坐标． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点． 四边形OABC是正方形， ， ． ， ． ， 点Q的坐标为． 故答案为： ． 【变式1】如图，在平行四边形中，E为CD上一点．连接AE，BD，且AE，BD交于点F，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质及平行四边形的性质．由四边形是平行四边形，可得，然后由可知，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式2】如图，在中，D为边的四等分点（即），，F为中点，若的面积为1，则四边形的面积为（    ）． A．10 B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据得到和，根据相似三角形的性质得到，由于D为边的四等分点，可证得，根据三角形的面积公式证得，再次利用相似三角形的性质得到，据此进行计算四边形的面积即可． 【详解】解：连接， 、 ，即 、 、 ． 故选：B． 【变式3】如图，△ABC∽△DEF，AM和DN分别是边BC和EF上的高，若S△ABC：S△DEF＝1：4，AM＝3，则DN＝ ． 【答案】6. 【分析】根据相似三角形对应边上的高的比等于相似比解决问题即可． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF， ∴＝（）2＝， ∵AM＝3， ∴DN＝2AM＝6， 故答案为6． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 【变式4】如图，已知，，，，则 ，和的面积之比为 ． 【答案】 9 1：9． 【分析】根据两直线平行同位角相等，可以得出∠ADE=∠ABC，∠AEC=∠ACB，即：△ADE∽△ABC，所以由相似三角形的性质得出 ，三角形的面积公式为： ×高×底，可直接求出二者的比值． 【详解】设△ADE和△ABC的高分别为：h1，h2，则： ∵DE∥BC ∴∠ADE=∠ABC，∠AEC=∠ACB（两直线平行，同位角相等） ∴△ADE∽△ABC ∴，即：， ∴BC=9，h1=h2 ∴△ADE和△ABC的面积之比为：（×h1×DE）：（×h2×BC）==1：9 所以，BC=9，△ADE和△ABC的面积之比为：1：9． 【点睛】本题主要考查平行线的性质在三角形中的应用，利用三角形中的平行线可以求出被该平行线分割成的两个三角形的边之比和面积之比． 题型05 应用--- 测量高度 【典例1】在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． (1)第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度； (2)如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点在一条直线上，，根据以上测量数据，求出树的高度． 【答案】(1)12米 (2)米 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据同一时刻，同一水平面，人的身高人的影子旗杆的高度旗杆的影子，即可得出答案； （2）过点作，垂足为，交于点，接着证明，利用求得答案即可． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为米，根据题意得， 解得， 答：旗杆的高度为12米． （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则 ∴四边形，四边形都是矩形， 则， ， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：树的高度为8.8米． 【变式1】国际会议中心是亚洲最大的单体木制结构建筑．小明利用硬纸板自制测量国际会议中心的高度，他们通过调整位置，使斜边与点B在同一直线上 （如图所示），另一条直角边与会议中心顶点A在同一直线上，目测点到地面的距离米，到会议中心的水平距离米．已知米，米，求会议中心的高度． 【答案】26米 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质的应用，勾股定理，矩形的性质和判定， 根据勾股定理求出，再说明四边形是矩形，可得，然后证明，根据相似三角形的对应边成比例求出，最后根据得出答案. 【详解】解：在中，米，米， ∴米. ∵， ∴四边形是矩形， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得米， ∴米. 所以会议中心的高度为26米. 【变式2】某校初三学生开展主题为“测量校园凉亭高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内凉亭的高度（凉亭顶端M与底部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺． 实践活动 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向凉亭顶端M，调整人到凉亭的距离，使得点M与点C，A恰好在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如示意图所示． 示意图 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离，． 解决问题 利用得到的数据求出凉亭的高度． 【答案】凉亭的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．先证明，求出，再证明四边形是矩形，得到，即可求得答案． 【详解】解：由题意知，，， ， ， ， ， 解得， ，，， 四边形是矩形， ， ， 凉亭的高度为． 【变式3】如图，在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为，留在墙上的影长，则旗杆的高度为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，相似三角形的应用中的高度与影长的关系，过作交于，结合矩形的性质，由影长与高度之间的关系得，即可求解． 【详解】解：过作交于， 四边形是矩形， ， ， 长的竹竿竖直放置时影长， ， ， 解得， （）， 故答案为：． 题型06 应用--- 测量河宽 【典例1】下表是某次实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河的宽度为（   ） 题目 测量小河的宽度 测量目标示意图 相关数据 ，，米，米，米 A．4米 B．米 C．米 D．20米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． 设米，证明，进而证明，进而根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设米， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 即河的宽度为米． 故选：B． 【变式1】为了测量池塘两端、的距离，选择了平地上、、三个点，点、分别在、上，现测得米，米，米，米，米．求的长． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，能找到相似三角形的条件是解题的关键．根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”求出，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， , ， 又∵， ∴， ∴，即， ∴（米）． 答：的长为米． 【变式2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线与河垂直，接着再过点S且与垂直的直线a上选择适当的点T，确定与过点Q且垂直的直线b的交点R．如果测得，，，求河的宽度． ​ 【答案】河的宽度为 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：河的宽度为． 题型07 应用--- 小孔成像问题 【典例1】我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形性质和判定，根据题意证明，结合高之比等于相似比得到，再结合蜡烛火焰的高度是，进行求解，即可解题． 【详解】解：与交于点O，， ， 点O到的距离为，点O到的距离为， ， 蜡烛火焰的高度是， ， 解得， 故选：A． 【变式1】如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距OD为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜焦距的长（精确到1厘米）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先由题意可证明，求出，再证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）先证明，根据，得到，再根据即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， ． ， ， 即． 同理可得， ， ， ， ． ， ， 像的长度为； （2）解：由题意得，， 由（1）得， ． ， ， ， ， ． 设， ， ，解得， ， 凸透镜焦距的长约为． 【变式2】据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验．小孔成像示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形对应边的比相等的性质是解题的关键． 先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴①②得， ∴，即， ∵，， ∴，解得：． 故答案为：． 题型08 应用--- 三角形中矩形问题 【典例1】小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子， 的长度和为，那么灯泡离地面的高度为 ． 【答案】140 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，注意运用相似三角形对应高的比等于相似比这个性质． 根据相似三角形的判定可得，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度 【详解】解：如图， ∵ ，． ∴， 根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得 ， ， 解得． 灯泡离地面的高度为； 故答案为：140． 【变式1】如图，正方形EFGH内接于，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．则正方形EFGH的边长是 ． 【答案】 【分析】由相似三角形的性质和正方形的性质列出比例式，代入数值求解即可． 【详解】解： ∵四边形EFGH是正方形 ∴EH∥BC，EH=EF， ∴△AEH∽△ABC ∴ ，即 【变式2】 如图是一块三角形钢材，其中边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是 cm 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形对应高的比等于相似比，正确理解相似三角形的性质是解题的关键．先根据正方形对边平行，可证得，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：是的高， ， 在正方形中，， ，四边形是矩形， 令厘米，则厘米， ，解得． 这个零件的边长为厘米． 故答案为：． 1． 选择题 1.如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（    ） A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2 【答案】A 【分析】根据题意，三角形ΔADE ∽ ΔABC，由AD：DB=2：1，可得到AD：AB=2：3，再根据相似三角形的对应边的比就是相似比，可得答案. 【详解】解：∵AD：DB=2：1 ∴AD：AB=2：3 ∵△ADE∽△ABC, ∴AD：AB=2：3 ∴△ADE与△ABC的相似比为2:3. 故答案为：A. 【点睛】此题考查相似三角形的相似比，熟练掌握相似三角形性质是解题关键. 2．如图，在平行四边形中，，且，那么（   ） A．9 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键．在平行四边形中，有，，根据，可得，即有，根据，可得，即有，根据，可得，根据，可得，即有，问题随之得解． 【详解】解：在平行四边形中，有，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵行四边形中，， ∴， 故选：D． 3．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中错误的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据得到，得到；根据得到，可以推出，由此得到继而得到可以判断①；根据，可以判断②；根据题意，得可以判断③；根据，得，得到，从而得，可判断④；根据，，得，结合，得，可判断⑤． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ， ∴②正确； ， ， ∴③正确； ， ， ， ， ， ，故④错误． ∵，， ∴， ∵， ∴，故⑤错误； 综上，错误的有2个， 故选：A． 4．如图，雨后操场有一洼积水，小明在B处站定后，通过水洼P点正好观察到操场旗杆顶部C，小明的眼睛离地面高度为米，他离P点的距离为2米，旗杆底端D离P点12米，点B、P、D在同一水平直线上，则旗杆的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．9米 D．12米 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，镜面反射的基本性质，根据题意得出三角形相似是解题的关键．根据题意由镜面反射的性质可推出，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答． 【详解】解：根据题意可知，，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴米， 即旗杆的高度是9米． 故选：C． 5．阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高为，则小孔到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字形模型相似三角形是解题的关键． 根据题意可得，，，从而可得，然后证明字形模型相似，，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：， 小孔到的距离为. 故选：A． 2． 填空题 6．两个相似三角形对应中线之比是，它们的面积差是，则较大三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，一元一次方程的应用，根据相似三角形的性质求出面积比，根据题意列出方程，解方程即可，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形对应中线之比是， ∴它们的面积比是， 设较小三角形的面积是，较大三角形的面积是， ∴， 解得， ∴较大三角形的面积是， 故答案为：． 7．如果两个相似三角形面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键． 相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴两个相似三角形相似之比为， ∴这两个三角形的周长之比为． 故答案为： 8．如图，的面积为36,边cm，矩形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上，若，则 cm. 【答案】6 【分析】作AH⊥BC于H点，可得△ADG∽△ABC，△BDE∽△BAH，根据相似三角形对应边比例等于相似比可解题． 【详解】解：作AH⊥BC于H点， ∵四边形DEFG为矩形， ∴△ADG∽△ABC，△BDE∽△BAH， ∵的面积为36,边cm ∴AH=6 ∵EF=2DE，即DG=2DE 解得：DE=3 ∴DG=6 故答案为6 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质． 9．已知△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，若AB:DE＝1:2，△ABC的周长是5cm，则△DEF的周长是 cm． 【答案】10 【分析】根据相似三角形的性质：周长比=相似比，即可解决问题； 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2， ∴△ABC的周长：△DEF的周长=1：2， ∵△ABC的周长是5cm， ∴△DEF的周长是10cm． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10．如图，甲、乙两建筑物在太阳光线下的影子的端点重合在地面上的点处，已知点、、在一条直线上，若，，乙建筑物的高度，则甲建筑物的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型是解决问题的关键．根据已知条件易证，根据相似三角形的性质可得，代入数据即可求的长度． 【详解】解：根据题意得， ， ，即， （）． 故答案为：． 11．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则，和的周长之比为 ． 【答案】 【分析】首先证明，然后根据相似三角形的对应边成比例求得相似比，根据相似三角形的周长比等于相似比即可求得答案． 【详解】解：设与的相似比为， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴和的周长之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 12．同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏之间距离的一半，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的火焰的高度为 ． 【答案】3.2 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．先证，根据“相似三角形的相似比等于对应边上的高的比”即可求解． 【详解】解：如图：由题可知， ． ． 蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏之间距离的一半， （相似三角形对应高之比等于相似比）． 又， ． ． 故答案为：． 13．如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是，则实像的高是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：如图所示： 14．如图，某人与一座建筑物的距离，他站在A处，将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，若此时眼睛到食指的距离约为，食指的长约，则该建筑物的高度约是 ． 【答案】24 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．核心是利用相似三角形对应边成比例的性质，将实际问题中的长度测量转化为数学中的比例计算． 根据题意证明，再通过对应边成比例来计算建筑物的高度即可． 【详解】∵，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：24． 3． 简答题 15．如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，再结合可证，再根据两组对角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据正方形的性质以及已知条件可得、，再结合列比例式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． （2）解：四边形为正方形， ． ， ，， ， ， ，解得：． 16．如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，判定两三角形相似是解题关键， （1）证出，结合对顶角相等即可证明结论； （2）根据相似三角形性质证出即可证出结论． 【详解】（1）证明：在四边形中，， ， 恰好平分， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ， ． 17．如图在中，，高，它的内接矩形（点在边上，点、在边上，点在边上），与边之比为，求的长． 【答案】 【分析】设矩形的长，则宽，易证四边形是矩形，则，根据矩形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设矩形的长，则宽， 四边形是矩形， ，， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ，， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 18．为了测量学校旗杆上旗帜的宽度，如图，点P、G．C、A在同一水平直线上，，小红在C处竖立一根标杆，地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上（N在上），米，米，米；小明手持自制直角三角纸板（），其中米，米，使长直角边与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，，米，米，请你根据上述信息求出旗帜的宽度． 【答案】1.3米 【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键． 延长交于Q，则，，证明和，可得和的值，最后由线段的和差可得结论． 【详解】解：如图，延长交于Q，则，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， 同理得：， ∴，即， 解得， ∴ (米)． 答：旗帜的宽度是1.3米． 19．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据与可判断与相似，再根据边成比例计算即可． 【详解】解：，， ， 根据镜面的反射性质， ， 在与中， ， ， ， ，，， ， ， 旗杆高度为． 8．如图，点是河对岸上一点，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，且，．若米，米，米，求河的宽度． 【答案】河的宽度为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用; 设宽度为米，证明得出，代入数据，即可求解． 【详解】解：设宽度为米， ， ， ， 又米，米，米， ， 解得， 答：河的宽度为米 20．如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆在地面上的影长为，在墙面上的影为．同一时刻，直立于地面长的标杆的影长为，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的相似的应用，灵活运用相似三角形的判定与性质解决实际问题是解题的关键． 如图：分别延长、相交于点F，，易得，则；再证明，然后运用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：分别延长、相交于点F，， 根据题意得： ，解得： ∵ ， ∵， ∴， ∵， ， ，即，解得：． 答：旗杆的高度为． 学科网（北京）股份有限公司 $